50 câu ôn phần toán đánh giá năng lực đhqg hà nội phần 22 (bản word có giải)

5 câ ơ phầ Tố - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 22 (Bản word có giải) Đá h giá ă g lực ĐHQG Hà Nội - Phần 22 (Bản word có giải)G Hà Nội - Phần 22 (Bản word có giải) Nội - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 22 (Bản word có giải) Phầ 22 (Bả word có giải) giải)
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Lĩnh vực: Toán học (50 câu hỏi - 75 phút)
Câu 1: Biểu đồ dưới đây biểu thị lợi nhuận sau thuế của công ty cổ phần Vincom Retail từ năm 2017 đến
năm 2020.

(Nguồn: VRE, PHFM tổng hợp)
Hỏi từ năm 2017 đến năm 2020 thì năm nào có lợi nhuận sau thuế của công ty cổ phần Vincom Retail là
cao nhất?
A. Năm 2017.

B. Năm 2018.

C. Năm 2019.

D. Năm 2020.

Câu 2: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s (t )  t 3  6t 2 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động, s (t ) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Tính thời điểm t mà tại đó vận tốc
đạt giá trị lớn nhất.
A. t 3 .

B. t 4 .

Câu 3: Số nghiệm của phương trình 2 x
A. 0 .

2

1

C. t 1 .

D. t 2 .

C. 2 .

D. 3 .

5 bằng

B. 1 .

 x  y 1
Câu 4: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 
có nghiệm ( x, y ) thỏa x  y ?
 x  y 2a  1
A. a 

1
.
2

1
B. a  .
3

C. a  

1
.

2

D. a 

1
.
2

Câu 5: Trên mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn của số phức z (3  2i ) 2 có tọa độ là
A. Q(5;  12) .

B. N(13;  12) .

C. M(13;12) .

D. P(5;12) .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 2), B(3;  2;0) . Viết phương trình mặt
phẳng trung trực của đọan AB .
A. x  2 y  2 z 0 .

B. x  2 y  z  1 0 .

C. x  2 y  z 0 .

D. x  2 y  z  3 0


Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho điểm M(4;  1;7) . Gọi M  là điểm đối xứng với M qua trục Ox .
Tính độ dài đoạn MM .

A. MM 2 17 .

B. MM 2 65 .

C. M  8 .

D. MM 10 2 .

Câu 8: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x(2  x)  x(7  x)  6( x  1) trên đoạn [ 10;10]
bằng
A. 5 .

B. 6 .

C. 21 .

D. 40 .


3 


Câu 9: Phương trình sin  2 x   sin  x 
 có tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;  ) bằng
4
4 


A.

7
.
2

B.  .

C.

3
.
2

D.


.
4

Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng quát un 1  3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng bằng
A.  59048 .

B.  59049 .

C.  155 .

D.  310

1
Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của f (x) 

trên khoảng (1; )?
1 x
A. y ln |1  x | .

B. y  ln |1  x | .

C. y ln

1
.
x 1

D. y ln | x  1| .

Câu 12: Cho hàm số f (x) , hàm số y f  (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Bất
phương trình f (x)  2x  m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x  (0; 2) khi và chỉ khi

A. m  f (0) .

B. m  f (2)  4 .

C. m f (0) .

D. m  f (2)  4


Câu 13: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v (t ) (m / s ) , có gia tốc a (t ) v (t ) 

3
m / s 2 . Biết

t 1





vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6( m / s) . Tính vận tốc của ơ tơ tại giây thứ 20 .
A. v 3ln 3 .

B. v 14 .

C. v 3ln 3  6 .

D. v 26 .

Câu 14: Ông Tuấn gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là
12% năm. Sau n năm ông Tuấn rút tồn bộ tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm n nguyên dương nhỏ nhất để ông
Tuấn nhận được số tiền lãi nhiều hơn 40 triệu đồng (giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi).
A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 4 .


Câu 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 ( x  1)  log 1 (2 x  1) là
2

A. 0 .

B. 1 .

2

C. Vô số.

D. 2 .

Câu 16: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng
x 0, x 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V 

4
3

B. V 2

C. V 

4
3

Câu 17: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 

D. V 2
m2 x3
 m 2  4m x 2  x  3
3





đồng biến trên  ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

2
2
Câu 18: Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2  2 z  5 0 . Giá trị của z1  z2 bằng

A. 10 .

B. 12 .

C. 2 34 .

D. 4 5 .

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn | z  2  i |1 . Hỏi tập hợp các điểm biểu diễn số phức w (1  2i) z là
đường trịn tâm I có tọa độ là
A. I(  4;  3) .

