25 câu ôn phần toán đánh giá tư duy đh bách khoa hn phần 3 (bản word có giải)

25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư duy ĐH Bách Khoa HN - Phần 3
(Bản word có giải)
II. Phần 2 (5đ) – Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 – 60)
Câu 36. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
g  x   f  x 2  3 .

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Câu 37. Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức f  v  

D. 5.
290, 4v
(xe/
0,36v  13, 2v  264
2

giây), trong đó v  km / h  là vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm. Gọi v0 vận tốc trung
bình của các xe ơ tơ khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất. Giá trị của v0 xấp xỉ giá trị nào
sau đây nhất?
A. 27,08 km / h.

B. 27,06 km / h.

C. 27,09 km / h.

D. 27 km / h.

x
Câu 38. Cho các hàm số y a ; y log b x; y log c x có đồ thị như hình vẽ.

Chọn mệnh đề đúng?
A. b  c  a.

B. a  c  b.

C. c  b  a.

D. c  a  b.

Trang 1


Câu 39. Một kĩ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 7 triệu đồng/tháng. Cứ sau 9 tháng
làm việc, mức lương của kĩ sư đó lại được tăng thêm 10%. Hỏi sau 4 năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ
sư đó nhận được là bao nhiêu?
A. 415 367 400 đồng.

B. 418 442 010 đồng.

C. 421 824 081 đồng.

D. 407 721 300 đồng.

Câu 40. Các nhà khoa học nghiên cứu đã chỉ ra rằng giả sử nhiệt độ trung bình của năm lấy làm mốc là
t0 , khi nhiệt độ trung bình Trái Đất tăng lên so với t0 là t  C thì nước biển dâng lên so với lúc đầu là
f  t  ka t  m  , trong đó k, a là các hằng số dương. Biết khi nhiệt độ trung bình tăng 2 C so với t0 thì
nước biển dâng 0,03 m, khi nhiệt độ trung bình tăng 5 C so với t0 thì nước biển dâng 0,1 m. Hỏi khi

nhiệt độ trung bình Trái Đất tăng thêm bao nhiêu độ C so với t0 thì mực nước biển dâng lên 0,15 m (lấy
gần đúng).
A. 5,56 C.

B. 6,74 C.

C. 6,01 C.

D. 5,01 C.

Câu 41. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC 2a . Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình
phẳng ABCD quanh trục AB.
A. 2 a 3 .

B. 1 a 3 .

C. 4 a 3 .

D. 8 a 3 .

Câu 42. Cho một tấm bìa hình vng ABCD cạnh 48 cm. Gọi S, I lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Dùng compa vạch cung trịn MN có tâm là S và bán kính SI (như hình vẽ) rồi cắt tấm bìa theo cung trịn
đó. Dán phần hình quạt sao cho cạnh SM và SN trùng nhau thành một cái mũ hình nón khơng đáy với
đỉnh S (giả sử phần mép dán không đáng kể). Tính thể tích V của cái mũ đó.

A. V 

512 35
cm3  .


3

B. V 

3
C. V 1024  cm  .

512 35
cm3  .

9

3
D. V 512 35  cm  .

Câu 43. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f '  x  

1
, f  0  2017, f  2  2018 .
x 1

Tính S  f  3  f   1 .
A. S ln 4035.

B. S 4.

C. S ln 2.

D. S 1.

Trang 2


Câu 44. Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc và cùng vạch xuất phát,
đi cùng chiều trên một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường parabol và đồ thị
biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng như hình vẽ bên. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát thì
khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? (Biết rằng xe A sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0).

A.

250
m.
3

B. 270 m.

C. 200 m.

D.

110
m.
3

2

Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn  1  2i  z 5  1  i  . Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số
phức w  z  iz bằng
A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Câu 46. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa mãn z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A  1;3 .
A. 3  i.

B. 1  3i.

C. 2  3i.

D.  2  3i.

Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  có tâm là điểm I   1;2;  3 và tiếp xúc với trục Ox.
Phương trình của  S  là:
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A.  x  1   y  2    z  3 13.
B.  x  1   y  2    z  3  13.
C.  x  1   y  2    z  3 13.
D.  x  1   y  2    z  3  13.



Câu 48. Cho tứ diện ABCD có DAB
CBD
90 ; AB a; AC a 5; ABC
135 . Biết góc giữa hai mặt
phẳng  ABD  ,  BCD  bằng 30 C . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A.

a3
.
2 3

B.

a3
.
2

C.

a3
.
3 2

Câu 49. Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là

D.

a3
.
6

2 , trong

đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt
Trang 3


xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của
hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón.
A. 1  2 

2 6
.
3

B. 1  6 

2 6
.
3

C. 1  3 

2 6
.
3

D. 1  3 

2 3
.
3

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :

d2 :

x 2 y 6 z2


và

2
2
1

x  4 y 1 z  2


. Phương trình mặt phẳng  P  chứa d1 và  P  song song với đường thẳng d 2
1
3
2

là:
A.  P  : x  5 y  8 z  16 0.

B.  P  : x  5 y  8 z  16 0.

C.  P  : x  4 y  6 z  12 0.

D.  P  : 2 x  y  6 0.

Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A   2;2;  2  và điểm B  3;  3;3 . Điểm M thay
đổi trong không gian thỏa mãn

MA 2
 . Điểm N  a; b; c  thuộc mặt phẳng  P  :  x  2 y  2 z  6 0.
MB 3

sao cho MN nhỏ nhất. Tính tổng T a  b  c .
A. 6.

B.  2.

C. 12.

D.  6.

Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, tam giác ABD đều cạnh a 2 . SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA 
A. 45 .

3 2
a . Hãy tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng  ABCD  .
2
B. 30 .

C. 60 .

D. 90 .

Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB 2a, AD a, SA 3a và SA vng góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh CD, điểm E  SA sao cho SE a , cosin của góc giữa hai
mặt phẳng  SAC  và  BME  bằng
A.

3
.
2 15

B.

1
.
15

C.

14
.
15

D.

14
.
3 15

 9 
Câu 54. Phương trình  2cos2 x  5sin x  4 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  0;  ?
 2 
A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 7.

Câu 55. Có 5 nhà Tốn học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý học nam. Người ta chọn trong số
người này 3 người để lập một đồn đi cơng tác, trong đó phải có cả nam lẫn nữ và phải có cả nhà Tốn

học lẫn nhà Vật lý. Số cách thành lập đoàn này là
A. 120.

B. 78.

C. 90.

D. 72.
Trang 4


Câu 56. Một công ty nhận được 50 hồ sơ xin việc của 50 người khác nhau muốn xin việc vào cơng ty,
trong đó có 20 người biết tiếng Anh, 17 người biết tiếng Pháp và 18 người không biết cả tiếng Anh và
tiếng Pháp. Công ty cần tuyển 5 người biết ít nhất một thứ tiếng Anh hoặc Pháp. Tính xác suất để trong 5
người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp?
A.

351
.
201376

B.

1
.
23

C.

5

.
100688

D.

1755
.
100688

Câu 57. Cho cấp số nhân  un  với u2 2 và u4 18 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 3.

B. 9.

C. 16.

D.

1
.
9

Câu 58. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a;b;c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số
a;b;c;p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó.
A.

4
.
5

B.

3
.
4

C.

5
.
6

D.

3
.
5

Câu 59. Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung
bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho tam giác A1B1C1
là tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình
của tam giác An  1Bn  1Cn  1 . Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình trịn ngoại
tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1  S2  ...  S n  ...
15
.
A. S 
4

B. S 4 .

C. S 

9
.
2

D. S 5 .

Câu 60. Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 cơng
nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2
giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 cơng nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ.
Ngồi ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là P  x  

95 x 2  120 x
, với x là thời gian làm việc trong một
4

tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần
là lớn nhất?
A. x 36.

B. x 32.

C. x 44.

D. x 48.

III. Phần 3 (2,5đ) – Toán tự luận
Bài 1. Cho đồ thị chuyển động của hai xe như hình vẽ bên dưới. Ta có t  h  là thời gian tính từ lúc hai xe
bắt đầu chuyển động, x  km  là vị trí của hai xe so với vị trí mốc chuyển động O.

