50 câu ôn phần toán đánh giá năng lực đhqg hà nội phần 25 (bản word có giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.12 KB, 20 trang )
5 câ ơ phầ Tố - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 25 (Bản word có giải) Đá h giá ă g lực ĐHQG Hà Nội - Phần 25 (Bản word có giải)G Hà Nội - Phần 25 (Bản word có giải) Nội - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 25 (Bản word có giải) Phầ 25 (Bả word có giải) giải)
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Lĩnh vực: Toán học (50 Câu hỏi - 75 phút)
Câu 1: Hình vẽ dưới đây cập nhật số ca nhiễm Covid 19 ở Việt Nam chiều ngày 16/4/2020
Hỏi từ ngày 07/03/2020 đến ngày 15/04/2020, ngày nào Việt Nam có số người bị lây nhiễm cộng đồng
nhiều nhất?
A. 29/03/2020.
B. 22/03/2020.
C. 30/03/2020.
D. 18/03/2020.
Câu 2: Cho chuyển động xác định bởi phương trình S t 3 3t 2 9t , trong đó t được tính bằng giây và
S được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
A. 12 m / s 2 .
B. 6 m / s 2 .
C. 12 m / s 2 .
D. 6 m / s 2
C. x 6 .
D. x log 2 3 .
Câu 3: Phương trình log 3 x 2 có nghiệm là
A. x 9 .
B. x 8 .
Câu 4: Nghiệm của bất phương trình
A. x 2; x
1
.
2
| x 1|
1 là
x2
B. 2 x
1
.
2
C. x
1
;x 2.
2
D.
1
x2.
2
Câu 5: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 2 z 10 0 . Trên mặt phẳng tọa
độ Oxy , điểm H biểu diễn số phức w iz0 là
A. H(1;3) .
D. H(3;1) .
Câu 6: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 1; 2;0) và có vectơ pháp tuyến n (4;0; 5) là
A. 4 x 5 y 4 0
B. H( 3;1) .
C. H(1; 3) .
B. 4 x 5 z 4 0 .
C. 4 x 5 y 4 0 .
D. 4 x 5 z 4 0 .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a (5;7; 2), b (3;0; 4), c ( 6;1; 1) . Tìm tọa độ
của vectơ m 3a 2b c .
A. m(3; 22; 3) .
B. m(3; 22;3) .
C. m( 3; 22; 3) .
D. m(3; 22;3) .
Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x 1
A. S .
B. S ( ; 2) .
Câu 9: Cho phương trình 2sin x
A. .
B.
2x
3 là
5
5
C. S ; .
2
20
D. S ;
23
3 0 . Tổng các nghiệm thuộc [0; ] của phương trình là
.
3
C.
2
.
3
D.
4
.
3
Câu 10: Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng
276 . Tích của bốn số đó là
A. 585 .
B. 161 .
Câu 11: F ( x) là một nguyên hàm của y
A.
1 1
3
x x2
B.
1 1
3
x x2
C. 404 .
D. 276 .
x 2
. Nếu F ( 1) 3 thì F ( x) bằng
x3
C.
1 1
1.
x x2
D.
1 1
1
x x2
Câu 12: Cho hàm số f (x) , hàm số y f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình
f (x) x m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x (0; 2) khi và chỉ khi
A. m f (2) 2 .
B. m f (0) .
C. m f (2) 2 .
D. m f (0) .
Câu 13: Một vật đang đứng yên và bắt đầu chuyển động với vận tốc v (t) 3 at 2 bt ( m / s) , với a,b là các
số thực dương, t là thời gian chuyển động tính bằng giây. Biết rằng sau 5 giây thì vật đi được quãng
đường là 150 m , sau 10 giây thì vật đi được quãng đường là 1100 m . Tính quãng đường vật đi được sau
20 giây.
A. 7400 m .
B. 12000 m .
C. 8400 m .
D. 9600 m .
Câu 14: Sự tăng dân số được ước tính theo cơng thức S A.ein , trong đó A là dân số của năm lấy làm
mốc tính, s là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết năm 2003 Việt Nam có khoảng
80902400 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 47% . Nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm
2025 (sau 22 năm) ước tính dân số nước ta là bao nhiêu?
