Toán ct ôn tập hk1

HƯỚNG ĐẾN KỲ THI THPT 2022
MỘT SỐ CÔNG THỨC ÔN TẬP TỐN 12 HK1
MƠN: TỐN
Giáo viên: VŨ QUN
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
I.

CƠNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Ba điểm cực trị của hàm trùng phương tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện
STT
Dữ kiện
Tam giác ABC vuông cân tại A
1
2

Tam giác ABC đều

3

Tam giác ABC có góc BAC = 

4

Tam giác ABC có diện tích SABC = S0

5

Tam giác ABC có diện tích max ( S 0 )

Cơng thức thỏa ab  0
8a + b3 = 0

24a + b3 = 0

8a
tan 2 = − 3
2
b

32a 3 ( S0 ) 2 + b5 = 0

S0 = −
r0 =

b5
32a 3

b2

b3
a 1 + 1 −

a







6

Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp rABC = r0

7

Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0

a.m02 + 2b = 0

8

Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0

16a 2 n02 − b 4 + 8ab = 0

9

Tam giác ABC có cực trị B, C  Ox

10

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

b(8a + b3 )  0

11

Tam giác ABC có trọng tâm O

b 2 − 6ac = 0

12

Tam giác ABC có trực tâm O

b3 + 8a − 4ac = 0

13

Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp
RABC = R0

R=

14

Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

b 2 − 2ac = 0

15

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

b3 − 8a − 4abc = 0

16

Tam giác ABC có O là tâm đường trịn ngoại tiếp

b3 − 8a − 8abc = 0

17

Tam giác ABC có cạnh BC = k . AB = k . AC

18
19
20

Trục hồnh chia ABC thành hai phần có diện tích bằng
nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hồnh

b 2 − 4ac = 0

b3 − 8a
8ab

b3 .k 2 − 8a(k 2 − 4) = 0

b 2 = 4 2 ac
b 2 − 8ac = 0

2 

2  
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: . x 2 + y 2 −  −
+ c y + c −  = 0.
 b 4a


 b 4a 

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

1


II.

CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÀM SỐ BẬC 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )
Ta có y = 3ax 2 + 2bx + c .
Công thức 1: Để hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y  = 0 có hai nghiệm phân biệt.
 Δ  0  b 2 − 3ac  0

Công thức 2: Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị thì y  = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm duy
nhất
 b 2 − 3ac  0 .

Cơng thức 3: Cơng thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
bậc ba theo a, b, c, d là
 2c 2b2 
bc
y = −
x+d −
9a
 3 9a 

Công thức 4: Tìm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a  0 ) đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = kx + e .

 y1 = kx1 + e

Khi đó, m thỏa hệ  2 
b2 
 3   c − 3a   k = −1

 
III.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÀM SỐ PHÂN THỨC
- Hàm phân thức y =

- Đặt f ( x ) =

p ( x)

q ( x)

u ( x)
v ( x)

có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y =

u ( x )
v ( x )

là một hàm phân thức, trong đó p ( x ) và q ( x ) là các hàm đa thức.

1. Nếu bậc của đa thức tử số p ( x ) nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số q ( x ) , thì y = 0 là một
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

a
là đường
b
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) , trong đó a, b lần lượt là hệ số của hạng tử có bậc
2. Nếu bậc của đa thức tử số p ( x ) bằng bậc của đa thức mẫu số q ( x ) , thì y =
cao nhất của đa thức tử số p ( x ) và đa thức mẫu số q ( x ) .
3. Nếu bậc của đa thức tử số p ( x ) lớn hơn bậc của đa thức mẫu số q ( x ) thì đồ thị hàm số
y = f ( x ) khơng có tiệm cận ngang.

