Hình học giải tích trong OXY

Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
(Phần: Hình học)
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 10).
- Biên soạn theo chương trình mới THPT của Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động up tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 1.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn ôn luyện chăm chỉ và đạt kết quả tốt nhất!!!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú
PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết:
 Cho ba điểm:
( ) ( ) ( )
CCBBAA
yxCyxByxA ;;;;;
. Ta có:

 Tọa độ véctơ
( )
.;
ABAB
yyxxAB −−=
 Tọa độ trung điểm I của AB là:






++
2
;
2
BABA
yyxx
I
.
 Tọa độ trọng tâm G của
ABC∆
là:






++++

3
;
3
CBACBA
yyyxxx
G
.
 Cho hai véctơ:
( ) ( )
2121
;;; bbbaaa ==
. Ta có:

( )
2211
; bababa ++=+
.

( )
2211
; bababa −−=−
.

2211
bababa +=
.

( )
21
.; akakak =

.

2
2
2
1
aaa +=

( )
ba
ba
ba
.
.
;cos =

( )
0
90;0. >⇔< baba

( )
0
90;0. =⇔= baba

( )
0
90;0. <⇔> baba


0. =⇔⊥ baba


2
2
1
1
//
b
a
b
a
ba =⇔
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1).
a) Chứng minh
ABC∆
cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh
MABC ⊥
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Gọi G là trọng tâm của
ABC
∆
. Chứng minh
.
2
1
GAMG =

e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A.
C. Bài tập vận dụng:
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC∆
có A(1;5); B(-3;2); C(4;1).
a) Chứng minh
ABC
∆
cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh
MABC ⊥
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Gọi G là trọng tâm của
ABC∆
. Chứng minh
.
2
1
GAMG =
e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại B.

Bài 2: Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
2
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
A. Lí thuyết:

1. Nhắc lại kiến thức về đường thẳng ở lớp 10:
Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, trong đó k gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Hệ số góc k = tan

α
=
1
2
a
a
(
α
là góc hợp bởi d với trục Ox,
);(
21
aaa =
là VTCP của d).
Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có hsg k
1
và k
2
. Ta có:
 Nếu
21
dd ⊥
thì : k
1
.k
2
= -1

 Nếu d
1
// d
2
thì : k
1
= k
2

2. Véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là véctơ có phương trùng hoặc song song với đường
thẳng. Thường kí hiệu :
a

.
 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với đường thẳng
.Thường kí hiệu là :
n

.
Cách suy từ
a

sang
n

hoặc
n

sang

a

:
 Giả sử :
a

=(
21
;aa
)là VTCP của d.

⇒
);(
12
aan −=

hoặc
);(
12
aan −=

là véctơ pháp tuyến của d.
 Giả sử :
);( BAn =

là VTPT của d.

);( ABa −=⇒

hoặc

);( ABa −=

là véctơ chỉ phương của d.
(Đảo vị trí và đổi dấu một trong hai tọa độ)
3. Phương trình của đường thẳng :
 Cho
);(
21
aaa =

là VTCP của d.

);( BAn =

là VTPT của d .
Điểm M(
);
00
yx
thuộc d.
Ta có :
 PT tham số của d:
x
=
tax
10
+

tayy
20

+=
 PT chính tắc của d:
2
0
1
0
a
yy
a
xx −
=
−
 PT tổng quát của d:
0)()(
00
=++− yyBxxA
hoặc:
0=++ CByAx
 Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(o;b) thì ptđt d viết theo đoạn
chắn là:

1=+
b
y
a
x
4. Góc và khoảng cách:
 Góc giữa hai đường thẳng:

21

21
21
21
21
2121
.
.
);cos(
.
.
);cos();(
aa
aa
aa
nn
nn
nnddCos ====



 Khoảng cách từ M(
00
; yx
) đến d:
0=++ CByAx
 d(M;d) =
22
00
BA
CByAx

+
++
3
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
5. PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi :
0
1111
=++= CyBxAd
;
0
2222
=++= CyBxAd
là:

2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+

++
±=
+
++
Lưu ý: Dấu
±
tương ứng với một đường phân giác của góc nhọn và một đường phân giác
góc tù. Để phân biệt được dấu nào là của đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường
phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau:
Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc
tù mang dấu còn lại.
B:Bài tập điển hình: (GV trực tiếp giải).
1. Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại B. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình tham số của đt AB; chính tắc của đt AC; tổng quát của BC.
c) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.
h) Viết phương trình đường thẳng (h) đi qua A và vuông góc AC.
k) Gọi K là giao điểm giữa (h) và trung trực cạnh BC. Tìm tọa độ điểm K. Chứng minh ABHK
là hbh.
l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy sao cho tam giác ACD vuông tại C.
m) Viết phương trình đường thẳng DC. Tìm tọa độ giao điểm của DC và trục hoành.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d
1
: x – 2y + 1 = 0
d
2
:

3
5
2
1
−
+
=
− yx

a) Viết phương trình đường thẳng
1
∆
qua M và song song d
1
.
b) Viết phương trình đường thẳng
2
∆
qua M và song song d
2
.
c) Viết phương trình đường thẳng
3
∆
qua M và vuông góc d
1
.

d) Viết phương trình đường thẳng
4

∆
qua M và vuông góc d
2
.
3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh lần lượt là:
M(2;1); N(5;3); P(3;4).
4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1).
a) Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.
5. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
1
∆
: x + 2y – 6 = 0 và
2
∆
: x – 3y + 9 = 0.
a) Tính góc tạo bởi
1
∆
và
2
∆
.
b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến
1
∆
và

2
∆
.
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi
1
∆
và
2
∆
.
4
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
6. Trong mặt phẳng Oxy cho
∆
ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao có phương
trình:
AH: 4x – 3y + 1 = 0;
BI: 7x + 2y – 22 = 0.
Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của
∆
ABC.
7. Lập ptđt d đi qua M(2;5) đồng thời cách đều hai điểm P(6;2) và Q(5;4) .
8. Lập ptđt
∆
đi qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + 4 = 0 góc 45
0
.
9. Lập pt đường thẳng d đi qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) một khoảng bằng
22