B. I(4;3) .

C. I (3; 4) .

D. I ( 3;  4) .



Câu 20: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A(2;5), B(1;1), C(3;3) . Tìm tọa độ điểm E sao cho AE 3AB  2AC.
A. (3;  3) .

B. ( 3;3) .

C. ( 3;  3) .

D. ( 2;  3) .

Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi H là trực tâm tam giác ABC , phương trình của các
cạnh và đường cao tam giác là AB : 7x  y  4 0; BH : 2x  y  4 0; AH : x  y  2 0 . Phương trình
đường cao CH là
A. 7 x  y  2 0

B. 7 x  y 0 .

C. x  7 y  2 0 .

D. x  7 y  2 0 .

Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 4;1;1) và mặt phẳng (P) : x  2y  z  4 0 . Mặt phẳng
(Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là

A. (Q) : x  2 y  z  5 0 .B. (Q) : x  2 y  z  7 0 .
C. (Q) : x  2 y  z  7 0 .D. (Q) : x  2 y  z  5 0 .
Câu 23: Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân,
cạnh huyền bằng a 2 . Thể tích khối nón bằng

a 2
A.
.
4

 a3 2
B.
.
6

 a2 2
C.
.
12

 a3 2
D.
.
12

Câu 24: Người ta muốn tạo ra một hình trụ bằng cách cắt một tấm tơn hình chữ nhật ABCD thành hai
hình chữ nhật, hình chữ nhật ADFE cuộn thành mặt xung quanh của hình trụ, hình chữ nhật BCFE được
cắt thành hai hình trịn bằng nhau để làm hai đáy của hình trụ (tham khảo hình vẽ bên). Biết thể tích của
khối trụ tạo thành bằng

27
. Diện tích của tấm tơn ABCD bằng
2


A. 9  9 x .

B. 18  18 .

D. 27

C. 36 .

Câu 25: Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng

2a
, hình
3

chiếu của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ
ABC.ABC bằng
A.

a3 3
6

B.

a3 3
.

12

C.

a3 3
24

D.

a3 3
.
36

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và
M là trung điểm SC . Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng (AGM) . Tính

A.
Câu

1
.
2
27:

B.
Trong

khơng

1

.
3
gian

C. 2 .
Oxyz,

cho

mặt

KS
.
KD

D. 3 .
phẳng

2 x  2 y  z  9 0

và

mặt

cầu

( S ) : ( x  3) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất là
 11 14 13 
A. M   ; ;  .

 3 3 3

 29 26 7 
;  .
B. M  ; 
3
3
 3

 29 26 7 
; ;  .
C. M  
3
 3 3

 11 14 13 
D. M  ; ;   .
3
 3 3

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viêt phương trình tham số của đường thẳng qua
A(1; 2;  2) và vng góc với mặt phẳng (P) : x  2y  3 0 .
 x  1  t

A.  y  2  2t
 z 2  3t


 x 1  t


B.  y 2  2t
 z  2  3t


 x  1  t

C.  y  2  2t
 z 2


 x 1  t

D.  y 2  2t
 z  2


Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên R và f (0) 0; f (4)  4 . Biết hàm y f  (x) có
2
đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x)  f x  2 x là

 


A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm
A(1;1;1), B(2;0;2), C(  1;  1;0), D(0;3; 4) . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B , C  , D thỏa
mãn

AB AC AD


4 . Viết phương trình mặt phẳng BC D biết tứ diện ABC D có thể tích nhỏ



AB AC AD





nhất?
A. 16 x  40 y  44 z  39 0 .

B. 16 x  40 y  44 z  39 0 .

C. 16 x  40 y  44 z  39 0 .

D. 16 x  40 y  44 z  39 0 .

Câu 31: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  và f (1) 1 . Đồ thị hàm số y f  (x) như hình bên. Có
 
bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y | 4f (sin x)  cos 2 x  a | nghịch biến trên  0;  ?

 2

A. 2 .

B. 3 .

Câu 32: Số nghiệm của phương trình
A. 0 .

