Toàn cảnh chuyên vinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (15.32 MB, 0 trang )
Nguyễn Hồng Việt
Giáo viên chun luyện thi Quốc Gia
TỒN C NH
CHUYÊN VINH 2016-2021
Qu ng Bình, ngày 06-08-2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
Cuốn sách này của:
……………………………………
……………………………………
……………………………………
Ngày đã r ng, bình minh đang t nh gi c!
“Khi nào em c m th y mu n phê phán và chê bai m t ai đó,
hãy nh r ng khơng ph i ai trên th# gi i này c$ng có nh%ng
thu&n l(i trong cu c s ng mà em có đư(c."
MỤC LỤC
Bài 01: Tính đơn điệu của hàm số……………………………………Trang 01
Bài 2: Cực trị của hàm số……………………………………………….Trang 28
Bài 3: Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số ………….Trang 48
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số………….Trang 74
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
0
/>
Bài 4: Đường tiệm cận của hàm số ………………………………..Trang 65
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1:
(Câu 19 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
x -∞
1
2
2
f(x)
+∞
+∞
-1
-∞
Ⓐ. (1; 2 ) .
Ⓑ. (1;+∞ ) .
Ⓒ. ( −1; 2 ) .
Ⓓ. ( −∞;1) .
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .
Câu 2:
(Câu 4 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình
/>
vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Ⓐ. ( 0;1) .
Ⓑ. ( −2; −1) .
Ⓒ. ( −1;0 ) .
Ⓓ. ( −1;3) .
Lời giải
Chọn C
Quan sát hình ta thấy trong các đáp án chỉ có khoảng ( −1;0 ) đồ thị hàm số đi lên.
Câu 3:
(Câu 15 - PTĐ Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là
đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
1
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
y
1
1
x
-1
O
-1
Ⓐ. ( 0;1) .
Ⓑ. ( −1;0) .
Ⓒ. ( −1;1) .
Ⓓ. ( −∞; −1) .
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến trong khoảng ( −1;0) .
Câu 4:
(Câu 16 - PTĐ Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị
như hình vẽ bên.
/>
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Ⓐ. ( −3;1) .
Ⓑ. ( 3; +∞ ) .
Ⓒ. ( −1;3) .
Ⓓ. ( 0; 2 ) .
Lời giải
Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số y = f ( x ) đi từ trên xuống dưới, từ trái sang phải trên khoảng
( 2; +∞ ) . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ ) .
ta được đáp án đúng là D
2
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Câu 5:
i bi ng”
(Câu 15 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
x
y'
−∞
−
0
0
+
2
0
−
4
0
+∞
1
−1
Ⓐ. (−1; 2).
Ⓑ. (1; 3).
+
3
2
y
+∞
Ⓒ. (1; 2).
Ⓓ. (2; 4).
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 0;2 ) và ( 4;+∞ ) .
Do đó ta chọn đáp án C .
Câu 6:
(Câu 22 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình
/>
vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Ⓐ. (1;2 ) .
Ⓑ. ( −1;0) .
Ⓒ. ( 0;1) .
Lời giải
Chọn B
Căn cứ vào đồ thị ta có bản biến thiên sau :
3
Ⓓ. ( −2; −1) .
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Dựa vào BBT ta có hàm số đồng biến trên ( −1;0) nên chọn đáp án B
Câu 7:
(Câu 11 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Ⓐ. ( 0;2) .
Ⓑ. ( −2;0) .
Ⓒ. ( −3; −1) .
Ⓓ. ( 2;3) .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;3) .
(Câu 8 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ⓐ. ( 2; 4 ) .
Ⓑ. ( 0; 3 ) .
Ⓒ. ( 2; 3 ) .
Ⓓ. ( −1; 4 ) .
Lời giải
Chọn C
Trên khoảng ( 1; 3 ) thì đồ thị có hướng đi lên. Suy ra hàm số đồng biến ( 1; 3 ) .
Như vậy khoảng ( 2; 3 ) ⊂ (1; 3 ) làm cho hàm số đồng biến.
4
/>
Câu 8:
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Câu 9:
i bi ng”
(Câu 11 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
Ⓐ. Nghịch biến trên khoảng (−1;0)
Ⓑ. Đồng biến trên khoảng (−3;1)
Ⓒ. Đồng biến trên khoảng (0;1)
Ⓓ. Nghịch biến trên khoảng (0;2)
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) .