.
10. Lập pt các cạnh của
∆
ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – 4 = 0
3x + 8y + 13 = 0.
11. Hai cạnh của hbh có pt : x - 3y = 0 và 2x+5y+6=0 .Một đỉnh của hbh là C(4 ;-1)Viết pt hai
cạnh còn lại và đường chéo AC.
12. Lập pt các cạnh của
∆
ABC ,biết A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + 1 = 0 ;y
– 1 = 0.
13. Cho đt
∆
: x = 2 + 2t
y = 3 + t
Tìm M nằm trên
∆
và cách điểm A(0 ;1) một khỏang bằng 5.
C:Bài tập vận dụng :
1. Cho
∆
ABC, M(-1 ;1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh kia có pt: x+2y-2=0 và
2x+6y+3=0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
2. Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và một đường chéo đặt trên đt :7x-y+8=0. Lập pt các cạnh và
đường chéo thứ 2 của hình vuông.
3. Một hình bình hành có 2 cạnh nằm trên 2 đt : x + 3y – 6 = 0 ; 2x - 5y – 1 = 0. Tâm I(3 ;5).
Viết pt hai cạnh còn lại của hình bình hành.
4. Trong mp 0xy cho 3 đt: d
1

: 3x + 4y – 6 = 0 ; d
2
: 4x + 3y – 1 = 0 ; d
3
: y = 0.
a. Xác định tọa độ 3 đỉnh A,B,C biết: A= d
1
∩
d
2
; B= d
2
∩
d
3
;C= d
1
∩
d
3
.
b. Viết pt đường phân giác trong của các góc A,B.
c. Tìm tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp
∆
ABC.
5. Tìm quỹ tích các điểm cách đt
∆
: 2x - 5y + 1 = 0 một troảng bằng 3.
6. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đt d
1

: 4x - 3y + 2 = 0
d
2
: y – 3 = 0.
7. Lập ptđt qua P(2 ;-1) sao cho đt đó cùng với 2 đt d
1
: 2x - 4y + 5 = 0 ; d
2
: 3x + 6y – 1 = 0
tạo ra một
∆
cân có đỉnh là giao điểm của d
1
và d
2
.
5
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
8. Cho
∆
ABC cân tại A biết AB : x + y + 1 = 0 và BC : 2x - 3y – 5 = 0.
Lập pt cạnh AC biết nó đi qua M(1 ;1).
9. Cho
∆
ABC cân tại A(3 ;0) tìm tọa độ B và C biết B,C nằm trên đt d :3x + 4y + 1 = 0 và
S
ABC
= 18.
10. Cho

∆
ABC có B(2 ;-1). Đường cao đi qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác
trong của gód C là : x + 2y – 5 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của
∆
ABC .
11. Viết pt các cạnh
∆
ABC biết tọa độ của chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C là M(-
1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2).

Bài 3: Phương trình của đường tròn trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết :
1. Phương trình đường tròn :
Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình :


Dạng 1 :
( ) ( )
2
22
Rbyax =−+−


Dạng 2 :
022
22
=+−−+ cbyaxyx
Trong đó :
cbaR −+=
22

, điều kiện :
0
22
>−+ cba
2. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):

φ
=∩⇔> )();( CdRdId
d không có điểm chung với (C).

{ }
ACdRdId =∩⇔= )();(
d tiếp xúc với (C).

{ }
BACdRdId ;)();( =∩⇔<
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm có dạng :

222
22
111
22
2222 cybxayxcybxayx +−−+=+−−+
4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x
0
;y
0
) có dạng :

0)()(
0000
=+−+−+ yybxxayyxx
B. Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)
1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
a)
( ) ( )
412
22
=++− yx
b)
( ) ( )
313
22
=−++ yx

c)
0364
22
=−−−+ yxyx
d)
0264
22
=+−++ yxyx
e)
014522
22
=++−+ yxyx
f)
016477

22
=−+−+ yxyx
g)
012
22
=−−+ xyx
h)
1
22
=+ yx
2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7.
b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1).
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5).
d) (C) có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x + y – 1 = 0.
6
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
e) (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d
1
: x – 3y +1 = 0 với đường thẳng d
2
: x = -4 đồng
thời tiếp xúc với đường thẳng d
3
: x + y -1 = 0.
3. Cho đường tròn (T) : x
2
+ y

2
– 4x + 8y – 5 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại A(-1 ;0).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y + 1 = 0.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).
4. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x - 2y - 2 = 0.
a) d
1
: x + y = 0.
b) d
2
: y + 1 = 0. c) d
3
: 3x + 4y +5 = 0.
5. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn :
(C
1
) : x
2
+ y
2
– 2x + y – 1 = 0.
(C
2

) : x
2
+ y
2
+ 3x - 4y – 3 = 0.
6. Cho hai đường tròn có phương trình :
(T
m
) : x
2
+ y
2
– 2mx +2(m+1)y – 1 = 0.
(C
m
) : x
2
+ y
2
– x + (m – 1)y + 3 = 0.
a) Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn theo tham số m.
b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định.
7. Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = 0
với đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0.
8. Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường thẳng d
1

: x – 3y + 1 = 0 và
d
2
: x + 4 = 0 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 1 = 0.
9. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
10. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc
với hai đường thẳng d
1
: x + y + 4 = 0, d
2
: 7x – y + 4 = 0.
11. Cho (C
m
) : x
2
+ y
2
– 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0.
a) Tìm m để (C
m
) là đường tròn.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn.
12. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(T
1
) : x
2
+ y
2
– 1 = 0.

(T
2
) :
( ) ( )
1634
22
=−+− yx
.
13. Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) đi qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở
trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 0.
14. Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x - 6y + 6 = 0.
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là
trung điểm của AB.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
15. Cho đường tròn (C) :
( ) ( )
2531
22
=++− yx
a) Tìm giao điểm A, B của đường tròn với trục ox.
b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại B.
c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng AB.

16. Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 6x - 4y + 4 = 0.
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A.
c) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN.
17. Cho hai đường tròn :
(C
1
) : x
2
+ y
2
– 2x + 4y - 4 = 0
(C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x - 4y - 56 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C
1
) và (C
2
).
b) Chứng minh (C
1

) và (C
2
) tiếp xúc nhau.
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
18. Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 -
2
= 0. Viết phương trình
đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d.
C:Bài tập vận dụng :
1. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R =
7
b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1).
c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1).
d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
.0: =−∆ yx
e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp xúc
với đường thẳngd
/
: 2x + 3y + 7 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 4.

a)
01:
1
=−∆ x
b)
02:
2
=−∆ x
c)
012:
3
=−+∆ yx
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x
2
+y
2
= 4 trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tiếp điểm A(0; 2).
b) Biết tt song song
0173: =+−∆ yx
c) Biết tt vuông góc
022:
/
=+−∆ yx
d) Biết tt đi qua M(2; 2).
e) Biết tt tạo với trục Ox một góc
0
45
f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – 1 = 0 Tiếp xúc đường tròn (T).

8
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
4. Cho đường tròn (T) : x
2
+ y
2
– 4x + 8y – 5 = 0. Viết pttt của (T) biết tiếp tuyến đó :
a) Tiếp xúc với đương tròn tại A(-1 ; 0).
b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = 0.
c) Song song với đường thẳng d
/
: 3x - 4y – 9 = 0.
d) Đi qua B(3; -11).
e) Tìm m để đường thẳng
0)1(: =+−+∆ mymx
có điểm chung với (T).

ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1. ĐH KA 2004 :
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B(
)1;3 −−
. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2. ĐH KB 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y
– 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
3. ĐH KD 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC

∆
có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với
0
≠
m
. Tìm tọa
độ trọng tâm G của
ABC∆
theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
4. ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
: 2x + y – 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
21
; dCdA ∈∈
và B, D thuộc trục hoành.
5. ĐH KB 2005:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròm (C) tiếp
xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm I của (C) đến điểm B bằng 5.
6. ĐH KD 2005:
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
1
14
22
=+
yx
và điểm C(2; 0). Tìm tọa độ các điểm A, B
thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác

đều.
7. ĐH KA 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng: d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x – y – 4 = 0, d
3
: x – 2y =
0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1

bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
8. ĐH KB 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1). Gọi
T
1
, T
2
là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T
1
T

2
.
9. ĐH KD 2006 :
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
- 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x – y
+ 3=0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính đường
tròn (C), tiếp xúc ngời với (C).
10. ĐH KA 2007 :
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC
∆
có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ
từ B; M và N lâng lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua ba
điểm H, M, N.
11. ĐH KB 2007:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng: d
1
: x + y – 2 = 0 ; d
2
: x + y – 8
= 0. Tìm tọa độ các điểm B thuộc d
1
, C thuộc d

2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
12. ĐH KD 2007:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đường thẳng d: 3x – 4y
+ m = 0
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới C
(A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
13. ĐH KA 2008:
Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai
bằng
3
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 120.
14. ĐH KB 2008:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng
hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của
góc A có phương trình: x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ tưg B có phương trình: 4x + 3y – 1 = 0.
15. ĐH KD 2008:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y
2
= 16x và điểm A(1;4). Hai điểm
phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC bằng 90
0
. Chứng minh rằng
đường thẳng BC luôn đi qua một điểm có định.
16. ĐH KA 2009:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh
CD thuộc đường thẳng
.05: =−+∆ yx
Viết phương trình đường thẳng AB.
17. ĐH KB 2009:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ y
2
=
5
4

và hai đường thẳng
0:
1
=−∆ yx
,
.07:
2
=−∆ yx
Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của
đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với các đường thẳng
21
,∆∆
và tâm K thuộc

đường tròn (C).
18. ĐH KD 2009:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh
AB. Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x
– y – 4 = 0. viết phương trình đường thẳng AC.
19. ĐH KA 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
03 =+ yx
và d
2
:
.03 =− yx

Gọi (T) là đường trong tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC
vuuon tại A. viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
2
3
và điểm A có
hoành độ dương.
20. ĐH KA 2010: (nâng cao).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6), đường
thẳng đi qua trung điểm I, J của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ
của các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
10

Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
21. ĐH KB 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân
giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC biết
diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
22. ĐH KB 2010: (nâng cao).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;
3
) và elip (E):
1
23
22
=+
yx
. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm của (E) (F
1
có hoành độ âm) M là giao điểm có tung độ dương của đường
thẳng AF
1
với (E); N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ANF
2
.

23. ĐH KD 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1),
tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
24. ĐH KD 2010: (nâng cao).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và
∆
là đường thẳng đi qua O. gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên
∆
. Viết phương trình đường thẳng
∆
, biết khoảng cách từ
H đến trục hoành bằng AH.
25. ĐH KA 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
–
4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến
(C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
26. ĐH KA 2011: (nâng cao).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc
(E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

27. ĐH KB 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm
M thỏa mãn OM.ON = 8.
28. ĐH KB 2011: (nâng cao).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B
1
;1
2
 
 ÷
 
. Đường tròn nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D (3; 1) và
đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
29. ĐH KD 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường
thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và
C
30. ĐH KD 2011: (nâng cao).
Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x + 4y − 5 =
0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân
tại A.

11
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:

Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
PHẦN 2: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Bài 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong không gian Oxyz
A. Lí thuyết:
1. Các công thức cơ bản:
 Cho ba điểm:
( ) ( ) ( )
CCCBBBAAA
zyxCzyxBzyxA ;;;;;;;;
. Ta có:
 Tọa độ véctơ
( )
.;;
ABABAB
zzyyxxAB −−−=
 Tọa độ trung điểm I của AB là:






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx

I
.
 Tọa độ trọng tâm G của
ABC∆
là:






++++++
3
;
3
;
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
.
 Cho hai véctơ:
( ) ( )
321321
;;;;; bbbbaaaa ==
. Ta có:

( )
332211
;; babababa +++=+

.

