Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số thuật toán trong số học ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ THUẬT TOÁN TRONG SỐ HỌC ỨNG DỤNG

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

HÀ NỘI, 2018


Cơng trình được hồn thành tại:
Trường đại học Thăng Long

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS TSKH HÀ HUY KHOÁI

Phản biện 1:
Phản biện 2:

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tại:
Trường đại học Thăng Long
Vào hồi 09 giờ 00 ngày 28 tháng 12 năm 2018


Contents
Trang

Mở đầu

1

Chương 1 Thuật toán và tư duy thuật toán
1.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tư duy thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
2
3

Chương 2 Một số thuật tốn số học thơng dụng
2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Hệ thặng dư và lớp thặng dư . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Phân số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số thuật tốn tìm ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Thuật toán Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Thuật toán J.Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Thuật toán Euclid mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Một số thuật tốn phân tích số nguyên thành tích các thừa số
nguyên tố đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phân tích số nguyên bằng sàng Erathostenes . . . . . .
2.3.2 Pollard’s rho method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 Đường cong Eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Phương pháp của Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Phương pháp Squfof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Thuật toán Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Thuật toán Sàng bậc hai-Quadratic Sieve . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
6
6
7
7
7
7
9

.
.
.
.
.
.
.
.

11
11
11
13
15
16
16
17

iii


Chương 3 Hệ mã khóa RSA, chữ ký số và hàm băm
3.1 Hệ mã hóa RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tạo khóa, mã hóa, giải mã của hệ RSA . . . . . . .
3.3 Chữ ký điện tử-Chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hàm băm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Phương thức mã hóa MD5 . . . . . . . . . .
3.4.2 Phương thức mã hóa SHA1 . . . . . . . . . .

mật
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

mã
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

19
19
19
20
21
21
25

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

iv


Mở đầu
Số học là một môn khoa học lý thú, hấp dẫn những người học và làm toán,
các giáo viên, học sinh trên khắp thế giới. Mặc dù khoa học kỹ thuật ngày
nay rất phát triển nhưng có những bài tốn từ thời cổ đại vẫn cịn giá trị đến
tận bây giờ và việc đi tìm một thuật tốn phân tích số nguyên ra tích các thừa
số nguyên tố là một trong những thuật tốn như vậy. Chính nhờ độ khó của
việc phân tích số ngun thành tích các thừa số nguyên tố đã là cơ sở cho sự
ra đời của mật mã học.
Luận văn này trình bày một số thuật tốn số học và ứng dụng. Thuật
tốn phân tích một số nguyên ra các thừa số nguyên tố bắt đầu từ sàng
Eratosthennes, phương pháp RHO của Pollard, phân tích Fermat, phương
pháp Squfof, thuật toán Dixon, thuật toán sàng bậc hai. Luận văn được chia
làm ba chương:
1. Chương 1: Thuật tốn và tư duy thuật tốn trình bày những khái niệm
cơ bản về thuật toán, độ phức tạp và tư duy thuật tốn.
2. Chương 2: Một số thuật tốn thơng dụng trình bày một số kiến thức cơ
bản về một số thuật tốn số học thơng dụng.
3. Chương 3: Hệ mã khóa RSA và chữ ký số trình bày một số ứng dụng

của thuật tốn phân tích số ngun thành tích các thừa số nguyên tố vào
mật mã và tạo chữ ký số.

1


Chương 1
Thuật tốn và tư duy thuật tốn
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về thuật toán, độ phức tạp
và tư duy thuật toán. Nội dung của chương này được hình thành từ tài liệu
[1].

1.1

Thuật tốn

Định nghĩa 1.1. Thuật toán là một quy tắc, thao tác để với những dữ liệu
ban đầu đã cho, ta tìm được lời giải cho bài toán sau một khoảng thời gian hữu
hạn.
Trong thuật tốn cần có:
Đầu vào: input.
Đầu ra: output.
Thuật tốn phải bao gồm nhiều bước và phải thỏa mãn yêu cầu sau:
1. Tính hữu hạn
2. Tính xác định
3. Tính hiệu quả
4. Tính phổ dụng

1.2

Độ phức tạp của thuật tốn

Để ước lượng độ phức tạp của thuật tốn, ta dùng khía niệm bậc O-lớn
Định nghĩa 1.2. Giả sử f(n) và g(n) là hai hàm xác định trên tập hợp các số
nguyên dương. Ta nói f(n)có bậc O-lớn của g(n) và viết: f(n)= O(g(n)) hoặc
f=O(g), nếu tồn tại số C ̸= 0, sao cho với n đủ lớn, các hàm f(n) và g(n) đều
f (n)
= C.
n→+∞ g(n)

dương và lim

2


Nếu thuật tốn có thời gian thực hiện f(n) = O(g(n)) ta nói thời gian thực
hiện là cấp g(n).
Chúng ta cần lưu ý thêm một điểm sau đây. Trong thực tế chúng ta cịn
nhắc đến thuật tốn ”xác suất” tức là thuật toán phụ thuộc vào một hay
nhiều tham số ngẫu nhiên. Những ” thuật tốn”này, về ngun tắc khơng
được gọi là thuật tốn, vì chúng có thể, với xác suất quá bé, không bao giờ
kết thúc. Tuy nhiên, thực nghiệm chỉ ra rằng, các thuật toán xác suất thường
hữu hiệu hơn các thuật tốn tất định. Thậm chí, trong rất nhiều trường
hợp, chỉ có các thuật tốn như thế là sử dụng được. Ta định nghĩa thêm:
Lx [u; v] = exp(v(lnx)u .(lnlnx)1−u ). Trong suốt luận văn hàm Ln được dùng để
tính thời gian chạy.
Ta có: Ln [0; v] = exp(v(lnlnn)) = (lnn)v và Ln [1; v] = exp(v(lnn)) = nv . Thời
gian chạy Ln [u, v] với u < 0 và v là hằng số là thời gian mũ(subexponential
time.)

1.3

Tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán là sự tổng hợp các năng lực tư duy để giải quyết vấn đề
theo một quy trình xác định hướng đến một tác nhân tương thích (tác nhân
ở đây muốn nói là con người, máy tính, hay bất cứ một thiết bị nào có chức
năng tính tốn tự động có thể hiểu và thực hiện được thuật tốn).
Tư duy thuật tốn ln định hướng vào việc mở ra một con đường lớn, một
giải pháp vạn năng cho việc giải quyết hàng loạt vấn đề. Tư duy thuật toán
giúp làm thay đổi quan điểm nhìn nhận vấn đề và thay đổi thói quen làm tốn
cho học sinh thay vì làm theo mẹo mực biến đổi thì sẽ làm tốn theo cơ bản
và có tính ứng dụng rộng rãi, tổng quát cho nhiều trường hợp.
Thuật tốn có các đặc điểm[1]:
Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định
Mỗi bước là một thao tác sơ cấp, trường hợp đặc biệt cũng có thể là một
thuật tốn đã biết. Các bước rõ ràng, thao tác chính xác (trong cùng một điều
kiện, hai bộ xử lí cùng thực hiện một thuật tốn thì phải cho ra cùng một kết
quả).
Có tính kết thúc Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải
quyết vấn đề một cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau).[1]

3


Chương 2
Một số thuật tốn số học thơng
dụng
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản của số học và một số thuật
tốn số học thơng dụng. Nội dung của chương này cơ bản được hình thành từ

các tài liệu [2] và [3].

2.1

Kiến thức cơ bản

Mục này trình bày một số khái niệm cơ bản số học như tính chia hết, số
nguyên tố, đồng dư, thặng dư, ... cần thiết cho nội dung của luận văn.

2.1.1

Tính chia hết

Định nghĩa 2.1. Chúng ta ký hiêu: N: tập hợp của các số tự nhiên.
Z+ = {0, 1, ...}: tập các số nguyên không âm.
Z: tập các số nguyên.
Q: tập các số hữu tỉ.
R, R1 : tập các số thực.
Định nghĩa 2.2. Với hai số nguyên a, b, a ̸= 0 ta nói a chia hết b đối với số
nguyên c nào đó, nếu b = ac và ký hiệu a|b. Ta cũng nói b chia hết cho a, hay
.
là bội của a và viết b..a.
Định lý 2.1. Với mọi số nguyên dương a, b tồn tại duy nhất cặp số nguyên
không âm (q, r) sao cho:
b = aq + r, r < a.

Định nghĩa 2.3. Trong định lý trên, khi a là số chia hết b thì số q được gọi là
thương(quotient). Số r được gọi là số dư(remainder).

4

Nhận xét 2.1. Thuật tốn chia có thể mở rộng ra tập số nguyên Z như sau.
Với mọi số nguyên a, b, a ̸= 0, tồn tại duy nhất cặp số nguyên (q, r) ∈ Z × Z,
sao cho
0 ≤ r < |a|.

b = aq + r,

2.1.2

Số nguyên tố

Định nghĩa 2.4. Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, khơng chia hết cho số
ngun dương nào ngồi 1 và chính nó. Số ngun lớn hơn 1 khơng phải số
ngun tố được gọi là hợp số.
Các tính chất của số nguyên tố:
Định lý 2.2. (Euclid)
i) 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số chẵn duy nhất.
ii) Số các số nguyên tố là vô hạn.
Định lý 2.3. Mọi hợp số n đều có ước ngun tố khơng vượt q

√

n.

Với mỗi số thực dương x cho trước, ta kí hiệu π(x) là số các số nguyên tố
không vượt quá x. Khi đó, ta có:
Định lý 2.4. lim

n→+∞

π(x)
x
logx

=1

Như vậy, số các số nguyên tố không vượt quá

√

n là vào khoảng

√
n
√
log n

=

√
2 n
logn .

Định lý 2.5. Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy
nhất thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó, các thừa số viết với thứ tự
không giảm.

2.1.3

Đồng dư

Trong phần này chúng ta hiểu các chữ ký hiệu thay số là các số nguyên.
Định nghĩa 2.5. Giả sử n là một số nguyên dương. Ta nói, hai số nguyên
a, b là đồng dư với nhau theo modulo n nếu a − b chia hết cho n và ký hiệu
a ≡ b(mod n).

Hệ thức trên gọi là đồng dư thức. Như vậy, a ≡ b(mod n) khi và chỉ khi tồn
tại số nguyên k, sao cho: a = b + kn. Nếu a ̸≡ b(mod n) có nghĩa là a − b khơng
chia hết cho n.
.
Định nghĩa 2.6. Nếu a ≡ 0(mod n) thì ta nói a chia hết cho n và ký hiệu a..n.
Chúng ta cũng nói n là ước của a. Ước chung lớn nhất của hai số a, b được ký
hiệu là gcd(a, b).
5


Định nghĩa 2.7. (Nguyên tố cùng nhau). Hai số nguyên a, b được gọi là
nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b) là 1.
Định nghĩa 2.8. (Phần tử nghịch đảo). Nếu hai số nguyên a và n nguyên tố
cùng nhau, tồn tại số nguyên x sao cho: a.x ≡ 1(mod n) thì ta gọi x là phần tử
nghịch đảo của a trong phép modulo cho n và ký hiệu là a−1 .

2.1.4

Hệ thặng dư và lớp thặng dư

Định nghĩa 2.9. Giả sử m và r là số tự nhiên và 0 ≤ r ≤ m − 1. Ký hiệu Ar
là tập hợp tất cả các số nguyên đồng dư với r theo modulo m và được gọi là lớp

thặng dư modulo m. Mỗi phần tử của Ar được gọi là một thặng dư modulo m.

2.1.5

Phân số liên tục

Định nghĩa 2.10. Cho a, b là các số nguyên, b > 0. Thực hiện thuật toán
Euclid ta được:
a = ba0 ,

0 ≤ c0 < b

b = c 0 a1 + c 1 ,

0 ≤ c1 < c 0

···
cn−3 = cn−2 an−1 + cn−1 ,

0 ≤ cn−1 < cn−2 ,

cn−2 = cn−1 an .

Như vậy, phân số
a
b

= a0 +

c0

b

= a0 +

a
b
1
b
c0

có thể viết:
= · · · = a0 +

1
a1 +

1
···+an−1 + a1
n

Cách viết trên được gọi là biểu diễn số hữu tỷ

.
a
b

dưới dạng phân số liên tục.

Chúng ta quan tâm đến các định lý sau(phần chứng minh xem [1])
Định lý 2.6. Giả sử a0 , a1 , · · · , an , · · · là các số thực, trong đó a1 , · · · , an > 0.

Đặt b0 = a0 , b1 = a1 b0 + 1, q0 = 1, q1 = a1 , và với mỗi k ≥ 2,
bk = ak bk−1 + bk−2 ,

qk = ak qk−1 + qk−2 .

Khi đó, i) Ck = [a0 ; a1 , · · · , ak ] = qbkk .
ii) Với mỗi k ≥ 1, ta có bk qk−1 − bk+1 qk = (−1)k+1 .
Định lý 2.7. Giả sử n là số khơng chính phương và qbkk là các phân số hội tụ
√
√
riêng của n. Ta đặt α0 = n, và các số αk , Qk , Pk được định nghĩa như sau:
√
Pk + n
αk =
,
Qk
ak = [αk ],

Pk+1 = ak Qk − Pk ,
Qk =

2 )
(n − Pk+1
.
Qk

6


Khi đó, ta có: b2k − nqk2 = (−1)k+1 Qk+1 .

Hệ quả 2.1. Giả sử n là số tự nhiên khơng chính phương. Gọi qbkk là các phân
√
số hội tụ riêng của n. Thế thì, đồng dư b2k mod n lấy theo thặng dư tuyệt đối
√
bé nhất, có giá trị tuyệt đối bé hơn 2 n.

2.2

Một số thuật tốn tìm ước chung lớn nhất

2.2.1 Thuật toán Euclid
Định lý 2.8. Với mọi số nguyên a ≥ 0; b > 0 thì gcd(a, b) = gcd(b, a mod b).
Thuật toán Euclid:a hoặc b bằng 0 trả về gcd(a,b)= 0.
function gcd(a,b)
begin
while b ̸= 0 do
begin
r := a mod b; a := b; b := r;
end;
Result:=a
end;

2.2.2

Thuật toán J.Stein

Năm 1967 J.Stein xây dựng một thuật tốn khá thuận tiện để tìm UCLN
trong trường hợp các số đã cho viết dưới dạng nhị phân. Thuật toán trên dựa
trên những nhận xét đơn giản sau:
1. gcd(a, 0)=a trong trường hợp đặc biệt thì gcd(0, 0) = 0

)
(
2. Nếu a, b là các số chẵn thì (a, b) = 2 a2 , 2b ;
( )
3. Nếu a chẵn, b lẻ, thì (a, b) = a2 , b ;
4. Nếu a, b đều lẻ thì a − b chẵn và | a − b |< max (a, b) . (a, b) = (a − b, b)
Định lý 2.9. Nếu N có các ước khơng tầm thường s, t với N = s.t và s ≤ t,
√
thì s ≤ N .

2.2.3

Thuật toán Euclid mở rộng

Thuật toán Euclid mở rộng hơn thuật toán Euclid ở điểm trong trường hợp
a và b nguyên tố cùng nhau gcd(a, b) = 1 với b ≥ a > 0 thì thuật tốn cho biết
thêm a−1 của a trong phép chia modulo b tức là: a.a−1 ≡ 1(mod b)
7


Định nghĩa 2.11. Nếu số nguyên dương a và số nguyên b nguyên tố cùng
nhau thì tồn tại duy nhất một số x ∈ {0, 1, 2, · · · , b − 1} sao cho ax ≡ 1(mod b).
Số x này được gọi là nghịch đảo của a theo modulo b (hoặc ngược lại, nói a là
nghịch đảo của x (mod b).
Ký hiệu
a−1 ≡ x(mod b)

hoặc
x−1 ≡ a(mod b).

Tìm nghịch đảo của a theo modulo b. Ta có:
.
(ax − 1) .. b ⇔ ax − 1 = by ⇔ ax − by = 1.
Vậy, nghịch đảo của a theo modulo b tồn tại khi và chỉ khi gcd(a, b) = 1.
Thuật toán Euclid mở rộng

Việc xác định các số nguyên x và y với ax + by = gcd(a, b) được biết đến như
là thuật toán Euclid mở rộng. Ta có:
gcd(x, 0) = x.
gcd(x, z) = gcd(z, x mod z) nếu z ̸= 0.
Nếu x ≥ z và phần dư không âm nhỏ nhất được thay thế, cặp ’mới’ (z, x
mod z) là nhỏ hơn so với cặp cũ (x, z).
Cho hai số ngun khơng âm u,v tìm (u1 ; u2 ; u3 ) sao cho:
(u, v) = u3 = uu1 + uu2 .

Trong tính tốn, ta thêm các ẩn phụ (v1 ; v2 ; v3 ), (t1 ; t2 ; t3 ) và ln có trong
mọi bước các đẳng thức sau:
ut1 + vt2 = t3 , uv1 + vv2 = v3 ; uu1 + vv2 = v3

Đặt (u1 ; u2 ; u3 ) ← (1, 0, u), (v1 ; v2 ; v3 ) ← (0, 1, v)
Kiểm tra v3 = 0 thuật toán kết thúc.
[ ]
Đặt:q ← uv33 , và sau đó ta đặt
(t1 ; t2 ; t3 ) ← (u1 ; u2 ; u3 ) − q (v1 ; v2 ; v3 ) ,
(u1 ; u2 ; u3 ) ← (v1 ; v2 ; v3 ) ,
(v1 ; v2 ; v3 ) ← (t1 ; t2 ; t3 ) và quay về bước 2.

Giả sử rằng, 0 ≤ x < z chúng ta có: r1 = 0, s1 = z, r2 = 1, và s2 = x.
8

Dòng thứ (i + 1) theo sau từ thứ (i − 1) và i bằng cách khấu trừ lần thứ i
càng nhiều càng tốt từ lần thứ (i − 1), mà khơng làm cho phía tay phải của kết
quả của dịng thứ (i + 1) là âm. Q trình chấm dứt ngay khi một số si = 0;
nếu sk = 0 sau đó sk−1 = gcd(x, z) và nếu sk−1 = 1, thì (rk−1 ≡ x1 mod z)
Thuật tốn Euclid mở rộng: Cho a, b không đồng thời bằng 0, trả về cặp
(x,y): a.x + b.y = gcd(a, b). Về tư tưởng là q trình tính cặp số (x, y) vào trong
vịng lặp chính của thuật tốn Euclid
function Extended gcd(a, b);
Begin
(xa , ya ) := (1, 0);
(xb , yb ) := (0, 1);
while

b ̸= 0

do

Begin
[a]

q :=

b
r := a mod b; a := b; b := r
(xr , yr ) := (xa , ya ) − q.(xb , yb )
(xa , ya ) := (xb , yb );
(xb , yb ) := (xr , yr );

end

result := (xa , ya )

end

2.2.4

Định lý Fermat nhỏ

Định lý 2.10. Nếu p là một số ngun tố, thì với số ngun a bất kỳ, khơng
chia hết cho p thì ap−1 − 1 sẽ chia hết cho p hay ap−1 ≡ 1 mod p.
Định nghĩa 2.12. Số Carmichael: Hợp số n là số Carmichael nếu nó là số
giả nguyên tố Fermat với mọi cơ sở a: ƯCLN (a, n) = 1.
2

• Gần đây đã chứng minh được có vơ số số Carmichael. Có ít nhất x 7 trong
số chúng ≤ x, một khi x đủ lớn. Điều này làm mất hiệu lực của phép
thử dựa trên định lý nhỏ Fermat: Cho một số Carmichael p thử nghệm
ap−1 ≡ 1 mod p không bao giờ thất bại, nếu p và a nguyên tố cùng nhau,
và do đó không bao giờ chứng minh được p là hợp số. Nhưng nhờ giải
thuật kiểm tra Miler-Kabin-thuật toán xác suất để kiểm tra tính nguyên
tố.
9


Kiểm tra Miler-Rabin:
Bổ đề 2.1. Với p là số nguyên tố, x là số nguyên: x2 ≡ 1( mod p) khi và chỉ
khi
x ≡ 1( mod p)

hoặc

x ≡ (p − 1)( mod p).

Bổ đề 2.2. Với p là số nguyên tố, x là số nguyên: x2 ≡ 1( mod p) khi và chỉ
khi
x ≡ 1( mod p) hoặc x ≡ (p − 1)( mod p).
p là số nguyên tố viết lại p dưới dạng p = 2k .q + 1 trong đó q là số lẻ, a là

số nguyên dương bé hơn p. Ta có:
• Hoặc aq ≡ 1( mod p).
• Hoặc trong dãy số aq ; a2q ; a4q ; · · · ; a2
(p − 1) mod p.

k−1

q

tồn tại một số mà đồng dư với

Thuật toán Miller-Rabin kiểm tra tính nguyên tố của số nguyên p.
Định nghĩa 2.13. Giả sử n là số nguyên dương lẻ n − 1 = 2s .t trong đó s là số
ngun khơng âm, t là số nguyên dương lẻ. Ta nói n được kiểm tra Miller cơ
j
sở b, nếu hoặc bt ≡ 1 mod n hoặc b2 .t ≡ −1 mod n với j nào đó, 0 ≤ j ≤ s − 1.
INPUT Số tự nhiên lẻ N.
OUTPUT N là số nguyên tố: TRUE/FALSE.
MR1.(Xuất phát): Phân tích
Đặt q ← N − 1, t ← 0 và nếu q chẵn ta đặt q ← 2q , t ← t + 1 (bây giờ ta có)
N − 1 = 2t .q , q lẻ. Sau đó, đặt c ← 20.
MR2.(Chọn a mới): Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên a trong khoảng 1 < a < N.
Đặt e ← 0, b ← aq mod N . Nếu b = 1, chuyển sang MR4.

MR3.(Bình phương): Nếu b ̸≡ ±1( mod N ) và e < t − 2 ta đặt b :=
2
b mod N , e ← e + 1. Nếu b ̸= N − 1,in ra thông báo ”n là hợp số” và kết
thúc thuật toán.
MR4. Đặt c ← c − 1. Nếu c > 0, chuyển sang MR2.Nếu c = 0 in ra thông
báo ”N là số nguyên tố”. Trả lời FALSE. Kết thúc.
Đối với số lẻ n có thể chứng minh rằng một số nguyên ngẫu nhiên được
chọn một ∈ (2, 3, ..., n − 1) có cơ hội ít nhất 75% khơng thỏa mãn các điều kiện
này và do đó là một chứng minh cho tính hợp nhất của n xem [38,49]); xem
thêm [3]. Điều này chứng tỏ n là hợp số.
10


Định lý 2.11. Nếu p là một hợp số dương lẻ thì tồn tại khơng q p−1
4 cơ sở
b, 1 ≤ b ≤ p − 1 sao cho p trải qua được kiểm tra Miler đối với các cơ sở đó.
(xem [1])

2.3

Một số thuật tốn phân tích số ngun thành
tích các thừa số nguyên tố đặc biệt

2.3.1 Phân tích số nguyên bằng sàng Erathostenes
Theo định lý 2.4 ở chương I để tìm một ước số nguyên tố của một hợp số
√
N ta phải chia N cho các số nguyên tố khơng vượt q N.
• Ưu điểm: sàng của Erathostenes cho ta thuật tốn xác định mọi số ngun
tố khơng vượt quá một số cho trước.
Đối với hầu hết các con số, nó rất hiệu quả vì hầu hết các con số đều

có các ước nguyên tố nhỏ: 88% số nguyên dương có một ước nguyên tố
< 100, và gần 92% có ước ngun tố < 1000.
• Nhược điểm: độ phức tạp quá lớn. Bởi vì, theo định lý (số nguyên
tố): limx→∞ ( π(x)
x ) = 1. trong đó π(x) là các số nguyên tố không vượt
lnx
√
quá
√ x. Như vậy, số các số nguyên tố không vượt quá n là vào khoảng

√
n
√ = ln2 √nn . Chúng ta cần O(log2 n. log2 m) phép tính bit để chia n cho
ln n
m. Như vậy, số các phép tính bit cần thiết để phân tích số n vào khoảng
√
√
2 n
ln n .C. log2 n = C n. Nếu n vào cỡ khoảng 100 chữ số thập phân, thì

số các phép tính phải dùng cỡ 1050 . Với những máy tính thực hiện cỡ
một triệu phép tính một giây, thời gian cần thiết sẽ vào khoảng 3, 1.1036
năm.(xem [1]) Vì vậy, chúng ta ít dùng để xác định xem một số có phải
số nguyên tố hay không?

2.3.2 Pollard’s rho method
một hàm giả ngẫu nhiên để sinh dãy x1 ; x2 ; · · · ; xk . Hàm
mãn chính là: f (x) = x2 + 1 mod N (1). Như vậy, chúng
số x1 hoàn tồn ngẫu nhiên và các phần tử cịn lại sẽ
hàm f (x). Dãy số ngẫu nhiên ta thu được cuối cùng là:

x1 ; x2 = f (x1 ); x3 = f (x2 ); · · · ; xk = f (xk−1 )(2). Do dãy x2 ; x3 ; · · · ; xk được sinh
bởi hàm f(x), nếu tồn tại xi ≡ xj mod p thì ta dễ dàng suy ra: xi+1 ≡ xj+1
mod p, xi+2 ≡ xj+2 mod p, · · · (3).
Pollard sử dụng
đơn giản nhất thỏa
ta chỉ sinh ra một
được sinh dựa trên

11


Nói cách khác, ta sẽ có một vịng trong các dãy số bởi f (x) khi lấy mod p
(giống như hình vẽ vịng liên kết ở trên). Những ý tưởng này có thể được kết
hợp thành một thuật tốn theo cách sau:
• Chọn f (x) = x2 + 1
• Chọn một giá trị x0 nào đó và tính theo phép lặp bởi ánh xạ f dãy sau:
x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), · · · , x( j + 1) = f (xj ), j = 0; 1; 2; · · · Sau đó, xét hiệu
giữa các xj với hi vọng tìm thấy xj , xk nào đó sao cho: xj ∈
/ xk ( mod n)
nhưng xj ≡ xk ( mod n), trong đó d là một ước khơng tầm thường nào
đó của n. Khi đó, bằng cách tính (xj − xk , n) ta thu được một ước thực
sự của n.
ρ

Figure 2.1: rho

Thuật toán:
INPUTS: n là số nguyên cần phân tích.
f(x) là hàm tạo số giả ngẫu nhiên.
OUTPUT: Ước thực sự(̸= 1; ̸= n) của n hoặc không thực hiện được

1)x ← 2; y ← 2; d ← 1
2)While d = 1
• x ← f (x)
• y ← f (f (x))
• d ← gcd(| x − y |, n)
3) Nếu d = n, return (không thực hiện).
4)Else, return d.
12


Thành công đáng chú ý nhất của phương pháp rho của Pollard cho tới nay
là khám phá vào năm 1980 bởi Brent và Pollard về việc phân tích nhân tố số
8
Fermat thứ tám (xem [2]): 22 + 1 = 1238926361552897.p62 trong đó p62 biểu
thị số nguyên tố 62 chữ số.
Pollard’s p − 1 method
Giả sử cần phân tích số nguyên n và p là một ước nguyên tố của n. Nếu
p − 1 khơng có các ước ngun tố lớn thì thuật tốn p − 1 của Pollard là rất
hiệu quả.
Thuật tốn
1) Chọn một số k sao cho nó chia hết cho hầu hết các số nguyên nhỏ hơn
một số B nào đó. Chẳng hạn k là B! hoặc k là bội chung nhỏ nhất của tất cả
các số từ 1 đến B .
2) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên a trong khoảng từ 2 đến n − 2.
3) Tính ak ( mod n) (bằng thuật tốn bình phương liên tiếp).
4) Tính (ak − 1, n) (Bằng thuật tốn Euclid.)
5) Nếu d = (ak − 1, n) không phải là một ước thực sự của n, ta lặp lại quá
trình trên với một số a khác, hoặc k khác(hoặc cả a và k khác).
Nhược điểm của phương pháp (p − 1) của Pollard là nó làm việc có hiệu
quả nếu thừa số của nó có yếu tố p : p − 1 là B -mịn nên phương pháp này chỉ

hiệu quả khi có chút may mắn.
Thuật tốn đường cong elliptic mạnh hơn được Lesntra xây dựng vào những
năm 1980 trên thực tế là sự tổng quát hóa của phương pháp p − 1 Pollard.
Phương pháp đường cong eliptic khắc phục hoàn toàn được nhược điểm
trên. Trong bất kỳ thử nghiệm nào trong đó mỗi lần thử nghiệm bất kỳ khơng
cần yếu tố may mắn. Một thử nghiệm thành công nếu một số ngẫu nhiên gần
với một số nguyên tố của n là B− mịn.

2.3.3 Đường cong Eliptic
Đường cong elliptic được Lenstra đề xuất, và độ phức tạp của phương pháp
1
này là e((2+o(1)) log p log log p) 2 .
Phép cộng:
Để xác định điểm R(xR ; yR ) = P (xP ; yP ) + Q(xQ ; yQ ) ta tính xR và yR như
sau:
λ=

yQ − yP
x Q − xP

mod n

xR = (λ2 − xP − xQ ) mod n
yR = (λ(xP − xQ ) − yP ) mod n

13


-Điểm tại vô cùng O là điểm cộng với bất kỳ điểm nào cũng sẽ ra chính
điểm đó. Nghĩa là :∀P ∈ E, P + O = O + P = P

-Điểm đối xứng của P (xP ; yP ) ∈ E là −P (xP ; yP ) ∈ E thỏa mãn các điều
kiện: yP′ ∈ ZP sao cho (yP′ + yP ) mod n;P + (−P ) = 0
Phép nhân đôi: -Để xác định điểm R(xR ; yR ) = 2P (xP ; yP ) với yP ̸= 0, ta
tính xR và yR như sau:
3x2P + a
mod p.
2yP
xR = (λ2 − 2xP ) mod p.
λ=

yR = (λ(xP − xR ) − yP ) mod p.

Mở rộng ra,phép nhân kP nhận được bằng cách thực hiện k lần phép cộng.
Thuật tốn nhân đơi và thêm cho ta cách làm như sau:
• Lấy P
• Tăng gấp đơi để được 2P
• Thêm P vào 2P để được 21 P + 20 P
• Nhân đơi 2P để được 22 P
• Thêm vào để được 22 P + 21 P + 20 P
• Gấp đơi 22 P để được 23 P
• Gấp đơi 23 P để được 24 P
• Thêm nó vào kết quả trước để được 24 P + 23 P + 22 P + 21 P + 20 P
• …
• Cuối cùng chúng ta tính tốn 151P thực hiện chỉ bảy lần nhân đơi và bốn
phép cộng bổ sung
Thuật tốn nhân tử hóa với một đường cong elliptic Cho k là hợp số
sao cho k = k1 .k2 khi đó ta có thể tính kP = k1 (k2 P ).
Đầu vào của thuật toán là số tự nhiên n và các tham số v; w ∈ N , phụ thuộc
vào n. Cũng như a; x; y ∈ Zn , sao cho P (x; y; 1) ∈ Vn từ y 2 = x3 + ax + b ⇔ b ≡
y 2 − x3 − ax( mod n) thỏa mãn điều kiện (4a3 + 27b2 ∈ Zn. )

Thuật tốn tìm kiếm ước số tự nhiên d của số n: 1 < d < n. Đối với từng
số r ∈ N,
√
e(r) = max {m |∈ Z≥0 , rm ≤ v + 2 v + 1}, và sau đó:
14


k=

∏

re(r) (r là số nguyên tố; e(r) là một số nguyên dương)2 ≤ r ≤ w chúng

ta giả sử:
Giả sử P (x : y : 1) ∈ Vn .Khi đó,P nằm trên đường cong Eliptic Ea;b ttrong
vành Zn , được xác định bởi phương trình y 2 = x3 + ax + b. Chúng ta tính điểm
kP,nếu trong q trình tính tốn tìm được ước của số n,1 < d < n, thì chúng
ta phân tích được n ra thừa số và thuật tốn dừng.Nếu như tìm được kP và
khơng tìm được d thì thuật tốn dừng và thơng báo và thuật tốn phân tích
thành nhân tử khơng thành cơng.Thuật toán kết thúc.
Định lý 2.12. Giả sử E là đường cong elliptic cho bởi phương trình y 2 =
x3 + ax + b, trong đó a, b ∈ Z và (4a3 + 27b2 , n) = 1. Giả sử P1 và P2 là hai
điểm trên E có mẫu số của các tọa độ nguyên tố cùng nhau với n, đồng thời
P1 ̸= −P2 . Khi đó điểm P1 + P2 có tọa độ với mẫu số nguyên tố cùng nhau với
n nếu và chỉ nếu không tồn tại ước nguyên tố nào của n, p | n với tính chất
sau đây. Các điểm P1 mod P và P2 mod P trên E mod p có tổng là điểm
O mod p ∈ E mod p. (E mod p là đường cong trên trường Fp nhận được bằng
cách lấy đồng dư rút gọn modulo p các hệ số của phương trình y 2 = x3 + ax + b.)
Thuật toán nhân tử hóa với một đường cong elliptic. Cho k là hợp
số sao cho k = k1 .k2 khi đó ta có thể tính kP = k1 (k2 P ).

Đầu vào của thuật toán là số tự nhiên n và các tham số v; w ∈ N , phụ thuộc
vào n. Cũng như a; x; y ∈ Zn , sao cho P (x; y; 1) ∈ Vn từ y 2 = x3 + ax + b ⇔ b ≡
y 2 − x3 − ax( mod n) thỏa mãn điều kiện (4a3 + 27b2 ∈ Zn. )
Thuật tốn tìm kiếm ước số tự nhiên d của số n : 1 < d < n. Đối với từng
số r ∈ N,
√
e(r) = max {m |∈ Z≥0 , rm ≤ v + 2 v + 1}, và sau đó:
∏
k = re(r) (r là số nguyên tố; e(r) là một số nguyên dương)2 ≤ r ≤ w
Giả sử P (x : y : 1) ∈ Vn . Khi đó, P nằm trên đường cong elliptic Ea;b trong
vành Zn , được xác định bởi phương trình y 2 = x3 + ax + b. Chúng ta tính điểm
kP , nếu trong q trình tính tốn tìm được ước của số n, 1 < d < n, thì chúng
ta phân tích được n ra thừa số và thuật tốn dừng. Nếu như tìm được kP và
khơng tìm được d thì thuật tốn dừng và thơng báo và thuật tốn phân tích
thành nhân tử khơng thành cơng.
Thuật tốn kết thúc.

2.3.4

Phương pháp của Fermat

Tính gcd(n; xy) tính ước số chung lớn nhất của n và xy . Nếu n là hợp số,
không phải là số nguyên tố, và x, y là các số nguyên ngẫu nhiên thỏa mãn

15


x2 ≡ y 2 thì có ít nhất 50% cơ hội cho gcd(x − y; n) và gcd(x + y; n) các thừa số

khơng nhỏ của n.

Thuật tốn Phân tích hợp số n
√
1) Chọn số nguyên x > n.
2) Kiểm tra xem x2 − n có là số chính phương khơng?
• Nếu x2 − n khơng là số chính phương, thì ta quay lại bước 1 và tăng giá
trị của x.
• Nếu x2 − n là số chính phương y 2 , thì ta chuyển sang bước sau.
3) n = x2 − y 2 = (x − y)(x − y).

2.3.5 Phương pháp Squfof
Squfof là từ viết tắt của”square form factorization” phân tích các dạng
chính phương.
Ta xuất phát từ nhận xét sau đây: Nếu ta tìm được các số x, y sao cho:x −
y ̸= 1 và x2 − y 2 = n thì ta tìm được ước số khơng tầm thường của n vì
n = x2 − y 2 = (x + y)(x − y). Bây giờ, ta có kết quả yếu hơn:
Giả sử có x, y : x2 ≡ y 2 ( mod n) và 0 < x < y < n, x + y ̸= n khi đó n là một
ước của tích (x + y)(x − y) và rõ ràng n không là ước của x + y cũng như x − y
và do đó d1 = gcd(x − y, n) và d2 = gcd(x + y, n) là các ước số không tầm thường
của n. Các ước số này được tìm nhanh chóng thơng qua thuật tốn Euclid.
Từ định lý 2.9 cho ta phương pháp tìm x, y cần thiết.
Ta có p2k ≡ (−1)k+1 Qk+1 ( mod n) như vậy, ta phải tìm được các Qk+1 với chỉ
.
số chẵn và là số chính phương y 2 thì x2 ≡ y 2 ( mod n). Khi đó, (xk +y)(xk −y)..n.
Như vậy, các ước số chung lớn nhất d1 = (xk + y, n) và d2 = (xk − y, n) , có nhiều
khả năng là các ước khơng tầm thường của n, vì các số xk + y, xk − y, khơng
nhất thiết bé hơn n.

2.3.6

Thuật tốn Dixon

Thuật toán:
INPUTS: Số nguyên n cần kiểm tra.
Bước 1: Chúng ta cần tìm các số m1 , · · · , mk+1 bằng cách lựa chọn ngẫu
nhiên sao cho:
1 < mi < n
α

α

Q(mi ) = p1 i,1 ...pk i,k
m2i ≡ Q(mi )( mod n).
16