C. Vô số.

D. 5 .

|3 x |
2x  3

là bao nhiêu?
1  2x
1  2x

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 33: Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm và đồng biến trên [1;4], thỏa mãn x  2 xf ( x)  f  ( x) 
4
3
với mọi x  [1; 4] . Biết rằng f (1)  , tính tích phân I  f ( x) dx .

1
2

9
A. I  .
2

1187
B. I 
.
45

1188
C. I 
.
45

1186
D. I 
.
45

2


Câu 34: Một nhóm gồm 8 học sinh, gồm 4 em nam và 4 em nữ, trong đó có em nam tên Hoàng và em nữ
tên Nhi, được xếp vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 4 ghế sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh
ngồi. Tính xác suất để 2 em ngồi đối diện khác giới trong đó Hồng và Nhi ngồi đối diện nhau hoặc ngồi
cạnh nhau.
A.

3
.
7

B.

1
.
10

1
.
7

C.

D.

3
.
10

Câu 35: Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC,
ACD, ABD và BCD . Thế tích khối tứ diện MNPQ bằng
A.

4V
.
9

B.

V
27

C.

V
.
9

D.

4V
.
27

Câu 36: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 2x 3  3x 2  5 tại điểm có hồnh độ  2 là bao
nhiêu?
Câu 37: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f  (x) 

x2  4
, x 0 . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực
3x 2

trị?
Câu 38: Mặt phẳng đi qua ba điểm A(0;0; 2), B(1;0;0) và C(0;3;0) có phương trình dạng

x y z

  1 .
a b c

Tính khoảng cách từ I (1; 2;1) đến mặt phẳng ( ABC ) .
Câu 39: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần
và các chữ số cịn lại có mặt nhiều nhất một lần?
Câu 40: Cho biết lim

x  

4 x 2  7 x  12 2
 . Tìm giá trị của a.
a | x |  17
3

Câu 41: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ
được tính theo cơng thức c (t ) 

t
(mg / L) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu
t 1
2

của bệnh nhân cao nhất?
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 4  4mx 3  3( m  1)x 2  1 có cực tiểu mà
khơng có cực đại.
Câu 43: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e x , y 0, x 0 và x ln 4 . Đường thẳng
x k

(0  k  ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 , S2 và như hình vẽ bên. Biết với k ln

thì S1 S2 . Tính a  b .

a
b


Câu 44: Cho hàm số f (x) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên.

Phương trình f | f (cos x)  1|0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;3]
Câu 45: Cho số phức z = a+bi, (a, b  ) thỏa mãn | z |5 và (4  3i) z là một số thực. Tính
P | a |  | b | 3 .
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB  AD 2a . Gọi I là
trung điểm cạnh AD , biết hai mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vng góc với đáy và thế tích khối chóp
S.ABCD bằng

3 15a 3
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (ABCD) .
5

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;  3; 2) và mặt phẳng
( P) : x  3 y  2 z  5 0 . Biết mặt phẳng (Q) : ax  2 y  bz  7 0 đi qua M và vng góc với ( P) . Tính
giá trị biểu thức 3a  2b .
y
Câu 48: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thõa mãn 0  x 2021 và log 2 (4 x  4)  x  y  1  2 ?

Câu 49: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích V 

2

. Gọi M là trung điểm cạnh SD.
6

Nếu SB  SD thì khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (MAC) bằng bao nhiêu?
Câu 50: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15 cm , đường kính đáy là 6 cm , lượng nước ban đầu
trong cốc cao 10 cm . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2 cm . Hỏi sau khi thả 5
viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số).


BẢNG ĐÁP ÁN

1.C

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.D

8.D

9.B

10.C

11.B

12.C

13.C

14.B

15.B

16.A

17.C

18.A

19.A

20.C

21.D

22.B

23.D

24.B

25.B

26.A

27.C

28.D

29.D

30.A

31.B

32.B

33.D

34.B

35.C

36.36

37.2

38.1

39.11340

40.3

41.1

42.3

43.7

44.2

45.10

46.60

47.-4

48.11

49.0,5

50.4,26

PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Câu 1: Chọn C
Câu 2: Ta có v(t) s (t)  3t 2  12t có đồ thị là Parabol, do đó v(t) max  t 
Câu 3: Ta có 2 x

2

1

 12
2 . Chọn D
6

5  x 2  1 log 2 5  x 2 1  log 2 5  x  1  log 2 5 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C
 x a
Câu 4: Từ hệ phương trình ta giải được: 
.
 y 1  a
Nên ta có: x  y  a  1  a  a 

1
. Chọn A
2

Câu 5: Có z (3  2i) 2 9  12i  (2i) 2 5  12i  điểm biểu diễn số phức z là Q(5;  12) . Chọn A
Câu 6: Chọn M(2;0;1) là trung điểm của đoạn AB .