A. 111792388 người.
B. 111792401 người.
C. 111792390 người.
D. 105479630 người.
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 (3x) log 2 (2 x 7) là
3
A. ( ;7) .
B. (7; ) .
3
13
C. 0; .
4
D. (0;7) .
Câu 16: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây?
A.
C.
2
2x
1
2
2 x 4 dx .
B.
2
(2 x 2)dx .
D.
1
2
( 2 x 2)dx .
1
2
2x
2
1
2 x 4 dx .
Câu 17: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y x 3 6x 2 (4 m 2)x 2 nghịch
biến trên khoảng ( ;0) là
1
A. ; .
2
5
B. ; .
2
1
C. ; .
2
5
D. ; .
2
Câu 18: Nghịch đảo của số phức z 3 4i có phần ảo bằng
A.
4
.
25
B.
4
25
C. 4 .
D.
1
.
4
Câu 19: Gọi z1 ; z2 là nghiệm của phương trình z 2 2 z 2 0 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w
thỏa mãn w z1 w z2 là đường thẳng có phương trình
A. x y 0 .
B. x 0 .
C. x y 0 .
D. y 0 .
Câu 20: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A(1; 2), B( 2;3) . Tìm tọa độ điểm I sao cho IA 2IB 0 .
A. (1; 2) .
2
B. 1; .
5
8
C. 1; .
3
D. (2; 2) .
Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tam giác ABC đều có A( 1; 3) và đường cao
BB : 5x 3y 15 0 . Tọa độ đỉnh C là
128 36
; .
A. C
17 17
128 36
;
B. C
.
17 17
128 36
;
C. C
.
17 17
128 36
; .
D. C
17 17
Câu 22: Trong không gian (Oxyz), mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A(2; 1; 4), B(3; 2; 1) và vng góc
với mặt phẳng ( ) : x y 2 z 3 0 có phương trình là
A. 11x 7 y 2 z 21 0 .
B. 11x 7 y 2 z 7 0 .
C. 11x 7 y 2 z 21 0 .
D. 11x 7 y 2 z 7 0 .
Câu 23: Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích V
của khỗi nón (N) .
A. V 12 .
B. V 20 .
C. V 36 .
D. V 60 .
Câu 24: Một sợi dây (không co giãn) được quấn đối xứng đúng 10 vịng quanh một ống trụ trịn đều có
2
bán kính R cm (như hình vẽ).
Biết rằng sợi dây có chiều dài 50 cm . Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.
A. 80 cm 2 .
B. 100 cm 2 .
C. 60 cm 2 .
D. 120 cm 2 .
Câu 25: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của C trên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của BC , góc giữa CC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Khi đó thể tích khối lăng trụ
là
A.
a3 3
24
B.
a3 3
.
12
C.
a3 3
.
8
D.
a3 3
.
4
Câu 26: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A ' là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số
A. 2 .
B. 3 .
C.
1
.
3
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
D.
GA
.
GA'
1
.
2
x 1 y z 3
và mặt cầu (S) tâm
1 2
1
I có phương trình ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 18 . Đường thẳng d cắt ( S ) tai hai điểm A, B. Tính
diện tích tam giác IAB.
A.
8 11
.
3
B.
16 11
.
3
C.
11
.
6
D.
8 11
.
9
Câu 28: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x y 6z 1 0 và hai điểm
A(1; 1;0), B( 1;0;1) . Hình chiếu vng góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao
nhiêu?
A.
255
.
61
B.
237
.
41
C.
137
.
41
D.
155
.
61
Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
2
hàm số g(x) f (x 2020) m có 5 điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 5 .
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0; 4;0), C(0;0;6) . Điểm M thay
đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON 12 . Biết rằng khi M thay đổi,
điểm N ln thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A.
7
.
2
B. 3 2 .
Câu 31: Cho hàm số
g ( x) f 3x 2 1
f ( x) . Hàm số
C. 2 3 .
y f '( x)
5
.
2
có đồ thị như hình bên. Hàm số
9 4
x 3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2
2 3 3
;
A.