( )
332211
;; babababa −−−=−
.

332211
babababa ++=
.

( )
321
.;.; akakakak =
.

2
3
2
2
2
1
aaaa ++=

( )
ba
ba
ba
.
.

;cos =

( )
0
90;0. >⇔< baba

( )
0
90;0. =⇔= baba

( )
0
90;0. <⇔> baba


0. =⇔⊥ baba

3
3
2
2
1
1
//
b
a
b
a
b
a

ba ==⇔
2. Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng:
 Khái niệm:
Trong không gian Oxyz, tích có hướng của hai véctơ
a
và
b
là một véctơ vuông góc với cả
a

và
b
.
Kí hiệu : [
ba;
]
Cho :
( )
321
;; aaaa =

( )
321
;; bbbb =

( )
2
2
1
1

1
1
3
3
3
3
2
2
;;];[
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
ba =⇒
Nhớ : bỏ cột 1 ; bỏ cột 2 đổi chiều ; bỏ cột 3
 Ứng dụng:

];[
2
1
ACABS
ABC

=
∆

/
.
].;[
////
AAADABV
DCBAABCD
=

ADACABV
ABCD
].;[
6
1
=
A
A
12
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
A
C
B



cbacba ,,0].;[ ⇒=
đồng phẳng.


baba ,0];[ ⇒=
cùng phương.
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm: A(1;-2;4); B(-3;2;0); C(3;-1;0).
a) Tìm tọa độ các véc tơ:
CBBCCAACBAAB ;;;;;
.
b) Tìm tọa độ
ABm .2=
;
ACABn += .2
;
ABBCACe .4.3.2 +−=
.
c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của tam giác ABC.
f) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh
CIGI .
3
1
=
g) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
h) Tìm điểm E thuộc 0x để tam giác ACE vuông tại C.
2. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD.
d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

C:Bài tập vận dụng :
1. Cũng với yêu cầu như bài 1, phần bài tập điển hình nhưng thay đổi tọa độ các điểm như sau:
A(3;-4;2); B(-1;0;6); C(5;-3;2).
2. Cũng với yêu cầu như bài 2, phần bài tập điển hình nhưng thay đổi tọa độ các điểm như sau:
A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2), D(6;2;0).

Bài 2: Phương trình của mặt phẳng trong không gian Oxyz
A. Lí thuyết:
 Cho
);;( CBAn =
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
).(
α

n
Điểm
);;(
000
zyxM
thuộc mặt phẳng
).(
α

⇒
phương trình mặt phẳng
)(
α
:
.0).().().(
000

=−+−+− zzCyyBxxA
 Nếu mp
)(
α
có cặp VTCP là
1
a
và
2
a
thì VTPT của
)(
α
là
];[
21
aan =
.
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
qua A và vuông góc với BC
b) Viết phương trình mp (ABC)
c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC.
2. Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
qua M(5 ;1 ;2) và song song với mp

( )
β
: x + 2y +3z - 1
= 0
13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
3. Viết phương trình mp
)(
α
chứa MN với M(1 ;0 ;1) ; N(-1 ;3 ;2) và vuông góc với mp
( )
β
: x
– 2y + z +5 =0.
4. Viết phương trình mp
)(
α
qua gốc tọa độ O, song song với PQ với P(1 ;0 ;1) ; Q(0 ;2 ;0) và
vuông góc với
( )
β
: y – 2z +1 = 0.
5. Viết phương trình mp
)(
α
qua M(5 ;2 ;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng
1
( )
α

: x – z + 2 = 0 và
2
( )
α
: 2x + 3y + z = 0
C:Bài tập vận dụng :
1. Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) ; B(0;1;0); C(-2;1;-1)
a)Viết phương trình mp
)(
α
qua C và vuông góc với AB
b)Viết phương trình mp(ABC)
c)Viết phương trình mặt phẳng trung trực của BC.
2. Viết phương trình mp
)(
α
qua M(2 ;-1 ;0) và song song với mp
( )
β
: x + y + 3z – 1 = 0.
3. Viết phương trình mp
)(
α
qua MN với M(1 ;1 ;-2) , N(3 ;1 ;0) và vuông góc với mp
( )
β

:
5x + 3y - z + 4 = 0
4. Viết phương trình mp

)(
α
qua A(1 ;0 ;1) và vuông góc với hai mp
1
( )
α
: x – y + 1 = 0
2
( )
α
: 2x – y + z = o

Bài 3: Phương trình của đường thẳng trong không gian Oxyz
A. Lí thuyết:
 Cho
);(
21
aaa =
là véctơ chỉ phương của đường thẳng d.
Điểm
∈);(
00
yxM
d
Phương trình tham số của d là: x = x
0
+ a
1
.t
y = y

0
+ a
2
.t
z = z
0
+ a
3
.t
Phương trình chính tắc của d là :
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx −
=
−
=
−
 Trong không gian Oxyz, mỗi đường thẳng d được xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P)
và (Q).
Nếu mp(P) : A
1

.x + B
1
.y + C
1
.z + D
1
= 0 và mp(Q) : A
2
.x + B
2
.y + C
2
.z + D
2
= 0

Thì phương trình tổng quát của đường thẳng d là : A
1
.x + B
1
.y + C
1
.z + D
1
= 0
A
2
.x + B
2
.y + C