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB (2;  4;  2) làm 1 vecto pháp tuyến:
2( x  2)  4( y  0)  2( z  1) 0  x  2 y  z  1 0 . Chọn B
Câu 7: Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox suy ra H(4;0;0), M là điểm đối xứng với M qua
trục Ox thì H là trung điểm của MM .
Khi đó ta có
xM  xM 

 xH 
2


 xM  2 xH  xM 4
yM  y M 


  yH 
  yM  2 yH  yM 1  M  (4;1;  7) . Suy ra MM' 10 2 . Chọn D
2

 z  2 z  z  7
H
M
 M
zM  zM 

z

 H
2

Câu 8: Bất phương trình x(2  x)  x(7  x)  6( x  1)
[  10;10]
 2 x  x 2 7 x  x 2  6 x  6  x 6  x
  x  {6;7;8;9;10}. Chọn D
xZ



3
x 
 k 2

 x   k 2
4
4

(k ,1  ) .
 x   1 2
 
  x  12
6
3

4 4


 2x 

3 



Câu 9: Ta có sin  2 x   sin  x 
4
4 


 2x 


Họ nghiệm x   k 2 không có nghiệm nào thuộc khoảng (0;  ) .


2

2
x   1  (0;  )  0   1
   1  {0;1}
6
3
6
3
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (0;  ) là x 


5
và x  .
6
6

Từ đó suy ra tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;  ) của phương trình này bằng  . Chọn B
u1 1  3.1  2
Câu 10: Ta có: un 1  3n  
.
u10 1  3.10  29
Áp dụng công thức: S 

n  u1  un 
2

10  u1  u10 


 155. Chọn C
2

Câu 11: Với điều kiện x  1 ta tính đạo hàm hàm số y  ln |1  x | ta có y  

(1  x)
1
.

1 x
1 x

Chọn B
Câu 12: Ta có f (x)  2x  m  m  f (x)  2x(*) . Xét hàm số g(x) f (x)  2x trên (0; 2) . Ta có
g (x) f  (x)  2  0 x  (0; 2) nên hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2) . Do đó (*) đúng với mọi
x  (0; 2) khi m  g (0)  f (0) . Chọn C
3
3ln | t  1| C .
Câu 13: Ta có: v (t ) a (t )dt 
t 1
Lại có: v (6) 6  3ln 7  c 6  c 6  3ln 7 . Suy ra v (20) 3ln 21  6  3ln 7 3ln 3  6 .
Vậy vận tốc của ôtô tại giây thứ 20 bằng 3ln 3  6 . Chọn C
n

Câu

14:

Số

tiền

ông

Tuấn

nhận

được

sau

n

n

12 
140

Tn  100  40  100  1 
2,97.
  100  40  n  log1 12
 100 
100 100
Vậy giá trị nguyên dương nhỏ nhất của n là 3. Chọn B

 x 1  2 x  1

Câu 15: Ta có log 1 ( x  1)  log 1 (2 x  1)  
2

x

1

0
2
2



x  2


1.
 x  2

Do x nguyên nên x 1 . Chọn B
Câu 16: Thể tích khối trịn xoay được tính theo cơng thức
1



V  
0

2



2

1

1



x 1 dx  
0

 x3

4
x  1 dx    x   . Chọn A
3
 3
0
2



năm

là

12 

Tn 100  1 
 .
 100 


2 2
2
Câu 17: Ta có: y m x  2 m  4m x  1 .






2 2
2
Hàm số đồng biến trên   y 0, x    m x  2 m  4m x  1 0, x   . (*) .





