Lý thuyết trường điện tử

Chương 1 - Trang 1
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
1.1. Định nghĩa về “Trường điện từ”
Lý thuyết Trường điện từ là một ngành vật lý nghiên cứu về các hiện tượng điện
và từ trong tổng thể của chúng là Trường điện từ. Trường điện từ được sinh ra bởi các
hạt mang điện và sự chuyển động của chúng. Trường điện từ được sinh ra sau đó đến
lượt nó lại tương tác với các hạt mang điện.
Trường điện từ được định nghĩa như sau:
Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, chuyển động với vận tốc c trong mọi
hệ quy chiếu quán tính trong chân không. Nó thể hiện sự tồn tại và vận động qua
những tương tác với dạng vật chất khác là những hạt hoặc những môi trường chất
mang điện.
1.2. Sơ lược về “Lý thuyết Trường điện từ”
Lý thuyết Trường điện từ được nhà bác học James Maxwell tổng hợp từ các lý
thuyết đã tồn tại trước đây như lý thuyết về điện trường tĩnh, lý thuyết về điện động
học, lý thuyết về từ trường tĩnh. Lý thuyết tổng hợp này nghiên cứu những vẫn đề liên
quan đến các hạt mang điện, dòng điện, nam châm, sóng điện từ (ánh sáng, sóng vô
tuyến, ).
Khái niệm cơ bản trong lý thuyết Trường điện từ là Trường điện từ. Lý thuyết này
nghiên cứu các hiện tượng điện và từ dưới đây:
• điện trường tĩnh được sinh ra bởi các hạt mang điện đứng yên;
• từ trường tĩnh được sinh ra bởi các dòng điện không đổi;
• từ động là hiện tượng từ được sinh ra bởi dòng điện biến đổi theo thời gian;
• điện động liên quan đến các tương tác động học giữa các dòng điện;
• vô tuyến điện liên quan đến các hiện tượng truyền sóng điện từ.
Chương 1 - Trang 2
1.3. Các biến trạng thái cơ bản của trường điện từ
Theo định nghĩa chung, biến trạng thái của một hệ là những biến được định nghĩa
ra để trực tiếp hay gián tiếp đo, biểu diễn trạng thái và quá trình động lực học của hệ,
hoặc đo, biểu diễn năng lực tương tác của hệ. Đối với trường điện từ, có hai biến trạng
thái là véctơ cường độ điện trường

E
→
và véctơ cường độ từ cảm
B
→
. Chúng đo năng
lực tác động lực của trường điện từ đối với môi trường chất.
1.3.1. Véctơ cường độ điện trường
→
E

Biến trạng thái này đại diện cho mặt điện trường của trường điện từ. Trong môi
trường có hệ số điện môi ε, một điện tích điểm Q gây ra tại điểm M cũng ở trong môi
trường đó một điện trường có véctơ cường độ điện trường
E
→
có biểu thức như sau:
→→
=
0
2
Q
Er
4r
πε
(1.1)
trong đó r là khoảng cách từ điện tích điểm Q đến điểm M và
0
r
→

là véctơ đơn vị nằm
trên đường nối từ điện tích Q đến điểm M và có chiều luôn luôn hướng từ từ điện tích
Q đến điểm M (hình 1.1).




Như vậy véctơ cường độ điện trường do điện tích dương gây ra luôn hướng ra xa
điện tích dương và véctơ cường độ điện trường do điện tích âm gây ra luôn hướng vào
nó.
Nếu tại điểm M, ta đặt một điện tích q thì điện trường
E
→
của điện tích Q sẽ tác
dụng lên điện tích q một lực Coulomb
F
→
được tính như sau:
→→→
==
0
2
Qq
FqEr
4r
πε
(1.2)
Như vậy giữa hai điện tích trái dấu sẽ tồn tại lực hút và giữa hai điện tích cùng dấu
sẽ tồn tại lực đẩy.
+