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

2


Cơng thức 1: Ta có khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y=

ax + b
lần lượt là:
cx + d

d1 = x0 +

 d1  d 2 =

cx + d
d
a

ad − bc
= 0
; d 2 = y0 − =
c
c
c
c ( cx0 + d )

cx0 + d
ad − bc
ad − bc

=
= p.
c
c  ( cx0 + d )
c2

Vậy tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị hàm số y =

ax + b
đến hai đường tiệm cận
cx + d

là không đổi

ax + b
sao cho khoảng cách từ M
cx + d
đến đường tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang

d
 x0 = −  kp
c
Cơng thức 2: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) trên đồ thị hàm số y =

Công thức 3: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) trên đồ thị hàm số

y=

ax + b
đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số Ià nhỏ nhất.
cx + d

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

d1 + d 2  2 d1d 2 = 2

Dấu bằng xảy ra khi d1 = d 2 

ad − bc
=2 p
c2

cx0 + d
ad − bc
2
=
 ( cx0 + d ) = ad − bc
c
c ( cx0 + d )

ax + b
sao cho khoảng cách từ M
cx + d
đến điểm I là ngắn nhất, biết I là giao điểm của hai đường tiệm cận
Cơng thức 4: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) trên đồ thị hàm số y =

 IM  2.

ad − bc
d
, dấu bằng xảy ra khi x0 = −  p
2
c
c

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

3


CHƯƠNG 2: HÀM SỐ MŨ, LÙY THỪA VÀ LOGARIT
I. CÔNG THỨC LŨY THỪA
Công thức lũy thừa
Cho các số dương a, b và m, n 
a n = a.a.....a với n 

a0 = 1

*

n so a

(a m ) n = a mn = (a n ) m

a .a = a

m+n

a nb n = (ab) n

a a
= 
bn  b 

n

m

n

a−n =

.

1
an

am
= a m−n

n
a
1

n

m

an = a

 a = a2

n
m

 3 a =a

1
3

(m, n 

*

)

II. CƠNG THỨC LOGARIT
Cơng thức logarit:
Cho các số a, b  0, a  1 và m, n 

.

log a b =   a = b

lg b = log b = log10 b

ln b = log e b

log a 1 = 0

log a a = 1

log a a n = n

log a b n = n log a b

log am b n =

b
log a   = log a b − log a c
c

a loga b = b
 logb c
= c logb a
a

log a c
= log b c , ( b  1)
log a b

log a b =

log am b =

1
log a b
m

log a (bc) = log a b + log a c
log a b.log b c = log a c ,

( b  1)

n
log a b
m

1
, ( b  1)
log b a

III.ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
a) Điều kiện xác định hàm số mũ
Dạng:

a  0
.
với 
y=a

a  1
y = ax
u

Tập xác định: D = .
b) Điều kiện xác định hàm số logarit
Dạng:

y = log a x

a  0
.
với 
y = log a u
a  1

→ y = ln x ; a = 10 ⎯⎯
→ y = log x = lg x .
Đặc biệt: a = e ⎯⎯
Điều kiện xác định: u  0 .

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

4


IV.CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
a) Đạo hàm hàm số mũ

y = a x ⎯⎯

→ y = a x ln a
y = au ⎯⎯
→ y = a u ln a.u '

.

Đặc biệt:

(e x ) = e x
(eu ) = eu .u '

b) Đạo hàm hàm số logarit

1
x ln a
.
u'
y = log a u ⎯⎯
→ y =
u ln a
V. CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
y = log a x ⎯⎯
→ y =

Đặc biệt:

1
x .
u'
(ln u ) =

u
(ln x) =

a) Lãi đơn: Lãi đơn là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc.
Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, q hay năm).
Cơng thức tính số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là:
Sn

A(1

nr )

b) Lãi kép: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi
của kì trước.
Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, q hay năm).
Cơng thức tính số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là
Sn

A(1 r ) n

* Ở đây chỉ trình bày cơng thức hay xuất hiện trong kì thi, các bạn muốn tìm hiểu có thể tham
khảo thêm.