Với m 0 , ta có y  1 0, x    Thỏa mãn bài toán.
2

Với m 0  m 2  0 : được thỏa mãn khi và chỉ khi    m 2  4 m  m 2 0





(m  4) 2 1  1 m  4 1

2


 m  (m  4)  1 0  

 3 m 5.
m 0
m 0
2

 m  [3;5]  {0} thì hàm số đã cho đồng biến trên  . Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn. Chọn C
Câu 18: z 2  2 z  5 0 . Xét  22  4.1.5  16  0 .
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là z1,2 
Khi đó: z12  z22  12  22





2



2

1

 ( 2)2



2

2 i 16
1 2i .
2

10 . Chọn A

w
x  iy

Câu 19: Đặt w x  yi, ( x, y  ) . Ta có w (1  2i ) z  z 
.
1  2i 1  2i
Do đó | z  2  i |1 

x  iy
 2  i 1  | x  yi  (2  i)(1  2i ) ||1  2i |
1  2i

 | x  yi  4  3i | 5  ( x  4) 2  ( y  3) 5 5 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(  4;  3) . Chọn A



 
 



Câu 20: Gọi E(x;y). Ta có AE 3AB  2AC  AE  AB 2(AB  AC)  BE 2CB

 x  1  4
 x  3
( x  1; y  1) 2( 2;  2)  

 E ( 3;  3) . Chọn C
y

1

4
y

3


Câu 21: CH  AB mà AB : 7x  y  4 0 nên CH có phương trình 1 x  x H   7  y  y H  0 trong đó
 2 x  y  4 0
xH , yH là nghiệm của hệ: 

 x  y  2 0

 x 2
 H (2;0) .

 y 0

Vậy phương trình đường cao CH :1( x  2)  7(y  0) 0  x  7 y  2 0 .


Cách khác: Đường cao CH  AB nên CH có vectơ pháp tuyến n (1;7) . Chọn D

Câu 22: Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n P (1;  2;  1) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt
 
phẳng (P) nên (Q) có một vectơ pháp tuyến n n p (1;  2;  1) .
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A( 4;1;1) .
Phương trình mặt phẳng (Q) là ( x  4)  2( y  1)  ( z  1) 0  x  2 y  z  7 0 . Chọn B
Câu 23:



1
a 2
 r  AB 

2
2
Ta có: SAB vng cân tại S nên 
.
 h  1 AB  a 2

2
2
2

1
1 a 2  a 2   a3 2
 V  h r 2  
. Chọn D


 
3
3
2  2 
12
Bản word từ website Tailieuchuan.vn
Câu 24: Đặt AD  a suy ra đường kính của hai đường trịn là BE 

BC a
 .
2
2

a
Khi đó hình trụ có chiều cao h a , bán kính đáy r  .
4
Thể tích khối trụ V  r 2 h 

 a 3 27

 a=6
16
2

Chu vi đường tròn đáy bằng độ dài cạnh AE nên AE 2 r 

a
3 .AB AE  EB 3  3 .
2

Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng S AB.AD (3  3)6 18 18 . Chọn B
Câu 25: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có:

2
a 3
;
AG  AI 
3
3


2

2
a2
a
 2a   a 3 
A G  A A  AG    

 AG 

9
3
 3   3 
2





V B.h 

2

2

a2 3 a a3 3
. 
 Chọn B
4 3
12

Câu 26: Gọi O AC  BD, I AM  SO .
Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài GI cắt SD tại K  K SD  (AMG) .
Trong tam giác SAC , có SO, AM là hai đường trung tuyến.

Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC


OI 1
OG 1
OI OG
 mà
 

 GI / /SB
OS 3
OB 3
OS OB

 GK / /SB 

KD GD

.
KS GB

Ta có DO BO 3GO  GD 4GO, GB 2GO .
Vậy

KD GD 4GO
KS 1


2 
 . Chọn A
KS GB 2GO
KD 2

Câu 27: Mặt cầu (S) có tâm I(3;  2;1) và bán kính R 10 . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là
d(I;(P)) 6  R nên (P) cắt (S) . Khoảng cách từ M thuộc (S) đến (P) lớn nhất
 x 3  2t

 M  (d ) đi qua I và vng góc với ( P) . Phương trình ( d ) :  y  2  2t .
 z 1  t

 10
 29 26 7 
 t  3  M1  3 ;  3 ;  3 



Ta có: M  (d )  M (3  2t ;  2  2t ;1  t ). Mà M  ( S )  

10
 11 14 13 
 M2   ; ; 
 t 
3
 3 3 3

 29 26 7 
; ;   thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C
Thử lại ta thấy: d  M1 , (P)   d  M 2 , (P)  nên M  
3
 3 3