Câu 10: (Câu 23 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2017 - 2018) Hàm số y = ( x 2 − x ) nghịch biến trên
2
khoảng nào dưới đây?
1
Ⓐ. 0; .
2
Ⓑ. (1;2 ) .
Ⓒ. ( −2;0 ) .
Ⓓ. ( 0;1) .
/>
Lời giải
Chọn C
x = 0
2
2
Ta có y ′ = 2 ( x − x ) ( 2 x − 1) . Giải phương trình y ′ = 0 ⇔ 2 ( x − x ) ( 2 x − 1) = 0 ⇔ x = 1 .
1
x =
2
Lập bảng biến thiên
x
y′
−∞
0
−
0
+
1
2
0
1
−
0
+∞
+
y
1
Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) và ;1 nên hàm số nghịch
2
biến trên khoảng ( −2;0 ) .
Câu 11: (Câu 7 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
5
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
x −∞
y'
+
−1
0
0
−
−
+∞
1
0
+∞
+
+∞
y
−∞
Ⓑ. ( −1; 1) .
Ⓒ. ( −∞; − 1) .
Ⓓ. ( 0; + ∞ ) .
Lời giải
Chọn A
Trong khoảng ( −1; 0 ) đạo hàm y ′ < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) .
Câu 12: (Câu 4 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị như hình
vẽ dưới.
Ⓐ. ( −1; 0 ) .
−∞
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
Ⓑ. Nghịch biến trên khoảng ( −3; 0)
Ⓒ. Đồng biến trên khoảng ( −1; 0)
Ⓓ. Nghịch biến trên khoảng (0; 3)
Lời giải
Chọn C
Câu 13: (Câu 11 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Ⓐ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; + ∞ ) .
Ⓑ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 3; + ∞ ) .
Ⓒ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; 1) .
6
/>
Ⓐ. Đồng biến trên khoảng (0; 2)
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
Ⓓ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0; 3) .
Lời giải
Chọn D
Câu 14: Dựa vào bảng biến thiên.
(Câu 7 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau?
π
Ⓐ. − ;0 .
2
3π
Ⓑ. π ;
2
π 3π
Ⓒ. ;
4 4
.
.
π
Ⓓ. ; π .
2
Lời giải
Chọn A
π
π
Hàm số y = sin x đồng biến trên − + 2kπ ; + 2kπ với k ∈ ℤ.
2
2
π π
Cho k = 0 ⇒ y = sin x đồng biến trên − ; .
2 2
π
Do đó hàm số y = sin x cũng đồng biến trên − ;0 .
2
Câu 15: (Câu 22 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
/>
hình bên. Hàm số y = −2 f ( x) đồng biến trên khoảng
Ⓐ. (1;2 ) .
Ⓑ. ( 2;3) .
Ⓒ. ( −1;0) .
Ⓓ. ( −1;1) .
Lời giải
Chọn A
y = −2 f ( x) suy ra y′ = −2 f ′ ( x) .
Hàm số y = −2 f ( x) đồng biến khi y′ > 0 ⇔ −2 f ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x ) < 0 .
Vậy y = −2 f ( x) đồng biến trên khoảng (1;2 ) .
Câu 16: (Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f ′ ( x ) = x 2 ( x 2 − 1) , ∀x ∈ ℝ . Hàm số y = 2 f ( − x ) đồng biến trên khoảng
7
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Ⓐ. ( 2; +∞ ) .
Ⓑ. ( −∞; −1) .
Ⓒ. ( −1;1) .
Ⓓ. ( 0; 2 ) .
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số y = g ( x ) = 2 f ( − x )
(
)
2
2
Ta có g ′ ( x ) = −2 f ′ ( − x ) = −2 ( − x ) . ( − x ) − 1 = −2 x 2 x 2 − 1 .
x2 = 0
x = 0
g′ ( x ) = 0 ⇔ 2
.
⇔
x = ±1
x −1 = 0
Kết luận hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 17: (Câu 15 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f ′ ( x ) = x ( x − 2 ) , với mọi x ∈ ℝ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3
Ⓐ. (1; 3) .
Ⓑ. ( −1; 0 ) .
Ⓒ. ( 0; 1) .
Ⓓ. ( −2; 0 ) .
Lời giải
Chọn C
Đồng thời f ′ ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( 0; 2 ) nên ta chọn đáp án theo đề bài là ( 0; 1) .
Câu 18: (Câu 25 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f ′( x) = x 2 − 2 x, ∀x ∈ ℝ . Hàm số y = −2 f ( x ) đồng biến trên khoảng?
Ⓐ. (0; 2)
Ⓑ. (2; + ∞)
Ⓒ. (−∞; − 2)
Ⓓ. (−2; 0)
Lời giải
Chọn A
x = 0
Ta có y′ = −2 f ′( x) = −2 x 2 + 4 x , y′ = 0 ⇔ −2 x 2 + 4 x = 0 ⇔
x = 2
Bảng biến thiên:
8
/>
x = 0
Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔
.
x = 2
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
Vậy hàm số y = −2 f ( x) đồng biến trên khoảng (0; 2) .
Câu 19: (Câu 3 - Chuyên Vinh - Lần 4 - Năm 2016 - 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên
( −∞; + ∞ ) ?
Ⓐ. y = x 4 + x 2 + 2
Ⓑ. y = x3 + x − 2
Ⓒ. y = x 2 + x + 1
Ⓓ. y = x3 − x + 1
Lời giải
Chọn B
y′ = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số y = x3 + x − 2 đồng biến trên ( −∞; + ∞ ) .
Câu 20: (Câu 13 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3 . Khẳng
định nào sau đây đúng?
Ⓐ. Hàm số nghịch biến trên (0; + ∞) .
Ⓑ. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) .
Ⓒ. Hàm số nghịch biến trên (−1; 1) .
Ⓓ. Hàm số đồng biến trên (−1; 0) .
Lời giải
Chọn D
x = 0
Tập xác định: D = ℝ . y′ = 4 x3 − 4 x . y′ = 0 ⇔
.
x = ±1
/>
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) và (1; +∞ ) .
Câu 21: (Câu 14 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2016 - 2017) Tìm m để hàm số y = x3 + 2 x 2 − mx + 1
đồng biến trên ℝ .
4
Ⓐ. m < − .
3
4
Ⓑ. m ≤ − .
3
4
Ⓒ. m ≥ − .
3
Lời giải
Chọn B
Ta có: y′ = 3x 2 + 4 x − m .
Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
9
4
Ⓓ. m > − .
3
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
4
⇔ ∆′y′ ≤ 0 ⇔ 4 + 3m ≤ 0 ⇔ m ≤ − .
3
Câu 22: (Câu 4 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số y = x 2 ( 3 − x ) . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
Ⓐ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
Ⓑ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
Ⓒ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Ⓓ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;3) .
Lời giải
Chọn C
Ta có y = − x3 + 3x 2 . y′ = −3x 2 + 6 x ;
x = 0
. Bảng biến thiên:
y′ = 0 ⇔
x = 2
y′
y
2
0
x −∞
−
0
+∞
+
0
+∞
−
4
−∞
Câu 23: (Câu 15 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2016 - 2017) Các giá trị của tham số m để hàm số
y = mx3 − 3mx 2 − 3x + 2 nghịch biến trên ℝ và đồ thị của nó khơng có tiếp tuyến song song
với trục hoành là
Ⓐ. − 1 < m < 0 .
Ⓑ. − 1 ≤ m ≤ 0 .
Ⓒ. − 1 ≤ m < 0 .
Ⓓ. − 1 < m ≤ 0 .
Lời giải
Chọn D
Phân tích: Vì đây là hàm bậc ba nên có hai tính chất sau:
Câu 24: Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và y′ = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Câu 25: Đồ thị hàm số khơng có tiếp tuyến song song với trục hồnh ⇔ y′ = 0 vơ nghiệm.
Kết hợp 2 tính chất ta được y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .
Lời giải
TXĐ: D = ℝ . y′ = 3mx − 6mx − 3 .
2
Nếu m = 0 thì y′ = −3 < 0, ∀x ∈ ℝ (thoả mãn).
10
/>
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên ( 0; 2 ) .
0
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
Nếu m ≠ 0 thì ycbt ⇔ y′ < 0∀x ∈ ℝ
m < 0
m < 0
⇔
⇔ 2
∆′ < 0
9m + 9m < 0
⇔ −1 < m < 0
Câu 26: Kết hợp 2 trường hợp ta được: − 1 < m ≤ 0 .
(Câu 34 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
f ( x ) = 3 x + m x 2 + 1 đồng biến trên ℝ ?
Ⓐ. 5 .
Ⓑ. 1.
Ⓒ. 7 .
Ⓓ. 2 .
Lời giải
Chọn C
Ta có f ( x ) = 3x + m x 2 + 1 ⇒ f ′ ( x ) = 3 +
mx
2
x +1
⇒ f ′′ ( x ) =
(
m
x2 + 1
)
3
.
Ta có: lim f ′ ( x ) = m + 3 , lim f ′ ( x ) = − m + 3 .
x →+∞
x →−∞
Trường hợp 1: m > 0 , khi đó f ′′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ′ ( x ) đồng biến trên ℝ .
Hàm số f ( x ) đồng biến trên ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ −m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .
So điều kiện: 0 < m ≤ 3 .
Trường hợp 2: m < 0 , khi đó f ′′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ′ ( x ) nghịch biến trên ℝ .
Hàm số f ( x ) đồng biến trên ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ −3 .
/>
So điều kiện: −3 ≤ m < 0 .
Trường hợp 3: m = 0 , khi đó f ( x ) = 3x , hiển nhiên hàm số đồng biến trên ℝ .
Kết luận: hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 .
Câu 27: (Câu 45 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Giả sử f ( x ) là một đa thức bậc bốn. Đồ
thị hàm số y = f ' (1 − x ) được cho như hình bên.
(
)
Hỏi hàm số g ( x ) = f x 2 − 3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ⓐ. (1;2 ) .
Ⓑ. ( −2; −1) .
Ⓒ. ( 0;1) .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có:
11
Ⓓ. ( −1;0 ) .
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
f ' (1 − x ) = a.x. ( x − 2 ) .( x − 3) ,
( a > 0)
= − a. (1 − x ) − 1 . (1 − x ) + 1 . (1 − x ) + 2
⇒ f ' ( x ) = −a ( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
Ta có: g ' ( x ) = 2 x. f ' ( x 2 − 3) = −2a.x ( x 2 − 4 )( x 2 − 2 )( x 2 − 1)
hàm
số
g ( x ) = f ( x 2 − 3)
nghịch
( a > 0)
biến
trên
các
khoảng
( −2; − 2 ) , ( −1;0) , (1; 2 ) , ( 2; +∞ ).
Câu 28: (Câu 74 - PTĐ Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) , hàm
số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
(
Vậy
,
)
Hàm số g ( x ) = f − x − x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ⓑ. ( 1; 2 ) .
Ⓒ. ( −1; 0 ) .
/>
Ⓐ. ( −2; −1) .
1
Ⓓ. − ; 0 .
2
Lời giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ .
′
Ta có g ′ ( x ) = − x − x 2 . f ′ − x − x 2 = − (1 + 2 x ) . f ′ − x − x 2 .
(
) (
)
(
)
x = −0,5
x = −0, 5
1 + 2 x = 0
2
Khi đó g ′ ( x ) = 0 ⇔
.
⇔ − x − x = 0 ⇔ x = 0
2
f ′ ( − x − x ) = 0
− x − x2 = 1
x = −1
Bảng biến thiên của y = g ( x ) :
12
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
x
∞
+
g'(x)
1
1/2
0
0
1
+
i bi ng”
+∞
0
g(x)
1
Dựa vào bàng trên ta thấy hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên các khoảng −1; − và ( 0; +∞ ) .
2
Câu 29: (Câu 75 - PTĐ Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét
dấu đạo hàm như sau:
Hàm số y = g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ⓐ. ( −2; −1) .
Ⓑ. ( 2;+∞ ) .
Ⓒ. ( 0;2 ) .
Ⓓ. ( −1;0 ) .
Lời giải
Chọn C
′
Ta có: g ′ ( x ) = x 2 − 2 . f ′ x 2 − 2 = 2 x. f ′ x 2 − 2 .
/>
(
) (
)
(
)
Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có số nghiệm hữu hạn nên phương
trình g ′ ( x ) = 0 cũng có số nghiệm hữu hạn. Do đó, ta cần tìm x sao cho g ′ ( x ) ≤ 0.
x ≥ 0
x ≥ 0
2
2
f ′ x − 2 ≤ 0
0 ≤ x ≤ 2
x − 2 ≤ 2
2
Ta có g ′( x) ≤ 0 ⇔ xf ′ x − 2 ≤ 0 ⇔
⇔
⇔
.
x ≤ −2
x≤0
x ≤ 0
2
x2 − 2 ≥ 2
′
f
x
−
2
≥
0
(
)
(
)
(
)
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi tập: [ 0; 2] , ( −∞; −2].
