Chuyen De Tiem Can Cua Do Thi

Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Tỉnh Thái Bình
Bài tập về tiệm cận của đờng cong
A lí thuyết
I - Tiệm cận của hàm phân thức
Xét hàm số :
( )
( )
( )
u x
y f x
v x
= =
1. Tiệm cận đứng :
Bớc 1 : Giải phơng trình u(x) = 0
{ }
1 2
, ,..,
n
x x x x
Bớc 2 : Nếu
( ) 0
( )
lim
( ) 0 ( )
k
k
k
x x
k
u x
u x

x x
v x v x



= =

=

là tiệm cận đứng
2. Tiệm cận ngang
Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết
MXD : Chứa
Deg(u(x)) Deg(v(x))





Bớc 2 : Xét giới hạn
( )
lim
( )
x
u x
b y b
v x

= =
là tiệm cận ngang

3. Tiệm cận xiên
Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết
MXD:chứa
Deg(u(x)) = Deg(v(x))+1




Bớc 2 : Tìm tiệm cận
Cách 1 : Phơng pháp tổng quát

( )
lim
x
f x
a
x

=
và
lim( ( ) )
x
b f x ax

=
suy ra y = ax + b là TCX
Cách 2 :
Bớc 1 :Thực hiện phép chia đa thức
( ) z(x)
( ) voi Bac z(x)< Bac v(x)

( ) v(x)
u x
f x ax b
v x
= = + +
Bớc 2 : Xét
( )
lim( ( ) ( )) lim 0
( )
x x
z x
f x ax b
v x

+ = =
suy ra y = ax +b là TCX
II Tiệm cận của hàm vô tỷ chứa căn bậc hai
1. Xét hàm số
2
( 0)y ax bx c a= + + >
Xét
2
lim( )
2
x
b
ax bx c a x
a

+ + +

= 0 nên
2
b
y a x
a
= +
là TCX
Với
x +
ta có TCX bên phải
( )
2
b
y a x
a
= +
Với
x
ta có TCX bên trái
( )
2
b
y a x
a
= +
Chú ý : Với a < 0 thì hàm số không có tiệm cận
2. Tiệm cận hàm số
2
( 0)y mx n p ax bx c a= + + + + >
là

2
b
y mx n p a x
a
= + + +
Với
x +
Ta có TCX bên phải
( )
2
b
y mx n p a x
a
= + + +
Với
x
ta có TCX bên trái
( )
2
b
y mx n p a x
a
= + +
Chú ý : với a< 0 hàm số không có tiệm cận
1
Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Tỉnh Thái Bình
Hàm số y = a
0
x
n

+a
1
x
n -1
+......+ a
1
x + a
0
không có tiệm cận
B Bài tập
Bài 1 : Tìm tiệm cận các hàm số sau
a)
4 3

2 5
x
y
x

=
+
b)
2
3x 6 15
y=
1
x
x
+

c)
3 2
2
x 4 2
y =
4
x x
x
+

d)
2
2 8
2 3 9
x
y
x x

=
+ +
Bài 2 : Tìm tiệm cận hàm số
a)
2
5 2
1
mx x
y
x
+
=

+
b)
2
x+2
y=
4x x m +
c)
3
2
m x 1
y =
3 2x x

+

Bài 3: ( ĐHSP TPHCM ) Cho ( C
m
) :
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
+
= =


Tìm m để đờng TCX tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 4 : (ĐHQGTPHCM) Cho (C
m
) :
2
1
( )
1
x mx
y f x
x
+
= =

Tìm m để đờng TCX tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 5 : Cho ( C ) :
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
+
= =

1) CMR : Tích khoảng cách từ M Thuộc (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi
2) Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt nhỏ nhất
Bài 6 : Tìm tiệm cận các hàm số sau
a)
2

3 2y x x= +
b)
2
y = x+2 -3 x 4
c)
2
x+1
y=
4x
d)
x+1
y= x
x-1
Bài 7 (ĐHTN 98 ) Cho (C) :
2
x sin 2x cos 1
y f(x)
x 2
+ +
= =
+
1) Xác định tiêm cận xiên của đồ thị hàm số
2) Tìm

để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị Max
HD :
2
x sin 2x cos 1 4sin 4cos 1
y f(x) xsin 2(cos sin )
x 2 x 2

+ + +
= = = + +
+ +
Đồ thị có TCX
sin 0
sin 0
1
cos( )
4sin 4cos 1 0
4
4 2








+
+



Với điều kiện đó TCX y =
xsin 2(cos sin ) +
KQ
1
tg
2

=
Bài 8 : Tìm m để hàm số :
2
x 3
y
x mx 1

=
+ +
a) Có đúng một tiệm cận đứng
b) Có hai TCĐ x= x
1
và x = x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
x x
7
x x
+ >
Bài 9 : (ĐH YD TPHCM 97 ) Cho (C) :
2
ax (2a 1)x a 3
y f(x)
x 2
+ + +

= =

với a #0 và a# 1
CMR Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10 :(ĐHAN 97 ) Cho (C) :
2 2
(m 1)x m
y f(x) (m 0)
x m
+
= =

CMR : Tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định
2
§ç §×nh Qu©n – GV To¸n Trêng THPT Nam TiÒn H¶i – TØnh Th¸i B×nh
KQ : y =
2
1 1 1
(P) : y x x
4 2 4
−
= + −
3