2
.z + D
2
= 0
Nếu xem mp(P) và mp(Q) lần lượt có véctơ pháp tuyến là
1
n
và
2
n
thì VTCP của d là :
];[
21
nna =
.
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; -2); B(3; -1; -1); C(2; 0; 3).
a) Viết phương trình tham số của AC.
b) Viết phương trình chính tắc của AB.
c) Viết phương trình tổng quát của BC.
d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC.
2. Viết phương trình đường thẳng
∆
trong các trường hợp sau :
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
a)
∆
qua M(2 ;1 ;0) và song song với đường thẳng d : x = 3t

y = 2 – t
z = 1+ 5t
b)
∆
qua N(1 ;0 ;-3) và song song với đường thẳng d :
2 3 4
1 2 1
x y z− + −
= =
−
3. Viết phương trình đường thẳng qua A(1 ;0 ;-2) và vuông góc với mp
( )
α
: 2x + y – z +1 = 0.
4. Viết phương trình mp
( )
α
qua M (2 ;-3 ;1) và vuông góc với đường thẳng d :
2 1 3
1 5 2
x y z− − −
= =
5. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x = 1 + 2t và mp (
β
) : x – 3y + 2z + 6 =
0.
y = -2 – t
z = 4t
a) Tìm giao điểm của d và (
β

).
b) Viết phương trình mp
( )
α
chứa đường thẳng d và vuông góc với mp (
β
)
6. Viết phương trình mp
( )
α
chứa m(2;1;0), N(3;-1;2) đồng thời vuông góc với mp(
β
): 2x
+ y + z -3 = 0
7. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
trên
mp(Oxz)
C:Bài tập vận dụng :
Trong không gian Oxyz cho mp
( )
α
: 2x – 3y + z – 2 = 0 và đường thẳng d:
2 1 5
1 3 2
x y z− + −
= =

− −
a) Viết pt mp
( )
1
α
qua A(1;1;0) và //
( )
α
.
b) Viết pt mp
( )
2
α
qua B(0;1;0) và vuông góc với d.
c) Viết pt đường thẳng d
1
qua C(0;2;0) và // d.
d) Viết pt đường thẳng d
2
qua D(2;-1;0) và vuông góc
( )
α
.
e) Viết pt mp
( )
3
α
chứa d và vuông góc
( )
α

.
f) Viết pt đường thẳng d
3
nằm trên
( )
α
vuông góc d đồng thời đi qua E(0;1;2).
g) Viết pt hình chiếu vuông góc của d xuống mp (
β
).

Bài 4: Góc và khoảng cách trong không gian Oxyz
A. Lí thuyết:
 Góc:
 Góc giữa hai đường thẳng :
Cho
1
a
là VTCP của đường thẳng
1
∆

2
a
là VTCPcủa đường thẳng
2
∆
15
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!

⇒
Cos(
1
∆
:
2
∆
) = /Cos(
1
a
;
2
a
)/ =
21
21
.
.
aa
aa
 Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho
1
n
là VTPT của mp
( )
α

2

n
là VTPT của mp
( )
β

⇒
Cos
( ) ( )( )
βα
;
= /Cos(
1
n
;
2
n
)/ =
21
21
.
;
nn
nn
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho
a
làVTCP của đường thẳng
∆

n

là VTPT của mp
( )
α

⇒
Sin
( )( )
α
;∆
= /Cos(
a
;
n
)/ =
na
na
.
.
 Khoảng cách:
 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Cho điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và mặt phẳng (
α
): A.x + B.y + Cz + D = 0

⇒
d(M; (
α
)) =
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
Cho đường thẳng
∆
qua điểm M
0
và có VTCP
a
.

⇒
d(M;
∆
) =
a
aMM ];[
0
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho đường thẳng
1
∆

qua M
1
và có VTCP
1
a
đường thẳng
2
∆
qua M
2
và có VTCP
2
a

⇒
d
( )
21
;∆∆
=
];[
].;[
21
2121
aa
MMaa

⇒
1
∆

chéo
2
∆

0].;[
2121
≠⇔ MMaa

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Tìm góc tạo bởi cặp đường thẳng
1
∆
x = 1 + 2t
2
∆
x = 2 – 5t’
y = 3t y= 1+ t’
z = -2 + t z = 5
2. Tìm góc tạo bởi 2 mp sau:
)(
α
x – y + z + 2 =0 và
( )
β
: 4x – 3y + 5z + 1 = 0.
3. Tìm góc tạo bởi đường thẳng
∆
: x = 3t và mp

)(
α
: 2x +5y + 3 = 0.
y = 1 - 2t
z = 2 + 5t
4. Tính khoảng cách từ M( 0;1;-2) đến mp
)(
α
: 2x + 3y – z – 6 = 0.
16
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
5. Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng
∆
: x = 2 + t
y = -1 + 3t
z = 3 – 2t
6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
∆
:
2 1 3
1 3 2
x y z− + −
= =
−

2
∆
:

2
3 9 6
x y z−
= =
−
7. Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai mp :
)(
α
: x + y – z + 1 = 0 và
( )
β
: x – y + z – 5 = 0.
C:Bài tập vận dụng :
1. Tìm góc tạo bởi 2 đường thẳng
1
∆
: x = 1 + 2t
2
∆
: x = 2 – t’
y = -1+ t y = -1+3 t’
z = 3 + 4t z = 4 + 2t
2. Tìm góc tạo bởi các cặp mp sau:
a)
)(
α
: x + y – 5z + 1 = 0 và
( )
β
: 5x + y – 3z = 0

b)
)(
α
: 2x – 2y + z + 3 = 0 và
( )
β
: z + 2 = 0
c)
)(
α
: x – 2z + 1 = 0 và
( )
β
: y = 0.
3. Tìm góc tạo bởi đường thẳng
∆
và mp
)(
α
trong các trường hợp sau đây :
a) x = 1 + 2t và
)(
α
: 2x – y + 2z – 1 = 0

∆
: y = -1 + 3t
z = 2 - t
b)
∆

:
2 1 3
4 1 2
x y z+ − −
= =
−
và
)(
α
: x + y – z + 2 = 0.
4. Tìm khoảng cách từ các điểm M(1 ;-1 ;2) ; N(3 ;4 ;1) ; P(-1 ;4 ;3) đến mp
)(
α
: x + 2y + 2z
– 10 = 0
5. Tính khoảng cách từ các điểm M(2 ;3 ;1) và N(1 ;-1 ;1) đến đường thẳng
∆
:
2 1 1
1 2 2
x y z+ − +
= =
−
6. Tìm khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau đây :
a)
1
∆
: x = 1 + t
2
∆

