Lý thuyết và bài tập lý thuyết chuỗi

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 1

BS: Cao Văn Tú
Email:
CHƯƠNG: LÝ THUYẾT CHUỖI
*Chú ý:
1
lim 1
n
n
e
n





. Dạng tổng quát:
1
lim 1
n
n
U
U
n
e
U







1. Chuỗi số.
Cho một dãy số vô hạn
 
1
n
n
U


:
 
1 2 3
1
1
nn
n
u u u u u


     

được gọi là một chuỗi số.
- u
1

: được gọi là số hạng đầu.
- u
n
: số hạng tổng quát của chuỗi (1).
-
1 2 3

nn
S u u u u     
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).
- Chú ý:
 Nếu
lim
n
n
S

tồn tại và hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ.
 Nếu không tồn tại
lim
n
n
S

hoặc
lim
n
n
S


 
thì ta nói chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ.
 Nếu chuỗi (1) hội tụ và
lim
n
n
SS


. Khi đó ta có thể viết
1
n
n
u



.
- Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ:
 Định lý 1: Nếu chuỗi số
1
n
n
u



hội tụ thì
lim 0.
n

n
u



 Định lý 2: (chú ý) Từ định lý (1) ta thấy nếu
lim 0
n
n
u


thì chuỗi
1
n
n
u



phân kỳ.
- Các tính chất của chuỗi hội tụ:
 Nếu chuỗi
1
n
n
u




hội tụ và có tổng là S thì chuỗi
1
.
n
n
ku



cũng hội tụ và có tổng là k.S.
 Nếu chuỗi
1
n
n
u



và
1
n
n
v



hội tụ và có tổng lần lượt là S
1
và S
2

thì chuỗi
 
1
nn
n
uv




cũng
hội tụ và có tổng là
12
SS
.
2. Chuỗi số dương.
Chuỗi số
1
n
n
u



được gọi là chuỗi số dương nếu
*
0
n
un  
.

*) Nhận xét:
 
n
S
là dãy tăng, nếu
 
n
S
bị chặn trên. Suy ra
 
n
S
hội tụ

1
n
n
u



hội tụ.
(***) Các quy tắc xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
 Định lý 1(Quy tắc so sánh): Cho hai chuỗi số dương
1
n
n
u




và
1
n
n
v



. Nếu
 
*
00nn
u v n n n   
thì:

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 2

BS: Cao Văn Tú
Email:
- Nếu chuỗi
1
n
n
u




hội tụ suy ra
1
n
n
v



hội tụ.
- Nếu chuỗi
1
n
n
v



phân kỳ suy ra
1
n
n
u



phân kỳ.
 Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương
1
n

n
u



và
1
n
n
v



và thỏa mãn
lim 0
n
n
n
u
k
v


. Khi đó hai chuỗi
1
n
n
u




và
1
n
n
v



cùng hội tụ và phân kỳ.
Chú ý: Chuỗi Riman
1
1
n
n




hội tụ khi α > 1và phân kỳ khi
1


.
 Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương
1
n
n
u




có
1
lim
n
n
n
u
r
u



.
- Nếu
1r 
thì chuỗi
1
n
n
u



hội tụ.
- Nếu
1r 
thì chuỗi
1

n
n
u



phân kỳ.
- Nếu
1r 
thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi
1
n
n
u



.
 Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương
1
n
n
u



và thỏa mãn điều kiện
lim
n
n

n
ur


.
- Nếu
1r 
thì chuỗi
1
n
n
u



hội tụ.
- Nếu
1r 
thì chuỗi
1
n
n
u



phân kỳ.
- Nếu
1r 
thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi

1
n
n
u



.
3. Chuỗi số bất kỳ.
3.1. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ.
*)Định lý 1: Nếu chuỗi
1
n
n
u



hội tụ thì chuỗi tổng
1
n
n
u



hội tụ.
*) Điều kiện cần và đủ để một chuỗi số hội tụ.
1
n

n
u



hội tụ khi và chỉ khi:

*
0
0, : , 0n m n

    
;
nm
SS


.
*) Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Chuỗi số
1
n
n
u



được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
1
n
n

u



hội tụ.

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 3

BS: Cao Văn Tú
Email:
-Chuỗi số
1
n
n
u



được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ nhưng
1
n
n
u



phân kỳ.

