CHUYEN DE ON THI DAI HOC 9

Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Phần 1: Thể tích khối đa diện
A/ Lý thuyết
1.Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23)
2.Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối lợng chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h , h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h , h: Chiều cao của khối lăng trụ
B/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính thể tích của khối đa diện
*Phơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính
đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính
thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích
đáy và áp dụng công thức:
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau:

a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60
o

b) AB = a, SA = l
c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
giải:
a) Gọi O là tâm ABC đều
SO (ABC)
S
ABC
=
2
1
a
2
3a
=
4
3
2
a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O

a
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2
2
2
3
2
3
a
a
a
=

SO = a
3
2
Vậy VSABC = SABC . SO =
3
1
.
4
3
2
a
.
a
3
2
.

3
2
2
a
l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4

3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2
= l
2
-
9
4
AA
2
Tam giác vuông SOA có:

sin'.sin
3
1
'
3
1
AASO
AA
SO
==
(2)
Từ (1) (2) ta có:

2
9
4
2
9
1
sin'.sin' lAAAA
=+

O
B
A'
A
C
a
AA
2

(sin
2
+ 4) =9l
2

4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3
4sin
3
2
1
2
1
2
2
22
..'.
+

++
==


l
ll
BCAA
4sin
sin.
4sin
3
3
1
22
sin..
++
==




ll
SO
VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3

3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. tính
VAABC theo a?
Giải.
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)
-Ta có SABC =
3.
2
2
1
2
1
aACAB
=
-Vì AH (ABC) AH AH
Tam giác vuông AHA có:
AH
2

= AA
2
- AH
2
= (2a)
2
-
4
1
.(a
2
+ 3a
2
)
hay AH
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3

C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB =
BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC
Giải
a)
SABC =
2
2
1
2
1
. aBCBA

=
; SA =a
VSABC =
3
1
SABC .SA =
6
1
a
3
a
C
A
a
a
B'
C'
B
b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB
BS = BB
BC AB BC (SAB) BC AB
BC SA
AB (SAC) AB SA SC (ABC)
AC SC
Cách 1
2
2
2
1
2

1
2'
a
aSBAB
===
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a
SC
SA
SC
==
B’C’
2
= SB’
2
- SC’
2
=
66
''
2
aa

CB
=⇒

⇒S∆AB’C’ =
3462
2
1
2
1
2
..'''.
aaa
CBAB
==
⇒V∆AB’C’ =
363243
1
32
..
aaa
=
C¸ch 2
3
1
3
'
2
1
'
3

===
a
SC
SC
SB
SB
a
36
3
6
1
6
1
'''
6
1
3
'''
3
3
''
a
CBSA
a
SC
SC
SB
SB
SA
SA

V
V
aV
a
SABC
CSAB
==⇒===
Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD
= a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC.
Gi¶i
DÔ thÊy
(SB, (ABC)) = α = SBA
(SB, (SAD)) = β = BSD
∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC
DB = DC
∆SAB cã cos α =
SB
AB
(1)
BC ⊥ AD
BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD
a
B
A
C
D
S
Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ =
SB

BD
(2)
Tõ (1) (2) ⇒
ββα
sinsincos
22
aAB
BDAB
−
==
⇒
β
α
sin
cos
22
2
2
aAB
AB
−
=
⇒ AB
2
(sin
2
β – cos
2
α) = -a
2

cos
2
α
⇒ AB =
α
βα
cos
2
sincos
1
22
a
−
S∆SAB =BD.AD =
βα
β
βα
α
α
β
α
β
22
2
22
2
sincos
sin
sincos
cos

cos
sin
cos
.
−−
==
a
a
Sin
ABAD
SA = AB. tan α =
βα
α
22
sincos
sin
−
a
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos
sin

a
=


22
3
sincos3
cossin

a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở
cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N
không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp
BAMNC.
Giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có BD AC
(vì ABCD là hình vuông)
(Ax, Cy) (ABCD)
BD (AMNC)
BI (AMNC)

BI =
2
2
2
a
BD
=
x
n
A
D
C
m
B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2

2
2)(
3
1
3
1
2
nmBIS
a
a
anm
AMNC
+==
+
*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc
vị trí chân đờng cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng
nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên dáy hoặc có các đờng cao
của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng
tròn nội tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao
của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao
của khối chóp sẽ song song với đờng thẳng đó.
-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc
với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng
thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã
nói ở trên.