: x = 2 – 3t’ b)
1
∆
:
1 3
2 1 3
x y z− +
= =
và
2
∆
:
2 1 1
4 2 4
x y z+ − +
= =
− −
y = -1 - t y = -2+3 t’
z = 1 z = 3t’

Bài 5: Phương trình của mặt cầu trong không gian Oxyz
A. Lí thuyết:
 Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:
 Dạng 1: (x – a )
2
+ (y – b )
2
+ (z – c )
2
= R

2
 Dạng 2: x
2
+ y
2
+ z
2
– 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = 0.
Trong đó : R =
dcba −++
222
, điều kiện :
.0
222
>−++ dcba
 Vị trí tương đối của mặt phẳng (
α
) và mặt cầu (S) :

( )
)()(;
αα
⇔> RId
không cắt mặt cầu (S).

( )
)()(;
αα
⇔= RId
tiếp xúc mặt cầu (S).


( )
)()(;
αα
⇔< RId
cắt mặt cầu (S) tạo ra giao tuyến là một đường tròn.
 Đường tròn trong không gian:
17
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
Gọi K là tâm của đường tròn trong không gian.
R là bán kính của đường tròn.

⇒
Tâm K là hình chiếu của I xuống mp(
α
).
(viết pt đt d qua I và
⊥
)(
α
; tìm giao điểm K của d và
)(
α
).

⇒
Bán kính
22
IKRr −=

, trong đó:
( )
)(;
α
IdIK =
.
B. Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a)
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 4x y z− + + + − =
b)
2 2 2
( 2) ( 1) 7x y z− + + + =
c)
2 2 2
8 4 6 20 0x y z x y z+ + − + − + =
d)
2 2 2
1
3 2 0
4
x y z x y+ + − + + =
e)
2 2 2
2 2 2 4 5 2 1 0x y z x y z+ + + − + + =
f)
2 2 2
2 1 0x y z y+ + − − =
g)

2 2 2
1x y z+ + =
2. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (
α
):
a) (S) :
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z+ + − − + + =
(
α
): x + 2y + z - 1 = 0
b) (S) :
2 2 2
4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − =
(
α
): x + y – z – 10 = 0
c) (S):
2 2 2
4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − =
(
α
): x + 2y – 2z + 1 = 0
d) (S)
2 2 2
4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − =
(
α
) : 3x – 4y = 0.
3. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-3;1) và đi qua B(5;-2;1)

4. Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1)
5. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-2;1) và tiếp xúc với mp (
α
) : 4x – 3y – 8 = 0.
6. Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4)
7. Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) ;
D(-2 ;3 ;1)
8.Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại M(4 ;3 ;0), biết (S) :
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z+ + − − + + =
9.Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện đó song song với mp (
α
) : x - 2y +
z +3=0
và mặt cầu (S) có phương trình :
2 2 2
2 4 6 1 0x y z x y z+ + − + − + =
10. tìm tâm và bán kính của các đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (
α
) và mặt cầu (S)
trong các trường hợp sau đây:
a) mp (
α
) : x + 2y - 2z + 1 = 0 và (S) :
2 2 2
6 2 2 1 0x y z x y z+ + − + − + =
b) mp (
α
) : 2x + 2y + z – 5 = 0 và (S) :
2 2 2

12 4 6 24 0x y z x y z+ + − + − − =
C:Bài tập vận dụng :
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 9x y z− + + + − =
b)
2 2 2
2 6 4 1 0x y z x y z+ + − + − − =
c)
2 2 2
3 4 6 2 0x y z x y z+ + + − + − =
18
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
d)
2 2 2
7 7 7 3 2 5 1 0x y z x y z+ + − + + − =
2. Xét vị trí tương đối của mp(
α
) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (
α
) : 3x + 4y – 1 =0 và (S) :
2 2 2
69
4 2 6 0
5
x y z x y z+ + − + − + =
b) (

α
) : x – y + 2z + 4 = 0 và (S) :
2 2 2
3 5 0x y z z+ + − − =
3. Lập phương trình mặt cầu tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mp(
α
) : x + 2y – 2z + 5 = 0.
4. Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1 ;3 ;5) và B(7 ;9 ;11)
5.Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C với A(1 ;0 ;-1), B(1 ;2 ;1), C(0 ;2 ;0).
6.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1 ;1 ;1), B( 1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2),
D(2 ;2 ;1)
7.Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau :
a) x – y + z - 4 = 0

2 2 2
2 4 8 4 0x y z x y z+ + − + − − =
b) 2x + 3y – z + 5 = 0

2 2 2
6 7 0x y z y+ + − − =

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP – NÂNG CAO
1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (
α
) và đường thẳng d lần lượt có phương trình:
(
α
): 2x – 3y + z – 2 = 0 ; d:
2
5

3
1
1
2
−
−
=
−
+
=
− zyx
a) Viết phương trình mặt phẳng (P
1
) qua A(1;1;0) và // (
α
).
b) Viết phương trình mặt phẳng (P
2
) qua B(0;1;0) và
⊥
d.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) qua C(0;2;0) và // d.
d) Viết phương trình đường thẳng (d
2
) qua D(2;-1;0) và
⊥
(
α

).
e) Viết phương trình mặt phẳng (P
3
) chứa d và
⊥
(
α
).
f) Viết phương trình đường thẳng (d
3
) nằm trên (
α
) và vuông góc với d đồng thời đi qua
E(0;1;2).
g) Tính khoảng cách từ O đến (
α
) và d.
h) Tính góc giữa d và (
α
).
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
:
∆

tz
ty
tx
+=
−=
=

3
1
2
và mp(
α
):
010 =−++ zyx
a) Tìm giao điểm M của
∆
và mp(
α
).
b) Viết phương trình đường thẳng d qua M và
⊥
(
α
).
c) Viết phương trình mp(
β
) chứa
∆
và
⊥
(
α
).
3. Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;2) và mp(
α
): 2x – y +2z + 11 = 0.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