Câu 28: Mặt phẳng (P) : x  2y  3 0 có VTPT n (P) (1;  2;0) . Đường thẳng d qua A(1; 2;  2) và


 x 1  t
 

vng góc với (P) có VTCP u n (P) (1;  2;0) . Vậy d :  y 2  2t (t  ) . Chọn D
 z  2

Câu 29:

2
Xét h( x)  f x  2 x

 

 h '( x) 2 xf ' x 2  2 2  xf ' x 2  1 , h '( x ) 0  xf ' x 2  1 0

 

Nếu

x 0

 

thì

phương

 

trình

vơ

nghiệm

vì

f ' x 2 0, x

 

xf ' x 2 0, x 0  xf ' x 2  1  0, x 0

 

 

2
Nếu x  0 , đặt x t  f '(t ) 

1
có nghiệm duy nhất t a  (0;1)
t

 h  0  0
 nên ta có bảng biến thiên của h(x) như sau:
Vì 
 h  2   0

Vậy hàm số g  x   h  x  có 3 cự c trị. Chọn D
Câu 30: Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có: 4 



AB AC AD
AB.AC.AD


3 3
AB' AC' AD'
AB.AC.AD

AB. AC . AD 27 VABC D AB.AC . AD 27
27
 

  VABC D  VABCD
AB. AC. AD
64
VABCD
AB. AC. AD
64
64

nên



AB AC  AD 3
3
7 1 7


  AB  AB  B  ; ;  .
AB
AC
AD 4
4
 4 4 4

Để VABC D nhỏ nhất khi và chỉ khi

  
 7 1 7
Lúc đó mặt phẳng B C D song song với mặt phẳng (BCD) và đi qua B  ; ; 
 4 4 4









 Phương trình mặt phẳng BCD :16x  40y  44z  39 0 . Chọn A

 
2
Câu 31: y | 4 f (sin x)  cos 2 x  a | 4 f (sin x)  2sin x  1  a . Đặt t sin x, t  (0;1) do x   0; 
 2
2
Bài tốn trở thành: Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y  4f (t)  2t  1  a nghịch biến trên

khoảng (0;1) .

 4f (t)  4t   4f (t)  2t



Ta có: y



2

1  a

4f (t)  2t 2 1  a

 0, t  (0;1) (*).

Với t  (0;1) thì đồ thị hàm số y f  (t) nằm phía dưới trục Ox
 f  (t)  0, t  (0;1)  f  (t)  t  0, t  (0;1)
Khi đó: (*)  4 f (t )  2t 2  1  a 0, t  (0;1)  a 4 f (t )  2t 2  1, t  (0;1) .
Xét hàm số g(t) 4f (t)  2t 2  1 trên (0;1) .
Ta có g  (t ) 4 f  (t )  4t  0  g (t )  g (1) 4 f (1)  2.1 1 3, t  (0;1) .
Do đó a 3  g (t ), t  (0;1) . Vậy 0  a 3  a {1, 2,3} . Chọn B
Câu 32: Điều kiện 1  2 x  0  x 

1
.
2


 2 x  3 0
|3 x |
2x  3


 | 3  x |2 x  3    3  x 2 x  3 

1 2x
1 2x
  3  x  2 x  3
 

3

x  2

 x 0

  x  6

(t / m )
( L)

 x 0. Chọn B

Câu 33: Từ giả thiết suy ra f  (x) 0, x  [1; 4] và f (x) f (1)  0, x  [1; 4] .
2

2



Ta có x  2 xf ( x)  f ( x)   x[1  2 f ( x)]  f ( x)  

Suy ra:



f  ( x)
 x.
1  2 f ( x)

f  (x)
2
3
2
4
dx  x dx  1  2f (x)  x x  C . Vì f (1)   2   C  C  .
3
1  2f (x)
2
3
3

