Sáng kiến kinh nghiệm HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ( Phần II )

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Mã số:







SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
( Phần II )




Người thực hiện: LÊ THANH HÀ
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác


Năm học: 2014 - 2015

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 2


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: LÊ THANH HÀ
2. Ngày tháng năm sinh: 13/02/1962
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 59/92 Phan Đình Phùng phường Quang Vinh, Biên Hòa - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0919817453
6. E-mail:
7. Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán

8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: tốt nghiệp ĐHSP Toán
- Năm nhận bằng: 1982
- Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán.

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 33 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5
+ Năm học 2010 – 2011, thực hiện chuyên đề: “Sử dụng Miền Giá trị của Hàm
số để giải toán”.
+ Năm học 2011 - 2012, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập bằng
cách thuyết trình”.
+ Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai và Dấu Tam
thức bậc hai để giải toán”.
+ Năm học 2013 – 2014, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”. ( Phần I )
+ Năm học 2014 – 2015, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”. ( Phần II )



Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 3

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

( PHẦN II )

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1/.Trong chương II của hình học không gian lớp 11, sau phần đường thẳng và mặt
phẳng học sinh sẽ được học các kiến thức về quan hệ song song. Trong hình học phẳng
học sinh cũng đã học các kiến thức về hai đường thẳng song song và nhiều kết quả các
em đã biết vẫn còn đúng trong không gian. Tuy nhiên trong không gian, định nghĩa hai
đường thẳng song song phải được phát biểu đầy đủ vì hai đường thẳng không có điểm
chung có thể song song hoặc chéo nhau. Trong không gian còn có quan hệ song song
giữa đường thẳng và mặt phẳng , giữa hai mặt phẳng ; vì vậy các mối quan hệ trở nên
phức tạp hơn nhiều và có những kết quả trong hình học phẳng học sinh cũng đã học
không còn đúng trong không gian.
2/. Việc vẽ hình không gian và giải các bài toán hình học không gian nói chung là
một khó khăn rất lớn cho học sinh. Sau khi học xong chương I các em mới chỉ biết cách
tìm giao điểm của hai đường thẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng khi chúng có hai
điểm chung và áp dụng vào bài toán tìm thiết diện của hình chóp (hoặc hình đa diện )
cắt bởi mặt phẳng nên bài toán về quan hệ song song là hoàn toàn mới với các em.
Nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản
thường gặptrong chương này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức và trên cơ sở đó
các em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao. Năm học 2013 - 2014
tôi đã thực hiện chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các dạng toán thường gặp về
đường thẳng và mặt phẳng .Trong phạm vi chuyên đề này tôi tiếp tục trình bày
chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan hệ song song
trong không gian.

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1/. Chương trình sách giáo khoa 11 ban Cơ bản và Nâng cao đang sử dụng hiện
nay, phần kiến thức về Hình học Không gian đã được trình bày theo tinh thần giảm tải
về mức độ hàn lâm. Yêu cầu chứng minh các Định lí đã được giảm nhẹ rất nhiều so với
nội dung chương trình phân ban lần trước, các ví dụ minh họa được trình bày trong mỗi

bài học cũng có nội dung đơn giản. Nội dung bài tập cũng được các tác giả chọn lọc
theo hướng tập trung vào các nội dung kiến thức cơ bản nhất, cắt bỏ bớt những bài tập
có nội dung yêu cầu cao so với trình độ của đa số học sinh. Và cũng chính vì thế mà các
bải toán hình học Không gian trong các đề thi Đại học và cao đẳng hiện nay cũng dễ
hơn so với trước. Tuy nhiên với đa số các em học sinh học, Hình không gian vẫn là môn
học khó. Đa số các em nghe giảng lí thuyết có thể hiểu vấn đề nhưng khi áp dụng vào
làm bài tập cụ thể thường không biết cách trình bày bài giải nên rất ngại làm bài.
2/. Từ những lí do trên bản thân tôi nhận thấy cần thiết phải phân loại các bài toán
trong chương quan hệ song song thành một số dạng khác nhau, hướng dẫn thật kĩ cho
học sinh phương pháp giải từng dạng với những bài tập minh họa cụ thể sẽ giúp học
sinh nắm vững kiến thức, bên cạnh những kiến thức về hình học không gian các em đã
học ở phần trước các em sẽ cảm thấy tự tin hơn khi học Hình không gian. Đây không
phải giải pháp hoàn toàn mới với các giáo viên đã dạy Hình học Không gian nhưng tùy
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 4