∆
qua M và
⊥
(
α
).
b) Tìm hình chiếu H của M xuống (
α
).
c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (
α
).
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
4. Trong không gian Oxyz cho điểm m(2;-1;1) và đường thẳng d:
tz
ty
tx
2
1
23
=
−−=
+=
a) Viết phương trình mp(
α
) qua M và
⊥
d.

b) Tìm hình chiếu M’ của M xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng của M qua d.
5. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1
1
3
2
:
−
−
=
−
−
=∆
zyx
và d :
tz
ty
tx
25
21
2
+=
+=
−=
a) Viết phương trình mp(
α
)chứa d và //
∆

.
b) Chứng minh
∆
và d chéo nhau. Tính khoảng cách giữa
∆
và d.
c) Viết phương trình
∆
’ qua A(1;-2;1) dồng thời vuông góc cả
∆
và d.
6. Trong không gian Oxyz cho mp(
α
): y + 2z = 0 và hai đường thẳng:

1
∆
:
tz
ty
tx
4
1
=
=
−=
;
2
∆
:

1
24
2
=
+=
−=
z
ty
tx
a) Tìm giao điểm giữa hai đường thẳng với (
α
).
b) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (
α
) và cắt cả hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
.
c) Tính khoảng cách giữa
1
∆
và
2
∆
.
7. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
1

∆
:
1
2
3
1
2
1 −
=
−
=
+ zyx
và
2
∆
:
25
2
1
2
−
=
+
=
− zyx
a) Chứng minh
1
∆
và
2

∆
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;0;-2) và vuông góc với
1
∆
và
2
∆
.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
.
8. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng:
1
∆
: x = 3t ; y = 1 –t ; z = 5 + t.
2
∆
: x = 1 + t’ ; y = -2 + 4t’ ; z = 2 + 3t’.
3
∆
:
19
7
5
4 zyx

=
+
=
+
.
a) Chứng minh
1
∆
chéo
2
∆
;
2
∆
chéo
3
∆
.
b) Tính khoảng cách giữa
1
∆
và
2
∆
.
c) Viết phương trình đường thẳng
∆
//
1
∆

và cắt cả hai đường thẳng
2
∆
và
3
∆
.
9. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :

1
∆
:
tz
ty
tx
4
1
=
=
−=

2
∆
:
tz
ty
tx
54
3
21

−=
+−=
−=
a) Tính góc hợp bởi
1
∆
và
2
∆
.
20
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
b) Tính khoảng cách từ O đến
1
∆
và
2
∆
.
c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp tọa độ Oxz và cắt cả
1
∆
và
2
∆
.
10. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
1
∆

:
tz
ty
tx
−=
=
+=
3
21
và
2
∆
:
12
3
1
2 zyx
=
−
−
=
+
a) Viết phương trình mp qua A(1;-1;1) và song song với cả
1
∆
và
2
∆
.
b) Viết phương trình mp chứa

1
∆
và //
2
∆
.
c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) đồng thời cắt cả
1
∆
và
2
∆
.
11. Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng:
1
∆
:
11
1
3
1 zyx
=
−
=
−
và
2
∆
:
tz

ty
x
−=
−=
−=
2
1
1
a) Tìm hình chiếu A’ của A xuống
1
∆
.
b) Viết phương trình mp(
α
) chứa
2
∆
và đi qua A.
c) Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc
1
∆
và cắt
2
∆
đồng thời đi qua A.
12. Trong không gian Oxyz cho A(0;1;-1) và mp(
α
): x – 2y + z = 0 và đường thẳng

∆
có
phương trình
∆
:
tz
ty
tx
45
1
45
−−=
−−=
+=
a) Viết phương trình mp (
β
) qua A, vuông góc với (
α
) và // với
∆
.
b) Chứng minh
∆
cắt (
α
), tìm giao điểm.
c) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc và cắt
∆
.
13. Trong không gian Oxyz cho mp (

α
): x + y + z – 1 = 0 và
∆
:
1
1
1
−=
=
+=
z
y
tx
a) Viết phương trình mp(
β
) chứa
∆
và vuông góc với (
α
).
b) Tìm giao điểm A của
∆
và (
α
).
c) Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm trong mp(
α
) và vuông góc với
∆
.

14. Cho mp(
α
) và đường thẳng
∆
lần lượt có phương trình:
(
α
): 3x + 5y – z – 2 = 0 và
∆
:
1
1
3
9
4
12 −
=
−
=
− zyx
.
a) Chứng minh
∆
cắt (
α
), tìm giao điểm.
b) Viết phương trình mp(
α
’) qua M(1;2;-1) và
⊥

∆
.
15. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z = 0
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng
∆
đi qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5).
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó.
16. Cho mp (
α
): y + z – 1 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2z = 0.
21
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
a) Chứng tỏ (
α
) cắt (S).
b) Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mp(

α
) và mặt cầu (S).
c) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện này //mp(
α
).
17. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm: A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính.
b) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. Tìm tâm và bán kính của đường tròn
vừa viết phương trình.
18. Trong không gian Oxyz cho mp(
α
): x + y – 3z +1 =0, M(1;-5;0) và đường thẳng
∆
:
tz
ty
tx
2
31
2
=
+=
−=
a) Viết phương trình mp(
α
) chứa
∆
và đi qua Q(1;1;1)
b) Tìm N thuộc
∆

sao cho khoảng cách từ N đến mp(
α
) bằng
11
.
c) Tìm R thuộc Ox sao cho d(R; (
α
) =
44
.
d) Tìm P thuộc mp (
γ
): x – 2y – 1 = 0 sao cho P cách mp (
α
) một khoảng bằng
3 11
.
d) Tìm E thuộc mp Oxy sao cho sao cho E,O,A thẳng hàng, với A(1; 2; 1).
f) Tìm K thuộc d

sao cho tam giác OAK cân tại O biết rằng d
1
đi qua giao điểm của
∆
và (
α
)
đồng thời //d’:
1
3