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

5


CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN
1. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nội dung
Hình vẽ
Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) , ( H 2 )
sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) khơng có chung điểm trong nào thì ta nói có
thể chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và
( H 2 ) , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) với nhau

(H 1)

để được khối đa diện ( H ) .
(H)
(H 2)

2.KHỐI ĐA DIỆN LỒI
2.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì
mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
2.2. Khối đa diện đều
2.2.1. Định nghĩa
- Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

 

- Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n, p .
2.2.2. Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3} , loại {4;3} , loại {3; 4} , loại {5;3} , loại {3;5}

. Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập
phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
2.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Số đỉnh Số cạnh

Số mặt

Loại

Số MPĐX

Tứ diện đều

4

4

{3;3}

6

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

6

6

Khối lập phương

8

12

6

{4;3}

9

Bát diện đều

6

12

8

{3; 4}

9

Mười hai mặt đều

20

30

12

{5;3}

15

Hai mươi mặt đều

12

30

20

{3;5}

15

 

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.
Khi đó: p Đ = 2C = nM .
2.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
2.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
- Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
- Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
2.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
2.3.3. Kết quả 3

Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
2.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc
một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều.
Khi đó:
- Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
- Ba đường chéo đơi một vng góc với nhau;
- Ba đường chéo bằng nhau.

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

7


3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
3.1. Thể tích khối chóp
Nội dung
1
V = .S Ð .h
3
S Ð : Diện tích mặt đáy.

Hình vẽ

h : Độ dài chiều cao khối chóp.

3.2. Thể tích khối lăng trụ
Nội dung
V = S Ð .h

Hình vẽ

S Ð : Diện tích mặt đáy.
h : Độ dài chiều cao khối lăng trụ.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

3.3. Thể tích khối hộp chữ nhật
Nội dung
V = abc

Hình vẽ

3.4. Thể tích khối lập phương
Nội dung

Hình vẽ

V = a3

3.5. Tỉ số thể tích

VSA ' B 'C '
VSABC

Hình vẽ

Nội dung
SA ' SB ' SC '
=
.

.
SA SB SC

S

Thể tích hình chóp cụt A ' B ' C '. ABC
h
V = B + B '+ BB '
3
Với B, B ', h là diện tích hai đáy và chiều cao.

(

)

B’

A’
C’
A

B
C

3.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
- Đường chéo của hình vng cạnh a là a 2
Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

8

- Đường chéo của hình lập phương cạnh a là: a 3
2
2
2
- Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là: a + b + c

- Đường cao của tam giác đều cạnh a là:

a 3
2

4. CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG
4.1. Hệ thức lượng trong tam giác
4.1.1. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH
- AB 2 + AC 2 = BC 2
- AB 2 = BH .BC
2
- AC = CH .BC
- AH .BC = AB. AC

- AH 2 = BH .HC
1
1
1
=
+
2
2
AH

AB
AC 2
4.1.2. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là ma , mb , mc bán kính
đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p.
- Định lí hàm số cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A , b 2 = a 2 + c 2 − 2ac.cos B , c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
b2 + c 2 a 2
a 2 + c 2 b2
a 2 + b2 c2
2
2
2
ma =
−
mb =
−
mc =
−
2
4 ,
2
4 ,

2
4
- Độ dài trung tuyến:
- Định lí hàm số sin:

4.2. Các cơng thức tính diện tích
Hình
Tam giác

S
S
S
S

Cơng thức
1
1
1
= a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
= bc.sin A = ac.sin B = ab.sin C
2
2
2
abc

=
4R
= pr

S=

p ( p − a )( p − a )( p − a )

Hình vng

S = a2

Hình chữ nhật

S = ab

Hình bình hành

S = đáy  cao = AB. AD.sin BAD

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

9


Hình thoi

S = AB. AD.sin BAD =

Hình thang

1
AC.BD
2

1
( a + b ) .h ( a, b : hai đáy, h : chiều cao)
2
1
S = AC.BD
2

S=

Tứ giác có hai đường chéo vng góc

5. MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Hình vẽ

Nội dung
Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) ,

A

( SBC ) vng góc với nhau từng đơi một, diện tích các tam

giác ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) lần lượt là S1 , S 2 , S3 .
S

2S1S2 S3

Khi đó: VS . ABCD =

C

3
B

Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với ( ABC ) , hai mặt
phẳng

và

( SAB )

( SBC ) vng

góc

với

S

nhau,

BSC =  , ASB =  .