3.2. Chuỗi đan dấu.
Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng:
 
1
1 2 3
1
1
n
nn
n
u u u u u



      

với
*
0
n
un  
.
 Quy tắc Lepnit: Cho chuỗi đan dấu
 
1
1
1
n
n
n

u





. Nếu dãy (u
n
) giảm và hội tụ về 0 khi
n  
thì chuỗi đan dấu
 
1
1
1
n
n
n
u





là hội tụ và có tổng
1
.Su

4. Chuỗi hàm số.
Phương pháp tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số:

 Bước 1: Xét
 
12
0 , ,
n
u x x x
thay vào chuỗi (1) và xét sự hội tụ của nó.
 Bước 2: Xét
 
0
n
ux
. Tìm
 
 
 
1
lim
n
n
n
ux
rx
ux



.
- Nếu
 

1rx
 
;x a b
thì (1) hội tụ.
- Nếu
 
1rx
12
, , xx
và thay vào chuỗi (1). Xét sự hội tụ của nó.
*) Hội tụ điểm và hội tụ đều.
- Hội tụ điểm:
 
1
n
n
ux



được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm
xX
. Khi đó
tổng f(x) là một hàm số xác định trên X và ta viết
   
1
n
n
S x u x x X



  

.
- Hội tụ đều:
 
1
n
n
ux



được gọi là hội tụ đều trên X đến S(x) nếu dãy hàm
 
 
n
Sx
hội tụ đều
trên X, tức là
*
0
0 n

   
sao cho
0
nn
ta đều có
   

n
S x S x x X

   
.
5. Chuỗi lũy thừa.
Chuỗi hàm số có dạng:
0 1 2
0
. .
nn
nn
n
a x a a a a x


     

( Trong đó:
n
a
là hằng số không phụ thuộc
vào x). Được gọi là chuỗi lũy thừa.
 Định lý 1: (Định lý Abel)
- Nếu chuỗi lũy thừa
0
.
n
n
n

ax



hội tụ tại
0
0x 
thì nó hội tụ tại mọi điểm sao cho
0
xx
.
- Nếu chuỗi lũy thừa
0
.
n
n
n
ax



phân kỳ tại
0
0x 
thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa mãn
0
xx
.
 Định lý 2: (Tìm bán kính hội tụ)

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 4

BS: Cao Văn Tú
Email:
Cho chuỗi lũy thừa
0
.
n
n
n
ax



và
1
lim
n
n
n
a
l
a



(hoặc

lim
n
n
n
al


) thì bán kính hội tụ của nó
được xác định:
1
0
0
0
khi l
l
khi l
khi l

  


 


 


.
 Tính chất của chuỗi lũy thừa.
 Định lý 1: Chuỗi lũy thừa

1
.
n
n
n
ax



hội tụ đều trên
 
 
;;a b R R  
.
 Định lý 2: Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa
1
.
n
n
n
ax



là hàm số liên tục trên
 
;RR
.
 Định lý 3:
 

 
'
'
1
0 0 0
. . . . ;
n n n
n n n
n n n
a x a x na x x R R
  

  

    


  
.
 Định lý 4:
 
00
. dx . x ;
bb
nn
nn
nn
aa
a x a x d x R R





   






.
 Phương pháp tính tổng của một chuỗi:

 
2
0
1
1 1;1 (*)
1
nn
n
x x x x x
x


         


.


 
23
1
1;1 (**)
1
nn
n
x
x x x x x x
x


         


.

 
 
 
'
'
'
1
2
1 1 1
1
. 1;1 .
1
1

n n n
n n n
x
n x x x x
x
x
  

  


      






  


 
1
0 0 0
0 0 0
1
x x x 1;1 .
11
x x x
n

nn
n n n
x
x d x d d x
nx

  
  


     





  
  

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 5

BS: Cao Văn Tú
Email:
BÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG
1. Chuỗi số dương.
Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
2
1
1
(1).
2
n
n
n






- Xét chuỗi
1
1

(2)
n
nn



là chuỗi số dương.
- Chuỗi số (1) là chuỗi số dương.