E
B
D
C
A
M
N
vào đối tượng học sinh, mỗi giáo viên sẽ chọn cho mình cách giảng dạy để học sinh dễ
tiếp thu bài và làm bài tập tốt nhất. Do phân phối chương trình rất hạn chế nên để thực
hiện được giải pháp này tôi sử dụng số tiết học tự chọn trong chương trình cho phép và
các giờ học tăng tiết do hoc sinh tự nguyện đăng kí và nhà trường tổ chức dạy vào buổi
chiều. Kết quả cho thấy tỉ lệ học sinh nắm vững lí thuyết và biết giải bài tập Hình học
không gian thay đổi rất rõ.

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a, b song song với nhau.
Phương pháp :  Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng
minh trong hình học phẳng như: tính chất đường trung bình của tam giác; sử dụng định
lí Talet đảo…
 Chứng minh a, b cùng song song với đường thẳng thứ ba
 Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt
chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai
đường thắng ấy.

Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và
ABD. Chứng minh MN song song với CD .
Giải
Gọi E là trung điểm của AB. Ta có M

EC,
N

ED. Do đó MN và CD đồng phẳng .
Mặt khác vì M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC và ABD nên
1
3
EM EM
EC EC


Suy ra : MN // CD

Ví dụ 2 :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn AB. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a/ Chứng minh MN // CD
b/ Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB và SA // IB.
Giải
a/ MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB, mà AB // CD ( gt)
Suy ra MN // CD
b/ Gọi E = AD

BC .
Trong (SBC) : P = NE

SC . Suy ra P = SC

(AND) .
Ta có:

AB

(SAB)

CD

(SCD)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 5

P
N
M
A
B
E
S
I
D
C
O
N
M
I
A
B
D
C
F
E

AB // CD

SI = (SAB)

(SCD)
Nên SI // AB // CD

Vì SI = 2 MN và AM = NI
nên SABI là hình bình hành .
Vậy SA // IB.




Ví dụ 3 :
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
1
3
AM BN
AC BF

. Chứng minh : MN // DE.
Giải:
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm BD và AO là trung tuyến
của tam giác ABD.
Mặt khác, vì
1
3
AM
AC

, suy ra
2
3
AM
AO


.
Do đó M là trọng tâm tam giác ABD nên DM
đi qua trung điểm I của AB và ta có
1
3
IM
ID


.
Chứng minh tương tự ta có EN đi qua I và
1
3
IN
IE

.
Trong tam giác IDE vì
1
3
IM IN
ID IE

. Suy ra MN // DE

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm
thuộc cạnh AB sao cho AM = 2MB, H là trung điểm AD. Qua M kẻ đường thẳng song
song với AD cắt CH tại I.
a/ Trên đoạn SH lấy điểm G sao cho SG =

1
3
SH. Tìm giao điểm K của BC với (SGM).
b/ Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(GIM).
c/ Chứng minh GM song song với SK.
Giải:
a/ Trong mp(ABCD): BC  MH = K

 
K MH SGM
K BC
  



 K = BC  (SGM)
b/ Trong mp(ABCD): MI  CD = N
 (GIM)  (ABCD) = MN (1)

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 6

I
G
H
A
D
C
S

M
N
Q
P
B
K
Ta có

//
()
()
( ) ( )
AD MN
AD SAD
MN GIM
G SAD GIM











( ) ( ) / /SAD GIM AD   
và  đi qua G
Trong mp(SAD):

SA Q
SD P
  


  


(GIM)  (SAD) = PQ (2)
Khi đó (GIM)  (SAB) = QM (3)
(GIM)  (SCD) = PN (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(GIM) là tứ
giác MNPQ.
c/ Xét HCK có MI //CK 
HM HI
HK HC


Xét CHD có NI //HD 
HI DN
HC DC


Mà
2
3
DN AM
DC AB



2
3
HM
HK


Xét HCK có:

2
()
3
2
()
3
HM
cmt
HK
HG
gt
HS









 GM // SK

Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp :  Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a
nằm trong (P). Nếu đường thẳng a không có sẵn trong (P) thì ta chọn một mặt phẳng (Q)
chứa d và chứng minh a = (P)

(Q) song song với d.
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa d và chứng minh (Q) // (P) từ đó suy ra
d // (P).

