Chuyên đề tiệm cận

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; +∞ ) ;

( −∞;b ) hoặc ( −∞; +∞ ) ). Đường thẳng

y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y y=
y0 .
=
0 ; lim y
x →+∞

x →−∞

▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y = +∞;

x → x0+

lim y = +∞;

lim y = −∞;

x → x0−

x → x0+

lim y = −∞.

x → x0−

II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số
Phương pháp giải:
Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thực hiện các bước sau:
▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số y = f ( x )
▪ Bước 2: Tìm giới hạn của f ( x ) khi x tiến đến biên của miền xác định.
▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.
Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

f ( x)
ta có thể làm như sau:
g ( x)

- Bước 1: Tìm tập xác định D.
- Bước 2:
+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim y; lim y và kết luận tiệm cận ngang
x →+∞

x →−∞

+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức
f ( x)
về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.
g ( x)

Chú ý:
- Nếu bậc của f ( x ) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g ( x ) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của f ( x ) lớn hơn bậc của thì g ( x ) đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a) y =

2− x
(C ).
1 − x2

b) y =

2 x2 + 5x + 1
(C ).
x2 − 5x + 4


Lời giải
2 1
− 2
2
2− x
x
x = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ
a) TXĐ:=
D  \ {−1;1} . Ta có: lim y = lim
= lim
x →±∞
x →±∞ 1 − x 2
x →±∞

1
x2 −1
thị hàm số.
Mặt khác lim y = ∞ và lim y = ∞ nên x = 1 và x = −1 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
x →( −1)

x →1

b) TXĐ: D =  \ {1; 4} .
Ta có: lim+ y = lim+
x →1

x →1

2 x2 + 5x + 1
2 x2 + 5x + 1
= −∞ (hoặc lim− y = lim−
= +∞ ) nên đường thẳng x = 1 là
x →1
x →1 ( x − 1)( x − 4 )
( x − 1)( x − 4 )

tiệm cận đứng của (C).
Tương tự đường thẳng x = 4 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
5 1
2+ + 2
2 x2 + 5x + 1
x x
Lại
có: lim y lim

=
= lim
=
2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ
x →±∞
x →±∞ x 2 − 5 x + 4
x →±∞
5 4
1− + 2
x x
thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) y =

x + 3 − 2x
.
x2 − 1

b) y =

x2 − 4x + 3
x2 + 7 − 4

.

Lời giải
a) TXĐ: D =

[ −3; +∞ ) \ {±1} .

Ta có: lim y = lim
x →+∞

x →+∞

x + 3 − 2x
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x2 − 1
x + 3 − 4 x2

x + 3 − 2x
x + 3 + 2 x lim
=
=
lim=
Mặt
khác lim y lim
2
1
x →1
x →1
x
→
x −1
( x − 1)( x + 1) x→1
=
lim −
x →1

3 + 4x

( x + 1) (

x + 3 + 2x

Ta có: lim y = lim
x →( −1)

x →( −1)

)

=−

(1 − x )( 3 + 4 x )
x + 3 + 2x
( x − 1)( x + 1)

7
⇒x=
1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
8

x + 3 − 2x
= ∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x2 − 1

b) TXĐ: D = . Ta có: lim y = lim
x →±∞

x →±∞

x2 − 4x + 3
x2 + 7 − 4

= +∞ ⇒ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.


( x − 1)( x − 3)

Lại có: y
=

=
x 2 + 7 − 16

(

)

(

x 2 + 7 + 4 ( x − 1)( x − 3)
=
( x − 3)( x + 3)

)

x 2 + 7 + 4 ( x − 1)
x+3

x2 + 7 + 4
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −3.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có lim+ f ( x ) = −∞ và lim+ f ( x ) = −∞ . Khẳng định nào sau đây là khẳng
x →0

x→2

định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y = 0 và y = 2.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 0 và x = 2.
Lời giải
Ta có lim+ f ( x ) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 0
x →0

Lại có lim+ f ( x ) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 2 . Chọn D.
x→2

Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
1
A. x =
.
−1, y =
2

B. x =
−1, y =
2.

C. x = 1, y = −2.

2x − 1
.
x +1

D. x =

1
, y = −1.
2

Lời giải
TXĐ:=
D  \ {−1} .
Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →( −1)

2x − 1
= 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
x →∞ x + 1

Mặt khác lim y = lim
x →∞

Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng
x = 2 và y = 1 là các đường tiệm cận?

A. y =

2x + 2
.
x −1

B. y =

x−2
.
x −1

C. y =

1
.
x −x−2
2

D. y =

x +1
.
x−2

Lời giải
Đồ thị hàm số y =
Chọn D.

d
ax + b

a
với ad − bc ≠ 0 nhận x = − là tiệm cận đứng và y = là tiệm cận ngang.
c
cx + d
c


2 x 2 − 3x + 2
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2
x − 2x − 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

1
.
2

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 .
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =
−1; x =
3.
Lời giải
D  \ {−1;3} .
TXĐ:=

2 x 2 − 3x + 2
= lim
Ta có lim y = lim 2
x →∞

x →∞ x − 2 x − 3
x →∞

3 2
+
x x 2 = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 3
1− − 2
x x
2−

Lại có: lim y =
∞, lim y =
∞ do đó x =
−1; x =
3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
x →( 3)

x →( −1)

Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây khơng có tiệm cận ngang?
A. y =

x2 + 1
.
x −1

B. y =

x −1

.
x2 + 1

C. y =

x −1
.
x+2

D. y =

1
.
x +1

Lời giải

1
x +1
x = lim x = ∞ ⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. Chọn A.
= lim
Ta có lim y = lim
x →∞
x →∞ x − 1
x →∞
1 x →∞
1−
x
2

x+

Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 2.

B. 3.

C. 0.

x 2 − 3x − 4
.
x 2 − 16
D. 1.

Lời giải

D  \ {±4} . =
TXĐ:=
Khi đó: y

x 2 − 3x + 4
=
x 2 − 16

( x + 1)( x − 4 )
=
( x − 4 )( x + 4 )

x +1
.

x+4

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = −4. Chọn D.

Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x2 − 5x + 4
.
x2 − 1


A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Lời giải
x2 − 5x + 4
=
x2 − 1

TXĐ:=
D  \ {±1} . Khi đó
=
y

( x − 4 )( x − 1)

=
( x − 1)( x + 1)

y =1
lim
x−4
 x →∞
⇒
y= ∞
x +1
 xlim
→( −1)

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 1 . Chọn A.

Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 3.

B. 2.

C. 0.

x+9 +3
là:
x2 + x
D. 1.

Lời giải
TXĐ: D =

[ −9; +∞ ) \ {0; −1} . .

Khi
đó: y
=

x+9 +3
=
x2 + x

Suy ra lim y
x →( −1)

lim

x →( −1)

x +9−9
x+9 +3
=
x ( x + 1)

( x + 1)

(

( x + 1) (

1
x+9 +3

)

1
x+9 +3

)

⇒ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = −1.

Chọn D.

Ví dụ 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2.

B. x = 1.

C. y = −2 và y = 0.

x2 − 2x + 3 − x
.
x −1
D. y = 1.

Lời giải


2 3
1− + 2 −1


2
x − 2x + 3 − x
x x
 lim y lim
=
= lim
= 0
→+∞
→+∞
→+∞
x
x
x
1
x −1

1−

x
Ta có 
⇒ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm
2 3

− 1− + 2 −1

x2 − 2x + 3 − x
x x
y = lim
= lim
= −2

 xlim
→−∞
→−∞
x →−∞
x
1
x −1

1−

x
cận ngang là y = 2 và y = 0 . Chọn C.
Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?


x 2 − 3x + 2
A. y =
.
x −1

x2
B. y = 2
.
x +1

C.=
y

x 2 − 1.

D. y =

x
.
x +1

Lời giải
Phân tích các đáp án:
Đáp án A. Ta có y=

x 2 − 3x + 2
=
x −1

( x − 1)( x − 2 )
x −1

= x − 2 nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án B. Phương trình x 2 + 1 =
0 vơ nghiệm nên hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Đáp án C. Đồ thị hàm số=
y

x 2 − 1 khơng có tiệm cận đứng.

Đáp án D. Đồ thị hàm số y =

Ví dụ 13: Cho hàm số y =
A. 1.

x
có tiệm cận đứng là x = −1 .Chọn D.
x +1

x2 − 4
. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?
x −1

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

( −∞; 2] ∪ [ 2; +∞ ) .

Tập xác định của hàm số là D =

Ta thấy rằng x =1 ∉ D ⇒ đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng.
4
 lim y = 1
2
x
x −4
x →+∞
x
Và lim y =lim

=lim
=lim ⇒ 
⇒ y =1; y =−1 ⇒ đồ thị hàm số có
x →∞
x →∞
x
x
→∞
→∞
lim y = −1
x −1
x
 1

 x →−∞
x 1 − 
x

x 1−

2

hai đường tiệm cận ngang. Chọn C.
x2 + x + 1
có bao nhiêu tiệm cận?
x

Ví dụ 14: Đồ thị hàm số y =
A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Lời giải
TXĐ: D =  \ {0} .

lim y= lim
x →∞

x →∞

2

x + x +1
= lim
x →∞
x

Và lim y = lim
x →0

x →0

1 1
+
 lim y = −1
x x2

x →−∞
⇒
⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
lim
1
y
=
x
 x →+∞

x 1+

x2 + x + 1
= ∞ ⇒ x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
x


x+4

Ví dụ 15: Đồ thị hàm số y =
A. 3.

x2 − 4

có bao nhiêu tiệm cận?

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải
TXĐ:=
D  \ {±2} .
x+4

=
y lim
= 1
 xlim
x →+∞
x2 − 4
 →+∞
Ta có: 
⇒ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = ±1 .
 lim y = lim x + 4 = −1
x →−∞
 x →−∞
x2 − 4
lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = ±2. .

x →±2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.

Ví dụ 16: Đồ thị hàm số y =
A. 3.

2 − x −1

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

x ( x − 4 x + 3)
2

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Lời giải
Hàm số có tập xác định: D =
Khi đó y =

2 − x −1

x ( x − 4 x + 3)
2

Suy ra x ( x − 3)

(

=

( −∞; 2] \ {0;1}
1− x
x ( x − 1)( x − 3)

(

)

2 − x +1

= −

x ( x − 3)

(

1

)

2 − x +1

.

)

2 − x + 1 = 0 ⇔ x = 0 . Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x =
−3; x =
−2.

B. x = −3.

2x −1 − x2 + x + 3
.
x2 − 5x + 6

C.=
x 3;=
x 2.

D. x = 3.

Lời giải
Hàm số có tập xác định D =  \ {2;3} .
Ta có: y

− ( x 2 + x + 3)
=
x2 − 5x + 6

( 2 x − 1)

2

3x 2 − 5 x − 2
=
( x − 2 )( x − 3) 2 x − 1 + x 2 + x + 3

(

)

( 3x + 1)

( x − 3) ( 2 x − 1 +

Do vậy chỉ có đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x2 + 3 − 2
.
x2 −1

x2 + x + 3

)


A. x =
±1, y =
0.

B. x =
±1, y =
1.

C. y = 0.

D. x = ±1.

Lời giải
Hàm số có tập xác định=
D  \ {±1} .
Ta có y
=

x2 + 3 − 2
=
x2 −1

Khi đó lim y= lim
x →∞

x →∞

(

x2 + 3 − 2

)(

)

x2 + 3 + 2
=
2
x + 3 + 2 ( x 2 − 1)

(

)

(

x2 −1
=
2
x + 3 + 2 ( x 2 − 1)

)

1
x2 + 3 + 2

.

1

= 0 ⇒ Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0 . Chọn C.
x +3 +2
2

Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị y =
A. 2.

B. 3.

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
là

x2 − x

C. 4.

D. 1.

Lời giải
1 1


Tập xác định của hàm số là D =  −∞; −  ∪  ; +∞  \ {1} .
2 2




4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
=
=
3
 lim y lim
x →+∞
 x →+∞
x2 − x
Khi đó 
⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3 .
4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2

=
=

lim y lim
3
x →−∞
x2 − x
 x →−∞
Lại có: lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
x →1

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.

Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −3 .

B. x = −1 và x = 3 .

3x − 1 − x + 3
x2 + 2x − 3

C. x = 1 và x = −3.

D. x = 3

Lời giải
Hàm số có tập xác định D =
3x − 1 − x + 3
Khi đó y =
=
x2 + 2x − 3

( −3; +∞ ) \ {1} .

2

(x

9x + 2
⇔ y=
( x + 3) 3 x − 1 + x + 3

(
Ta thấy ( x + 3) ( 3 x − 1 +

( 3x − 1) −=
( x + 3)

2

(

+ 2 x − 3) 3 x − 1 + x + 3

) (x

9x2 − 7 x − 2

2

(

+ 2 x − 3) 3 x − 1 + x + 3

)

)
x + 3 ) =0 ⇔ x =−3 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 . Chọn A.


2x + 3 − 2x + 3
. Hãy chọn mệnh đề đúng.
x2 − 4 x + 3

Ví dụ 21: Cho hàm số y =

A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là y = 1 và y = 3 .
B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là y = 1 và y = 3 .
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 .
D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = 3 .
Lời giải
 3

Ta có: D =  − ; +∞  \ {1;3} .
 2


2 x + 3 − ( 2 x − 3)

2x + 3 + 2x − 3
=
x2 − 4 x + 3

Khi đó y

=

=

(

2

1− 2x

)

2 x + 3 + 2 x − 3 ( x − 1)

(

(1 − 2 x )( x − 3)
2 x + 3 + 2 x − 3) ( x − 1)( x − 3)

. Suy ra lim y = ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
x →1

Lại có: lim y = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 .
x →+∞

Ví dụ 22: Cho hàm số y =
A. 2

2x − 3
2

x − 2x − 3

B. 3

. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
C. 4

D. 5

Lời giải
x > 3
Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ 
 x < −1
3

x2 − 
y=2
 xlim
x
→+∞

Ta có lim=
y lim
= lim
⇒
⇒ đồ thị hàm số có hai TCN.
x →∞
x →∞
y = −2

 xlim
x 2 − 2 x − 3 x →∞ x 1 − 2 − 3
→−∞
x x2
2x − 3

 x2 − 2 x − 3 =
0
x = 3
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ phương trình 
⇔
 x = −1
2 x − 3 ≠ 0
⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C.

Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 2.

B. x = −2.

x + 1 − x2 + x + 2
.
x2 + x − 2

C. x = −2 và x = −1.
Lời giải

D. x = 2 và x = 1.

( x + 1)
x + 1 − x2 + x + 2
TXĐ:=
D  \ {=
−2;1} . Khi đó: y =
x2 + x + 2
x −1
=
x + 1 + x 2 + x + 2 ( x − 1)( x + 2 )

)

(

2

− ( x2 + x + 2)

x + 1 + x2 + x + 2
( x − 1)( x + 2 )

1

(

( x + 2) x + 1 + x2 + x + 2

)

và

Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B.
x →( −2 )

Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f ( x ) =

3x 2 − 1 − x 4 + x + 2
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
x 2 − 3x + 2

A. Tiệm cận đứng=
x 2,=
x 1 ; tiệm cận ngang y = 2 .
B. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng=
y 2,=
y 3.
x 2,=
x 1 ; tiệm cận ngang=
D. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang=
y 2,=
y 3.
Lời giải
TXĐ: D =  \ {1; 2} .

3x 2 − 1 − x 4 + x + 2
= 2 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 .
x →∞
x 2 − 3x + 2

Ta có lim f ( x )= lim
x →∞

( 3x − 1 −
2

3x 2 − 1 − x 4 + x + 2
Mặt khác f ( x ) =
=
x 2 − 3x + 2

⇔ f ( x)

(x

8x4 − 7 x −1
=
( x 2 − 3x + 2 ) 3x 2 − 1 + x 4 + x + 2

)

(

8 x3 + 8 x 2 + 8 x + 1
⇔ f ( x) =
( x − 2 ) 3x 2 − 1 + x 4 + x + 2

(

2

)(

x 4 + x + 2 3x 2 − 1 + x 4 + x + 2

(

− 3x + 2 ) 3x 2 − 1 + x 4 + x + 2

)

)

( x − 1) (8 x3 + 8 x 2 + 8 x + 1)
( x − 1)( x − 2 ) ( 3x 2 − 1 + x 4 + x + 2 )

)

Suy ra lim f ( x ) = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 . Chọn B.
x→2

 Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên
Phương pháp giải:
▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.
▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.
▪ Bước 3: Kết luận.


Chú ý: Đồ thị hàm số y =

f ( x)
nhận đường thẳng x = a là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại x = a
g ( x)

( x − a ) .h ( x )
m
( x − a ) .k ( x )

f ( x)
và y =
=
g ( x)

n

trong đó m > n và h ( x ) , k ( x ) khơng có nghiệm x = a .

(Tức là số lần lặp lại nghiệm x = a của g ( x ) nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm x = a của f ( x ) ).
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x
f(x)

1

−∞

+∞
5

+∞

2

3

Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

 lim f ( x ) =
2 ⇒ TCN : y =
2
 x →−∞

5 ⇒ TCN : y =
5 ⇒ Chọn C.
Ta có  lim f ( x ) =
x →+∞

f ( x ) = +∞ ⇒ TC§ : x = 1
 xlim
→1−
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định trên  \ {1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x

+

y’
y

0

−∞

0

1

+∞
+

−

2
0

5
−∞

3

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0 , y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1 .
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là yCT = 3 .

C. Giá trị cực đại của hàm số là yCD = 5 .
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lời giải
Do=
lim 0;=
lim 5 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0 , y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1 .
x →−∞

Chọn A.

x →+∞


Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x

0

−2

−∞

+

y’

−
+∞

y
A. 1

+∞
1
0

−∞

B. 3

C. 2

D. 4

Lời giải
 lim− f ( x ) = +∞
 x →0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
⇒x=
−2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0, x =
f ( x ) = −∞
+
 x →lim
( −2 )

Mặt khác: lim f ( x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+∞

Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( −1; +∞ ) và có bảng biến thiên như hình vẽ
x

2

−1

−∞
+

y’

4

0

−

+

−

0

y

+∞
+∞

−3

−∞

1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) là:
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim + f ( x ) = −∞ và lim+ f ( x ) = +∞
x →( −1)

x→4

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x =
−1; x =
4.
Lại có: lim f ( x ) =1 ⇒ y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
x →+∞

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x

+

y’
y

−
+∞

5

3

−2

−∞

0

4

+∞
+

+∞
0


Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) là:
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: lim − y = +∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →( −2 )

Lại có: lim y = 5 ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →−∞

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  \ {1} có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là
x
y’
y
A. 1.

1

−1

−∞

−

0

+∞

+

+

1

−1

+∞
−∞

− 2
B. 4.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Ta có: lim f ( x ) = ∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →1

1 y=
−1, lim f ( x ) =⇒
±1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lại có lim f ( x ) =

x →+∞

x →−∞

Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x

+

y’
y

+

1

B. 3.

0

+∞
-

0

+∞

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 2.

1

−1

−∞

3

−∞

4
là:
f ( x) + 2
C. 4.

D. 5.

Lời giải
Ta có phương trình f ( x ) = −2 có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số y =
tiệm cận đứng.

4
có 2 đường
f ( x) + 2


Khi x → +∞ ⇒ y →

4

= −4 ⇒ y = 4 là một đường tiệm cận ngang.
−3 + 2

Khi x → −∞ ⇒ y →

4
4
4
là một đường tiệm cận ngang.
=
⇒ y=
1+ 2 3
3

Do đó đồ thị hàm số y =

4
có 4 đường tiệm cận. Chọn C.
f ( x) + 2

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x

1

−1

−∞

+

y’

−
+∞

y

+
5

+∞

5

3

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 4.

0

+∞

2
là:
f ( x ) − 2018

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Lời giải
Ta có phương trình f ( x ) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số y =

2
có 2 đường tiệm cận đứng.
f ( x ) − 2018

x) → 5 ⇒ y
Khi x → −∞ ⇒ f ( =
Khi x → +∞ ⇒ f ( x ) → 5 ⇒
Vậy đồ thị hàm số y =

2
2
→
f ( x ) − 2018
−2013

2
2
→
f ( x ) − 2018
−2013

2

có 1 tiệm cận ngang. Chọn D.
f ( x ) − 2018

Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  \ {1} và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x

−

+∞

B. 4.

0

+∞

+∞
+

+∞

2

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 3.

2

+

y’
y

1

−∞

1

x−2
là:
f ( x) − 5 f ( x) + 4
2

C. 5.

D. 6.


Lời giải
 f ( x) = 4
Ta có: f 2 ( x ) − 5 f ( x ) + 4 ⇔ 
 f ( x ) = 1
Phương trình f ( x ) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình f ( x ) = 1 có 1 nghiệm kép x = 2 (do vậy mẫu số có dạng ( x − 2 ) ) nên x = 2 vẫn là TCĐ
2

của đồ thị hàm số.
Suy ra đồ thị hàm số y =

x−2
có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
f ( x) − 5 f ( x) + 4
2

Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  \ {−1; 2} và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x

+

y’
y

1

−1

−∞

0

−
9

2

2

+∞

+

−

0

5
−3

−∞

Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y =

2

1
lần lượt là m và n. Khi đó tổng m + n
f ( x) +1

bằng
A. 6.

B. 7.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Tiệm cận đồ thị y = f ( x ) : Ta có: lim y= 2 ⇒ đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang

x →∞

lim + y = +∞ ⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ⇒ m =
2.

x →( −1)

Mặt khác f ( x ) = −1 có 2 nghiệm phân biệt và lim

x →∞

1
1
1
có 1
=
⇒ đồ thị hàm số y =
f ( x) +1
f ( x) +1 3

đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy m = 2; n = 3 ⇒ m + n = 5 . Chọn D.
 Dạng 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số
Phương pháp giải:
▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số.
▪ Tìm các giới hạn lim y để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số y =

x−2
là:
f ( x) + 3

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f ( x ) + 3 =0 ⇔ f ( x ) =−3 có nghiệm kép x = 2 và một
nghiệm x= a < 0 .
Do
đó y
=

x−2
x−2
x−2
có 2 đường tiệm cận đứng là
=
⇒ Đồ thị hàm số y =
2
f ( x) + 3
f ( x ) + 3 k ( x − a ) .( x − 2)

x = a và x = 2 . Chọn B.
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d như hình vẽ bên. Tổng số đường

x2 + 2x
tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =
là
f ( x) + 2
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.
Lời giải

Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có a ≠ 0 .
x2 − 4
Ta có: lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x →∞ f ( x ) + 2

Phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm kép x = −2 và một nghiệm x > 0
 x = −2
x2 + 2x
Phương trình x 2 + 2 x =0 ⇔ 
do đó đồ thị hàm số y =
có 2 đường tiệm cận đứng.
f ( x) + 2
x = 0
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

ax + 2
có đồ thị (C) như hình vẽ bên.
cx + b

Tính tổng T =a + 2b + 3c .
A. T = 0.
B. T = −1.
C. T = 3.
D. T = 2.
Lời giải
Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau:
b
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị ( C ) ⇒ x =− =2 ⇔ b =−2c.
c
a
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị ( C ) ⇒ x = =1 ⇔ a =c .
c

Điểm M ( 0; −1) ∈ ( C ) suy ra y ( 0 ) =−1 ⇔

2
=−1 ⇔ b =−2 .
b

a = 1
b = −2

⇔ b =−2 ⇒ T =a + 2b + 3c =1 + 2. ( −2 ) + 3 =0 . Chọn A.

Suy ra 
−2c =
−2a
b =
c = 1

Ví dụ 4: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận
x2 − x
đứng của đồ thị hàm số y = 2
là:
f ( x) − 3 f ( x) + 2

A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
 f ( x ) − 1 ≠ 0
x ( x − 1)
Điều kiện: 
. Ta có: y =
 f ( x ) − 1  f ( x ) − 2 
 f ( x ) − 2 ≠ 0
Phương trình f ( x ) − 1 =0 có nghiệm kép x = 1 và x = x1 < 0 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
=
x 1,=
x x1 .

0 có nghiệm x = 0 và x =x2 < 0; x =x3 > 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận
Phương trình f ( x ) − 2 =

đứng x = x2 và x = x3 .
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.


Ví dụ 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số y =

(x

2

− 1) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

là:

A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
 x ≥ −1

Điều kiện:  x < 0
.
f 2 x −2f x ≠ 0
( )
 ( )

( x − 1) x + x
=
2

Ta có: y

2

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

x + 1 ( x − 1)( x + 1)
.
x f ( x )  f ( x ) − 2 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 .
Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 và x= x1 < −1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1
và x = x1 .
 x2 = −1

Phương trình f ( x ) − 2 =
0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó  x3 ∈ ( −1;0 ) do đó đồ thị hàm số có tiệm cận
x > 1
 4

đứng x = x4 .
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(x
y=

2

− 3x + 2 ) x 2 − x
f 2 ( x) − f ( x)

là:

A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải


x ≥ 1
( x − 1)( x − 2 ) x ( x − 1)

Điều kiện:  x ≤ 0
và y =
f ( x )  f ( x ) − 1
f2 x − f x ≠0
( )
 ( )
Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 và nghiệm kép x = 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
=
x 0,=
x 2.

 x= x1 ∈ ( 0;1)


Phương trình f ( x ) − 1 =0 có 3 nghiệm đơn  x = 1
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x2 .
=
 x x2 > 2
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn A.
 Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán thường gặp:
 Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

ax + b
với c ≠ 0 .
cx + d

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi ad − bc ≠ 0 .
 Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

ax 2 + bx + c
với a ≠ 0 .
x − x0

x0 ⇔ g ( x0 ) ≠ 0 .
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 khơng có nghiệm x =
- Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 có nghiệm x =
x0 ⇔ g ( x0 ) =
0.
 Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x − x0
( C ) với a ≠ 0 .

ax + bx + c
2

- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 có hai nghiệm phân biệt khác
∆ > 0
.
x0 ⇔ 
 g ( x0 ) ≠ 0

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g ( x ) = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ =0 .
- Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi g ( x ) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 .
 Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

ax 2 + bx + c
( x − x1 )( x − x2 )

(C )

với a ≠ 0, x1 ≠ x2 .

- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 không nhận x1 , x2 là
 g ( x1 ) ≠ 0
nghiệm ⇔ 
.
 g ( x2 ) ≠ 0


- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 có nghiệm x = x1 hoặc
 g ( x1 ) = 0
(Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).

=
x x2 ⇒ 
 g ( x2 ) = 0
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g ( x )= ax 2 + bx + c= 0 nhận x = x1 và x = x2 là nghiệm
 g ( x1 ) = 0
⇔
.
 g ( x2 ) = 0
 Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

f ( x)
.
g ( x)

- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới
hạn lim y hoặc lim y .
x →+∞

x →−∞

Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ
thị của hàm số: y =

x +1
mx 2 + 1

có 2 tiệm cận ngang.

A. Khơng có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. m < 0

C. m = 0
D. m > 0
Lời giải
 Với m > 0 ta có: lim

x +1

x →+∞

lim

x →−∞

x +1

= lim
mx 2 + 1 x →−∞

= lim
mx + 1 x →+∞
2

1
x =
2
mx + 1
−x

−1 −

1
x =
1
m+ 2
x
1+

1
x=
1
m+ 2
x

−1 −

1
⇒ y=
m

−1
⇒ y=
m

1
là một tiệm cận ngang.
m

−1
là một tiệm cận ngang.
m

Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
 Với m = 0 suy ra y =

x +1
đồ thị hàm số khơng có hai tiệm cận ngang.
1

 Với m < 0 đồ thị hàm số cũng khơng có tiệm cận ngang vì khơng tồn tại lim y . Chọn D.
x →∞

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y =

2x −1
có đúng một đường tiệm cận là
4 x + 4mx + 1
2


A. [ −1;1]

C. ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

D. ( −1;1)

Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cậ ngang y = 0 .
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Khi đó phương trình 4 x 2 + 4mx + 1 =
0 vô nghiệm.

⇔ ∆′ < 0 ⇔ 4m 2 − 4m < 0 ⇔ −1 < m < 1 ⇔ m ∈ ( −1;1) . Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =

2 x 2 − 3x + m
khơng có tiệm
x−m

cận đứng.
A. m > 1 .

B. m ≠ 0.

C. m = 1.

D. m = 1 và m = 0 .

Lời giải
Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng x = m thì là nghiệm của p ( x ) = 2 x 2 − 3 x + m
m = 0
0 ⇔ 2m 2 − 2m =
0 ⇔ 2m ( m − 1) =
0⇔
. Chọn D.
⇔ 2m 2 − 3m + m =
m = 1

Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số y =
A. m = 0.

B. m ≤ 0.

x −1
có đúng một tiệm cận đứng.
x − mx + m
2

C. m ∈ {0; 4}

D. m ≥ 4.

Lời giải
Xét phương trình g ( x ) = x 2 − mx + m = 0
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ⇔ g ( x ) =
0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc
 ∆
= m 2 − 4m > 0

  g (1) = 0
m = 4
. Chọn C.
g ( x ) = 0 có nghiệm kép khác 1 ⇔ 
⇔
= m 2 − 4m
= 0
m = 0
 ∆

  g (1) ≠ 0
 
x2 + x − 2
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = 2
có hai tiệm cận đứng.
x − 2x + m
m ≠ 1
A. 
.
m ≠ −8

m > −1
B. 
.
m ≠ 8

m = 1
C. 
m = −8
Lời giải

m < 1
D. 
m ≠ −8


Ta có y
=

x2 + x − 2

=
x2 − 2x + m

( x − 1)( x + 2 )
x2 − 2 x + m

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT f ( x ) = x 2 − 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

 ∆′ > 0
1 − m > 0

x ≠ 1
m < 1

thỏa mãn 
. Chọn D.
⇔  f (1) ≠ 0 ⇔ m − 1 ≠ 0 ⇔ 
m
8
≠
−
 x ≠ −2


m + 8 ≠ 0

 f ( −2 ) ≠ 0

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

x −m
có đúng hai đường
x −1

tiệm cận.
A. ( −∞; +∞ ) \ {1} .

C. ( −∞; +∞ )

B. ( −∞; +∞ ) \ {−1;0}

D. ( −∞; +∞ ) \ {0}

Lời giải
Ta có: D
=

( 0; +∞ )

x −m
Khi=
đó lim y lim
= 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 .
x →+∞
x →+∞
x −1

x −1
1
x −1

khi đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Chú ý: Với m =1 ⇒ y =
= x +1 =
x −1
x −1
x +1

Với m ≠ 1 đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì m ≠ 1 . Chọn A.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =
A. m ≠ 2

B. m < 2

C. m ≤ −2

mx + 2
có tiệm cận đứng.
x −1

D. m ≠ −2

Lời giải
Đồ thị hàm số có TCĐ ⇔ g ( x ) = mx + 2 = 0 khơng có nghiệm x = 1 ⇔ g (1) ≠ 0 ⇔ m ≠ −2. . Chọn D.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y =
A. m ∈ {−1; −4} .

B. m = −1

x2 + m
có đúng một tiệm cận đứng.
x 2 − 3x + 2
C. m = 4.

Lời giải
Ta có y
=

x2 + m
=
x 2 − 3x + 2

x2 + m
, đặt f ( x=
) x2 + m .
( x − 1)( x − 2 )

D. m ∈ {1; 4}


 f (1) = 0
0
m + 1 =
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi 
⇔
0
m + 4 =
 f ( 2 ) = 0

 m = −1
⇔
⇔ m ∈ {−1; −4} . Chọn A.
 m = −4

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

 m = −16
B.  m = 0
 m = 4

m = 0
A. 
 m = −16

x−4
x2 + m

 m = −16
C. 
 m = −8

có 3 tiệm cận
m = 0
D. 
 m = 16

Lời giải
4
4

1−
x = 1; lim y = lim
x = −1 nên đồ thị hàm số ln có 2 tiệm cận ngang.
Ta có: lim y = lim
x →+∞
x →+∞
x →−∞
x →−∞
m
m
1+ 2
− 1+ 2
x
x
1−

x 2 + m có nghiệm kép hoặc có 2
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng ⇔ g ( x ) =
m = 0
nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm x= 4 ⇔ 
. Chọn A.
 m = −16

Ví dụ 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =

(m

2

− 1) x 2 + x + 2

x +1

có đúng một

tiệm cận ngang.
A. m < 1 hoặc m > 1.

B. m > 0.

C. m = ±1.

D. Với mọi giá trị m

Lời giải


 lim
=
y lim
x →+∞
 x →+∞

Ta có 


y=
lim
 xlim
→−∞
x →−∞




(m
(m

2

2

1 2
m2 − 1 + + 2
− 1) x 2 + x + 2
x =
x
= lim
x →+∞
1
x +1
1+
x
− 1) x 2 + x + 2
x +1

=
lim −
x →−∞

m2 − 1

1 2
+
x x2 =
− m2 − 1
1
1+
x

. (Với ( m 2 − 1) ≥ 0 )

m2 − 1 +

Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi lim y =lim y ⇔ m 2 − 1 =− m 2 − 1 ⇔ m =±1 .
x →+∞

Chọn C.

x →−∞


Ví dụ 11: Cho hàm số y =

( m + 2 ) x 2 − 3x − 3m − x
x−2

có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi

tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. ( −2; 2 ) ∪ ( 2; +∞ )

B. ( −2; 2 )

C. ( 2; +∞ )

D. ( −3; −1)

Lời giải
Với m < −2 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang vì khơng tồn tại lim y; lim y (không t/mãn)
x →+∞

Với m =−2 ⇒ y =

x →−∞

−3 x − 6 − x
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang (khơng t/mãn)
x−2

Với m > −2 đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do lim y=
x →+∞

m + 2 − 1; lim y= 1 m + 2 + 1;
x →−∞

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.
Khi đó tử số khơng có nghiệm x = 2 và f ( x ) = ( m + 2 ) x 2 − 3 x − 3m xác định tại x = 2 .

 f ( 2=
) 4 ( m + 2 ) − 6 − 3m ≥ 0 m + 2 ≥ 0
m ≥ −2

⇔
⇔
Khi đó 
m ≠ 2
 m + 2 − 2 ≥ 0
 f ( 2 ) − 2 ≠ 0
Do đó m > −2; m ≠ 2 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số y =

2x −1
có đúng một
( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1)

đường tiệm cận là
A. {0}

B. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) C. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ )

D. ∅

Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0 .
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình: ( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) =
0 vô nghiệm

1 − m < 0
m > 1
⇔ 2

⇔
⇒ m ∈∅
−
1
<
m
<
1
4
m
−
4
<
0


TH2: Phương trình 4 x 2 + 4mx + 1 =
0 (*) có đúng 1 nghiệm
0 vơ nghiệm, phương trình: mx 2 − 2 x + 1 =
 4m 2 − 4 < 0
−1 < m < 1
1

đơn x = ⇔ 
⇒ m =0 .
1⇔
m
<
0
2

=
⇒
⇔
−
=
⇔
=
m
0
*
2
x
1
0
x
(
)



2

Kết hợp 2 trường hợp suy ra m = 0 . Chọn A.


( x − m) ( 2x − m)
y=
2

Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

4x − x2 − 2

có tiệm

cận đứng.
B. m ∈ 

A. m ≠ 4.

D. m ≠ {2; 4}

C. m ≠ 2
Lời giải

Hàm số có tập xác định D = [ 0; 4] \ {2} .
2
2
( x − m) ( 2x − m) = − ( x − m) ( 2x − m) ( 4x − x + 2)
2
4x − x2 − 2
( x − 2)
2

Ta có: y =

Với m =
2⇒ y =
− ( 2x − 2)
Với m =

4⇒ y =
−

)

(

2 ( x − 4)

2

4 x − x 2 + 2 ⇒ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng

(

4 x − x2 + 2

x−2

) ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .

Với m ≠ {2; 4} đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 .
Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì m ≠ 2 . Chọn C.

Ví dụ 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y =

2017 + x + 1
x 2 − mx − 3m

có hai đường tiệm cận đứng

là:
1 1
A.  ; 
4 2

 1
B.  0;  .
 2

C. ( 0; +∞ )

D. ( −∞; −12 ) ∪ ( 0; +∞ )

Lời giải
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng ⇔ x 2 − m x − 3m =
0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≥ −1 .
∆ = ( −m ) − 4 ( −3m ) > 0
∆ > 0
m 2 + 12m > 0



 1
⇔  x1 + x2 ≥ −2
⇔  x1 + x2 ≥ −2
⇔ m ≥ −2
⇔ m ∈  0;  . Chọn B.
 2
 x +1 x +1 ≥ 0

x x + x + x +1 ≥ 0
1 − 2m ≥ 0
(
)(
)
1
2
1
2
2

 1

2

Ví dụ 15: Cho hàm số =
y

m x 2 + 2 x − x . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận

ngang.
A. m = 1.

B. m ∈ {−2; 2}

C. m ∈ {−1;1}
Lời giải

Ta có: y
=

mx 2 − x2 + 2 x
=
mx 2 + 2 x + x

( m − 1) x 2 + 2 x
mx 2 + 2 x + x

D. m > 0