.
3
3
2 3
B. 0;
.
3
C. (1; 2) .
Câu 32: Số giá trị nguyên của m để phương trình m 2 x
A. 2 .
D.
B. 1 .
3 3
;
D.
.
3
3
x 2 2mx 2
có nghiệm dương là
2 x
C. 4 .
Câu 33: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn ( x 1) f ( x)
D. 3 .
f ( x)
và f (2) 2 .
x2
86
Giá trị f bằng
85
A. 2 3 2 .
B.
1
.
8
C. 4 3 2
D.
1
.
2
Câu 34: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh
một bàn tròn (mỗi học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp
B.
A.
2
.
13
B.
1
.
10
C.
2
.
7
D.
3
.
14
Câu 35: Cho hình hộp ABCD. ABC D có AA a . Gọi M, N là hai điểm thuộc hai cạnh BB và DD
a
sao cho BM DN . Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần, gọi V1 là thể tích khối đa diện
3
V1
chứa A và V2 là thể tích phần cịn lại. Tỉ số
bằng
V2
A.
3
.
2
B. 2 .
Câu 36: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
C.
5
.
2
D. 3 .
x 1
tại điểm A(6;1) có hệ số góc bằng bao nhiêu? Câu 37:
x 5
Tìm số điểm cực trị của hàm số y x 4 2x 3 x 2 2 .
Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh
A(7;0;3), B( 2;1; 4), C (1; 2; 2) và G (a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của biểu thức
P a.b.c.
Câu 39: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từng đơi một, trong đó phải có mặt chữ số 8
và chữ số 9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác?
Câu 40: Cho f ( x) là một đa thức thỏa mãn lim
x 1
f ( x) 16
f ( x) 16
24 . Tính lim
.
x 1 ( x 1)( 2 f ( x ) 4 6)
x 1
Câu 41: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F ( x)
1 2
x (30 x) , trong đó x
40
là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam) và x [0;30] . Hãy tìm liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
2 4
2
2
Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m x m 2019m x 1 có đúng
một cực trị?
Câu 43: Cho hai hàm số f (x) ax 3 bx 2 cx d, (a 0) và g ( x) mx 2 nx p, (m 0) có đồ thị cắt
nhau tại 3 điểm có hồnh độ x1 , x2 , x3 (như hình vẽ). Ký hiệu S1 , S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x ) và y g ( x) (phần tô đậm). Biết S1 10, S2 7 . Tính
x3
f x g x dx
x1
Câu 44: Cho hàm số y f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Với tham số thực m (0; 4] thì
2
phương trình f x( x 3) m có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc [0; 4)?
Câu 45: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: | z 2 i |4 là đường trịn có tâm I
(a; b) . Tính a b .
Câu 46: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa (BA'C) và (DA'C)
bằng bao nhiêu độ?
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
x 1 y 3 z 2
và điểm A(3; 2;0) . Gọi A là
1
2
2
điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) .
Câu 48: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x x( x y ) log(4 y ) 4 x . Giá trị nhỏ nhất của biểu
1 147
thức P 8 x 16 y
bằng bao nhiêu?
x
y
Câu 49: Cho hình hộp dứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, ABC
120 ,
AA 4a . Biết a 4 , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB .
Câu 50: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công Nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là 147m, cạnh đáy là 230m. Thể tích của khối kim tự
tháp đó là bao nhiêu m3.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.A
3.A
4.A
5.B
6.D
7.A
8.D
9.A
10.A
11.D
12.B
13.C
14.C
15.D
16.D
17.D
18.A
19.D
20.C
21.A
22.A
23.A
24. D
25. C
26.B
27.A
28.B
29.B
30.A
31.A
32. B
33.D
34. B
35.B
36.-6
37.3
38.6
39.9240
40.2
41.20
42.2019
43.3
44.4
45.-3
46.60
47.4
48.104
49.2
50.2592100
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Câu 1: Ngày 30/03/2020 có 14 ca lây nhiễm cộng đồng. Chọn C
Câu 2: Ta có v(t ) S (t ) 3t 2 6t 9, a (t ) v (t ) 6t 6
Khi vận tốc triệt tiêu ta có v(t ) 0 3t 2 6t 9 0 t 3
Khi đó gia tốc là a(3) 6.3 6 12 m / s 2 . Chọn A
x 0
x 9. Chọn A
Câu 3: Ta có: log 3 x 2
2
x 3
Câu 4: Điều kiện xác định: x 2
TH1: x 1
1
x
| x 1|
( x 1) ( x 2)
2x 1
1
0
0
2 kết hợp điều kiện ta được
x2
x2
x2
x2
1
2 x 1
x2
TH2: x 1
| x 1|
( x 1) ( x 2)
3
1
0
0 x 2 kết hợp đk, suy ra x 1
x2
x2
x2
1
Vậy tập nghiệm S ( ; 2) ; . Chọn A
2
z 1 3i
z 1 3i
2
2
2
Câu 5: Ta có: z 2 z 10 0 ( z 1) 9i
.
z 1 3i
z 1 3i
Vì z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 2 z 10 0 nên z0 1 3i .
Khi đó: w iz 0 i(1 3i) 3 i . Suy ra số phức w iz 0 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy
là H( 3;1) . Chọn B
Câu 6: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 1; 2;0) và có một vectơ pháp tuyến n (4;0; 5) có phương trình
là: 4( x 1) 0( y 2) 5( z 0) 0 4 x 5 z 4 0 . Chọn D
Câu 7: a (5;7; 2) 3a (15; 21;6); b (3;0; 4) 2b (6;0;8) .
Vậy m 3a 2b c (15 6 6;21 1;6 8 1) (3; 22; 3) . Chọn A
Câu 8: Bất phương trình 5 x 1
Câu 9: 2sin x
2x
20
3 25 x 5 2 x 15 23x 20 x . Chọn D
5
23
x k 2
3
3
3 0 sin x
sin
.
2
3
x 2 k 2
3
Các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; ] là
2
2
;
. Chọn A
nên có tổng là
3 3
3 3
Câu 10: Gọi 4 số cần tìm là a 3r , a r , a r , a 3r .
a 3r a r a r a 3r 28
Ta có:
2
2
2
2
(a 3r ) (a r ) (a r ) (a 3r ) 276
a 7
2
r 4
a 7
.
r 2
Bốn số cần tìm là 1,5,9,13 có tích bằng 585 . Chọn A
x 2
1
1 1
1 1
1
Câu 11: F ( x) 3 dx 2 2 3 dx 2 C , mà F ( 1) 3 F ( x) 2 1 .
x
x
x x
x x
x
Chọn D
Câu 12: Ta có: f ( x ) x m g ( x) f ( x ) x m .
Từ đồ thị hàm số y f (x) ta thấy:
g (x) f (x) 1 0x (0; 2) max g (x) g(0) f (0)
( 0;2)
Do đó: bất phương trình
f (x) x m
max g ( x) m f (0) m . Chọn B
( 0;2)
Câu 13: Từ giả thiết ta có
nghiệm đúng với mọi
x (0; 2)
khi và chỉ khi
5
v(t)dt 150
0
10
v(t)dt 1100
0
3
t2 5
(at
b
) |0 150
2
2
(at 3 b t ) |10 1100
0
2
25
125a b 150
2
1000a 50b 1100
Suy ra quãng đường vật đi được sau 20 giây là:
20
3t
2
0
a 1
.
b 2
2t dt t 3 t 2
20
0
8400m . Chọn C
Câu 14: Nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm 2025, ước tính dân số nước ta là
S A.ein S 80902400.e1,47%.22 111792390 (người). Chọn C
3 x 0
x 0.
Câu 15: Điều kiện xác định:
2 x 7 0
Khi đó, bất phương trình đã cho 3 x 2 x 7 x 7 .
Kết hợp điều kiện xác định, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0;7) . Chọn D
Câu 16: Ta thấy x [ 1; 2] thì x 2 3 x 2 2 x 1 nên
2
2
S x 2 3 x 2 2 x 1 dx 2 x 2 2 x 4 dx. Chọn D
1
1
Câu 17: Ta có y 3x 2 12 x 4m 2 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) khi y 0 x ( ;0)
3x 2 12 x 4m 2 0 x ( ;0) 4m 3 x 2 12 x 2 x ( ;0) .