2
2


4
4 1  2
1  2
4
4
1186
f
(
x

)

x
x


1
I

f
(
x
)
dx

x
x

 1 dx 
Do đó
. Chọn D

 .Vậy






1

1 2
2   3
3
3
45

  3


Câu 34: Ta có n() 8 ! . Gọi A là biến cố “ 2 em ngồi đối diện khác giới trong đó Hồng và Nhi ngồi
đối diện nhau hoặc ngồi cạnh nhau".
TH1: Hoàng ngồi đối diện Nhi: Chọn 1 ghế cho Hồng có 8 cách. Xếp cho Nhi ngồi đối diện Hồng có 1


cách. Xếp các ghế cịn lại có 6.3.4.2.2.1 = 288 cách. Vậy TH1 có 2304 cách.
TH2: Nhi ngồi cạnh Hồng và Hồng ngồi ở các vị trí đầu hoặc cuối hàng ghế. Chọn 1 ghế cho Hồng có
4 cách. Xếp cho Nhi ngồi cạnh Hồng có 1 cách. Xếp các bạn nữ ngồi đối diện Hồng có 3 cách. Xếp các
bạn nam ngồi đối diện Nhi có 3 cách. Xếp các ghế cịn lại có: 4.2.2.1=16 cách. Số cách xếp trong trường
hợp này là 576 cách.
TH3: Nhi ngồi cạnh Hoàng và Hồng ngồi ở các vị trí giữa hàng ghế. Chọn 1 ghế cho Hồng có: 4 cách.
Xếp cho Nhi ngồi cạnh Hồng có 2 cách. Xếp các bạn nữ ngồi đối diện Hồng có 3 cách. Xếp các bạn
nam ngồi đối diện Nhi có 3 cách. Xếp các ghế cịn lại có 4.2.2.1 16 cách. Số cách xếp trong trường hợp
này là 1152 cách.
Vậy n( A) 4023  P( A) 

4023 1
 . Chọn B
8!
10

Câu 35: Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD .

Ta có

VAMNP 8
8
2
  VAMNP  VAEFI  V .
VAEFI
9
9
9

1
11
VMNPQ  d(Q, (MNP)).SMNP  d( A, (MNP)).SMNP
3
32
1
1
V
 d(Q, (MNP)).SMNP  VAMNP   Chọn C
6
2
9
Câu 36: Hệ số góc của tiếp tuyến: y  6 x 2  6 x  y  ( 2) 36 . Đáp án: 36
Câu 37: Ta có f  (x) 0  x 2 là các nghiệm đơn. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án: 2
Câu 38: Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là
| 6 4 3 6 |
x y z

1 . Đáp án: 1
  1  6 x  2 y  3 z 6 . Vậy d ( I ;( ABC ))  2
1 3 2
6  2 2  32
Câu 39: Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài tốn có dạng abcdef. .
2
Xét trường hợp có cả chữ số 0 đứng đầu. Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là C7 .
3
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là C5 .
2
Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp {0,1, 4,5, 6, 7,8,9} để xếp vào hai vị trí cuối là A78 .
2
3
2
Do đó có C7 .C5 . A8 11760 số


Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu, a 0 nên có 1 cách chọn.
2
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: C6 .
3
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là C4 .
2
3
Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp {1, 4,5, 6, 7,8,9} là 7 cách. Do đó có: 1.C6 .C4 .7 420 .

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: 11760  420 11340 . Đáp án: 11340
2

Câu 40: Ta có lim

x  

4 x  7 x  12
 lim
x  
a | x |  17

7 12
7 12
 2
4  2
x x  lim
x x 2 2 
Đáp án: 3
x



17
17 
a 3

a

 x a  
x
x 


 x 4

 t 2 1
 t 2 1


t
c
(
t
)

c
(
t
)

0

0  t 1 .
2 . Cho
2
Câu 41: Với c (t )  2 , t  0 ta có
t 2 1
t 2 1
t 1









Bảng biến thiên

Vậy max c(t ) 
( 0; )

1
khi t 1 .
2

Cách khác:
Với t  0 , ta có t 2  1 2t . Dấu “=” xảy ra  t 1 .
Do đó, c (t ) 

1
t
t 1
  . Vậy max c(t )  khi t 1 . Đáp án: 1
( 0; )
2
t  1 2t 2
2

Câu 42: Ta có: y 4x 3  12mx 2  6( m  1)x
TH1: m  1 , ta có: y  4 x3  12 x 2 4 x 2 ( x  3) .
Bảng xét dấu

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.
 x 0
TH2: m  1 . Ta có: y ' 0   2
.
 2 x  6mx  3m  3 0 (*)
Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) khơng có hai nghiệm phân biệt


 (3m) 2  2(3m  3) 0 

1

7
2

1 7
.
m 
2

 1 7 1 7 
;
Vậy m  
  { 1} . Có 3 giá trị nguyên m là { 1;0;1} thỏa mãn. Đáp án: 3
3
3


k

k

ln 4

ln 4

k

k

Câu 43: Dựa vào hình vẽ ta có: S1  e x dx e x 0 e k  1; S 2  e x dx e x
0

k
k
k
Theo đề ra: S1 S2  e  1  4  e  2e 5  k ln





4  e k .