Khi đó: VS . ABCD

SB3 sin 2 .tan 

=
12

C

A

B

Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bằng a , cạnh bên bằng b .
Khi đó: VS . ABCD =

a 2 3b 2 − a 2
12

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .
Khi đó: VS . ABC =

a3 tan 
24

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh bên bằng b
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .
Khi đó: VS . ABC

3b3 sin  cos 2 
=
4

S

C

A
G

M

B

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

10


Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáy bằng a ,

S

cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .
Khi đó: VS . ABC

a3 tan 
=
12

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình

vng cạnh bằng a , và SA = SB = SC = SD = b .
Khi đó: VS . ABCD =

S

a 2 4b 2 − 2a 2
6

D

A
M

O
C

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , góc

S

tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là  .
Khi đó: VS . ABCD =

a3 tan 
6

A

D
M

O
B

C

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a ,

S

  
SAB =  với    ; 
4 2
Khi đó: VS . ABCD

D

a3 tan 2  − 1
=
6

A
M

O
C

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên bằng a ,

S

 
góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với    0; 
 2
Khi đó: VS . ABCD =

4a 3 tan 

( 2 + tan  )

A
O

2

3

B

C

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi
( P ) là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vng góc

S
F

N

với ( SBC ) , góc giữa ( P ) với mặt phẳng đáy là  .
Khi đó: VS . ABCD =

a co t 
24
3

D
M

A

E

C

x
G

M

B

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

11

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập
phương cạnh a.

a3
Khi đó: V =
6

A'

B'
O'

D'
O1

C'
O2

O4
A

O3

B
O

D

C

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta
được khối lập phương.

S

G2

2a 3 2
Khi đó: V =
27

D

A G1
N

M
C

B

S'

6. CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN
Cơng thức

Điều kiện tứ diện

abc
 SA

1 − cos 2  − cos 2  − cos 2  + 2 cos  .cos  .cos
 = a, SB = b, SC = c
6

 ASB =  , BSC =  , CSA = 
Cơng thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện
1
VABCD = abd .sin 
 AB = a, CD = b
6

Cơng thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 
d ( AB, CD ) = d ( AB, CD ) = 
2 cạnh đó
2S S sin 
VS . ABC = 1 2
.
 S SAB = S1 , S SAC = S 2 , SA = a
3a

Cơng thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa ( ( SAB ) , ( SAC ) ) = 
2 mặt kề
abc
 SA = a, SB = b, SC = c
VS . ABC =
sin  .sin  .sin 

6

Cơng thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc  ( SAB ) , ( SAC ) = 


nhị diện
 ASB =  , ASC = 
VS . ABC =

(

VS . ABC =

a3 2
12

VS . ABC =

2
12

( a 2 + b2 − c2 )(b2 + c2 − a 2 )( a 2 + c 2 − b2 )

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

)

Tứ diện đều
tất cả các cạnh bằng a
Tứ diện gần đều
 AB = CD = a

 AC = BD = b
 AD = BC = c



12


7. TỈ SỐ THỂ TÍCH
1. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác:

VS .MNP SM SN SP
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

2. Công thức tỉ số thể tích khối chóp tứ giác

SA '
SB '
SC '
SD '
= x,
= y,
= z,
=t
SA
SB
SC
SD

1 1 1 1
Ta có: + = +
x z y t
V
x+z
Công thức tỉ số thể tích như sau: S . A ' B 'C ' D ' =
. y.t
VS . ABCD
2
Đặt

Trường hợp đặt biệt:
Nếu ( A1 B1C1 D1 )

( ABCD )

và

VS . A1B1C1D1
SA1 SB1 SC1 SD1
=
=
=
= k thì
= k3
SA SB SC SD
VS . ABCD

Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác.

Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

13


3. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ tam giác
Gọi V là thể tích khối lăng trụ,
+ V( 4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ,
+ V(5) là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ.
Khi đó: V( 4) =
Ví dụ: V

V
2
, V(5) = V
3
3

A ' B ' BC

=

V
2V
;VA ' B ' ABC =
3
3

Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác
Gọi V1 , V2 và V lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới và lăng trụ.