Đặt f ( x) 3x 2 12 x 2 có f ( x) 6 x 12 . Ta có bảng biến thiên của f ( x) :
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4m 3x 12 x 2 x ( ;0) 4m 10 m
5
5
. Vậy m
2
2
hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) . Chọn D
1
Câu 18: Ta có z 3 4i z
3 4i
3
4
i.
2
2
3 4
25 25
Vậy phần ảo của số phức nghịch đảo là
4
. Chọn A
25
z1 1 i
2
Câu 19: Xét phương trình z 2 z 2 0
. Goi số phức w x yi; x; y .
z2 1 i
Theo giả thiết w z1 w z2 | x yi 1 i || x yi 1 i |
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)2 ( y 1) 2 y 0
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn w z1 w z2 là đường thẳng có phương trình y 0 .
Chọn D
Câu 20: Gọi I ( x; y ) . Ta có IA 2IB 0 (1 x; 2 y) 2( 2 x;3 y) (0;0)
1 x 4 2 x 0
2 y 6 2 y 0
x 1
8
8 I 1; . Chọn C
3
y 3
Câu 21: Vì tam giác ABC đều nên A và C đối xứng nhau qua BB '
Gọi d là đường thẳng qua A và d BB d : 3x 5 y 12 0
5x 3y 15 0
111 15
H
;
H d BB tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
34 34
3x 5y 12 0
128 36
; . Chọn A
Suy ra C
17 17
Câu 22: Ta có AB (1;3; 5) và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n' (1;1; 2) .
Gọi n là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ta có n AB, n' (11; 7; 2) .
Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(2; 1; 4) và có vectơ pháp tuyến n (11; 7; 2) là
11x 7 y 2 z 21 0 . Chọn A
Câu 23: Gọi l là đường sinh của hình nón, ta có l R 2 h 2 .
Diện tích xung quanh của hình nón là 15 , suy ra 15 Rl 15 3. 32 h 2 h 4 .
1
1
2
2
Thể tích khối nón là V R h .3 .4 12 (đvtt). Chọn A
3
3
Câu 24: Chu vi đường trịn đáy là C 2 .
2
4 cm . Cắt hình trụ làm 10 phần bằng nhau sợi dây chạy
hết một phần bằng 5 cm . Trải một phần hình trụ ra ta được hình sau
Theo Pitago, ta có: 1 52 42 3 cm Chiều dài đường sinh của hình trụ ban đầu là 30 cm
2
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là S xq 2 Rl 120 cm . Chọn D
Câu 25: Gọi M là trung điểm B C CM A B C
M 450 CCM vuông cân tại M
Góc giữa CC và A B C là CC
CM C M
C B a
a 3
1
a2 3
Có ABC đều nên AM
; S ABC AM .BC
2
2
2
2
4
VABC.ABC CM.SABC
a3 3
. Chọn C
8
Câu 26:
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD. Nối BE cắt AA tại G suy ra G là trọng
tâm tứ diện. Xét tam giác MAB , có
ME MA 1
AE 1
suy ra AE / /AB .
. Theo định lí Talet
MA MB 3
AB 3
A'E A'G 1
GA
3 .
AB AG 3
G A'
Chọn B
Câu 27:
Đường thẳng d đi qua điểm C (1;0; 3) và có vectơ chỉ phương u ( 1; 2; 1) . Mặt cầu (S) có tâm
I(1; 2; 1) , bán kính R 3 2 . Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d . Khi đó:
| [IC, u] |
IH
, với IC (0; 2; 2); 2x y 3z 4 0
|u|
IH
62 22 22
66
22 4 6
, suy ra HB 18
.