r

0
r
→

E
→

Q

M

–

r

0
r
→

E
→

Q

M

Hình 1.1. Điện trường do điện tích gây ra tại một điểm

Chương 1 - Trang 3
Nếu trong môi trường nói trên, tồn tại n điện tích điểm Q
i
(với i = 1 → n) thì véctơ
cường độ điện trường tổng
E
→
do toàn bộ các điện tích này cùng gây ra tại một điểm M
được xác định theo nguyên lý xếp chồng điện trường:
→→→
==
==
∑∑
nn
i
i0i
2
i1i1
i
Q
EEr
4rπε
(1.3)
với
i
E
→
là véctơ cường độ điện trường do mỗi điện tích Q
i

gây ra tại điểm M.
Nếu tại điểm M, ta đặt một điện tích q thì lực Coulomb tổng
F
→
do điện trường
tổng
E
→
tác dụng lên điện tích q sẽ là:
→→→→→
===
====
∑∑∑
nnn
i
i0ii
2
i1i1i1
i
Qq
FqEqErF
4rπε
(1.4)
trong đó
i
F
→
là lực Coulomb do mỗi điện trường
i
E

→
(gây ra bởi điện tích Q
i
) tác dụng
lên điện tích q.
Trong hệ đơn vị SI (tức hệ MKSA), cường độ điện trường E có đơn vị là V/m.
1.3.2. Véctơ từ cảm
→
B

Biến trạng thái này đại diện cho mặt từ trường của trường điện từ. Theo vật lý cổ
điển, từ trường do dòng điện sinh ra. Ở phạm vi vi mô, một electron quay chung quanh
hạt nhân cũng tạo nên dòng điện, được gọi là dòng điện nguyên tử, cũng tạo nên một
từ trường.
Để biểu diễn và đo năng lực tác dụng lực của từ trường, người ta định nghĩa véctơ
từ cảm
B
→
. Khi có một vật có điện tích dq chuyển động với vận tốc
v
→
trong một từ
trường có từ cảm
B
→
thì từ trường sẽ tác dụng lên vật này một lực Lorenx về từ
m
dF
→

được xác định như sau:
→→→
=∧
m
dFdq(vB)
(1.5)
trong đó ký hiệu
∧
được dùng để biểu diễn tích hữu hướng của hai véctơ. Nếu đó là
một đoạn dây dẫn dài dl có dòng điện i chạy qua thì lực Lorenx về từ do từ trường tác
dụng lên đoạn dây dẫn này sẽ là:
→→→
=∧
m
dFi(dlB)
(1.6)
trong đó
dl
→
là véctơ có chiều cùng chiều với dòng điện i chạy qua đoạn dây dẫn.
Chương 1 - Trang 4
Trong hệ đơn vị SI, từ cảm B có đơn vị là Tesla (T). Trong hệ đơn vị CGSM, từ
cảm B được đo bằng Gauss với 1 T = 10
4
Gauss.
1.4. Các biến khác về trạng thái và thông số về hành vi của trường
và môi trường
Khái niệm về biến trạng thái đã được đề cập ở mục 1.3 bên trên. Thông số hành vi
biểu diễn tính quy luật các hoạt động, hành vi của một thực thể trong quá trình tương
tác với thực thể khác.

Khi trong không gian của trường điện từ tồn tại một môi trường vật chất nào đó thì
dưới kích thích của trường điện từ, trong môi trường có thể xảy ra các hiện tượng như
phân cực điện, phân cực từ hay dẫn điện (tùy theo loại môi trường). Để đo trạng thái
của các hiện tượng này (tức là đo tương tác động lực học giữa trường điện từ và môi
trường) và để biểu diễn phản ứng của môi trường về ba mặt đó, ngoài véctơ cường độ
điện trường
E
→
và véctơ từ cảm
B
→
của trường điện từ, cần định nghĩa thêm một số biến
trạng thái của hệ trường-môi trường và thông số hành vi của môi trường.
1.4.1. Các biến trạng thái và thông số hành vi về phân cực điện
Trong nhiều chất điện môi được hiểu là những môi trường chỉ có những hạt mạng
điện ràng buộc, dưới tác dụng của điện trường
E
→
, các điện tử ràng buộc (liên kết) tiếp
nhận năng lượng điện trường và dịch chuyển ra khỏi vị trí cân bằng, tâm quỹ đạo điện
tử bị kéo ra xa những nút có điện tích dương một đoạn l và do vậy hình thành nên
những lưỡng cực điện. Đó chính là hiện tượng phân cực điện môi. Trạng thái phân cực
của lưỡng cực điện được đo bằng véctơ momen điện
→
p
được tính như sau:
→→
=
pql
(1.7)

với q là điện tích của mỗi cực của lưỡng cực và
l
→
là véctơ có độ lớn bằng khoảng
cách l giữa hai cực của lưỡng cực (chính là độ lệch giữa tâm quỹ đạo điện tử và nút có
điện tích dương), có phương nằm trên đường nối giữa hai cực và có chiều từ tâm quỹ
đạo điện tử đến nút có điện tích dương.
Nếu lân cận ở mỗi điểm trong môi trường, số lưỡng cực tính trung bình cho một
đơn vị thể tích là N thì trạng thái phân cực ở mỗi điểm được đo bằng một biến trạng
thái được gọi là véctơ phân cực điện
→
P
:
Chương 1 - Trang 5
→→
=
PNp
(1.8)
Trạng thái phân cực của môi trường, được đo bằng véctơ phân cực điện
P
→
, tỷ lệ
với cường độ điện trường
E
→
:
→→
=
P0
PkE

ε
(1.9)
với k
P
là hệ số phân cực điện của môi trường. Đây là thông số hành vi phân cực điện
của điện môi. ε
0
là hệ số điện môi của môi trường chân không:
9
0
1
10F/m
36
−
ε=⋅
π

Từ đó, người ta định nghĩa thêm biến trạng thái véctơ dịch chuyển điện
→
D
:
→→→→→→
=+=+==
00P0r
DPE(1k)EEE
εεεεε
(1.10)
trong đó ε
r
= 1 + k

P
được gọi là hệ số điện môi tương đối và ε = ε
0
ε
r
là hệ số điện môi
tuyệt đối của môi trường. Đây cũng là các thông số hành vi của điện môi. ε
r
không có
đơn vị. Hệ số điện môi tương đối của chân không ε
r
= 1.
Trong hệ đơn vị SI, đại lượng dịch chuyển điện D có đơn vị là C/m
2
.
1.4.2. Các biến trạng thái và thông số hành vi về phân cực từ (từ hóa)
Trong nhiều chất từ môi hay vật liệu từ được hiểu là những môi trường có các
dòng điện phân tử ràng buộc, dưới tác dụng của từ trường
B
→
, các spin và dòng điện
phân tử, giống những thanh nam châm, thường xoay trục lại ít nhiều theo chiều của
véctơ từ cảm
B
→
và do vậy hình thành nên những cực từ nhỏ, thường thuận chiều với từ
trường
B
→
. Đó chính là hiện tượng phân cực về từ hay còn gọi là hiện tượng từ hóa.

Thông số đặc trưng cho một cực từ có dòng điện i chảy theo một vòng có bề mặt S là
véctơ momen từ
→
m
được tính như sau:
→→
=
miS
(1.11)
với
S
→
là véctơ có độ lớn bằng diện tích S, có phương vuông góc với bề mặt này và có
chiều được xác định từ chiều của dòng điện i bằng quy tắc vặn nút chai thuận.
Nếu lân cận ở mỗi điểm trong môi trường, tính trung bình trong một đơn vị thể
tích có số cực từ xoay chiều lại theo chiều của từ trường
B
→
là N thì trạng thái phân cực
Chương 1 - Trang 6
từ ở mỗi điểm được đo bằng một biến trạng thái được gọi là véctơ cường độ phân cực
từ
→
M
:
→→
=
MNm
(1.12)
Như vậy từ trường