Từ các đáp án của đề bài ta chọn hàm số nghịch biến trên ( 0;2) .
Câu 30: (Câu 40 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Có bao nhiêu số nguyên dương m sao
cho hàm số y = x3 + x 2 + (1 − m ) x + 2 đồng biến trên (1; + ∞ ) ?
Ⓐ. 5 .
Ⓑ. 7 .
Ⓒ. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Ta có D = ℝ , y ′ = 3 x 2 + 2 x + 1 − m .
13
Ⓓ. 6 .
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Để hàm số đồng biến trên (1; + ∞ ) thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ;
⇔ 3x 2 + 2 x + 1 − m ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ m ≤ 3x 2 + 2 x + 1, ∀x ∈ (1; +∞ ) ;
1
Xét hàm số g ( x ) = 3x 2 + 2 x + 1, g ′ ( x ) = 6 x + 2 = 0 ⇔ x = − ∉ (1; +∞ ) ,
3
+
Câu 31: (Câu 39 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và
có đồ thị như hình bên dưới. Tìm m để bất phương trình f ( x ) ≥
x +1
+ m nghiệm đúng với
x+2
mọi x ∈ [ 0;1] .
Ⓐ. m < f (1) −
2
.
3
Ⓑ. m ≤ f (1) −
2
.
3
Ⓒ. m ≥ f ( 0 ) −
1
.
2
1
Ⓓ. m > f ( 0 ) − .
2
/>
Lời giải
Chọn B
Ta có f ( x ) ≥
x +1
x +1
.
+ m ⇔ m ≤ f ( x) −
x+2
x+2
Đặt g ( x ) = f ( x ) −
x +1
x +1
, ta có m ≤ f ( x ) −
, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] .
x+2
x+2
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) −
1
( x + 2)
2
.
Từ đồ thị ta có trên [ 0;1] hàm số f ( x ) nghịch biến nên
f ′( x ) ≤ 0 ⇒ g′( x) = f ′( x) −
1
( x + 2)
2
m∈ℤ
Do đó m ≤ 6
→ m ∈ {1; 2;3; 4;5; 6} , chọn D .
< 0 , ∀x ∈ [ 0;1] .
Suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên [ 0;1] .
Bảng biến thiên
14
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
2
Từ bảng biến thiên ta có m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ g (1) ⇔ m ≤ f (1) − .
3
Vậy m ≤ f (1) −
2
.
3
Câu 32: (Câu 44 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2019 - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
y = x 4 − 2 ( m 2 − 3m ) x 2 + 3 đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) ?
Ⓐ. 4 .
Ⓑ. 6 .
Ⓒ. 2 .
Ⓓ. 5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có y′ = 4 x 3 − 4 ( m 2 − 3m ) x
Hàm
số
đồng
( 2; +∞ ) ⇔ y′ ≥ 0 ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ 4 x − 4 ( m
∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ m 2 − 3m ≤ 4 ⇔ −1 ≤ m ≤ 4 .
/>
3
2
biến
trên
− 3m ) x ≥ 0 ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ m − 3m ≤ x
2
2
Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 33: (Câu 34 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo
hàm như hình bên. Hàm số y = f (1− 2x) đồng biến trên khoảng
3
2
Ⓐ. 0; .
1
2
Ⓑ. − ;1 .
Lời giải
Chọn A
Ta có y = f (1− 2x) ⇒ y′ = − f ′ (1− 2x) .
Hàm số đồng biến ⇔ y ′ ≥ 0 ⇔ f ′ (1 − 2x ) ≤ 0 .
15
1
2
Ⓒ. −2; − .
3
2
Ⓓ. ;3 .
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
x ≥ 2
1 − 2 x ≤ −3
3
⇔ −2 ≤ 1 − 2 x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ .
2
1 − 2 x ≥ 3
x ≤ −1
Vậy chọn đáp án
Ⓐ.
Câu 34: (Câu 41 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2018 - 2019) Cho f ( x) mà đồ thị hàm số y = f ′ ( x)
Ⓐ. (1;2) . Ⓑ. ( −1;0) .