3
3
3
1 4 1
1
1 66 8 6 8 11
Vậy S IAB IH. AB
. Chọn A
2
2 3
3
3
| 2.1 1.( 1) 6.0 1|
AB
( 2;1;1) AB 6;d(A;(P))
0 A (P)
Câu 28: Ta có
22 12 62
d ( B;( P ))
| 2.( 1) 0.1 6.1 1|
22 12 62
3
41
Gọi H là hình chiếu của B xng (P) . Khi đó tam giác AHB vng tại H và AH là hình chiếu của
AB lên mặt phẳng (P) AH AB2 BH 2 6
3
237
. Chọn B
41
41
Câu 29: Hàm số y f (x 2020) có 3 điểm cực trị giống như hàm số y f (x) .
2
Hàm số g(x) f (x 2020) m có 5 điểm cực trị đồ thị hàm số h(x) f (x 2020) m 2 có 2 giao
điểm với trục Ox (khơng trùng với điểm cực trị) h x 0 có 2 nghiệm bội lẻ.
Phương trình h( x) 0 f ( x 2020) m 2 (1) .
Phương trình (1) có 2 nghiệm bội lẻ phương trình f ( x ) m2 có 2 nghiệm bội lẻ.
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm bội lẻ
m 2 2
2
6 m 2
m 2 2
2 m 2 6. Vì m m 2 là số chính phương
2
2 m 6
m 2 4 m 2 . Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn B
Câu 30: Phương trình mặt phẳng (ABC) :
x y z
1 6x 3y 2z 12 0
2 4 6
Gọi N(x; y; z) . Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON 12 suy ra
12x
12y
12z
12
; 2
; 2
OM
.ON . Do đó M 2
2
2
2
2
2
2 .
2
ON
x y z x y z x y z
Mặt khác M (ABC) nên 6
12x
12y
12z
3 2
2 2
12 0
2
2
2
2
x y z
x y z
x y2 z2
2
6 x 3 y 2 z x 2 y 2 z 2 0 x 2 y 2 z 2 6 x 3 y 2 z 0.
Do đó điểm N ln thuộc một mặt cầu cố định (S) : x 2 y 2 z 2 6x 3y 2z 0 có tâm
2
3
I 3; ;1 và bán kính R 32 3 12 7 . Chọn A
2
2
2
Câu 31:
g ( x) f 3x 2 1
9 4
x 3x 2
2
g ( x) 6 xf 3x 2 1 18 x 3 6 x 6 x f 3x 2 1 3x 2 1 .
x 4
Đặt h( x) f ( x) x . Ta có h( x) 0 f ( x ) x x 0 .
x 3
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của h(x) :
4 3x 2 1 0
2
2
Do đó f 3x 1 3x 1 0 2
3x 1 3
3
3
x
3
3
2 3
2 3
;x
x
3
3
Suy ra bảng xét dấu của g ( x) như sau:
2 3 3
;
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
. Chọn A
3
3
Câu 32: Điều kiện xác định: x 2 .
Khi đó m 2 x
x 2 2mx 2
m(2 x) x 2 2mx 2 x 2 mx 2 2m 0 (2)
2 x
PT (1) có nghiệm dương khi PT (2) có nghiệm thuộc (0; 2)
TH1: PT(2) có nghiệm thỏa mãn 0 x1 x2 2 . Ta tìm được m [ 4 2 6;1)
TH2: PT(2) có nghiệm thỏa mãn x1 0 x 2 2 . Ta tìm được 1 m
3
2
TH3: PT(2) có nghiệm thỏa mãn 0 x1 2 x 2 . Khơng tìm được m thỏa mãn.
3
m 4 2 6; . Vậy có 1 giá trị nguyên m thỏa mãn. Chọn B
2
Câu 33: Ta có: ( x 1) f '( x )
Lấy nguyên hàm hai vế ta có
f ( x)
f '( x )
1
.
x2
f ( x) ( x 1)( x 2)
1
x 1
f ( x)dx
dx
f ( x) ( x 1)( x 2) suy ra ln | f ( x) |3 ln x 2 C
1 1
5ln 2 ln 32
Do f (2) 2 nên ln 2 ln C C
.
3 4
3
3
1 x 1
x 1
ln 32 ln 3 32.
Suy ra ln | f ( x) | ln
3 x2
x 2
Vậy | f ( x) | 3 32.
86 1
x 1
Ta có f . Chọn D
x2
85 2
Câu 34: Số phân tử của không gian mẫu là n() 5! 120 .
Gọi A là biến cố "học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B" .
Vì học sinh lớp C luôn ngồi giữa hai học sinh lớp B nên coi 3 học sinh này là một nhóm.
Xếp 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C thành nhóm như vậy có 2 cách.
Xếp nhóm này cùng 3 học sinh lớp A vào bàn trịn có 3 ! cách n(A) 2.3! 12 .
Xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B là P ( A)
n( A) 1
. Chọn B
n() 10
Câu 35: Từ A dựng đường thẳng đi qua trung điểm MN, cắt CC tại E . Dễ thấy
thức giải nhanh ta có:
VABCD.MEN
V 1
1 2 1 1
2 0 3 V2 V
VABCD.A'B'C'D' V 4
3 3 3 3
C 'E 1
. Áp dụng công
CC' 3
Mà V V1 V2 3V2 V1 V2
Câu 36: Ta có y
V1
2 . Chọn B
V2
6
2 . Theo giả thiết: k y (6) 6 . Đáp án: 6
(x 5)
Câu 37: Tập xác định: D .
1
3
2
2
Ta có y 4 x 6 x 2 x; y 0 2 x 2 x 3x 1 0 x 0, x 1, x .
2
Ta có bảng xét dấu của y
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Đáp án: 3
Câu 38: Ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo cơng thức:
a
7 2 1
0 1 2
342
2; b
1;c
3 . Do đó P a.b.c 6 . Đáp án: 6
3
3
3
Câu 39: Trường hợp 1: Xếp các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vào 6 vị trí sao cho phải có mặt chữ số 8 và chữ số
9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác.
2
Xếp số 8 và số 9 có 2 ! cách. Xếp 2 số vào giữa số 8 và số 9 có A8 cách.
Coi 4 số vừa xếp là một số X . Xếp X và các số còn lại vào 3 vị trí. Xếp X vào một trong 3 vị trí có 3
2
cách, xếp 6 số cịn lại vào 2 vị trí có A6 cách.
2
2
Vậy trường hợp 1 có: 2.A8 .3.A 6 10080 số.
Trường hợp 2: Xếp số 0 đứng đầu. Khi đó xếp các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 vào 5 vị trí sao cho phải có mặt
chữ số 8 và chữ số 9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác.
2
Xếp số 8 và số 9 có 2 ! cách. Xếp 2 số vào giữa số 8 và số 9 có A 7 cách.
Coi 4 số vừa xếp là một số X. Xếp X và các số cịn lại vào 2 vị trí. Xếp X vào một trong 2 vị trí có 2 cách,
xếp 5 số cịn lại vào 1 vị trí có 5 cách.
2
Vậy trường hợp 2 có: 2. A7 .2.5 840 số.
Vậy có: 10080 840 9240 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Đáp án: 9240
Câu 40: Vì lim
x 1
Ta có I lim
x 1
f ( x) 16
f ( x ) 16
24 f (1) 16 vì nếu f (1) 16 thì lim
.
x 1
x 1
x 1
f ( x) 16
1
f ( x) 16
lim
2 . Đáp án: 2
x
1
( x 1)
( x 1)( 2 f ( x) 4 6) 12
Câu 41: Ta có: F (x)
1
60 x 3x 2 , x [0;30] . Khảo sát hàm F (x) , ta có F (x) 0
40
x 0
x 20 .
Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để giảm huyết áp nhiều nhất là 20 mg.
Đáp án: 20
Câu 42: Trường hợp 1: m 0 y 1 nên hàm số khơng có cực trị m 0 (loại).
2 4
2
2
Trường hợp 2: m 0 m 2 0 . Hàm số y m x m 2019m x 1 có đúng một cực trị
m 2 . m 2 2019 m 0 m 2 2019 m 0 0 m 2019. Vì m 0 0 m 2019
Do m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề. Đáp án: 2019
x2
x3
Câu 43: Ta có: S1 f x g x dx;S2 g x f x dx
x1
x2
x3
Ta có
x2
x3
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
x1
x1
x2
x2
x3
f x g x dx
g x f x dx S
x1
1
S2 10 7 3 . Đáp án: 3
x2
Câu 44: Đặt t x( x 3) 2 khi đó t 0 ( x 3) 2 2 x( x 3) 0 ( x 3)(3 x 3) 0 .
Bảng biến thiên
Với x [0; 4) suy ra t [0; 4] , có khi t 4 x( x 3) 2 4 có 1 nghiệm x 1 thuộc [0; 4)
khi 0 t 4 phương trình x( x 3) 2 t có ba nghiệm phân biệt x [0; 4) .
2
Xét phương trình f x( x 3) m khi m (0; 4]
Đặt t x( x 3) 2 , từ đồ thị hàm số y f ( x ) đã cho suy ra:
2
Với m 4 phương trình f (t ) m có hai nghiệm t 1, t 4 khi đó phương trình f x( x 3) m có 4
nghiệm phân biệt x [0; 4)
Với m (0; 4) phương trình f (t ) m có ba nghiệm phân biệt 0 t 4 khi đó phương trình
f x( x 3) 2 m có 9 nghiệm phân biệt x [0; 4) .
2
Vậy với tham số thực m (0; 4] thì phương trình f x( x 3) m có ít nhất 4 nghiệm thực thuộc [0; 4) .
Đáp án 4.
Câu 45: Gọi số phức z x iy ( x, y ) .
Ta có | z 2 i |4 | (x 2) ( y 1)i |4 (x 2) 2 (y 1) 2 16
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: | z 2 i |4 là đường trịn có tâm
I( 2; 1) a b 3 . Đáp án: 3
Câu 46: Ta có: BA ' C DA ' C A ' C . Kẻ BI A ' C .
Do BA ' C DA ' C nên DI A ' C .
DI) .
Do đó: BA C , DA C (BI,
Tam giác BID có BD a 2, d 18
(P) : 3 x 3 y 2 z 12 0
a 6
.
3
1
DI) 120 . Vậy
BAC , DAC 60 . Đáp án: 600
(BI,
2
Câu 47: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d . Phương trình của mặt phẳng
(P) là: 1(x 3) 2(y 2) 2(z 0) 0 x 2 y 2z 7 0 . Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng
d , khi đó H d (P)
Suy ra H d H( 1 t; 3 2t; 2 2t) , mặt khác H (P) 1 t 6 4t 4 4t 7 0 t 2 .
Vậy H(1;1; 2) .
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d , khi đó H là trung điểm của AA' suy ra A '( 1;0; 4) .
Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng Oxy là: d A';(Oxy) 4 . Đáp án: 4
Câu 48: Điều kiện: y 4
log x x 2 xy log(4 y ) 4 x log x x 2 log(4 y) 4 x xy
2 log x x 2 log(4 y ) log x x(4 y) log x 2 x 2 log(4 y ) x x(4 y ) (1)
Xét hàm số f (t) log t t t (0; ) f (t)
1
1 0 t (0; )
t.ln10
(1) f x 2 f ((4 y )( x)) x 4 y x y 4
1 147
1
147
1
147
P 8 x 16 y
4 x 12 y
4( x y ) P 2. 4 x. 2. 12 y.
4.4 104
x
y
x
y
x
y
7
1
Pmin 104 y ; x . Đáp án: 104
2
2
Câu 49:
Ta có A AC là mặt phẳng chứa AC và song song với BB d BB , A C d B, AA C .
Gọi O là tâm hình thoi ABCD BO AC .
Do ABCD. ABC D là hình hộp đứng nên AA ( ABCD) AA BO .
BO AC
BO AA ' C d B, AA ' C BO
BO AA '
a
Hình thoi ABCD có ABC
120 ABC là tam giác đều BD AB a BO .
2
a 4
Vậy d BB', A 'C d B. AA 'C BO 2 . Đáp án: 2
2 2
Câu 50: Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD có đáy là hình vng cạnh 230m, chiều cao SH = 147m .
Thể tích của nó là
1
1
VS.ABCD .SABCD .SH .230 2.147 2592100m 3
3
3
Đáp án: 2592100