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau.
a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song
với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN
song song với mặt phẳng (CEF)
Giải
a/ OO’ không nằm trong mp(ADF) và (BCE).
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 7

N
M
I
O'
O
D
C

A
B
F
E
J
P
I
A
D
C
S
Q
H
B
Ta có OO’ // DF mà DF  (ADF) .
Do đó OO’ // (ADF).
Tương tự OO’ // CE mà CE  (BCE)
Do đó OO’ // (BCE).


b/ Do M là trọng tâm tam giác ABD
nên DM đi qua trung điểm I của AB và ta có
1
3
IM
ID

.
Chứng minh tương tự ta có EN đi qua I và
1

3
IN
IE

.
Trong tam giác IDE vì
1
3
IM IN
ID IE

. Suy ra MN // DE.
Ta có : DE  (CDFE), MN không nằm trong (CDFE) nên MN // (CDFE) hay CEF).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi I là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD , P là trung điểm SC , Q là một điểm thuộc đoạn SD thỏa
2
3
SQ
SD

. Trong mặt phẳng (SAC), gọi J là giao điểm của SI và AP
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : (APQ) và (SBD)
b/ Tìm giao điểm H của SB và mặt phẳng (APQ)
c/ Chứng minh: BD // (APQ)
Giải
a/ Ta có Q , J là 2 điểm chung của (APQ) và (SBD)
Vậy (APQ)

(SBD) = QJ

b/ Trong (SBD) gọi H = SB

QJ

( ) ( )
H SB H SB
H QJ APQ H APQ
  



  



Kết luận: SB

(APQ) = H
c/ J là trọng tâm tam giác SAC nên :
2
3
SJ
SI


Mà
2
3
SQ

SD

nên
SQ SJ
SD SI


BD // JQ
mà JQ

(APQ) nên BD // (APQ)


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a/ Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b/ Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mp(MNP).
c/ Gọi G, G’ là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh GG’ song song
với (SAB).
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 8

Q
G'
G
I
P
O
N

M
D
C
A
B
S
d
J
I
P
M
O
A
D
C
S
B
Giải
a/ MN // (SBC) vì
MN không thuộc (SBC)
và MN // BC  (SBC).
 Tương tự MN // (SAD) vì
MN không thuộc (SAD)
và MN // AD  (SAD).


b/  SB // (MNP) vì:
(MNP) không chứa SB
và SB // PM  (MNP).
 SC // (MNP) vì:

(MNP) không chứa SC
và SC // NQ với Q là trung điểm SD ; NQ  (MNP).

c/ Gọi I là trung điểm của BC ta có G  AI và G’ SI .
Vì G, G’ là trọng tâm các tam giác ABC và SBC nên ta có
'1
3
IG IG
IA IS

.
Do đó GG’ // SA (SAB)
Mặt khác GG’ không thuộc (SAB). Vậy GG’ // (SAB).

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O, gọi M, P lần
lượt là trung điểm SC, AD.
a/ Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD)
b/ Tìm giao điểm I của AM với (SBD)
c/ Gọi J là giao điểm của BP và AC. Chứng minh IJ song song với (SAB)
Giải
a/ Vì:

//
( ), ( )
( ) ( )
AD BC
AD SAD BC SBC
S SAD SBC









 (SBC)  (SAD) = d.
d qua S và d // BC // AD
b/ Trong (SAC) có AM  SO = I
()
I AM
I SO SBD







 AM  (SBD) = I
c/ Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
2
3
SI
SO


Trong tam giác ABD có J là trọng tâm
2
3

AJ
AO


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 9

K
H
E
B
D
N
C
A
F
M
I
Trong tam giác SOA có :
2
3
AJ SI
AO SO

IJ // SA
Vì:
()
/ / , ( )
IJ SAB

IJ SA SA SAB






IJ // (SAB)

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AC và AD, M là một
điềm tùy ý trên cạnh AB nhưng không là trung điểm đoạn AB.
a/ Tìm giao điểm N của đường thẳng BD với (MEF)
b/ Gọi I là điểm trên đoạn MA sao cho IC cắt ME tại H và ID cắt MF tại K . Tìm
giao tuyến của (MEF) và (ICD)
c/ Chứng minh HK // (BCD)
Giải
a/ Trong (ABD) , gọi N = MF

BD

()N MF MEF
N BD






()N MEF
N BD







Vậy N = BD

(MEF)

b/ H K = (MEF)

(ICD)
c/
/ / ( à ác CD)
()
()
( ) ( )
EF CD doEFl DTBtamgi A
EF MEF
CD ICD
MEF ICD HK













HK//EF //CD
Ta có :
()
/ / ( )
()
HK BCD
HK CD cmt
CD BCD









HK // (BCD)

Dạng 3 : Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :  Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt
song song với mặt phẳng kia.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P,
Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD, AB, ON, SB.
a/ Chứng minh mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC)

b/ Chứng minh PQ song song với mặt phẳng (SBC)
c/ Chứng minh mặt phẳng (OMR) song song với mặt phẳng (SCD)
Giải
a/  OM là đường trung bình của tam giác ASC nên OM // SC.
Suy ra OM // (SBC) vì OM không thuộc (SBC) và OM // SC  (SBC).
 ON là đường trung bình của tam giác DSB nên ON // SB.
Suy ra ON // (SBC) vì ON không thuộc (SBC) và ON // SB  (SBC).
Vậy (OMN) // (SBC)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 10

Q
P
M
N
R
O
A
D
B
C
S
D
C
A
B
F
E
M

M'
N
N'
J
K
I
J'
I'
K'
A
C
B
S
A'
C'
B'
b/ Q  NO  (OMN)  Q(OMN)
Ta lại có : OP // MN  P  (OMN)
Vậy : PQ  (OMN) , mà (OMN) // (SBC)
Do đó : PQ // (SBC)
c/ MR // AB  MR // DC, OR // SD nên
(OMR) // (SCD)



Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy M, N sao cho
AM BN
AC BF


. Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’,
N’.
a/ Chứng minh rằng : (CBE) // (ADE).
b/ Chứng minh rằng : (MNM’) // (DEF) và MN // (DEF).
Giải:
a/ Vì
//
//
BE AF
BC AD



(CBE) // (ADF)
b/ MM’ // AB, NN’ //AB
 MM’ // NN’// CD // EF
Mặt khác
'
'
AM AM
AC AD
BN AN
BF AF












''AM AN
AD AF

 M’N’ // DF
Do đó : mp(MM’, NN’) // mp(DC, FE) . Hay : mp(MNM’) // mp(DEF) .
Vì MN  mp(MNM’) nên MN // mp(DEF).
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC . Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,
SBC, SCA.
a/ Chứng minh mặt phẳng (IJK) song song với mặt phẳng (ABC)
b/ Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp S.ABC sao cho KM // (ABC)
Giải:
a/ Gọi I’, J’ K’ lần lượt là giao điểm của
các cặp đường thẳng SI và AB, SJ và BC,
SK và CA. Khi đó I’, J’ K’ lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC và CA.
Ta có
2
' ' ' 3
SI SK SJ
SI SK SJ
  

 IK // I’K’, KJ // K’J’
 (IJK) // (I’J’K’)
Mặt khác (I’J’K’) trùng (A’B’C’)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 11

t
M
H
K
A
D
B
C
S
Vậy (IJK) // (ABC)
b/ Ta có KM // (ABC) khi và chỉ khi KM thuộc mp(P) qua K và song song với
(ABC). Vậy KM // (ABC) khi và chỉ khi M thuộc (P).
Gọi A’, B’ C’ lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SA, SB, SC.
Khi đó A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’A’ // CA.
Theo giả thiết M chỉ nằm trong hình chóp S.ABC, nên tập hợp các điểm M sao cho
KM // (ABC) là tam giác A’B’C’.


Dạng 4 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp : Ngoài phương pháp “ tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng” ta có thể
vận dụng định lí 4 như sau :
 Nếu hai mặt phẳng (P) , (Q) có một điểm chung M và lần lượt chứa
hai đường thẳng song song a và b thì giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua M
và song song với a và b.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA, SB

a/ Chứng minh HK song song với CD.
b/ Gọi M là môt điểm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (HKM) và (SCD).
c/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Giải
a/ Vì HK là đường trung bình của tam giác SAB
nên ta có HK // AB (1)
Theo giả thiết AB // CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra HK // CD
b/ Hai mặt phẳng (HKM) và (SCD) có
một điểm chung M và lần lượt chứa hai
đường thẳng song song HK và CD nên giao
tuyến của (HKM) và (SCD) là đường thẳng
Mt qua M và song song với CD.
c/ Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có một điểm chung S và lần lượt chứa hai đường
thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua
S và song song với AB (hoặc CD).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABH) và (CDE).
Giải
a/ Vì AD // BC nên hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)có giao tuyến là đường thẳng a đi
qua S và song song với AD.
b/ Gọi P = ED