Ⓒ. ( 0;1) .
2
như hình bên. Hàm số y = f ( x −1) + x − 2x đồng biến trên khoảng
Ⓓ. ( −2; −1) .
Lời giải
Chọn A
2
Ta có y = f ( x −1) + x − 2x
Khi đó y′ = f ′ ( x −1) + 2x − 2 . Hàm số đồng biến khi y ′ ≥ 0 ⇔ f ′ ( x −1) + 2 ( x −1) ≥ 0 (1)
/>
Đặt t = x − 1 thì (1) trở thành: f ′ ( t ) + 2t ≥ 0 ⇔ f ′ ( t ) ≥ −2t .
Quan sát đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) và y = − 2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta thấy với t ∈ ( 0;1) thì đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) luôn nằm trên đường thẳng y = − 2t .
2
Suy ra f ′ ( t ) + 2t > 0, ∀t ∈ ( 0;1) . Do đó ∀x ∈(1;2) thì hàm số y = f ( x −1) + x − 2x đồng
biến.
16
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
Câu 35: (Câu 48 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2018 - 2019) Cho f ( x ) mà đồ thị hàm số y = f ′ ( x )
như hình vẽ bên. Bất phương trình
−2
1
y
O 12
−1
f (x) > sin
πx
2
π
x
+ m nghiệm đúng với mọi x ∈ −1; 3 khi và chỉ khi
Ⓐ. m < f (0 ) .
Ⓑ. m < f (1) − 1 .
Ⓒ. m < f ( − 1) + 1 .
Ⓓ. m < f ( 2 ) .
Lời giải
Chọn B
Cách 1 :
Xét g ( x ) = f ( x ) − sin
• Với x ∈[ −1;1) ⇒
πx
2
⇒ g '( x ) = f '( x ) −
π
2
cos
πx
2
πx π π
πx
∈ − ; ⇒ cos
> 0 (1)
2 2 2
2
Đồng thời dựa vào đồ thị f '( x) ta thấy f ' ( x ) < 0, ∀x ∈[ −1;1) (2)
Từ (1), (2) ta suy ra g ' ( x ) < 0, ∀x ∈[ −1;1) .
/>
• Với x ∈ (1;3] ⇒
π x π 3π
πx
∈ ; ⇒ cos < 0 (3)
2 2 2
2
Đồng thời dựa vào đồ thị ta thấy f ' ( x ) > 0, ∀x ∈(1;3] (4)
Từ (3), (4) ta suy ra g ' ( x ) > 0 , ∀x ∈(1;3] .
f ' (1) = 0
⇒ g ' (1) = 0 . Ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau:
Tại x = 1: π
cos = 0
2
Để bất phương trình f ( x ) − sin π x > m nghiệm đúng với mọi x ∈[ −1;3]
2
g (x)
⇒ m < m in g ( x ) ⇒ m < g (1 ) = f (1 ) − 1 .
[ − 1;3 ]
17
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Cách 2
Xét bất phương trình f (x) > sin
f ( x) > sin
πx
2
Xét f (x) − sin
+ m ⇔ f (x) − sin
πx
2
+ m (1) với x ∈ −1; 3 , ta có:
> m (2)
2
với x ∈ − 1; 3
2
πx
πx
+ Từ đồ thị của hàm số y = f '( x ) đã cho ta suy ra BBT của f ( x ) như sau:
Từ BBT ta suy ra: f ( x ) ≥ f (1), ∀x ∈ −1;3 (*)
+ Do x ∈ − 1; 3 nên: −1 ≤ x ≤ 3 ⇔ −
Suy ra: −1 ≤ sin
πx
2
≤ 1 ⇔ −1 ≤ − sin
+ Từ (*) và (**) cho ta: f (x) − sin
2
πx
2
πx
2
π x 3π
2
≤
2
≤ 1 (**)
≥ f (1) −1, ∀x ∈ −1;3 . Dấu " = " xảy ra khi x = 1
πx
2
≤
+ m nghiệm đúng với mọi x ∈ −1; 3
⇔ m < f (1) − 1 .
Câu 36: (Câu 36 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có
f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên.
Hàm số y = 3 f ( x ) − x 3 đồng biến trên khoảng
18
/>
Do đó: Bất phương trình f (x) > sin
π
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Ⓐ. ( 2; +∞ ) .
Ⓑ. ( −∞ ; 2 ) .