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên
nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
Gi¶i
A
S
C
B
H
a
-Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC)
-V× c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
-Ta cã: ∆ABC =
α
sin..
2
1
ACAB

mµ BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos α = 2AB
2
(1-cos α) = a
2

⇒ AB =
2
cos1
α
−
a
⇒ S∆ABC =
24cos1
sin
22
1
2
2
1
cossin
22
α
α
α
α
aa
AB
==
−
HA = R =
αα
sin2sin2
aBC
=
Tan gi¸c vu«ng cã tan α =

AH
SH
⇒ SH =
αα
α
cos2sin2
tan
aa
=
⇒VSABC =
αα
α
α
cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==
∆
Bµi 7: SABC cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ SABCD =

3
vµ gãc gi÷a 2 ®êng
chÐo = 60
o
. c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y 1 gãc 45
o
. TÝnh VSABCD
Gi¶i
A
B
C
O
D
-H¹ SO ⊥ (ABCD)
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
-Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4
đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và O = AC BD
-Đặt AC = BD =x.
Ta có S
hcnABCD
=
2
1
AC.BD.sin60
o
=
3.
2
4
3

2
3
2
2
1
==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông
cân tại S SO =
1
2
1
=
AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o

.
a) Chứng minh rằng ABC vuông
b) Tính VSABC
Giải
a)
H
B
A
S
C
a




=
=
o
ASB
SBSA
60
AB = a
-Tam giác vuông SBC có BC
2
= SB
2
+ SC
2
= 2a
2

-SAC có AC
2
= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH

2
= SB
2
- BH
2
=
24
2
aa
SH
=
BH =
2
3
2
a
AC
=
(Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH =
22
aSA
=
)
VSABC =
12
2
6
1
2
1

3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC
và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC
= 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
2a
3a
C
D
H

K
-Hạ SH (ABCD), H (ABCD)
-Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là
tâm đờng tròn nội tiếp đáy
-Gọi K là hình chiếu của H lên AD
-Ta có HK =
a
AD
=
2
-Tam giác vuông SHK có HK = a
SK =
32
2
3
aa =
(vì SAD đều)
SH =
23
22
aaa
=
Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
SABCD =
2
2
2.5
2
).(
5a

aa
ADCDAB
==
+
VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
, (SAB) b (ABCD). M, N - Trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
S
A
D
C
H
B
M

N
∆SAB h¹ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA =
4
1
S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN =
2
1
S⋄ABCD =
2
1
2a.2a = 2a
2
∆SAB cã AB
2
= SA
2
+ SB
2
= 4a
2
⇒ SAB vu«ng t¹i S
⇒
222222
3
4
3
11111

aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD =
2
1
AD. ∆SBD
vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a. TÝnh
VSABCD
Gi¶i
S
H

15a
8a
A
D
C
B
-Trong ∆SBD kÎ SH b BD
V× (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam gi¸c vu«ng SBD cã
222
111
SDSHSH
+=
hay
222
225
1
64
11
aaSH
+=
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
hay
aaSH
17
120
289
14400
.

==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a
CBD có BD
2
=2BC
2
(1+
2
1
) = 3BC

2
= 289a
2
BC =
a
3
17
SBCD =
12
3289
2
3
2
3
289
2
1
2
2
1
2
..120sin
a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2

a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng b (ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng
lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
S
A
D
C
K
B

H
Trong SCD hạ SH b CD
Vì SCD cân tại S
H là trung điểm CD.
SH b CD
(SCD) b (ABCD
SH b (ABCD)
Gọi K là trung điểm AB
Ta có HK b AB
AB b SH (vì SH b (ABD))
AB b (SKH) AB b SK SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH =
SAB có SK = acos , AB = 2AK = 2asin
SHK vuông tại H có SH =SK.cos = acos
2

KH = SKsin = asincos. SABCD =AB.BC = 2asin.asincos =
2a2sin
2
cos VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=

Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60
o
, BC = a,
SA = a
3
, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Giải
H
C
A
B
a
M
Cách 1.
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA
=
SABC =
3.60tan..
2
2

1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.
2
1
==

SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V
2
1
mà VSABC =
3
1
SA.SABC =
63.3
3
2
1
2
2
1
3
1
aaa
=
Vmabc =
3
4
1

a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA b (ABCD), AB = a,
SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh
rằng SC b (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
A
C
O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a


2
S
y
x
Ah b SB (gt) (1)
BC b AB (vì ABCD là hình vuông)
BC b SA (vì SA b (ABCD))

BC b (SAB) BC b AH (2)
Từ (1) (2) AH b (SBC)
AH b SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có SC b AK (4)
Từ (3) (4) SC b (AKH)
Gọi F = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE b (AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==

+
Dễ thấy AH =
3
2
a
AKH cân tại A
Dễ thấy SBD có
BD
KH
SD
SK
=
mà SK =
3
2
2
3
2
222
2
a
aaAKSA ==
SD = a
3

SO
SF
a
a
BD

KH
===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF=
3
1
SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA=OC

2
1
==
SF
OF

SN
OE
OE=
2
1
SN=
2
1
a
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
SAHK=
2
1
KH.
4
2
2
HK
AK

=
9
22
2
a
V=
=

AHK
.

3
1
SOE
27
22
3
a
Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(a/2,a/2,0)
SKA SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,2a/3,a
2
/3)
ABS có
SHSBAS .
2
=
SH=
3

2a
H(2a/3,0,a
2
/3)
Ta có
)
3
2
,0,
3
2
(
a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=

,0)
2
,

2
(
aa
AO
=
[
AKAH ,
] =(
9
4
,
9
22
,
9
22
222
aaa

)
VOAHK=
6
1
|[
AKAH ,
].
AO
|=
3
27

2
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
2
, SA =
a, SA b (ABCD). M, N lần lợt là trung điểm AD và SC. I = BM AC. Tính thể tích
hình chóp ANIB.
Giải
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA b (ABCD)
gọi O = AC BD
Trong SAC có ON // SA
ON b (ABCD) NO b (AIB)
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Ta có NO =
22
1
a
SA
=

Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm
SABI =
3
2
SABO =
4
1
3
2
.
SABCD =
3
2
a.a
2
=
6
22
a
SANIB =
3
1
NO.SAIB =
36
2
6
2
23
1

32
..
aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)b (ABCD).
SAD đều. M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD. tính thể tích hình chóp
CMNP
Giải
A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
-Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE b AD
(SAD) b (ABCD)
SE b (ABCD)
-Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) MF // SE. Dễ thấy F EB và F là trung
điểm EB
Ta có MF =

2
1
SE =
4
3
2
3
2
1
.
aa
=
SCNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3

4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng
chiều cao bằng a. Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao
cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OOAB
Giải
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
B
A
A'
O'
O
H
D
Kẻ đờng sinh AA. Gọi D đối xứng với A qua O, H là hình chiếu của B trên
AD.
Ta có BH b AD
BH b AA

BH b (AOOA)
BH là đờng cao của tứ diện BAOO
SAOO =
2
2
a
, AB=
3'
22
aAAAB
=
ABD vuông ở B BD=a
OBD đều BH=
2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA b
(ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o

. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
. (BCM) SD
= N. Tính thể tích hình chóp SBCMN
Giải
S
A
D
C
B
N
M
H
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Ta có SAB=60
0
SAB vuông tại A có AM=
3
3a
, AB=a ABM=30
0
Kẻ SH BM thì SH là đơng cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0
=a
BC//(SAD) MN//BC
AD
MN
SA

SM
=
MN=
3
4. a
SA
SMAD
=
SBCMN=
33
10
).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN=
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o

; AB =
BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và SD.
Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp SBCNM
Giải
A
D
S
H
M
N
Ta có BC//AD ,BC=
AD
2
1
,MN//AD , MN=
AD
2
1
BC = MN , BC// MN (1)
BC AB
BC SA
BC (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH BM thi SH (BCNM)
Vsbcnm=
3
1
SBCNM.SH=
3
1

BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có ABC vuông. AB = AC = a; AA
1
= a
2
.
M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.

a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
H
C
B
C
D
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 H là tâm đ-
ờng tròn ngoại tiếp ABC mà ABC cân H CC với C là trung điểm AB
SABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42
1
2
1
2
==
HC = RABC =
2
4
2

2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C
x
xx
CC


===
Tam giác vuông HCD có HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3
4

1
1
x
x
x



=

HD =
2
2
4
3
x
x


VABCD =
2
12
4
3
2
4
1
3
1
3

1
3..4..
2
2
xxxHDS
x
x
x
ABC
==



Cách 2:
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
B
A
D
M
C'
Gọi M là trung điểm CD CD b ABM
Vì ACD và BCD đều AM = BM =
2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.SABC =
ABM
S

.
2
1
3
2
SABM =
2
1
MC.AB =
2
4
2
2
2
2
3
2
1
3)()(. xx
xx
=+
VABCD =
xxx
x
.33
2
12
1
2

43
1
=
b)
SACD=
4
3
d(B,(ACD))=
ACD
ABCD
S
V3
=
xx .3
3
1
2

c)
VABCD =
8
1
2
3
12
1
2
12
1
22

..3
=
+
xx
xx
Dấu = xảy ra x
2
= 3-x
3
x =
2
3
và thể tích lớn nhất là
8
1
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc
với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
GIảI
C
A
S
M
D
B
H