12
1
−
−
==
−
− zyx

ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
1. ĐH KA 2004 :
Trong không gian Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,AC cắt BD tại
gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2
) .Goi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
2. ĐH KB 2004:
Trong không gian Oxyz cho A(-4;-2;4) và đường thẳng d : x = -3 + 2t
y = 1 - t
z = -1 + 4t
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
3. ĐH KD 2004:
1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),
C(0;1;0), B
1
(-a;0;b), a > 0, b > 0.
a)Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo A,B.
b)Cho a,b thay đổi nhưng luông thỏa mãn a + b = 4. Tính a,b để khoảng cách giửa hai đường
thẳng B
1
C và

AC
1
lớn nhất .
2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1;) và mặt phẳng
(P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc
mp(P).
4. ĐH KA 2005:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
1
3
2
3
1
1 −
=
+

=
−
− zyx
và mặt phẳng
(P): 2x + y – 2z + 9 = 0.
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng
∆
nằm trong mp (P), biết
∆
đi qua A và vuông góc vơí d .
5. ĐH KB 2005:
Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;-3;0), B(4;0;0),
C(0;3;0), B
1
(4;0;4)
a) Tìm tọa độ đỉnh A
1
;C
1

. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mp(ACC
1
A
1
).
b) Gọi M là trung điểm cuả A
1
B
1
. Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A,M và song song
với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N, tính độ dài đoạn MN.
6. ĐH KD 2005:
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :
d
1
:
2
1
1
2
3
1 +
=
−

+
=
− zyx
d
2
: x = 3t
y = 4 – t

z = 2 + 2t
a)Chứng minh d
1
//d
2
. Viết phương trình mp (P) chứa cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
b)Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
d
2
lần lược tại các điểm A,B. Tính diện tích
∆
OAB (O là gốc tọa độ ).
7. ĐH KA 2006:
Trông không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A`B`C`D` với A(0;0;0), B(1;0;0),
D(0;1;0), A`(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giửa hai đường thngr A`C và MN.
b) Viết phương trình mp chứa A`C và tạo với mp Oxy một góc (

α
) biết Cos(
α
) =
6
1
8. ĐH KB 2006:
Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng d
1
:
1
1
1
1
2 −
+
=
−
=
zyx
d
2
: x = 1 + t
y = -1 - 2t
z = 2 + t
a) Viết phương trình mp(P) qua A và song song với d
1
, d
2
.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng.
9. ĐH KD 2006 :
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−

d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
a) Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A qua đường thẳng d
1
.
b) Viết phương trình đường thẳng
∆

qua A, vuông góc với d
1
cắt d
2
.
10. ĐH KA 2007 :
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : d
1
:
1
2
1
1
2
+
=
−
−
=
zyx
D
2
: x = -1 + 2t
Y = 1 + t
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!
Z = 3
a) Chứng minh d
1

và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) : 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d
1
,d
2
.
11. ĐH KB 2007:
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mp(S) : x
2
+ y
2
+ Z
2
– 2x + 4y + 2z - 3 = 0
và mp(P) : 2x – y + 2z – 14 = 0.
a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.
12. ĐH KD 2007:
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thắng
∆
:
21
2
1
1 zyx
=
+

=
−
−
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của
∆
OAB và vuông góc với
mp(OAB).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đương thẳng
∆
sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
13. ĐH KA 2008:
Trong không gian VỚI HỆ TỌA ĐỘ Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
d :
2
2
12
1 −
==
− zyx
.
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm Atreen đường thẳng d.
b) Viết phương trình mp(
α
)chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mp(
α
) lớn nhất.

14. ĐH KB 2008:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C.
b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phăng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
15. ĐH KD 2008:
Trông không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3),
D(3;3;3).
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
16. ĐH KA 2009:(chuẩn)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng , (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 11 = 0.Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
17. ĐH KA 2009: (nâng cao)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường
thẳng Δ
1
:
6
9
11
1 =
==
+ zyx

, Δ
2
:
2
1
1
3
2
1
−
+
=
−
=
− zyx
.Xác định toạ độ điểm M thuộc đường
thẳng Δ
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ
2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(P) bằng nhau.
18. ĐH KB 2009: (chuẩn).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3),
C(2;-1;1) và D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ Dđến (P) .
19. ĐH KB 2009: (nân cao).
24
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Tài liệu lưu hành nội bộ!

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm
A(3;0;1), B(1;1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
20. ĐH KD 2009: (chuẩn)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(2;1;0), C(1;1;0) và mặt
phẳng (P) : x + y + z -20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường
thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
21. ĐH KD 2009: (nân cao).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ :
11
2
1
2
−
=
−
=
+ zyx
và mặt
phẳng (P) : x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao
cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
.
22. ĐH KA 2010: (chuẩn).
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
1
2
12
1
−

+
==
− zyx
và mặt phẳng
(P): x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của Δ với (P), M là điểm thuộc Δ. Tính khoảng cách
từ M đến (P), biết MC =
6
.
23. ĐH KA 2010: (nân cao).
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng Δ:
2
3
3
2
2
2 +
=
−
=
+ zyx
. Tính khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại
hai điểm B và C sao cho BC = 8.
24. ĐH KB 2010: (chuẩn).
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó
b, c dương và mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc
với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
3
1
.
24. ĐH KB 2010:( nâng cao).

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
21
1
2
zyx
=
−
=
.Xác định tọa độ điểm
M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM.
25. ĐH KD 2010:(chuẩn).
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z −
1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O
đến (R) bằng 2.
25. ĐH KD 2010:( nâng cao).
x = 3 + t
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳngΔ1: y = t và Δ2:
21
2
2
2 zyx
=
−
=
−
.
z = t và
Xác định tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1.
26. ĐH KA 2011:(chuẩn).
25

Chủ biên: Cao Văn Tú Email: