50 câu ôn phần toán đánh giá năng lực đhqg hà nội phần 23 (bản word có giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (431.14 KB, 20 trang )
50 câu ơn phần Tốn - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 23 (Bản word có giải)
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Lĩnh vực: Toán học (50 câu hỏi - 75 phút)
Câu 1: Biểu đồ dưới đây là tình hình kinh doanh Cơng ty cổ phần đầu tư Thế giới di động từ tháng
1/2020 đến tháng 2/2021.
(Nguồn: MWG, PHFM tổng hợp)
Hỏi giữa các tháng nào dưới đây thì tình hình kinh doanh của Cơng ty có tốc độ tăng trưởng lợi nhuận sau
thuế nhanh nhất?
A. Từ tháng 1/2020 đến tháng 2/2020.
B. Từ tháng 12/2020 đến tháng 1/2021.
C. Từ tháng 5/2020 đến tháng 6/2020.
D. Từ tháng 10/2020 đến tháng 11/2020.
9 2
3
Câu 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình s (t ) t t 6t , trong đó t được tính bằng giây,
2
s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24( m / s) là
2
A. 21 m / s
2
B. 12 m / s .
2
C. 39 m / s .
2
D. 20 m / s .
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x 1) 2 là
2
A. S ( ;3) .
B. S ( 1;3) .
C. S ( 1; 4) .
D. S ( ; 4) .
| x | 2 | y |3
Câu 4: Số nghiệm của hệ phương trình
là
7 x 5 y 2
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 0 .
Câu 5: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần áo dương của phương trình z 2 2 z 10 0 .
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w iz0 ?
A. M(3; 1) .
B. M (3;1) .
C. M( 3;1) .
D. M ( 3; 1) .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0;1; 2), B(2; 2;1), C( 2;0;1) . Phương
trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC là
A. 2 x y 1 0 .
B. y 2z 3 0 .
C. 2 x y 1 0 .
D. y 2 z 5 0 .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a ( 5;3; 1), b (1; 2;1), c (m;3; 1) . Giá trị của m sao
cho a [b, c] là
A. m 1
B. m 2
C. m 1
D. m 2
Câu 8: Bất phương trình (2 x 1)( x 3) 3 x 1 ( x 1)( x 3) x 2 5 có tập nghiệm là
2
A. S ;
3
2
B. S ; .
3
C. S .
Câu 9: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x
A. S
5
6
B. S .
3
1
trên đoạn
2
C. S .
2
D. S .
2 ; 2 .
D. S .
6
Câu 10: Cho cấp số cộng un và gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7 77 và S12 192 .
Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó.
A. u n 5 4n .
B. u n 3 2n .
C. un 2 3n .
Câu 11: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x )
A. x ln( x 1) C
B. x
1
C
( x 1) 2
D. un 4 5n .
x2
trên khoáng ( 1; ) là
x 1
C. x ln( x 1) C
D. x
1
C .
( x 1) 2
Câu 12: Cho hàm số f (x) , hàm số y f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
trình f ( x ) x m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x (0; 2) khi và chỉ khi
A. m f (2) 2 .
B. m f (2) 2 .
C. m f (0) .
D. m f (0) .
2
Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m / s) có gia tốc a(t) v (t) 2t 10 m / s . Vận tốc
ban đầu của vật là 5 m / s . Tính vận tốc của vật sau 5 giây.
A. 30 m / s .
B. 25 m / s .
C. 20 m / s .
D. 15 m / s .
Câu 14: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn được tính theo cơng thức S A.e rt , trong đó A là số
lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban
đầu là 500 con và tốc độ tăng trưởng là 15% trong 1 giờ. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thời gian để số lượng
vi khuẩn sẽ tăng lên đến 1000000 (một triệu con)?
A. 53 giờ.
B. 25 giờ.
C. 100 giờ.
D. 51 giờ.
2
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 3 x 2 1 là
2
A. ( ;0] [3; ) .
B. [0; 2) .
C. ( ;1) .
D. [0;1) (2;3] .
Câu 16: Cho ( H) là hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y x , y x 2 và trục hồnh (phần tơ màu trong
hình vẽ). Cho hình phẳng (H) quay xung quanh trục Ox tạo ra khối trịn xoay (T) . Tính thể tích của
khối trịn xoay (T) .
A.
16
.
3
B.
32
.
3
C.
8
.
3
Câu 17: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y
D. 8 .
1 3
x x 2 mx 1 nghịch biến
3
trên khoảng (0; ) là
A. m [1; ) .
B. m (1; ) .
C. m [0; ) .
D. m (0; ) .
Câu 18: Cho hai số phức z1 2 2i, z2 2 i . Môđun của số phức w z2 iz1 bằng
A.
5.
B. 3 .
C. 5 .
D. 25 .
Câu 19: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | 2 z 1|1 là
A. Một đường thẳng.
1
B. Đường trịn có bán kính R .
2
C. Một đoạn thẳng.
D. Đường trịn có bán kính R 1 .
Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1; 2) và B(4;6) . Tìm tọa độ điểm M trên
trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 ?
4
A. (0;0) và 0; .
3
B. (1;0) .
C. (4;0) .
D. (0; 2) .
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : x 2 y 2 4x 6y 5 0 . Đường
thẳng d đi qua A(3; 2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là
A. 2 x y 2 0 .
B. x y 1 0 .
C. x y 1 0 .
D. x y 1 0 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2;0;0), B(0; 3;0), C(0;0; 2)
A.
x y z
1
3 2 2
B.
x y z
1 .
2 2 3
C.
x y z
1 .
2 3 2
D.
x y z
1
2 3 2
Câu 23: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , diện tích xung quanh bằng 6 a 2 . Tính thể tích V của
khối nón đã cho.
A. V
3 a 3 2
.
4
B. V a 3 .
C. V
a3 2
.
4
D. V 3 a 3 .
Câu 24: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi quay mơ hình như hình vẽ bên quanh trục DF (với F, D, A
thẳng hàng).
A.
5 3
a .
2
B.
10 3
a .
7
C.
10 3
a .
9
D.
3
a .
3
Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. AB C có AB 4a , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt
phẳng (ABC) bằng 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC bằng
A. 16a 3 3 .
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
4
D.
a3 3
2
Câu 26: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho PR / /AC và
CQ 2QD . Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S . Chọn khẳng định đúng ?
A. AD 3DS .
B. AD 2DS .
C. AS 3DS .
D. AS DS .
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(0;0; 2) , B(4;0;0) . Mặt cầu (S) có bán
kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
A. I(0;0; 1) .
B. I(2;0;0) .
C. I(2;0; 1) .
2
4
D. I ;0; .
3
3
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M(1; 2;3) và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3 x y 3 0 , (Q): 2 x y z 3 0
x 1 t
A. y 2 3t
z 3 t
x 1 t
B. y 2 3t
z 3 t
x 1 t
C. y 2 3t
z 3 t
x 1 t
D. y 2 3t
z 3 t
2
Câu 29: Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị f ( x) như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) 2f (x) (x 1)
có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 7 .
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0; 1), B( 1;1;0), C(1;0;1) . Tìm điểm M sao cho
3MA 2 2MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
3 1
A. M ; ; 1 .
4 2
3 1
B. M ; ; 2 .
4 2
3 3
C. M ; ; 1 .
4 2
3 1
D. M ; ; 1 .
4 2
Câu 31: Cho hàm số y f (x) ax3 bx 2 cx d như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m ( 5;5) để phương trình f 2 (x) (m 4) | f (x) | 2 m 4 0 có 6 nghiệm phân biệt?
A. 4 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 3 .
2
2
Câu 32: Giá trị của tham số a để phương trình 2 x 3 x 2 5a 8 x x có nghiệm duy nhất là
A. a 1 .
B. a
49
60
C. a 12 .
D. a
57
.
80
x
2
Câu 33: Cho hàm số y f (x) liên tục trên thỏa mãn
16
2
cot x. f sin x dx
x
4
1
f( x)
dx 1 . Tính tích
x
1
f (4x)
I
dx .
phân
x
1
8
A.
5
.
2
B.
21
.
4
C. 2 .
D. 1 .
Câu 34: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau lập từ các chữ số
0,1,2,3,4,5,6,7. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
A.
24
.
35
B.
144
.
245
C.
72
.
245
D.
18
.
35
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA a 2 .
Một mặt phẳng đi qua A vng góc với SC cắt SB,SD,SC lân lượt tại B , D , C . tích khối chóp
SABCD là:
A. V
2a 3 3
9
B. V
2a 3 2
.
3
C. V
a3 2
.
9
D. V
2a 3 3
3
Câu 36: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f (x) x 3 x 2 tại điểm M( 2;8) là bao nhiêu?
Câu 37: Cho hàm số f (x) có f (x) x(x 3) 2 (x 2)3 , x . Hàm sô đã cho có bao nhiêu điểm cực
tiểu?
Câu 38: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x 2y z 5 0 . Khoảng cách từ M( 1; 2; 3)
đến mặt phẳng (P) có giá trị bằng
a
. Tính a b .
b
Câu 39: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đơi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa
hai chữ số 1 và 3 ?
sin 5 x
3x 1 1 a
5
Câu 40: Biết lim
, trong đó a, I f ( x )dx tan xdx 5 dx là các số nguyên
x 0
cos x
x
b
dương và phân số
a
tối giản. Tính giá trị biểu thức P a 2 b 2 .
b
Câu 41: Trung tâm A chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em học sinh. Nếu một phòng học có x học sinh
2
x
thì học phí cho mỗi học sinh là 9
(nghìn đồng). Một buổi học thu được số tiên học phí cao nhất
40
là bao nhiêu nghìn đồng?
2
3
2
Câu 42: Cho hàm số f (x) biết f (x) x (x 1) x 2mx m 6 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?
Câu 43: Cho tích phân
1
( x 2)e dx a be , với a; b . Tính tổng a b .
x
0
Câu 44. Cho hàm số y f (x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
4
Tìm số nghiệm của phương trình f x 1 1 0 .
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z 2 2mz 3 m 4 0 có hai nghiệm khơng là số
thực?
Câu 46: Cho lăng trụ ABC. ABC có A. ABC là hình chóp tam giác đều có AB a, AA a
7
. Tính
12
góc giữa hai mặt phẳng ABB A và (ABC) .
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3 x 2 y z 6 0 . Hình chiếu vng góc của
điểm A(2; 1;0) lên mặt phẳng ( ) có tọa độ là H(x; y; z) . Tính T x 2 y 2 z 2 .
Câu 48: Có tất cả bao nhiêu cặp số (a; b) với a,b là các số nguyên dương thỏa mãn
log 3 (a b) (a b) 3 3 a 2 b 2 3ab( a b 1) 1
1
Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB BC AD a . Biết SA
2
vng góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) với a 4
.
Câu 50: Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích
500 3
m .
3
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng
/m 2 . Nếu biết xác địhh kích thước của bể hợp lí thì chi phí th nhân cơng sẽ thấp nhất, chi phí thấp nhất
bằng bao nhiêu triệu đồng?
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.D
10.B
11.A
12.A
13.A
14.D
15.D
16.A
17.A
18.C
19.B
20.A
21.C
22.D
23.D
24.C
25.A
26.A
27.C
28.D
29.A
30.D
31.D
32.B
33.A
34.D
35.C
36.-11
37.1
38.7
39.7440
40.13
41.4320
42.7
43.1
44.4
45.4
46.60
47.3
48.2
49.2
50.75
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Câu 1: Chọn B
2
2
Câu 2: Ta có v(t ) s (t ) 3t 9t 6 24 t 2( s); a(t ) s (t ) 6t 9 a(2) 21 m / s .
Chọn A
Câu 3: Điều kiện xác định: x 1 0 x 1
log 1 ( x 1) 2 log 2 ( x 1) 2 log 2 ( x 1) 2 0 x 1 4 1 x 3
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S ( 1;3) . Chọn B
x 2 y 3
11
19
x ; y (loại)
Câu 4: Khi x, y 0 thì hệ trở thành
9
9
7 x 5 y 2
x 2 y 3
19
23
x ,y
Khi x, y 0 thì hệ trở thành
(loại)
9
9
7 x 5 y 2
x 2 y 3
x 1; y 1 (nhận)
Khi x 0, y 0 thì hệ trở thành
7 x 5 y 2
x 2 y 3
11
23
x ; y
Khi x 0, y 0 thì hệ trở thành
(nhận). Chọn C
19
19
7 x 5 y 2
Câu 5: Xét 22 4.1.10 36 0 suy ra phương trình z 2 2z 10 0 có hai nghiệm phức là
z1 1 3i; z2 1 3i .
Theo đề bài ta có z 0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình
z 2 2z 10 0 nên z 0 1 3i iz 0 i( 1 3i) 3 i .
Vậy điểm M( 3; 1) là điểm biểu diễn số phức w iz 0 3 i . Chọn D
Câu 6: Ta có BC ( 4; 2;0) n ( 2;1;0) .
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC có dạng:
2( x 0) 1( y 1) 0 2 x y 1 0 2 x y 1 0 . Chọn C
m 1 3
m 2 . Chọn D
Câu 7: [b , c ] ( 5; m 1;3 2m) . Ta có: a [b , c ]
3 2m 1
Câu
8:
Bất
phương
trình
(2 x 1)( x 3) 3 x 1 ( x 1)( x 3) x 2 5
tương
đương
2 x 2 5 x 3 3x 1 x 2 2 x 3 x 2 5 0.x 6 x S . Chọn D
x 2 k
1
6
(k ) . Vì x ; nên x S . Chọn D
Câu 9: Ta có: sin x
2
6
6
2 2
x 5 2k
6
Câu 10: Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và cơng sai d .
S7 77
Ta có:
S12 192
7.6.d
7u1 2 77
12u 12.11.d 192
1
2
7u1 21d 77
12u1 66 d 192
u1 5
.
d 2
Khi đó: un u1 (n 1)d 5 2( n 1) 3 2n . Chọn B
Câu 11:
x2
1
1
x 1dx 1 x 1 dx 1dx x 1dx x ln | x 1| C x ln( x 1) C .
( Do x ( 1; ) nên ln | x 1|ln( x 1) ). Chọn A
Câu 12:
Ta có f (x) x m, x (0;2) m f (x) x, x (0; 2) .
Xét hàm số g(x) f (x) x trên (0; 2) . Ta có g (x) f (x) 1 .
Dựa vào đồ thị ta có f (x) 1, x (0; 2) .
Suy ra g (x) 0, x (0; 2) .
Do đó g ( x ) nghịch biến trên (0; 2) .
Dựa vào bảng biến thiên hình bên
với
suy ra m g ( x), x (0; 2) m f (2) 2 . Chọn A
2
Câu 13: Có v(t ) a(t )dt ( 2t 10)dt 10t t C . Lại có v (0) 5 C 5 .
Vậy v (t ) 10t t 2 5 vận tốc của vật sau 5 giây là v(5) 10.5 52 5 30( m / s) . Chọn A
1 S
1
1000000
rt
ln
51 giờ. Chọn D
Câu 14: Áp dụng cơng thức ta có: S A.e t ln
r A 0,15
500
Câu 15: Điều kiện xác định: x 2 3x 2 0 x ( ;1) (2; )
2
2
Khi đó bất phương trình log 1 x 3 x 2 1 log 1 x 3x 2 log 1 2
2
2
2
x 2 3 x 2 2 x [0;3].
So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: [0;1) (2;3] . Chọn D
Câu 16: Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
x2
y x ; y 0; x 0; x 4 V1 ( x ) dx xdx
8 .
0
0
2 0
4
4
2
Gọi V2 là thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
4
4
2
y x 2; y 0; x 2; x 4 V2 ( x 2) dx
2
2
x3
8
x 4 x 4 dx 2 x 2 4 x
3
2 3
2
16
Thể tích cần tìm là V V1 V2
(đvtt). Chọn A
3
Câu 17: Ta có y x 2 2 x m . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) thì y 0 với
x (0; ) y x 2 2x m 0; x (0; ) m x 2 2x; x (0; )
m Max[0;) x 2 2 x .
Đặt x 2 2 x f ( x) . Ta có f ( x) 2 x 2; f ( x) 0 x 1
Khi đó Max[0;) f (x) Max[0;) f (1) 1 . Vậy suy ra m 1 hay m [1; ) . Chọn A
Câu 18: Ta có w z2 iz1 (2 i ) i (2 2i ) 2 i 2i 2 4 3i .
Vậy | w || 4 3i | 42 ( 3) 2 5. Chọn C
Câu 19: Gọi z x yi ( x, y ) :| 2 z 1|1
| 2 x 1 2 yi |1
(2 x 1) 2 4 y 2 1 4 x 2 4 y 2 4 x 0
2
1
1
x y x 0 x y2 .
2
4
2
2
1
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trịn có bán kính R . Chọn C
2
2
Câu 20: AB 5 , gọi M(0; m) . Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 d(M, AB) ,
5
m 0
| 3m 2 | 2
AB : 4x 3y 2 0
. Chọn A
m 4
5
5
3
Câu 21: Đặt f ( x; y ) x 2 y 2 4 x 6 y 5 .
Ta có f (3; 2) 9 4 12 12 5 6 0 . Vậy A(3; 2) ở trong (C).
Dây cung MN ngắn nhất IH lớn nhất, mà IH IA MN ngắn nhất
H A MN có vectơ pháp tuyến là IA (1; 1) .
Vậy d có phương trình: 1( x 3) 1( y 2) 0 x y 1 0 . Chọn C
Câu 22: Sử dụng phương trình mặt chắn ta có mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phương trình
x y z
1. Chọn D
2 3 2
Câu 23: SAB là tam giác đều nên ta có 1 AB 2r , h
AB 3
r 3
2
2
2
2
mà S xq rl 6 a 2 r 6 a r a 3, h 3a.
r2 h
Thể tích của khối nón đã cho là: V
3 a 3 . Chọn D
3
Câu 24: Khối tròn xoay được tạo thành gồm hai phần:
Phần thứ nhất là khối trụ có bán kính R1 CD a và chiều cao h1 l BC a .
Phần thứ hai là khối nón có bán kính R 2 EF AF.tan 30 a.
3 a 3
và chiều cao h 2 AF a
3
3
2
V Vtru Vnon
1
1 a 3
10 3
R .h1 R 22 .h 2 a 2 .a .
a Chọn C
.a
3
3 3
9
2
1
Câu 25: ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều ABC. ABC là lăng trụ đứng và đáy là tam giác đều.
CA 45
Ta có: AA (ABC) AC;(ABC) A
AAC vuông cân tại A AA AC 4a .
S ABC
( AB) 2 3 (4a) 2 3
4a 2 3
4
4
VABC.ABC AA.SABC 4a.4a 2 3 16a 3 3 Chọn A
Câu 26: Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I , cắt AD tại S .
Ta có
DI BR CQ
CQ
.
.
1 mà
2
IB RC QD
QD
suy ra
DI BR 1
DI 1 RC
.
.
.
IB RC 2
IB 2 BR
Vì PR song song với AC suy ra
Lại có
RC AP
DI 1 AP
.
.
BR PB
IB 2 PB
SA DI BP
SA 1 AP BP
SA
. .
1
. .
.
1
2 AD 3DS . Chọn A
SD IB PA
SD 2 PB PA
SD
Câu 27: Gọi J là trung điểm AB J (2;0; 1)
Tam giác ABO vuông tại O nên J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB .
Gọi I là tâm mặt cầu ( S ), ( S ) qua các điểm A, B, O.
x 2
Ta có đường thẳng IJ qua J và có một VTCP là j (0;1;0) nên có phương trình: y b .
z 1
I (IJ) I(2; b; 1), IA b 2 5 IA 5. Dấu “=” xảy ra b 0. Vạy I(2;0; 1). Chọn C
Câu 28: Gọi là đường thẳng cần tìm. có vecto chỉ phương u n p ; nQ (1; 3;1)
x 1 t
Suy ra phương trình tham số của là y 2 3t. Chọn D
z 3 t
Câu 29:
Xét hàm số h( x) 2 f ( x) ( x 1) 2 , ta có:
h ( x ) 2 f ( x) ( x 1)
Dựa vào đồ thị của hàm f ( x) và y x 1 như hình bên ta có bảng biến thiên của hàm số h(x) :
Ta thấy hàm số h(x) có 2 cực trị và phương trình h(x) 0 có nhiều nhất 3 nghiệm.
Vậy hàm số g(x) có nhiều nhất 5 điểm cực trị. Chọn A
AM (x; y; z 1)
AM 2 x 2 y 2 (z 1) 2
2
2
2
2
Câu 30: Giả sử M(x; y; z) BM (x 1; y 1; z) BM (x 1) (y 1) z
CM 2 (x 1) 2 y 2 (z 1) 2
CM (x 1; y; z 1)
3MA 2 2MB2 MC 2 3 x 2 y 2 (z 1) 2 2 (x 1) 2 (y 1) 2 z 2
( x 1) 2 y 2 ( z 1) 2
2
3
5
5
4 x 4 y 4 z 6 x 4 y 8 z 6 2 x (2 y 1) 2 (2 z 2) 2 .
2
4
4
2
2
2
Dấu "=" xảy ra x
3
1
3 1
, y , z 1 , khi đó M ; ; 1 . Chọn D
4
2
4 2
Câu 31: f 2 (x) (m 4) | f (x) | 2 m 4 0 | f (x) |2 m | f (x) | 4 | f (x) | 2 m 4 0
| f (x) |2 (1)
| f (x) |2 m | f (x) | 4 | f (x) | 2m 4 0 (| f (x) 2 |) 2 m(| f (x) | 2) 0
| f (x) |m 2 (2)
Từ đồ thị hàm số y f (x) ta được đồ thị hàm số y | f (x) | như hình vẽ. Xét phương trình (1) : f (x) 2 ,
ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương
trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình (1)
m 2 0
Vậy
m2 4
m 2
m 2 , với m ( 5;5) các giá trị nguyên của m là { 2;3; 4} . Chọn D
2
2
Câu 32: Phương trình tương đương với 2 x 3 x 2 x 8 x 5a
1
2
3x 5x 2 khi x , x 2
2
2
2
Xét hàm số y f (x) 2x 3x 2 x 8x
x 2 11x 2 khi 1 x 2
2
2
2
Suy ra, bảng biến thiên của hàm y f (x) 2x 3x 2 x 8x như sau
Yêu cầu bài toán 5a
49
49
a
. Chọn B
12
60
1
Câu 33: Đặt t sin 2 x dt 2sin x cos xdx. Ta có x t ; x t 1 .
4
2
2
2
4
1 2 2sin x cos x
1 1 f (t )
1 1 f ( x)
2
.
f
sin
x
dx
dt
dx
Khi đó 1 cot x. f sin x dx
1
1
2 4
sin 2 x
2 2 t
2 2 x
1
1
2
2
f (x)
dx 2du
dx 2. Đặt u x 2udu dx
. Ta có x 1 u 1; x 16 u 4
x
x
u
16
Khi đó 1
1
4 2 f (u )
4 f ( x)
f ( x)
dx
du 2
dx
1
1
x
u
x
4
1
f ( x)
1
dx .
x
2
1
1
Đặt v 4 x dv 4dx . Ta có x v ; x 1 v 4 .
8
2
1
Vậy I 1
8
1 f (4 x )
4 f (v )
4 f ( x)
1 f ( x)
4 f ( x)
f (4 x )
1 5
dx 1
4dx 1
dv 1
dx 1
dx
dx 2 .
1
x
4x
v
x
x
x
2 2
8
2
2
2
Chọn A
Câu 34: Đặt X {0,1, 2,3, 4,5,6, 7} n( X ) 8 .
Gọi biến cố A : "Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn".
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ X có dạng: a1a2 a3a4 :
a1 X \{0} a1 có 7 cách chọn; a2 , a3 , a4 X \ a1 a2 , a3 , a4 có A73 cách chọn.
3
Số phân tử khơng gian mẫu là: n() 7.A 7 1470 .
Tính số các được chọn có đúng 2 chữ số chẵn, kể cả chữ số 0 đứng đầu.
2
Chọn 2 chữ số chẵn trong bộ {0, 2, 4, 6} có C4 cách chọn.
2
Chọn 2 chữ số lẻ cịn lại trong bộ {1,3,5, 7} có C4 cách chọn.
Sau khi chọn 4 chữ số trên có 4 ! cách xếp vị trí.
2
2
Suy ra số các số được chọn có đúng hai chữ số chẵn, kể cả chữ số 0 đứng đầu là: C4 .C4 .4! 864
Tính số các số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn trong đó chữ số 0 đứng đầu.
Chọn 1 chữ số chẳn trong bộ {2, 4, 6} có 3 cách chọn.
2
Chọn 2 chữ số lẻ còn lại trong bộ {1,3,5, 7} có C4 cách chọn.
Sau khi chọn 3 chữ số trên có 3! cách xếp vị trí.
2
Suy ra số các số được chọn có đúng hai chữ số chẵn trong đó chữ số 0 đứng đầu là: 3.C4 .3! 108
Khi đó n(A) 864 108 756 số. Xác suất cần tìm là: P(A)
Câu 35:
n(A) 756 18
. Chọn D
n() 1470 35
1
a3 2
Ta có: VS.ABCD .a 2 .a 2
.
3
3
Ta có AD (SDC) AD SD; AB (SBC) AB SB . Do SC AB D SC AC .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC
Trong tam giác SAB ta có
VSABCD
VS.ABCD
VSABC VSACD
VS.ABCD
SB SA 2 2a 2 2
.
SB SB2 3a 2 3
1 SB SC SD SC SB SC
2 SB SC SD SC SB SC
2 1 1
. .
3 2 3
Vậy VSABCD
a3 2
. Chọn C
9
Câu 36: Ta có f ( 2) 11 . Đáp án: 11
Câu 37: Ta có f (x) 0 x 0, x 3, x 2 . Trong đó: x 3 là nghiệm bội chẵn.
Khi đó ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực tiểu. Đáp án: 1
Câu 38: d(M;(P))
| 2 4 35|
4
. Khi đó a 4, b 3 a b 7 . Đáp án: 7
22 ( 2) 2 12 3
Câu 39: Vì chữ số 2 đứng liên giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321 .
Trường hợp 1: Số cần lập có bộ ba số 123 .
Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd .
4
4
Có A7 840 cách chọn bốn số a, b, c, d nên có A7 840 số.
Nếu bộ ba số 123 khơng đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 .
3
Có 6 cách chọn số đứng đầu và có A 6 120 cách chọn ba số b, c, d .
3
Theo quy tắc nhân có 6.4. A6 2880 số
Theo quy tắc cộng có 840 2880 3720 số.
Trường hợp 2: Số cần lập có bộ ba số 321 .
Do vai trị của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 2(840 2880) 7440 . Đáp án: 7440
Câu 40: Ta có: lim
x 0
3x 1 1
3x 1 1
3
3
lim
lim
.
x 0 x ( 3 x 1 1)
x 0
x
3x 1 1 2
Do đó, a 3, b 2 .Vậy P a 2 b 2 13. Đáp án: 13
2
x
Câu 41: Số tiền thu được khi có x học sinh là: f ( x ) x 9
.
40
2
x
1
x
x
x
x
x
3x
Ta có f ( x) 9
.
2. 9
x 9
9
9
9
40
40
40
40
40 20
40
40
x
3x
f ( x) 0 9
9
0
40
40
x 360
x 120 ; f (120) 4.320; f (200) 3.200
f ( x) f (120) 4.320 nghìn đồng. Đáp án: 4320
Vậy max
x[ 0;200 ]
x 0
Câu 42: Cho f ( x) 0 x 1
.
2
x 2mx m 6 0
Trong đó x 0 là nghiệm bội chẵn, x 1 là nghiệm bội lẻ.
Để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị thì f (x) 0 chỉ đổi dấu 1 lần.
Trường hợp: x 2 2mx m 6 0, x m2 m 6 0 2 m 3 .
Do m nên m { 2; 1;0;1; 2;3} . Suy ra có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Trường hợp: tam thức x 2 2mx m 6 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x 1 .
Khi đó 12 2m.1 m 6 0 m 7 .
Vậy m { 2; 1;0;1; 2;3;7}. Đáp án: 7
u x 2
Câu 43: Đặt
x
dv e dx
du dx
x
v e
1
x
( x 2)e dx ( x 2)e
0
x 1
0
1
x
e dx e 2 e
0
Với a; b a 3, b 2 a b 1 . Đáp án: 1
Câu 44. Đặt t x 4 1 f (t ) 1(*) t a, t b, t c(a 1 b 1 c) .
Khi đó x 4 1 a x 4 1 a 0 vô nghiệm;
x 4 1 b x 4 b 1 x 4 b 1
x 1
0
3 2e
x 4 1 c x 4 c 1 x 4 c 1. Đáp án: 4
Câu 45: Ta có: z 2 2mz 3m 4 0 (1); m 2 3m 4
Phương trình (1) có 2 nghiệm khơng phải là số thực khi và chỉ khi
0 m2 3m 4 0 1 m 4 .
Với m nguyên ta nhận m {0;1; 2;3} . Đáp án: 4
Câu 46: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC AO (ABC) vì A.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi
H là trung điểm AB CH AB .
Ta có AB a CH
a 3
a 3
a 3
.
;OH
; AO
2
6
3
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác A'OA
AO AA 2 AO 2
Ta có
a
2
OH AB
AB A OH AB A H
AO AB
,
ABB A (ABC) AB;OH AB, A H AB
ABB A , (ABC) OH, A H OHA
AO
Ta có tan OHA
3 OHA
60 . Vậy
OH
ABB A , (ABC) 60 . Đáp án: 60
Câu 47: ( ) : 3 x 2 y z 6 0 có vectơ pháp tuyến là n (3; 2;1) .
Gọi H ( x; y; z ) là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( ) . Khi đó:
AH k.n
H ( )
(x 2; y 1; z) k(3; 2;1)
3x 2y z 6 0
x 2 3k
y 1 2k
z k
3x 2y z 6 0
x 2 3k
y 1 2k
z k
3x 2y z 6 0
Giải hệ trên ta có: x 1; y 1; x 1 hay H( 1;1; 1) T x 2 y 2 z 2 3 . Đáp án: 3
3
2
2
Câu 48: Với a, b nguyên dương, ta có log 3 (a b) (a b) 3 a b 3ab( a b 1) 1
a 3 b3
a 3 b3 3ab(a b) 3 a 2 b 2 ab 3ab(a b) 1
2
2
a b ab
log3 a 3 b3 a 3 b3 log 3 3 a 2 b 2 ab 3 a 2 b 2 ab . (1)
log3
Xét f (t) log 3 t t trên (0; );f (t)
Khi đó, phương trình
(1)
1
1 0, t 0 f (t) đồng biến trên (0; ) .
t.ln 3
trở thành:
f a 3 b3 f 3 a 2 b 2 ab a 3 b3 3 a 2 b 2 ab
a 2 b 2 ab 0 (1)
a b ab (a b 3) 0
.
(2)
a b 3 0
2
2
2
b 3b 2
Ta có a 2 b 2 ab a
0, a, b * . Do đó (1) vơ nghiệm.
2
4
a 2 a 1
(2) a b 3. Mà a, b * nên
;
. Đáp án: 2
b 1 b 2
Câu 49:
Gọi I là trung điểm của đoạn AD .
1
Ta có AI / /BC và AI BC nên tứ giác ABCI là hình vng hay CI a AD ACD là tam giác
2
vuông tại C .
AC CD
CD (SCA)
Kẻ AH SC , ta có
CD SA
hay CD AH nên AH (SCD)
d(A, (SCD)) AH; AC AB 2 BC 2 a 2
AH
SA.AC
2
SA AC
2
a 2.a 2
2a 2 2a 2
Gọi AB CD E , mặt khác
a
EB BC 1
d(B, (SCD)) 1
1
. Vậy d a 2 . Đáp án: 2
EA AD 2
d(A, (SCD)) 2
2
Câu 50: Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung quanh và đáy.
500
2
500
250 250 cosi
V 2x .h
2
2
S
2x
2x
150 .
3
x
x
x
S 2x 2 6xh
Số chi phí thấp nhất là 150 500000 75 triệu. Đáp án: 75