2
2
2
2
22
11
1
. 1 1
.1
2
lim lim lim lim lim 1
1
22
2
. 1 1
n
n n n n n
n
n
n
u

n n n
nn
n
vn
n
n n n n
    




    

   

   
   
.
Do chuỗi (2) hội tụ nên chuỗi (1) cũng hội tụ.
2. Áp dụng quy tắc Đalambe.
Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi:
1
(1)
3
n
n
n




- Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương.
-
 
1
1
11
3 . 1
1
;
3 3 .3
n
n
nn
n n n
n
n
u
nn
uu
un





   
.
-
 

1
1
3 . 1
11
lim lim lim 1
.3 3 3
n
n
n
n n n
n
n
u
n
u n n


  


   
.
Vậy chuỗi (1) là hội tụ theo tiêu chuẩn Đalambe.
3. Áp dụng quy tắc Côsi.
Bài 3: Xét sự hội tụ của chuỗi:
2
1
1
(1)
31

n
n
n
n
n








- Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương vì
2
*
1
0
31
n
n
n
n
un
n

   




-
2
1 1 1 1
lim lim lim 1.
3 1 3 3e
1
1
n
n
n
n
n
n
n n n
n
u
n
n
  

   








Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Côsi.
4. Áp dụng quy tắc so sánh.
Bài 4: Xét sự hội tụ của chuỗi
2
1
sin
1
n
n
n




.
- Ta có:
*
2 2 2
sin
11
11
n
n
un
n n n
    

mà chuỗi
2
1

1
n
n



hội tụ.

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 6

BS: Cao Văn Tú
Email:
Theo quy tắc so sánh
1
n
n
u




hội tụ. Suy ra
2
1
sin
1
n

n
n




hội tụ.
5. Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu)
Bài 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
 
1
1
1
n
n
n





.
- Ta có:
 
1
1
1
1 1 1
1
2 3 4

n
n
n




    

Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu.
-
11
11
;
1
n n n n
a a a a
nn

   

suy ra dãy
 
n
a
là dãy giảm.
Mà
1
lim lim 0
n

nn
a
n
 


Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit.
6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm.
Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi :
 
1
1.
21
n
n
n
x
n





(1)
 Trường hợp 1: Nếu
0x 
.
Ta có:
   
2

1 .
3 5 2 1
n
n
n
x x x
Sx
n
     

. Suy ra
   
0 0 lim 0 0
nn
n
SS

  

Với
0x 
thì chuỗi (1) hội tụ.
 Trường hợp 2: Nếu
0x 
, ta có:
 
 
   
 
 

   
1
1
1
1 . 2 1 2 1 2 1
lim lim . lim 1 . lim .
2 3 2 3 2 3
1
n
n
n
n
n
n n n n
n
ux
x n n n
x x x
n n n
ux
x



   
   
    
  


-
 
1 1 1 1;1xx      
là khoảng hội tụ của chuỗi (1).
- Với
1x
suy ra chuỗi (1)
   
11
11
1
2 1 2 1
nn
nn
nn






là chuỗi số phân kỳ vì nó tương
đương với
1
1
n
n




.
- Với
1x 
suy ra chuỗi (1)
   
11
1 1 1
2 1 2 1
nn
n
nn
nn






là chuỗi số đan dấu vì
1
11
2 1 2 3
nn
aa
nn

  

và
1

lim lim 0
21
n
nn
a
n
 


suy ra chuỗi
 
1
1
21
n
n
n





hội tụ theo quy
tắc Lepnit.
Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là:


1;1
.
Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi:

43
1
(2)
43
n
n
x
n







Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 7

BS: Cao Văn Tú
Email:
 Miền hội tụ: Giải tương tự cách trên ta thấy miền hội tụ của chuỗi (2) là (-1;1).
 Tính tổng:
 
1;1x  
ta có:
 
 
43

41
44
4
1 1 1
0 0 0
1
x x x
4 3 1
x x x
n
n
n
x
n n n
x
S x d x d d
nx

  


  


   






  
  

   
      
   
22
2 2 2 2
0 0 0
0
11
1 1 x 1 x
x =
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1
arctan arctan ln 1;1
2 4 1
x x x
x
xx
dd
d
x x x x
x
x x x
x
  

   


     

  

Vậy
 
 
11
arctan ln 1;1
41
x
x
S x x
x

    

.

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 8

BS: Cao Văn Tú
Email:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
a.

1
1
( 1)
n
nn





b.
1
1
(1 cos )
n
n





c.
1
11
sin
n
n
n





d.
1
23
42
nn
n
n
n






e.
2
1
3 ( !)
(2 )!
n
n
n
n




f.

1
1
2 sin
!
n
n
n







g.
2
1
11
(1 )
5
n
n
n
n





h.

( 1)
1
1
1
nn
n
n
n










i.
2
2
1
7 ( !)
n
n
n
n
n





j.
2
1
11
(1 )
2
n
n
n
n





k.
l.
Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau:
a.
2
1
( 1)
2
n
n
n
n






b.
1
34
( 1)
21
n
n
n
n
n










c.
2
1
1
( 1)
25

n
n
n
n







d.
2
1
cos
n
n
n





e.
2
1
cos
2
n
n

n




f.
2
1
cos
1
n
n
nn






Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
a.
2
1
( 2)
n
n
x
n






b.
1
23
n
nn
n
x





c.
1
( 4)
n
n
x
n





d.
1
1

( 1)
.2
n
n
n
n
x
n







e.
2
1
1
( 2)
21
n
n
n
n
x
n











f.
2
2
1
( 5)
.4
n
n
n
x
n








HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ
Bài 1:
a.
1

~
nn
uv
n

nên chuỗi phân kỳ.
b.
2
1
~
2
nn
uv
n

nên chuỗi hội tụ.
c.
3
2
1 1 1
~
nn
uv
n
n
n
  
nên chuỗi hội tụ.
d.
33

~
44
n
n
nn
n
uv




nên chuỗi hội tụ.
e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert
1
3
4
n
n
u
u


nên chuỗi hội tụ.

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 9

BS: Cao Văn Tú

Email:
f.
1
~
nn
uv
n

mà
1
0
n
n
v
v


nên chuỗi
1
n
n
v



hội tụ. Vậy
1
n
n
u




hội tụ.
g. Dùng tiêu chuẩn Cauchy
1 1 1
(1 )
5 5 5
n
n
n
u
e
   
nên chuỗi hội tụ.
h.
1
2
11
1
n
n
n
n
u
ne








nên chuỗi hội tụ.
i.
1
2
7
n
n
u
ue


nên chuỗi hội tụ.
j.
11
1
22
n
n
n
e
u
n

  


nên chuỗi phân kỳ.

Bài 2:
a. Xét chuỗi trị tuyệt đối
2
11
2
n
n
nn
n
u





Đặt:
2
1
,
22
n
nn
n
n
vv
nên
1
n
n
u




hội tụ.
2
1
( 1) .
2
n
n
n
n




hội tụ tuyệt đối
b. Xét chuỗi
11
34
21
n
n
nn
n
u
n










;
3
2
n
n
u 
nên
1
n
n
u



phân k.
1
n
n
u




phân kỳ

c. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz
2
1
1
( 1)
25
n
n
n
n






hội tụ
d.
2
1
n
n
uv
n

, mà
2
1
1
n

n



hội tụ. Vậy
1
n
n
u



hội tụ
1
n
n
u




hội tụ tuyệt đối.
e.
11
22
n
n
n
u





mà
1
1
2
n
n






hội tụ. Mà
1
n
n
u



hội tụ
1
n
n
u





hội tụ tuyệt đối.
f. Ta có:
cos ( 1)
n
n


dùng tiêu chuẩn Leibnitz
2
1
cos
1
n
n
nn





hội tụ.
Bài 3:
a. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 1 ≤ x ≤ 3.
b. Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x <3.
c. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 3 ≤ x <5.
d. Bán kính hội tụ là: R = 2; Miền hội tụ của chuỗi là: -2 < x ≤2.
e. Đặt:
2

( 2)Xx
chuỗi đã cho trở thành chuỗi
1
1
.
21
n
n
n
n
X
n









Bán kính hội tụ là R = 2
Miền hội tụ của chuỗi là:
2 2 2 2x   

f. Đặt
2
( 5)Xx
, chuỗi đã cho trở thành chuỗi
2

1
1
4
n
n
n
X
n






Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com


Page 10

BS: Cao Văn Tú
Email:
Bán kính hội tụ là R = 2
Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤ -3

Hết