AH
Q = BG


CF
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 12

a
Q
P
F
G
H
E
D
C
A
B
S
l
Q
P
M
N
B
I
C
A
D
Hai mặt phẳng (ABH)và (CDF) lần lượt
chứa AB và CD song song với nhau nên
có giao tuyến PQ // AB // CD

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC và P là một
điểm bất kì trên đoạn BD.
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
b/ Gọi Q là giao điểm của AD và (MNP). Xác định vị trí của điểm P để MNPQ là
hình bình hành.
c/ Trường hợp MQ và NP cắt nhau tại I, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(MNP) và (ABI).
Giải
a/ Vì
   
//
MNP
MA
P BD
NB
A



 (MNP)

(ABD )=PQ // AB // MN
Với Q  AD
b/ Ta có PQ // MN và MNPQ là hình thang.

Muốn MNPQ là hình bình hành thì cần có
thêm điều kiện
1
2
PQ MN AB

nghĩa là PQ phải là đường trung bình của tam giác DAB.
Khi đó P là trung điểm của đoạn BD.
c/ Vì
   
//
MNP
MA
I BI
NB
A


 (MNP)  (ABI ) = l // AB // MN ( l đi qua I )

Dạng 5 : Tìm thiết diện song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước .
Phương pháp : Để tìm thiết diện của hình chóp (hoặc hình đa diện) song song với hai
đường thẳng chéo nhau cho trước ta sử dụng kết quả sau:
 Nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a và mặt phẳng (P)
cắt mặt phẳng (Q) chứa a thì giao tuyến d của (P) và (Q) song song với a.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng bất kì song song với AC và BD đi qua
điểm P trên BC , cắt các cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S.
a/ Chứng minh PQRS là hình bình hành.
b/ Xác định vị trí của Q để PQRS là hình thoi.

Giải
a/ Gọi
()

là mặt phẳng song song với AC và BD. Vì
()

// AC nên
()

cắt hai mặt
phẳng (ABC) và (ADC) theo hai giao tuyến PQ // RS // AC
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 13

G
E
K
I
A
B
D
C
S
M
N
x
P
Q

R
S
C
D
A
B
K
P
Q
R
S
C
D
A
B
Mặt khác
()

// BD nên
()

cắt hai mặt phẳng
(ABD) và (CBD) theo hai giao tuyến
QR // PS // BD
Tứ giác PQRS có PQ // RS và QR // PS
Nên tứ giác là hình bình hành.

b/ Muốn hình bình hành PQRS là hình thoi
ta cần có RQ = SR
Kéo dài DQ cắt đường thẳng đi qua A và song song với BD tại K

Ta có
RQ DR DQ
AK DA DK


Mặt khác
SR DR DS
CA DA DC


Do đó
RQ SR
AK CA


PQRS là hình thoi
RQ SR AK CA   


Vậy : Muốn hình bình hành PQRS
là hình thoi ta lấy trên đường thẳng
Ax // BD một điểm K sao cho AK = CA
và tìm được điểm Q = AB  DK.
Qua điểm Q ta có mặt phẳng
()

song song với AC và BD cắt tứ diện theo thiết diện là
hình thoi.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và

CD ( AB > CD). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng
tâm tam giác SAD.
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (IKG).
b/ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (IKH). Thiết diện là hình gì? Tìm điều
kiện với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
Giải
a/ Vì
   
//IH
GI
A
AD
B
KG S



 (IKG)

(SAD )=MN // AB // IK
b/ Nối IK, KN, NM, MI ta được thiết diện
là hình thang IKNM.
Ta có : MN //AB suy ra
2
3
MN SG
AB SE


với E = AB


SG
Do đó
2
3
MN AB

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 14

x
y
K
N
P
M
O
A
B
D
C
S
I
Q
Mặt khác
1
()
2
IK AB CD

Muốn hình thang IKMN là hình bình hành thì MN = IK
Ta có MN = IK
21
()
32
AB AB CD  
3AB CD



Dạng 6 : Tìm thiết diện song song với một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp : Để tìm thiết diện của hình chóp (hoặc hình đa diện )song song với một
mặt phẳng cho trước ta sử dụng kết quả sau:
 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ
ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh AB lấy điểm M với
AM = x. Gọi
()

là mặt phẳng qua M và song song với (SAD) , cắt SB, SC và CD lần
lượt tại N, P, Q.
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
b/ Tìm tập hợp các điểm I với I = MN  PQ khi M chạy trên đoạn AB.
c/ Cho góc
0
90SAD 
và SA = a. Hãy tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a và x.

Giải
a/ Vì
()

// (SAD) nên
()

song song với SA, AD,
SD.

()

// AD nên
()

cắt (ABCD) theo giao tuyến MQ
// AD và cắt (SBC) theo giao tuyến PN // AD.

()

// SA nên
()

cắt (SAB) theo giao tuyến
MN // SA

()

// SD nên
()


cắt (SCD) theo giao
tuyến PQ // SD

Vậy Thiết diện MNPQ là hình thang vì có PN // QM.
b/ MN  mp(SAB), PQ  mp(SCD)
(SAB)

(SCD) = SK // AB // CD.
Vậy tập hợp các điểm I = MN  PQ khi M chạy trên đoạn AB là đoạn SK với
SK // AB // CD. Và SK = AB = a.
c/ Nếu
0
90SAD 
thì MNPQ là hình thang vuông tại M và N. Ta có
 
22
1
2
MNPQ IMQ IPN SAD IPN
S S S S S a PN
   
     

Ta có
PN SN AM PN x
PN x
BC SB AB a a
     

Vậy
 
22
1
2
MNPQ
S a x

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 15

I
O
A
B
D
C
S
N
M
P
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và có
AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng
()

di động song song
với (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC.
a/ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
()



b/ Hãy tính diện tích của thiết diện theo a , b và x = AI.
Giải
a/
()

// (SBD) nên
()

cắt các mặt phẳng (ABCD )
(SBC), (SCD) theo các giao tuyến MN // BD
NP // SB, NP // SD.
Thiết diện là tam giác đều MNP có các cạnh
song song từng đôi một với các cạnh của tam giác
đều SBD có cạnh bằng b.
b/ Ta có
22
33

44
SBD
S BD b



Vì
2
a
I OC x a   

     
2
22
22
2
2
2
2
MNP
SBD
AC AI a x a x
S MN CI
S BD CO CO a
a


  

   
    
   

   





Mà

2
3
.
4
SBD
Sb


nên
   
22
2
2
2
22
43
3
. . .
4
MNP SBD
a x b a x
MN
S S b
BD a a



  



với
2
a
xa






CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm
SA, CD
a) Chứng minh : (OMN) // (SBC)
b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB)
c) Gọi G = SI ∩ BM, H là trọng tâm ΔSCD. CMR: GH // (SAD)
d) Gọi J là trung điểm AD, E thuộc MJ. Chứng minh : OE // (SCD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm
BC, CD, SC.
a) Chứng minh : (MNP) // (SBD)
b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP)
d) Gọi I = AP ∩ SO, J = AM ∩ SO. CMR: I J // (MNP)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 16

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB,

BC
a) Chứng minh : I J // (SCD), (I JK) // (SCD)
b) Chứng minh : (I JK) // SD
c) Tìm giao điểm AD và (I JK)
d) Xác định thiết diện hình chóp và (I JK)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung
điểm BC, SB; P thuộc AD sao cho 2PD = PA.
a) Chứng minh : MN // (SCD).
b) Tìm giao điểm SA và (MNP)
c) Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC ∩ BD)
d) Gọi G là trọng tâm ΔSAB. Chứng minh : GP // (SBD)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I lần lượt là
trung điểm BC, AD, SD, SB.
a) Chứng minh : FO // (SBC).
b) Chứng minh : AI // (QEF).
c) Tìm giao điểm J của SC và (QEF). Chứng minh : (I JE) // (ABCD)
d) Tìm thiết diện hình chóp và (I JF). Thiết diện là hình gì?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm
SB, SC; lấy điểm P thuộc SA.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao điểm SD và (MNP)
c) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình gì?
d) Gọi J thuộc MN. Chứng minh : OJ // (SAD)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn). Gọi I, J, K là trung điểm
AD, BC, SB.
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (I JK)
b) Tìm giao điểm M của SD và (I JK)
c) Tìm giao điểm N của SA và (I JK)
d) Xác định thiết diện của hình chóp và (I JK). Thiết diện là hình gì?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm SB,