B
→
không chỉ liên quan đến sự phân bố dòng điện tự do ngoài
mà còn liên quan đến các dòng điện phân tử hoặc spin tồn tại bên trong các cấu tử cơ
bản hình thành nên môi trường, do vậy khá phức tạp. Để tiện khảo sát, người ta xây
dựng thêm một biến trạng thái mới là véctơ cường độ từ trường
→
H
:
→→→
=+
0
B(HM)
µ
(1.13)
với µ
0
là hệ số từ thẩm của môi trường chân không:
7
0
410H/m
−
µ=π⋅
Với (1.13), người ta xem trường
B
→
gồm hai thành phần là
H
0
BH

→→
=µ ứng với các
dòng điện tự do ngoài và
M
0
BM
→→
=µ ứng với các dòng điện phân tử hoặc spin. Đối với
môi trường thuận từ, hai thành phần này thuận chiều nhau và hợp thành
B
→
.
Giống như với phân vực điện, người ta cũng định nghĩa những thông số hành vi về
phân cực từ của từ môi. Trước hết là hệ số phân cực từ k
M
:

→→
=
M
MkH
(1.14)
Suy ra:
→→→→→→
=+=+==
00M0r
B(HM)(1k)HHH
µµµµµ
(1.15)
trong đó µ

r
= 1 + k
M
được gọi là hệ số từ thẩm tương đối và µ = µ
0
µ
r
là hệ số từ thẩm
tuyệt đối của môi trường. Đây cũng là các thông số hành vi của từ môi. µ
r
không có
đơn vị. Hệ số từ thẩm tương đối của chân không µ
r
= 1.
Trong hệ đơn vị SI, cường độ từ trường H có đơn vị là A/m.
1.4.3. Các biến trạng thái và thông số hành vi về dòng điện trong vật dẫn
Trong các phần trên, ta xét những biến trạng thái phân cực mô tả sự dịch chuyển
của các điện tích và dòng điện ràng buộc quanh vị trí cân bằng. Ở đây sẽ định nghĩa
thêm những biến trạng thái đo hiện tượng dòng điện chảy trong vật dẫn điện được hiểu
là môi trường trong đó tồn tại các điện tử tự do. Khi có nguồn cung cấp năng lượng
điện từ để có thể duy trì một điện trường
E
→
trong vật dẫn, dưới tác dụng của điện
Chương 1 - Trang 7
trường này, các điện tích tự do sẽ chuyển động thành dòng và tạo thành dòng điện.
Người ta đo trạng thái có dòng chảy trong vật dẫn (trạng thái dẫn điện) bằng một biến
trạng thái được gọi là véctơ mật độ dòng điện dẫn
→
J

. Véctơ này có chiều ngược chiều
chuyển động của các điện tử tự do (tức cùng chiều dòng điện) và có độ lớn bằng lượng
điện tích chảy qua tiết diện ngang (của vật dẫn) bằng 1 m
2
trong khoảng thời gian bằng
1 giây.
Trạng thái dẫn điện của vật dẫn, được đo bằng véctơ mật độ dòng điện dẫn
J
→
, rõ
ràng tỷ lệ với cường độ điện trường
E
→
:
→→
=
JE
σ
(1.16)
với σ là điện dẫn suất của vật dẫn. Đây là thông số hành vi của môi trường.
Trong hệ đơn vị SI, mật độ dòng điện dẫn J có đơn vị là A/m
2
và điện dẫn suất σ
được đo bằng S/m.

Chương 2 - Trang 8
Chương 2: Giải tích véctơ
2.1. Giới thiệu
Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình
Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các

toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái
E
→
,
D
→
,
B
→
,
H
→
và
J
→
. Do vậy
trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan.
2.2. Các hệ tọa độ
Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạng
của vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ. Có ba loại hệ
tọa độ: Descartes, trụ và cầu. Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơ
đơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau:

Hệ tọa độ Descartes Cầu Trụ
Tọa độ trong không gian
M(x, y, z)
M(r, ϕ, z) M(R, θ, ϕ)
h
1
h

x
= 1 h
r
= 1 h
R
= 1
h
2
h
y
= 1
h
ϕ
= r h
θ
= R
Hệ thống
véctơ đơn vị
h
3
h
z
= 1 h
z
= 1
h
ϕ
= R.sinθ
1
q

→

0
x
→

0
r
→

0
R
→

2
q
→

0
y
→

0
→
ϕ

0
→
θ

Hệ số Lame
3
q
→

0
z
→

0
z
→

0
→
ϕ

2.3. Các toán tử về giải tích véctơ
Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và
A
→
là một đại lượng véctơ có các thành phần
theo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A
1
, A
2
và A
3
.
Chương 2 - Trang 9

2.3.1. Gradient
Descartes:
00
0
ddd
gradxyz
dxdydz
→→→
ψψψ
ψ=++
(2.1)
Trụ:
00
0
d1dd
gradrz
drrddz
→→→
ψψψ
ψ=+⋅ϕ+
ϕ
(2.2)
Cầu:
0 0
0
d1d1d
gradR
dRRdRsind
→→→
ψψψ

ψ=+⋅θ+⋅ϕ
θ⋅θϕ
(2.3)
2.3.2. Divergence
Descartes:
y
xz
dA
dAdA
divA
dxdydz
→
=++
(2.4)
Trụ:
rz
dA
1d(rA)1A
divA
rdrrddz
→
ϕ
∂
=⋅+⋅+
ϕ
(2.5)
Cầu:
2
R
2

dA
d(sinA)1d(RA)11
divA
RdRRsindRsind
→
ϕ
θ
θ
=⋅+⋅+⋅
θθθϕ
(2.6)
2.3.3. Rotation
Descartes:
00
0
xyz
xyz
ddd
rotA
drdydz
AAA
→→→
→
=
(2.7)
Trụ:
00
0
rz
11

rz
rr
ddd
rotA
drddz
ArAA
→→→
→
ϕ
⋅ϕ⋅
=
ϕ
(2.8)
Cầu:
0
0
0
2
Rz
111
R
RsinRsinR
ddd
rotA
dRdd
ARARsinA
→→→
→
θ
⋅⋅θ⋅ϕ

θθ
=
θϕ
θ
(2.9)
Chương 2 - Trang 10
Như vậy:
• Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại
lượng véctơ.
• Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượng
vô hướng.
• Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đại
lượng véctơ.
2.3.4. Nabla
113
111133
1d1d1d
qqq
hdqhdqhdq
→→→
∇=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
(2.10)
gradψ = ∇ψ (2.11)
div
A
→
= ∇.
A
→
(tích vô hướng) (2.12)

rot
A
→
= ∇∧
A
→
(tích hữu hướng) (2.13)
2.3.5. Laplace
∆ψ = div(gradψ) = ∇.∇ψ = ∇
2
ψ (2.14)
Descartes:
222
222
ddd
dxdydz
ψψψ
∆ψ=++
(2.15)
Trụ:
22
222
d
d(r)
11dd
dr
rdrrddz
ψ
ψψ
∆ψ=⋅+⋅+

ϕ
(2.16)
Cầu:
22
22222
d
d(sin)
1d(R)11d
d
RdRRsindRsind
Ψ
θ
Ψψ
θ
∆ψ=⋅+⋅+⋅
θθθϕ
(2.17)
2.3.6. Các hằng đẳng thức
grad(ψ⋅Φ) = ψ⋅gradΦ + Φ⋅gradψ (2.18)
div(ψ⋅
A
→
) =
A
→
⋅gradψ + ψ⋅div
A
→
(2.19)
Chương 2 - Trang 11

div(
A
→
∧
B
→
) =
B
→
⋅rot
A
→
–
A
→
⋅rot
B
→
(2.20)
rot(ψ⋅
A
→
) = ψ⋅rot
A
→
+ gradψ ∧
A
→
(2.21)
rot(rot

A
→
) = grad(div
A
→
) – ∆
A
→
(2.22)
rot(gradψ) = 0 (2.23)
div(rot
A
→
) = 0 (2.24)
2.4. Các định lý biểu diễn các quan hệ tích phân thường gặp
2.4.1. Định lý Green-Stock
Lưu số của véctơ
A
→
dọc theo một vòng kín L bằng thông lượng của véctơ rot
A
→

qua mặt S giới hạn bởi vòng kín L đó:
LS
AdlrotAdS
→→→→
⋅=⋅
∫∫Ñ
(2.25)

2.4.2. Định lý Ostrogradsky-Gauss
Thông lượng của véctơ
A
→
qua một mặt S kín bằng tích phân của véctơ div
A
→
theo
thể tích V chứa trong mặt S đó:
SV
AdSdivAdV
→→→
⋅=⋅
∫∫Ñ
(2.26)
Chương 3 - Trang 12
Chương 3: Hệ phương trình Maxwell
3.1. Khái quát
Chương 1 đã nêu rõ các biến trạng thái đặc trưng cho trường điện từ, cho hệ
trường-môi trường và các thông số hành vi của môi trường. Chương này trình bày hệ
phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các biến trạng thái đó, chính là hệ phương
trình Maxwell.
Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình cơ bản, phản ánh những quy luật của
trường điện từ. Hệ phương trình này giữ một vị trí cơ bản đối với lý luận trường điện
từ, giống như các định luật Kirchhoff đối với Lý thuyết Mạch. Mọi hiện tượng trong
các thiết bị điện đều thể hiện sự vận động của trường điện từ, cho nên về nguyên tắc,
việc phân tích, tính toán các hiện tượng đó đều có thể dựa trên hệ phương trình
Maxwell.
Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình đạo hàm riêng theo không gian và
thời gian cho nên bài toán trường điện từ là một bài toán bờ có sơ kiện. Việc xác định

nghiệm của bài toán (tức xác định sự phân bố của trường điện từ) tùy thuộc vào những
giá trị của nghiệm ở trên bờ của miền xác định của bài toán và ở gốc thời gian.
3.2. Hệ phương trình Maxwell
3.2.1. Phương trình Maxwell 1
Phương trình này được dẫn từ định luật dòng điện toàn phần (hay còn gọi là định
luật toàn dòng điện) kèm theo việc Maxwell đưa ra khái niệm về dòng điện dịch.
3.2.1.1. Định luật dòng điện toàn phần (hay định luật toàn dòng điện)
Lưu số của véctơ cường độ từ trường
H
→
dọc theo một vòng kín L bằng tổng đại số
các dòng điện dẫn đi xuyên qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín đó, trong đó chiều
dương của dòng điện được xác định từ chiều của véctơ cường độ từ trường
H
→
theo
quy tắc vặn nút chai thuận:
Chương 3 - Trang 13
→→
⋅=
∑
∫
L
Hdli
Ñ
(3.1)
Nếu đi xuyên qua diện tích S là dòng điện dẫn có mật độ dòng điện là
J
→
thì điện

luật toàn dòng điện được viết như sau:
→→→→
⋅=⋅
∫∫
LS
HdlJdS
Ñ
(3.2)
Theo định lý Green-Stock, ta có:
→→→→
⋅=⋅
∫∫
LS
HdlrotHdS
Ñ
(3.3)
Suy ra:
→→
=
rotHJ
(3.4)
3.2.1.2. Dòng điện chuyển dịch
Dưới tác dụng của điện trường ngoài
E
→
, các điện tử tự do chuyển động trong vật
dẫn và sinh ra dòng điện dẫn. Tuy nhiên, nếu đó là điện môi (môi trường trong đó chỉ
có những hạt mạng điện ràng buộc) thì xảy ra hiện tượng phân cực và trạng thái phân
cực này được đo bằng véctơ dịch chuyển điện
D

→
. Nếu điện trường
E
→
là một trường
biến thiên theo thời gian thì trạng thái phân cực của điện môi cũng sẽ biến thiên, các
điện tích phân cực dịch chuyển chung quanh vị trí cân bằng của chúng với một vận tốc
nào đó. Tương ứng với hiện tượng dịch chuyển đó của các điện tích ràng buộc của các
lưỡng cực, Maxwell đã đưa ra khái niệm dòng điện chuyển dịch xuất hiện trong môi
trường điện môi khi trường biến thiên và dòng điện này có mật độ là:

→
→
∂
=
∂
cd
D
J
t
(3.5)
3.2.1.3. Phương trình Maxwell 1
Phương trình (3.4) chỉ đúng cho trường điện từ không biến thiên. Maxwell đã hiệu
chỉnh lại để nó nghiệm đúng với cả trường hợp trường biến thiên bằng cách bổ sung
vào đó mật độ dòng điện chuyển dịch và hình thành nên phương trình Maxwell 1:

→
→→→→
∂
=+=+

∂
cd
D
rotHJJJ
t
(3.6)
Phương trình này cho thấy: điện trường biến thiên sẽ sinh ra từ trường xoáy.
Chương 3 - Trang 14
3.2.2. Phương trình Maxwell 2
Phương trình này được dẫn từ định luật cảm ứng điện từ Lenx-Faraday. Khi từ
thông Φ xuyên qua một vòng kín L (đứng yên trong không gian) biến thiên theo thời
gian, trong vòng dây sẽ xuất hiện một sđđ cảm ứng e:
→→
→
→→→

∂⋅

∂∂

=⋅=−=−=−⋅
∂∂∂
∫
∫∫
S
LS
BdS
B
eEdldS
ttt

Φ
Ñ
(3.7)
trong đó
E
→
là cường độ điện trường cảm ứng và từ thông Φ bằng thông lượng của
véctơ cường độ từ cảm
B
→
chảy qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín L.
Theo định lý Green-Stock, ta có:
→→→→
⋅=⋅
∫∫
LS
EdlrotEdS
Ñ
(3.8)
Suy ra phương trình Maxwell 2:

→
→
∂
=−
∂
B
rotE
t
(3.9)

Phương trình này cho thấy: từ trường biến thiên sẽ sinh ra điện trường xoáy.
Như vậy hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt điện và
từ của trường điện từ biến thiên. Trong trường hợp trường điện từ không biến thiên,
hai phương trình này cho thấy hai mặt điện và từ hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau,
điện trường và từ trường đều không có tính chất xoáy. Lúc đó điện trường
E
→
chắc
chắn có tính chất thế, còn từ trường
B
→
có tính chất thế hay không là phụ thuộc vào mật
độ dòng điện dẫn
J
→
.
3.2.3. Phương trình Maxwell 3
Các đường sức từ luôn khép kín cho dù nguồn sinh ra từ trường là nam châm hay
cuộn dây có dòng điện chạy qua. Do vậy thông lượng của véctơ cường độ từ cảm
B
→

qua một mặt S kín, được gọi là từ thông Φ, sẽ bằng không:
→→
=⋅=
∫
S
BdS0
Φ
Ñ

(3.10)
Chương 3 - Trang 15
Gọi V là thể tích được chứa bên trong mặt S. Theo định lý Ostrogradsky-Gauss, ta
có:
→→→
⋅=⋅
∫∫
SV
BdSdivBdV
Ñ
(3.11)
Suy ra phương trình Maxwell 3:

→
=
divB0
(3.12)
3.2.4. Phương trình Maxwell 4
Phương trình này được dẫn từ định luật Gauss. Theo định luật này, thông lượng
của véctơ dịch chuyển
D
→
qua một mặt S kín bằng lượng điện tích tự do q tồn tại bên
trong thể tích V được mặt S bao quanh (một cách tổng quát, q là tổng đại số các điện
tích q
i
tồn tại bên trong thể tích V):
→→
⋅=
∫

S
DdSq
Ñ
(3.13)
Nếu lượng điện tích tự do q đó được phân bố trong thể tích V với mật độ khối là ρ
thì ta có:
→→
⋅==⋅
∫∫
SV
DdSqdV
ρ
Ñ
(3.14)
Theo định lý Ostrogradsky-Gauss thì:
→→→
⋅=⋅
∫∫
SV
DdSdivDdV
Ñ
(3.14)
và từ đó quy ra phương trình Maxwell 4:

→
=
divD
ρ
(3.15)
Tùy theo ρ bằng không hay khác không mà trường véctơ là trường chảy liên tục

hay không liện tục, khép kín hay không khép kín.
3.2.5. Phương trình Maxwell 5
Phương trình này được dẫn từ định luật bảo toàn điện tích. Điện tích không tự
nhiên sinh ra, không tự nhiên mất đi và khi chúng di chuyển từ vùng này sang vùng
Chương 3 - Trang 16
khác thì sẽ sinh ra dòng điện. Theo định luật bảo toàn điện tích, lượng điện tích di
chuyển ra khỏi một mặt S kín trong một khoảng thời gian nào đó bằng đúng lượng
điện tích suy giảm bên trong thể tích V chứa trong mặt S cũng trong khoảng thời gian
đó.
Giả sử lượng điện tích q phân bố bên trong thể tích V với mật độ điện tích khối là
ρ:
=⋅
∫
V
qdV
ρ
(3.16)
Gọi
q
∂
là lượng điện tích suy giảm bên trong thể tích V trong khoảng thời gian
t
∂

do điện tích di chuyển ra khỏi mặt S và tạo thành dòng điện i. Ta có:
∂⋅
∂∂
=−=−=−⋅
∂∂∂
∫

∫
V
V
(dV)
q
idV
ttt
ρ
ρ
(3.17)
(dấu trừ thể hiện chiều biến thiên ngược nhau giữa dòng điện i và sự suy giảm của
lượng điện tích bên trong thể tích V; nếu điện tích di chuyển ra khỏi mặt S càng nhiều
thì dòng điện i càng tăng và do vậy mà lượng điện tích bên trong thể tích V càng suy
giảm).
Gọi
J
→
là mật độ của dòng điện i chảy qua mặt S và lưu ý đến định lý
Ostrogradsky-Gauss, ta có:
→→→
=⋅=⋅
∫∫
SV
iJdSdivJdV
Ñ
(3.18)
Suy ra phương trình Maxwell 5:

→
∂

=−
∂
divJ
t
ρ
(3.19)
Phương trình này cho thấy: nếu các điện tích bên trong thể tích V tồn tại ở trạng
thái tĩnh, không di chuyển qua mặt S thì mật độ điện tích khối ρ trong thể tích V sẽ bất
biến theo thời gian và do vậy
J0
→
=
, tức không có dòng điện i chảy qua mặt S.
3.2.6. Các phương trình trạng thái mô tả hành vi của môi trường
Như đã thấy ở chương 1, để đặc trưng cho hệ trường-môi trường, người ta định
nghĩa ra các biến trạng thái
E
→
,
D
→
,
B
→
,
H
→
và
J
→

. Chúng liên hệ với nhau qua các
Chương 3 - Trang 17
phương trình trạng thái mô tả hành vi của môi trường mà ta đã từng nghiên cứu ở
chương 1:
• Trong môi trường điện môi có hệ số điện môi tuyệt đối là ε:
→→
=
DE
ε

• Trong môi trường từ môi có hệ số từ thẩm tuyệt đối là µ:
→→
=
BH
µ

• Trong môi trường dẫn điện có điện dẫn suất là σ:
→→
=
JE
σ