Vấn đề Cực trị - ÔTĐH - Lý thuyết và bài tập

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
VẤN ĐỀ VI
CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)
---------------------------- Biên soạn: Trần Hải Nam ----------------------------
I. Cơ sở lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x
0
(kể cả x
0
), kí hiệu v(x
0
) thế
thì:
a. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x
0

( ) ( ) ( )
0 0
f x f x , ,x x v x⇔ > ∀ ∈
và
0
x x≠
Với: x
0
gọi là điểm cực đại của hàm số
Y=f(x
0
) gọi là giá trị cực đại của hàm số
N(x

0
,f(x
0
)) gọi lầ điểm cực đại của đồ thị
b. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x
0

( ) ( ) ( )
0 0
f x <f x , ,x x v x⇔ ∀ ∈
và
0
x x≠
Với: x
0
gọi là điểm cực tiểu của hàm số
Y=f(x
0
) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
N(x
0
,f(x
0
)) gọi lầ điểm cực tiểu của đồ thị
Chú ý: Gọi chung
x
0
gọi là điểm cực điểm của hàm số
Y=f(x
0

) gọi là giá trị cực trị của hàm số
N(x
0
,f(x
0
)) gọi lầ điểm cực trị của đồ thị
2. Điều kiện cần
Hàm số y=f(x) Có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại x
0
 f’(x)= 0
3. Điều kiện đủ
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b) và
( )
0
,x a b∈
• Hàm số f đạt cực đại tại x=x
0
 y’=f’(x) đổi dấu từ (+) qua (-)
x
−∞
x
+∞
y’ + 0 -
y

( )
0
f xZ ]

CĐ
• Hàm số f đạt cực đại tại x=x
0
 y’=f’(x) đổi dấu từ (-) qua (+)
x
−∞
x
+∞
y’ - 0 +
y

( )
0
f x] Z
CT
II. Phương pháp giải
1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y=f(x)
Bước 1: tìm miền xác định
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
1
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
Bước 2: Tìm y’
Bước 3: Tìm nghiệm x
0
(nếu có) của f’(x) và tính y
0
=f(x
0
)

Bước 4: Lập bảng biến thiên và dựa vào đây kết luận
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau
( )
2
6 1y f x x x= = − + +
Lời giải
- Miền xác định: R
-
( )
'
' 2 6y f x x= = − +
-
( )
'
0 2 6 0 3f x x x= ⇔ − + = ⇔ =
- Bảng biến thiên:
x
−∞
3
+∞
y’ + 0 -
y
10Z ]
- Vậy hàm số đạt cực trị tại x = 3 và y
max
=10
2. Dạng 2: Tính giá trị của một tham số đề hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x
0
Bước 1: Tìm miền xác định và tính đạo hàm bậc nhất
Bước 2: Phần thuận

Hàm số đạt cực trị tại x
0
 f’(x)=0. Từ đây ta tính được giá trị của tham số
Bước 3: Phần đảo
Thay giá trị của tham số mới tìm được vào f’(x). Từ đây tìm nghiệm của f’(x)=0 và lập bảng
biến thiên xem hàm số f(x) có đạt cực trị tại x
0
không?
Ví dụ: Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
2 1 5 1y f x x m x m x= = − − − + − +

Tính m để hàm số đạt cực trị tại x=1
Lời giải
- Miền xác định: R
-
( ) ( ) ( )
2
' ' 3 2 2 1 5y f x x m x m= = − − − + −
- Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1 => f’(1) = 0
( ) ( )
3 2 2 1 5 0
2
m m
m
⇔ − − − + − =
⇔ = −
- Đảo: Với m = -2
( )

( )
2
2
2 ' 3 10 7
' 0 3 10 7 0
1
7
3
m f x x x
f x x x
x
x
= − ⇒ = − + −
= ⇔ − + − =
=


⇔

=

- Bảng biến thiên
x
−∞
1
7
3

+∞
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

2
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
y’ - 0 + 0 -
y

CT CD] Z ]
- Kết luận: Với m = -2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x =1
III. Các bài tập áp dụng
1. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3
2 2 2
2 3 1
3
x
y f x m m x m x m= = + − + + + +
Tính m để hàm số qua một cực
tiểu (hay cực đại) khi x = -2
2. Cho hàm số
( )
2
1x mx
y f x
x m
+ +
= =
+
Đạt cực đại tại x = 2

Cùc trÞ cña hµm sè
1)- Gi¸ trÞ lín nhÊt gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
BT1
Tìm Max,Min của
xx
xx
y
44
66
cossin1
cossin1
++
++
=
BT2 (§HSP1 2001)
Tìm Max,Min của
xx
xx
y
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
=
BT3
a) Tìm Max,Min của
)cos1(sin xxy
+=

b) Tìm Max,Min của
xxy 2sin3sin
+=
BT4
Tìm Max,Min của
xx
y
cos4
1
sin4
1
−
+
+
=
BT5
Tìm Max,Min của
a
tgx
tgx
a
x
x
y
+
−
+
+−
−
+

=
1
1
)1(
2sin1
2sin1
với






∈
4
;0
π
x
BT6
a)Tìm Max,Min của
xxy
33
cossin
+=
b)Tìm Max,Min của
xxxy 3cos
3
1
2cos
2

1
cos1
+++=
c)Tìm Max,Min của
xxxxy 4cos
4
1
3cos
3
1
2cos
2
1
cos1
++++=
d)Tìm Max,Min của
xxxy sin2cossin
++=
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
3
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
BT7
Tìm Max,Min của
xx
xxxx
y
sincos
sincoscos.sin
66

+
+
=
BT8 (ĐHBK 1996)
Cho
2
0
π
≤≤
x
vµ 2 ≤ m ,
Zn
∈
Tìm Max,Min của
xxy
nm
cos.sin
=
BT9
Cho 1 ≤ a Tìm Max,Min của
xaxay sincos
+++=
Tìm Max,Min của
xxy sin.21cos.21
+++=
BT10
Giả sử
0
12
4612

2
22
=+−+−
m
mmxx
có nghiệm x
1,
x
2
Tìm Max,Min của
3
2
3
1
xxS
+=

BT11
TTìm Max,Min của
22
22
4
)4(
yx
yxx
S
−
−−
=

Víi x
2
+ y
2
> 0
BT12 (HVQHQT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của
11
+
+
+
=
x
y
y
x
S

BT13 (ĐHNT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của
yx
S 93
+=

BT14 (ĐHNT 2001)
Cho x,y > 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của
y

y
x
x
S
−
+
−
=
11

BT15 (ĐH Th ¬ng m¹i 2000)
Tìm Max,Min của
xxaxxy cos.sin.cossin
66
++=
BT16 (HVQY 2000)
Tìm Max,Min của
1cos.sincossin
44
+++=
xxxxy
BT17 (ĐH cảnh sát 2000)
Tìm Max,Min của
xxy 5coscos5
−=
Víi







−
∈
4
;
4
ππ
x
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
4
Chỳng tụi tuyn sinh cỏc lp 8, 9, 10, 11, 12 tt c cỏc mụn cỏc ngy trong tun. Cỏc em cú th hc
ti nh theo nhúm hoc cỏ nhõn, hoc hc ti trung tõm 40 hc sinh/ 1lp. Cung cp ti liu, thi
BT18 (ĐHQG TPHCM 1999)
Cho
mxxxxxf
+++=
2sin3)cos.(sin22cos)(
32
Tìm Max,Min của f(x) . Từ đó tìm m để
xxf

.36)(
2
BTBS
Tìm GTNN
[ ]
3 2
3 72 90 5;5y x x x x= + +
Tìm GTNN

1 1 1
y x y z
x y z
= + + + + +
thoả mãn
3
, , , 0
2
x y x voi x y z+ + >
HD: Côsi
3 3
3
3 1
3 (0; ]
2
P xyz Dat t xyz
xyz
+ =

Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2
2 4
sin cos 1
1 1
x x
y
x x
= + =
+ +
Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
cos 0
4
y x x x

= +
Tìm GTLN của hàm số
2
sin , ;
2 2 2
x
y x x


= +


Tìm GTLN, GTNN của hàm số
[ ]
3
4
2sin sin en 0;
3
y x x tr

=
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3
ln

1;
x
y tren e
x

=

2)- Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong ph ơng trình, bpt ,hpt, hbpt
BT1
GPT:
16
1
)1(
55
=+
xx

BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

mxxxx
=+++
)2)(2(22
BT3(ĐH Y TPHCM 1997)
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
a)
mxxxx
++=+
99
2

b)
mxxxx
=+++
)6)(3(63
GV: Trn Hi Nam Tell: 01662 843844 TT luyn thi Tm Cao Mi 0532 478138 - 01684356573
5
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
BT4
T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

13.
+≤−−
mxxm
BT5(§HQG TPHCM 1997)
T×m m ®Ó
42)1(
222
++≤++
xxmx
®óng víi mäi x thuéc [0;1]
BT7(§HGT 1997)
T×m m ®Ó
)352()3).(21(
2
−−+≥−+
xxmxx
®óng







−
∈∀
3;
2
1
x
BT8
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
mxxxxxx
+−=+−−+−
42224)22(
2232
BT9
T×m a dÓ BPT sau ®óng víi mäi x thuéc R
0122436cos.15sin363cos5cos3
224
>−++−−−
aaxxxx
BT10
a) T×m m ®Ó
mxxxx
+−≤−+
2)6)(4(
2
®óng víi mäi x thuéc [-4;6]
b) T×m m ®Ó

182)2)(4(4
2
−+−≤+−−
mxxxx
®óng víi mäi x thuéc [-2;4]
BT11(§HQG TPHCM 1998)
T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
axx
x
x
+−=
−
−
12
12
13
2
BT12 (§H QGTPHCM 1997-1998)
a) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

mxxxxx
=−+−+
4sin)cos(sin4)cos(sin4
26644
b) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

mxxx
=+
cos.sin.64cos
c) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

xmxx 4cos.cossin
2244
=+
BT13 (§H CÇn Th¬ 1997)
T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
xxmxxx 2cos31.cos2cossin2cos3
22446
+=−++
BT14(§HGT 1999)
a)T×m m ®Ó
02cos.sin42cos.
=−+−
mxxxm
Cã nghiÖm






∈
4
;0
π
x
b)T×m m ®Ó
mxxx
=
3sin.2cos.sin
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

6