BC, SD
a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP).
b) Tìm giao điểm của CD và (MNP)
c) Tìm giao điểm của AB và (MNP)
d) Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy ra thiết diện của hình chóp với mp
(MNP).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, AD // BC, AB không song song với CD. Gọi M, E, F là
trung điểm AB, SA, SD.
a) Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD).
b) Tìm giao điểm BC và (MEF)
c) Tìm giao điểm SC và (MEF)
d) Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO và (MEF).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm OB, SO, BC.
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 17

A
D
C
B
S
d
I
H
K
a) Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN)
b) Tìm giao điểm E của SA và (MNP)
c) Chứng minh : ME // PN

d) Tìm giao điểm MN và (SCD)
e) Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNP)

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
- Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi thấy nếu cố gắng hướng dẫn
cẩn thận phương pháp giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian cho
học sinh lớp 11 thì các em dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn và trên cơ sở đó các em sẽ tự
mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao.
- Trong năm học qua khi tiến hành giải pháp này tôi đã giảng dạy trực tiếp tại hai
lớp 11A02 và 11A06 sau đó theo dõi kết quả thu được qua hai bài kiểm tra cụ thể như
sau
Bài 1 ( thời gian 20 phút)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD . I là điểm trên
cạnh SC (I ≠ S, I ≠ C).
a/ Tìm giao tuyến của (SAB) và SCD) ; (SAD) và (SBC)
b/ Tìm K là giao điểm của SB với ((ADI)
c/ Xác định thiết diện của hình chóp với mp(ADI). Thiết diện là hình gì .

Thang điểm :
- Hình vẽ câu a : 1 điểm
- Câu a : 3 điểm
- Câu b : 2 điểm
- Câu c : 4 điểm






Kết quả cụ thể

Lớp
Điểm 1- 2
Điểm 3 - 4
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
11A02
(45học sinh)
2
5
8
18
12
11A 06
(44học sinh)
4
7
12
17
4
Lớp 11A02 là lớp chọn nên số học sinh đạt điểm tốt nhiều hơn
Bài 2 ( thời gian 20 phút)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm thuộc cạnh
AB sao cho AM = 2MB, H là trung điểm AD. Qua M kẻ đường thẳng song song với
AD cắt CH tại I.
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 18

K
P
Q
G
I
N
H
M
C
A
B
D
S
a/ Trên đoạn SH lấy điểm G sao cho SG =
1
3
SH. Tìm giao điểm K của BC với
mp(SGM).
b/ Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(GIM).
c/ Chứng minh GM song song với SK.

Thang điểm :
- Hình vẽ câu a : 1 điểm
- Câu a : 3 điểm
- Câu b : 3 điểm
- Câu c : 3 điểm

Kết quả cụ thể

Lớp
Điểm 1- 2
Điểm 3 - 4
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
11A02
(45học sinh)
0
2
8
20
15
11A 06
(44học sinh)
0
4
13
18
9

So với lần kiểm tra trước tỉ lệ điểm kém giảm rõ rệt măc dù mức độ đề yêu cầu
cao hơn.

Tuy nhiên, các dạng và phương pháp tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và đầy đủ, chắc chắn
còn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt hơn. Rất mong có sự đóng góp của quí
đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Tổ Toán Trường THPT Ngô Quyền đã rất

nhiệt tình góp ý kiến để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này.


Người thực hiện





Lê Thanh Hà


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 19

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hoà, ngày 18 tháng 05 năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2014 - 2015
––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian ( Phần II )

Họ và tên tác giả: Lê Thanh Hà Chức vụ: Tổ Trưởng tổ Toán tin
Đơn vị: Trường THPT Ngô Quyền – Đồng Nai.
Lĩnh vực:
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng : Tại đơn vị  Trong ngành 
1. Tính mới
- Đề ra giải pháp hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị
mình,nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả
cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị
mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung : Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu
của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm
này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 20

giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh
nghiệm cũ của chính tác giả.

NGƯỜI THỰC HIỆN
SKKN






Lê Thanh Hà




XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN

Lê Văn Đắc Mai
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG






Nguyễn Duy Phúc