Đường tiệm cận luyện thi- đồ thị hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang:
•
ðường thẳng
0
y y=
ñược gọi là ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của ñồ thị hàm
số
( )
y f x
= nếu
( )
0
lim
x
f x y
→+∞
=
hoặc
( )
0
lim
x
f x y
→−∞
=
.

•

ðường thẳng
0
x x=
ñược gọi là ñường tiệm cận ñứng ( gọi tắt là tiệm cận ñứng) của ñồ thị hàm số
( )
y f x=
nếu
( )
0
lim
x x
f x
−
→
= +∞
hoặc
( )
0
lim
x x
f x
+
→
= +∞
hoặc
( )
0
lim

x x
f x
−
→
= −∞
hoặc
( )
0
lim
x x
f x
+
→
= −∞
.
2. ðường tiệm cận xiên:
ðường thẳng
( )
0
y ax b a= + ≠
ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị
hàm số
( )
y f x=
nếu
( ) ( ) ( )
lim 0
x
f x f x ax b
→+∞

 
= − + =
 
hoặc
( ) ( ) ( )
lim 0
x
f x f x ax b
→−∞
 
= − + =
 
.Trong
ñó
( )
( )
lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
 
= = −
 

hoặc
( )
( )
lim , lim

x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
 
= = −
 

.
Ví dụ : Tìm tiệm cận của hàm số :
( )
2 1
)
2
x
a f x
x
−
=
+


( )
2
1
)
x
b f x
x

+
=


Giải :
( )
2 1
)
2
x
a f x
x
−
=
+


Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp
{ }
\ 2
ℝ
.
( ) ( )
1 1
2 2
2 1 2 1
lim lim lim 2 , lim lim lim 2 2
2 2 2 2
1 1
x x x x x x

x x
x x
f x f x y
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
= = = = = = ⇒ =
+ +
+ +

là tiệm
cận ngang của ñồ thị khi
x → −∞
và x → +∞
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 2 1
lim lim , lim lim 2
2 2
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +

→ − → − → − → −
− −
= = −∞ = = +∞ ⇒ = −
+ +

là tiệm cận ñứng của
ñồ thị khi
( )
2x
−
→ − và
( )
2x
+
→ −
( )
( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
2
2
x x x
f x
x
x
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞

−
−
= = = ⇒
+
+
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x → −∞

( )
( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
2
2
x x x
f x
x
x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = = ⇒
+
+

hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x
→ +∞ .

( )
2
1
)
x
b f x
x
+
=
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp
{ }
\ 0
ℝ
.
( )
2
2
1
1
1
lim lim lim 1 1, 1
x x x
x

x
f x y
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = − + = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x → −∞
.
( )
2
2
1
1
1
lim lim lim 1 1, 1
x x x
x
x
f x y
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = ⇒ =
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x
→ +∞ .
( ) ( )

2 2
0 0 0 0
1 1
lim lim , lim lim 0
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +
→ → → →
+ +
= = −∞ = = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng của ñồ thị
khi
0x
−
→
và
0x
+
→

( )
2
2
2 2
1
1
1
lim lim lim 0

x x x
x
f x
x
x
x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = = ⇒
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x → −∞

( )
2
2
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
f x
x
x
x

x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = = ⇒
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x → +∞


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau :
( )
2
)
3 2
x
a f x
x
−
=
+

( )
2 2
)
3
x
b f x

x
− −
=
+

( )
1
) 2
3
c f x x
x
= + −
−

( )
2
3 4
)
2 1
x x
d f x
x
− +
=
+


( )
2
2 1

) 3
x
e f x x
x
−
= + −

( )
3
2
2
)
2
x
f f x
x x
+
=
−


( )
3
2
1
)
1
x x
g f x
x

+ +
=
−


( )
2
2
1
)
5 2 3
x x
h f x
x x
+ +
=
− − +



2. Tìm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang của ñồ thị các hàm số sau :
( )
1
)
2 1
x
a f x
x
+
=

+


( )
1
) 4
2
b f x
x
= +
−


( )
2
)
1
x x
c f x
x
+
=
−


( )
3
)
1
x

d f x
x
+
=
+


( )
1
) 2 1e f x x
x
= − +

( )
2
2
)
3
x x
f f x
x
+
=
−


( )
( )
2
1

) 3
2 1
g f x x
x
= − +
−


( )
3 2
2
2
)
1
x x
h f x
x
−
=
+


( )
2
2
2 1
)
2
x
i f x

x x
+
=
−


( )
2
)
1
x
j f x
x
=
−


( )
3
2
)
1
x
k f x
x
=
−


( )

2
)
4
x
l f x
x
=
−


( )
2
) 1m f x x x= − +


( )
2
) 2n f x x x x= + +


( )
2
) 3o f x x= +


( )
2
)p f x x
x
= +

( )
2
2
1
)
1
x x
q f x
x
+ +
=
−



3. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau :
( )
2
) 3a f x x x= + +


( )
2
) 2 1b f x x x= + −


( )
2
) 4c f x x x= + +

( )
2
) 4 3d f x x x= − +


( )
2
) 1e f x x x= + −


( )
2
) 4f f x x= +


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt