Chuyên đề tiệm cận hàm số

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Bài 3 :TIỆM CẬN HÀM SỐ
3.1TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang:
• Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận

( )

( )

( )

ngang) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim f x = y 0 hoặc lim f x = y 0 .
•

x →+∞

x →−∞

Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận

( )
( )
lim f ( x ) = −∞ hoặc lim f ( x ) = −∞ .

đứng) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim− f x = +∞ hoặc
x →x 0

( )

lim f x = +∞ hoặc

x →x 0 +

x →x 0 −

x →x 0 +

2. Đường tiệm cận xiên:
Đường thẳng y = ax + b a ≠ 0 được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là

(

)

( )

tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f x nếu

lim f x =  f x − ax + b  = 0 hoặc lim f x =  f x − ax + b  = 0
x →−∞

( )

( ) (
f (x )
Trong đó a = lim
x →+∞

x →+∞

a = lim

( )

f x

x →−∞

x

x

)

( )

( ) (

)

, b = lim  f x − ax  hoặc

x →+∞ 

( )

, b = lim  f x − ax  .

x →−∞ 

( )

Chú ý : Nếu a = 0 thì tiệm cận xiên trở thành tiệm cận đứng.

3.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
2x − 1
1. y =
3. y =
x +2
2. y =

x2 − x + 1
x −1

x2 + 1
x

4. y = 1 + 1 − x 2

Giải :
2x − 1
x +2
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 2 .

1. y =

{}

86


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2x − 1
* Ta có: lim y = lim
= lim
x →−∞
x →−∞ x + 2
x →−∞

2x − 1
lim y = lim
= lim
x →+∞
x →+∞ x + 2
x →+∞

1
x = 2 và
2
1+
x

2−

1
x = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị khi
2

1+
x

2−

x → −∞ và x → +∞ .
2x − 1
lim y = lim
= −∞ và
−
− x +2
x → −2
x → −2

( )

( )

lim y =

( )+

x → −2

( )

x → −2

x→
−

2x − 1
= +∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị khi
+ x +2
−2

lim

( )

( )

+

và x → −2 ;

y
2x − 1
= lim
= 0 ⇒ hàm số f không
x →−∞ x
x →−∞ x x + 2
lim

(

)

có tiệm cận xiên khi x → −∞ .
1

y
2x − 1
x = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận
lim
= lim
= lim
x →+∞ x
x →+∞ x x + 2
x →+∞ x + 2
2−

(

)

xiên khi x → +∞ .
x2 − x + 1
x −1
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1

2. y =

{}

1
x −1

1 
⇒ lim y = lim  x +
 = +∞ và

x −1
x →1+
x →1+ 

1 
lim y = lim  x +
 = −∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
−
−
x
−
1


x →1
x →1

* Ta có: y = x +

khi x → 1+ và x → 1− ;


1 
lim y = lim  x +
 = +∞ và
x →+∞
x →+∞ 
x −1



1 
lim y = lim  x +
 = −∞ ⇒ hàm số không có tiệm cận ngang
x →−∞
x →−∞ 
x −1

87


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
1
= 0 và lim (y − x ) = lim
=0
x →+∞
x →+∞ x − 1
x →−∞
x →−∞ x − 1
⇒ y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
lim (y − x ) = lim

x2 + 1
3. y =
x
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 0 .

{}

1

x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang
lim y = lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x
x2
của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
−x 1 +

1
x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ
lim y = lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x
x2
thị hàm số khi x → +∞ .
x 1+

x2 + 1
x2 + 1
= −∞ , lim+ y = lim+
= +∞ ⇒ x = 0
x →0
x →0
x →0
x →0
x

x
đứng của đồ thị hàm số khi x → 0− và x → 0+
lim− y = lim−

y
x2 + 1
lim = lim
= lim
x →−∞ x
x →−∞
x →−∞
x2
xiên khi x → −∞
2

y
x +1
= lim
= lim
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x2
khi x → +∞

−x 1 +
x2
x 1+

lim

x2

là tiệm cận

1
x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận

1
x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên

4. y = 1 + 1 − x 2


 −1 ≤ x ≤ 1

2
y = 1 + 1 − x ⇔ y ≥ 1
 2
x + y − 1

(

2

)

=1

( )

Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R = 1 .
Vậy đồ thị hàm số không có tiêm cận.
Chú ý :

88


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho hàm phân thức f (x ) =

u(x )
.
v(x )

v(x ) = 0
a) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ 
.
u
(
x
)
≠
0

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong đó deg là
bậc của đa thức.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi đó để tìm

tiệm cận xiên ta chia u(x ) cho v(x ) , ta được: y = ax + b +

u1 (x )
v(x )

, trong đó

deg u1 (x ) < deg v(x )
⇒ lim

u1 (x )

u1 (x )

= 0 ⇒ y = ax + b là TCX của đồ thị hàm số.
v(x ) x → −∞ v(x )
* Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại.
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
3x − 2
3. y = x + x 2 + 4x + 5
1. y =
3x + 4
x 2 + 5x + 1
2x 2 + 3x − 4
2. y =
2. y =
x +2
5x − 2
x → +∞

= lim

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
1. y = x 2 − 2x + 2

2. y = x + x 2 − 1
Giải :

1. y = x 2 − 2x + 2
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .
y
x 2 − 2x + 2
2 2
* Ta có: a = lim
= lim
= lim 1 − +
=1
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x
x x2


b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 − x 
x →+∞
x →+∞ 

2
−2 +

−2x + 2
x
= lim
= lim
= −1
x →+∞
x →+∞
2
2
2
x − 2x + 2 + x
1− +
+1
x x2
⇒ y = x − 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .

89


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
y
x 2 − 2x + 2
2 2
= lim
= − lim 1 − +
= −1
x →−∞ x
x →−∞
x →−∞
x

x x2


b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 + x 
x →−∞
x →−∞ 

2
−2 +
−2x + 2
x
= lim
= lim
=1
x →−∞
x →−∞
2
2
2
x − 2x + 2 − x
− 1− +
−1
x x2
⇒ y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
a = lim

2. y = x + x 2 − 1
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ .

(

)


y
x + x2 − 1
1 
=2
= lim
= lim  1 + 1 −
2 
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞ 
x
x 

−1


b = lim y − ax = lim  x 2 − 1 − x  = lim
=0
x →+∞
x →+∞ 
 x →+∞ x 2 − 1 + x

a = lim

(

)

⇒ y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .

y
x + x2 − 1
1 
=0
a = lim
= lim
= lim  1 − 1 −
2 
x →−∞ x
x →+∞
x →+∞ 
x
x 

−1


b = lim y = lim  x 2 − 1 + x  = lim
=0
x →−∞
x →−∞ 
 x →−∞ x 2 − 1 − x
⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞ .

Nhận xét:
1) Xét hàm số y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .

* Nếu a < 0 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
* Nếu a > 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a (x +

b
) khi x → +∞ và
2a


b 
y = − a x +
 khi x → −∞ .
2a 

2) Đồ thị hàm số y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có tiệm cận là đường
thẳng : y = mx + n + p a | x +

b
|.
2a

90


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
1. y =

x −2
−x

x +4

3. y = x − x 2 + 2x + 3

Ví dụ 3: Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
x −1
sau: y =
.
mx 3 − 1
Giải :
* m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
x −1

⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận
x → +∞
x → −∞
x3 − 1
ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
1
Vì lim f (x ) = lim = ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
3
x →1+
x →1−

* m = 1 ⇒ f (x ) =

m ≠ 0
 1 
* 
⇒ hàm số xác định trên D = » \ 


3
m ≠ 1
 m 
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đường thẳng x =

1
3

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

m

Bài tập tự luyện:
Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

( m − 1) x
y=

2

+m +2

mx 4 + 4

.

1

có cực trị và khoảng cách từ điểm
x
2
cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
.
17
Giải :

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = mx +

(

) (

)

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
* Ta có : y ' = m −

1
x2

,x ≠ 0 .

91


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 0 .

1
1
1
Với m > 0 thì y ' = 0 ⇔ m −
= 0 ⇔ x1 = −
< x2 =
và điểm cực
x2
m
m
 1

tiểu của hàm số là A 
;2 m  .
 m

1
1
= lim
= 0 nên d : y = mx là đường cận xiên.
Vì lim
x →−∞ x
x →+∞ x
1
m
−2 m
m
2
2
2

m
Theo bài toán d
=
⇔
=
⇔
=
(A,(d )) 17
17
17
m2 + 1
m2 + 1
m = 4
2
2
.
17.m = 2 m + 1 ⇔ 4m − 17m + 4 = 0 ⇔ 
m = 1

4
Bài toán tương tự :

()

mx 2 − mx + m − 1
có cực trị và khoảng cách từ điểm
x −1
1
cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
.

2

Tìm m để hàm số y =

Ví dụ 5 : Cho hàm số y =

)

(

mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3

. Tìm m để
x +1
khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .
Giải :

(

) (

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; −1 ∪ −1; +∞

)

(

mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3
y=

x +1

= mx + m 2 + 2 +

)

1
, x ≠ −1
x +1

1
1
= lim
= 0 nên d : y = mx + m 2 + 2
x →−∞ x + 1
x →+∞ x + 1

()

Vì lim

()

⇔ d : mx − y + m 2 + 2 = 0 là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số.

(

)

m2 + 2

Ta có : d O; d =
m2 + 1

= m2 + 1 +

1

≥2

m2 + 1

92


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

(

)

m2 + 1 =

Vậy d O; d nhỏ nhất bằng 2 khi

1

⇔ m = 0.

m2 + 1

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 .
Bài toán tương tự :
Cho hàm số y =

(

)

x 2 + m + 2 x + m 2 − 4m + 3

mx + 1
O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .

. Tìm m để khoảng cách từ gốc

mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2
C m ,với m ∈ » .
x + 3m

( )
1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 .
2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao

Ví dụ 6: Cho hàm số y =

cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 .
Giải :
Ta có: y = mx − 2 +

6m − 2
x + 3m

1
.
3
Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠

Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 .
Véc tơ pháp tuyến của ∆1 và ∆2 lần lượt là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1)
1. Góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 450 khi và chỉ khi
0

cos 45 = cos

n1.n2
n1 . n2

=

m
m2 + 1

=

2
⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1
2

Vậy m = ±1 là những giá trị cần tìm.
m ≠ 0
2 

2. Hàm số có tiệm cận xiên ⇔ 
1 . Khi đó: A(0; −2), B  ; 0 
m 
m ≠

3

1
1
2
Ta có: S ∆ABC = OAOB
.
= 4 ⇔ . | −2 | .
= 4 ⇔ m = ±2
2
2
m
Vậy m = ±2 là những giá trị cần tìm.
Bài toán tương tự :
93


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

( m − 1) x

Cho hàm số y =

2

+ (m + 1)x − 2m + 3

(Cm ) ,với m ∈ » .
1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 .
2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao
x − 2m

cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 .
x2 + x + 1
có đồ thị là C . Chứng minh rằng:
x −1
1. Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên C đến hai tiệm cận không đổi

( )

Ví dụ 7: Cho hàm số y =

( )

( )

2. Không có tiếp tuyến nào của C đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

Giải :
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1 .

{}

1. Ta có: y = x + 2 +

3
⇒ hai tiệm cận của đồ thị hàm số là ∆1 : x − 1 = 0
x −1

và ∆2 : x − y + 2 = 0

3 
Gọi M ∈ (C ) ⇒ M  x 0 ; x 0 + 2 +
 ⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1

x
−
1

0


(

x0 − x0 − 2 −

(

)

d2 = d M , ∆ 2 =

⇒ d1.d2 = x 0 − 1

3
+2
x0 − 1

=

2
3

=

2 x0 − 1

)

3
2 x0 − 1

3 2
đpcm.
2

2. Gọi I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3)

Giả sử ∆ là tiếp tuyến bất kì của đồ thị (C) ⇒ phương trình của ∆ có dạng


3

3
 (x − x ) + x + 2 +
∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 =  1 −
0
0
2

x0 − 1
(x 0 − 1) 



3
3
 (1 − x ) + x + 2 +
⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 −
=3
0
0
2

x0 − 1
(
x
−
1)

0


94


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
3
6
+ x0 + 2 +
−3 =0 ⇔
= 0 ta thấy phương trình
x0 − 1
x0 − 1
x0 − 1
này vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua I .
⇔ 1 − x0 +

95