Ⓒ. ( 0; 2 ) .
i bi ng”
Ⓓ. ( 1; 3) .
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số y = 3 f ( x ) − x 3 . Ta có y′ = 3 f ′ ( x ) − 3x 2 .
Cho y′ = 0 ⇔ f ′ ( x ) − x 2 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x 2
Ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = x 2 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị y = f ′ ( x ) .
/>
Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên sau:
Ta có f ( 0 ) = 0 nên từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = 3 f ( x ) − x 3 có đồ thị được xây
dựng từ đồ thị hàm số y = 3 f ( x ) − x 3 bằng cách bỏ phần phía dưới trục hồnh và lấy đối xứng
phần bị bỏ qua trục hồnh. Do đó hàm số y = 3 f ( x ) − x 3 đồng biến trên ( 0; 2 ) .
Câu 37: (Câu 36 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2018 - 2019) Cho f ( x ) mà hàm số y = f ' ( x ) có
bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
1
m + x 2 < f ( x ) + x3
3
là
19
nghiệm
đúng
với
mọi
x∈ ( 0;3)
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Ⓐ. m < f ( 0 )
Ⓑ. m ≤ f ( 0 )
Ⓒ. m ≤ f ( 3)
Ⓓ. m < f (1) −
2
3
Lời giải
Chọn B
1
1
Ta có: m + x 2 < f ( x ) + x3 ⇔ m < f ( x ) + x3 − x 2 .
3
3
1
2
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x 2 trên [ 0;3] , có g ' ( x ) = f ' ( x ) + x − 2 x .
3
g ' ( x ) ≥ 0 ⇔ f ' ( x ) ≥ 2x − x2 ∀x ∈[ 0;3] .
Theo bảng biến thiên f ' ( x ) > 1 , ∀x ∈[ 0;3] , mà 2 x − x 2 ≤ 1, ∀x ∈ ℝ
⇒ f ' ( x ) > 2x − x2 , ∀x ∈[ 0;3] nên ta có bảng biến thiên của g ( x) trên [ 0;3] :
Từ bảng biến thiên ta có m < g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≤ f ( 0)
Câu 38: (Câu 36 - Chuyên Vinh - Lần 3 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm
/>
số y = f ′ ( x ) được cho như hình bên. Hàm số y = −2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng
y
3
1
−1 O
2
3 4
5
x
−2
Ⓐ. ( −3; − 2 ) .
Ⓑ. ( −2; − 1) .
Ⓒ. ( −1; 0 ) .
Ⓓ. ( 0; 2 ) .
Lời giải
Chọn C
Ta có y = −2 f ( 2 − x ) + x 2 ⇒ y′ = − ( 2 − x )′ 2 f ′ ( 2 − x ) + 2 x
20
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
i bi ng”
y′ = 2 f ′ ( 2 − x ) + 2 x ⇒ y′ < 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) + x < 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 .
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = x − 2 cắt đồ thị y = f ′ ( x ) tại hai điểm có hồnh độ
1 < x1 < 2
nguyên liên tiếp là
và cũng từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < x − 2 trên miền 2 < x < 3 nên
x2 = 3
f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 trên miền 2 < 2 − x < 3 ⇔ −1 < x < 0 .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) .
Câu 39: (Câu 34 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2017 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
2 4
2
m ∈ ( −10;10) để hàm số y = m x − 2 ( 4m − 1) x + 1 đồng biến trên khoảng (1; + ∞ ) ?
Ⓐ. 15
Ⓑ. 6
Ⓒ. 7
Ⓓ. 16
Lời giải
Chọn D
Ta xét 2 trường hợp:
TH 1: m 2 = 0 , khi đó y = 2 x 2 + 1 ⇒ y ' = 4 x ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) . (Nhận)
TH 2: m 2 ≠ 0 , đặt t = x 2 , khi đó y = m2t 2 − 2 ( 4m − 1) t + 1,
( ∀t > 1)
Ta có y ' = 2m2t − 2 ( 4m − 1)
/>
y'= 0 ⇔ t =
4m − 1
>1
m2
Lập bảng biến thiên ta có
4m − 1
< 1 ⇔ m 2 − 4m + 1 > 0
m2
m > 2 + 3
⇔
m < 2 − 3
Vậy m = {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;4;5;6;7;8;9}
Câu 40: (Câu 36 - Chuyên Vinh - Lần 1 - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên
tục trên ℝ. Bảng biến thiên của hàm số y = f ′( x ) được cho như hình vẽ bên. Hàm số
x
y = f 1 − + x nghịch biến trên khoảng
2
Ⓐ. (2; 4)
21
Ⓑ. (0; 2)
Ⓒ. ( −2; 0)
Ⓓ. ( −4; −2)
TOÀN C NH CHUYÊN VINH 2016 - 2021
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Lời giải
Chọn D
1 x
x
Xét hàm y = f 1 − + x , ta có: y′ = − f ′ 1 − + 1
2 2
2
Xét (1): (1) ⇔ − 4 < x < − 2 .
Xét (2): ( 2 ) ⇔ 2 − 2a < x < 4
Ta thấy các đáp án B, C không thỏa mãn và với a < 0 ⇒ 2 − 2 a > 2 nên Đáp án A không thỏa
mãn, vậy đáp án D thỏa mãn.
Câu 41: (Câu 32 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2016 - 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số y = ( m 2 − 1) x 4 − 2mx 2 đồng biến trên (1; +∞ )
Ⓐ. m ≤ −1 hoặc m > 1
Ⓒ. m = −1 hoặc m >
Ⓑ. m ≤ −1 hoặc m ≥
1+ 5
2
x
2 <1 − < 3 (1)
1 x
x
2
Xét BPT y′ = − f ′ 1 − + 1< 0 ⇔ f ′ 1 − > 2 ⇔
với
2 2
2
−1<1 − x < a ( 2 )
2
f ′ ( a ) = 2, a∈( −1;0 ) .
1+ 5
2
Ⓓ. m ≤ −1
/>
Lời giải
Chọn B
y ′ = 4 ( m2 − 1) x3 − 4mx = 4 x ( m2 − 1) x 2 − m
Để hàm số y = ( m 2 − 1) x 4 − 2mx 2 đồng biến trên (1;+∞ ) ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ )
⇔ ( m2 − 1) x 2 − m ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) , (*)
Nếu m2 − 1 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = −1
Với m = 1 khi đó (*) ⇔ −1 ≥ 0 ( mâu thuẫn)
Với m = −1 khi đó ( *) ⇔ 1 ≥ 0 ( đúng) nhận m = −1
Nếu m2 − 1 > 0 ⇔ m < −1 hoặc m > 1 .
Khi đó (*) ⇔ ( m 2 − 1) x 2 ≥ m, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ x 2 ≥
m
m
, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ 1 ≥ 2
m −1
m −1
2
1− 5
m < −1
m ≤
2
2
⇔ m − m −1 ≥ 0 ⇔
⇒
m ≥ 1 + 5
1+ 5
m
≥
2
2
Nếu m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1
22
“Thành cơng là nói khơng v i l
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Khi đó (*) ⇔ ( m 2 − 1) x 2 ≥ m, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ x 2 ≤
m
, ∀x ∈ (1; +∞ )
m −1
2
( Không xảy ra do ∀x ∈ (1; +∞ ) )Vậy giá trị cần tìm m ≤ −1 hoặc m ≥
i bi ng”
1+ 5
2
Câu 42: (Câu 43 - Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc
bốn. Đồ thị hàm y = f ′ ( x − 1) được cho trong hình vẽ bên.
Hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) + 2 x2 + 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ⓐ. ( −2; −1) .
Ⓑ. (1;2) .
Ⓒ. ( 0;1) .
Ⓓ. ( −1;0) .
Lời giải
Chọn D
Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( 2 x ) + 4 x + 2 .
/>
Xét g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ 2 f ′ ( 2 x ) ≥ −4 x − 2 ⇔ f ′ ( 2 x ) ≥ −2 x − 1 .
Đặt 2 x = t − 1 ta có f ′ ( t − 1) ≥ − ( t − 1) − 1 ⇔ f ′ ( t − 1) ≥ −t .
Vẽ đường thẳng y = −t trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm y = f ′ ( t − 1) .
−3
x≤
t
≤
−
2
2
⇔
Ta có f ′ ( t − 1) ≥ −t ⇔
−1 ≤ t ≤ 2
−1 ≤ x ≤ 1
2
Câu 43: (Câu 82 - PTĐ Chuyên Vinh - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
ℝ có f ( 0 ) =
23
1
. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ
2