Giả sử

AM
CN
BP
= m,
= n,
=p
AA '
CC '
BB '

Khi đó: V2 =

m+n+ p
.V
3

Đặc biệt:
- Nếu M  A ', N  C thì

AM
CN
= 1,
=0
AA '
CC '

4. Tỉ số thể tích của khối hộp
Gọi V là thể tích khối hộp, V( 4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp.

Khi đó:
V( 4) (hai đường chéo của hai mặt phẳng song song) =
V( 4) (trường hợp cịn lại) =

Ví dụ: VA 'C ' BD =

V
,V
3

A 'C ' D ' D

V
3

V
6
=

V
6

Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau)

DM

= x
x+ y

DD '

.V
  V2 =
BP
2
= y

BB '

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

14


CHƯƠNG 2: KHỐI TRỊN XOAY
1. CƠNG THỨC KHỐI NĨN
S

Chu vi đáy: p = 2 r .

Bán kính đáy: r = OA = OB = OM .

Diện tích đáy: Sđ =  r 2 .

Đường sinh: l = SA = SB = SM .

l

h
l

A

Đường cao: h = SO .

r

l

O

Góc ở đỉnh: ASB .
B

1
1
Thể tích: V = h.Sđ = h. r 2 .
3
3

S. t
Thiết diện qua trục: SAB cân tại
(liên
Góc giữa đường sinh và mặt đáy:
Diện tích xung quanh: S xq =  rl

M

SAO = SBO = SMO .

Hìn Hình thành: Quay  vng

SOM quanh trục SO , ta được
mặt nón như hình bên với:
h = SO
.

r = OM

Diện tích tồn phần

Stp = S xq + Sđ =  rl +  r 2 .

2. CÔNG THỨC KHỐI TRỤ
MẶT TRỤ

Các yếu tố mặt trụ:
Đường cao: h = OO .
Đường sinh: l = AD = BC .

Chu vi đáy: p = 2 r .

Ta có: l = h .

Diện tích đáy: Sđ =  r 2 .

Bán kính đáy:

Thể tích khối trụ: V = h.Sđ = h. r 2 .

r = OA = OB = OC = OD .

Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai
điểm O, O.

Hình thành: Quay hình
Thiết diện qua trục: Là hình chữ
chữ nhật ABCD quanh
đường trung bình OO , ta có nhật ABCD.
mặt trụ như hình bên.
3. CƠNG THỨC KHỐI CẦU
MẶT CẦU

Một số công thức:

Một số công thức:

Diện tích xung quanh: S xq = 2 r.h .
Diện tích toàn phần:
Stp

Sxq

2Sđ

2 r .h

2 r2 .

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện

§ Tâm I , bán kính
R = IA = IB = IM .
§ Đường kính AB = 2 R .
§ Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là
đường trịn tâm I , bán kính R .
§ Diện tích mặt cầu: S = 4 R 2 .

4 R3
§ Thể tích khối cầu: V =
.
3
Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success

Mặt cầu ngoại
tiếp đa diện là mặt

Mặt cầu nội tiếp
đa diện là mặt cầu
tiếp xúc với tất cả
15


Hình thành: Quay đường
AB
trịn tâm I , bán kính R =
2
quanh trục AB , ta có mặt cầu
như hình vẽ.

cầu đi qua tất cả

đỉnh của đa diện
đó.

các mặt của đa
diện đó.

IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP
Kí hiệu:
+ RMC : bán kinh đường trịn ngoại tiếp khối cầu
+ RÐ : bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy
+ h : chiều cao khối chóp
Cơng thức 1: Cạnh bên vng góc với đáy hoặc lăng trụ đứng thì RMC = h 2 +
Công thức 2: Mặt bên vuông góc với đáy thì RMC = RÐ 2 + RMB 2 −

RÐ 2
4

GT 2
, với RMB là bán kính
4

đường trịn ngoại tiếp

CB 2
với CB là cạnh bên
2h
1 2
a + b 2 + c 2 , với a, b , c là độ
Cơng thức 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: RMC =
2

dài 3 cạnh hình hộp
Cơng thức 3: Khối chóp đều thì RMC =

Cơng thức 5: Mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương: RMC =

a 3
với a là độ dài cạnh hình lập
2

phương

Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS

16