5
 a  b 7 . Đáp án: 7
2

1

2
2
Câu 44. Xét phương trình 2f x  1  1 0  f x  1  (*) . Trên đoạn [ 2; 2] đồ thị hàm số
2



y f (x) cắt đường thẳng y 







1
tại ba điểm phân biệt x a   1, x b  1, x c  1
2

Khi đó từ (*) ta có x 2  1 c có 2 nghiệm phân biệt, x 2  1 a, x 2  1 b vô nghiệm. Đáp án: 2
Câu 45: Ta có: | z |5  a 2  b 2 25 (1).
Và (4  3i)z (a  bi)(4  3i) (4a  3 b)  (4 b  3a) i là số thực nên 4 b  3a 0 . Thay vào (1) ta được
2

3 
a   a  25  | a |4  | b |3  P | a |  | b | 3 10 . Đáp án: 10
4 
2

Câu 46: Diện tích hình thang

1
1
SABCD  AD(AB  CD)  2a.3a 3a 2 , CB AC a 5.
2
2

Độ dài đường cao

SI 

3 VS.ABCD
SABCD

3 15a 3
3
3 15a .
5


2
3a
5

Vẽ IH  CB tại H  BC  (SIH)  BC  SH .


 .
Ta có ((SBC),
(ABCD)) (IH,SH)
SHI

SICB SABCD  SIDC  SAIB 3a 2 

a2
3a 2
 a2 
 IH.CB 3a 2
2
2

3a 5
  SI  3a 15 : 3a 5  3  SHI
 60 . Đáp án: 60
, tan SHI
5
IH
5
5


Câu 47: Ta có VTPT của (P) là: n (P) (1;  3;  2), n (Q) (a;  2; b) .

Theo bài ra (P)  (Q)  n (P) .nQ 0  a  6  2 b 0 (1).
 IH 

Mặt khác: M  (Q)  a  6  2 b  7 0  a  2 b 1 (2).
Từ (1) và (2) giải ra tìm được a 

5

7
7
 5
, b   3a  2b 3.     2.  4 . Đáp án:  4
2
4
4
 2

y
y
Câu 48: Ta có: log 2 (4 x  4)  x  y  1  2  log 2 4  log 2 ( x 1)  x  y 1  2

 ( x  1)  log 2 ( x  1) 2 y  log 2 2 y  f ( x  1)  f 2 y 
x  1 2 y  x 2 y  1

 

x 2021
 0
  0 2 y  1 2021  20 2 y 2022  0  y log 2 2022 10,98

Mà với mỗi y    x   nên có 11 cặp nguyên (x;y) thỏa bài toán. Đáp án: 11
Câu 49: Gọi H là tâm hình vng ABCD  SH  (ABCD)

Đặt AB a (a  0). S ABCD a 2 ; BD a 2 .
Tam giác SBD vuông tại S nên SH 

a 2
.

2

1
2 3
2
VS.ABCD  SH.SABCD 
a 
 a 1
3
6
6
1
2
1
1
VMACD  VS.ABCD  ; HM  SB  (Vì SB AB 1 )
4
24
2
2
1
1 1
2
S MAC  MH . AC  . . 2  . Ta có: d ( B, ( MAC )) d ( D, ( MAC ))
2
2 2
4
3 VMACD 1
1
 . Đáp án: 0,5

Lại có: VMACD  .d (D, (MAC)).SMAC  d (D,(MAC)) 
3
SMAC
2


2
2
Câu 50: r 3, VCN  r .h  .15.3 135 .

4 3 290
2
Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi: V1  .10.3  5.  .1 
.
3
3
Thể tích của phần cịn trống: V2 VCN  V1 135 

290 115

.
3
3

Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc dến miệng cốc, ta có:
115
115
 32.h1 
 h1 
4, 26 cm. Đáp án: 4,26

3
27