Trang 5


1. Viết phương trình chuyển động của hai xe  x  f  t   .
2. Xác định thời điểm hai xe gặp nhau.
3. Tính quãng đường mỗi xe đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi gặp nhau.
Bài 2. Cho hàm số lượng giác f  x  tan x 

1
.
sin x

1. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số trên.
2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số trên.
Bài 3. Nhân viên của một quán cafe cần làm 7 li sinh tố bơ. Biết li thủy tinh đựng sinh tố có dạng hình
trụ, chiều cao gấp hai lần đường kính đáy. Mỗi li sinh tố khách hàng yêu cầu thả ba viên đá, các viên đá
của quán đều có dạng hình lập phương, cạnh của hình lập phương bằng một nửa bán kính đáy li. Biết mỗi
quả bơ có thể làm được 2 li sinh tố (khơng chứa đá) có thể tích bằng

6
thể tích li. Hỏi để làm được 7 li
7

sinh tố theo yêu cầu của khách hàng thì nhân viên cần dùng tối thiểu bao nhiêu quả bơ? Biết thể tích sinh
tố trong mỗi li đều bằng

6
thể tích li.
7

Trang 6


Đáp án
36-B
41-A
51-B

37-A
42-A
52-C

38-D
43-D
53-B

39-B
44-D
54-A

40-C
45-D
55-C

46-A
56-D

47-C
57-A

48-D
58-A

49-C
59-B

50-A
60-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
 x  2
Câu 36. Từ đồ thị hàm số ta có f '  x  0  
.
 x 1
2
Ta có g '  x  2 xf '  x  3

 x 0
 g '  x  0  
2
 f ' x  3 0
 x 0
 x 0
 2
  x  3  2
  x 1
 x 2  3 1 (nghiÖm kÐp)
 x 2 (nghiÖm kÐp)






Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 37.
Xét hàm f  v  
 f ' v  

290, 4v
0,36v  13, 2v  264
2

290, 4   0,36v 2  264 

 0,36v

2

 13,2v  264 

2

.

10 66
(do v  0 ).
 f '  v  0  v 
3

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 10 66 
f max  f 
 . Vậy lưu lượng xe lớn nhất khi
 3 

10 66
v
27,08 km / h .
3
Câu 38. Từ các đồ thị hàm số, ta thấy y a x và y log b x là các
hàm số đồng biến nên a  1 và b  1 .
Mặt khác, y log c x là hàm số nghịch biến nên 0  c  1 .
Trang 7


Vẽ đồ thị hàm số y log a x bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y a x qua đường thẳng y  x .
Kẻ đường thẳng y 1 cắt hai đồ thị hàm số y log a x và y log b x lần lượt tại hai điểm A và B. Khi đó,
x A a và xB b . Từ đồ thị hàm số ta thấy x A  xB .
Vậy a  b .
Câu 39. Tổng tiền lương 9 tháng đầu là 9.7.106 đồng.
6
6
Tiền lương tháng 10 là 7.10  1  10%  7.10 .1,1 đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 10 đến tháng 18 là 9.7.106.1,1 đồng.
2

Tiền lương tháng 19 là 7.106  1  10%  7.106.1,12 đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 19 đến tháng 27 là 9.7.106.1,12 đồng.
3

Tiền lương tháng 28 là 7.106  1  10%  7.106.1,13 đồng.
Tổng tiền lương từ tháng 28 đến tháng 36 là 9.7.106.1,13 đồng.
4

Tiền lương tháng 37 là 7.106  1  10%  7.106.1,14 đồng.
Tổng tiền lương từ tháng 37 đến tháng 45 là 9.7.106.1,14 đồng.
5

Tiền lương tháng 46 là 7.106  1  10%  7.106.1,15 đồng.
Tổng tiền lương từ tháng 46 đến tháng 48 là 3.7.106.1,15 đồng.
Tổng tiền lương sau 4 năm (từ tháng 1 đến tháng 48) là 418 442 010 đồng.
Câu 40. Khi nhiệt độ trung bình tăng 2 C so với t0 thì nước biển dâng 0,03 m, khi nhiệt độ trung bình
tăng 5 C so với t0 thì nước biển dâng 0,1 m.
 3 10
a 
0,03 ka

3


Khi đó, ta có: 
5
0,03
0,1 ka
k 

a2

2


10
a  3
3

.

 k 0,03. 3 9

100

t

9  3 10 
 f  t  0,03. 3
.
  m .
100  3 
Khi nước biển dâng lên 0,15 m thì ta có
t

t

 10 
9  3 10 
100
0,15 0,03. 3
.

   3
 5. 3
100  3 
9
 3 

100 
 t log 10  5. 3
 6,01 C.
3
9

3 
Vậy khi nhiệt độ trung bình trái đất tăng thêm 6,01 C so với t0 thì mực nước biển dâng lên 0,15 m.

Trang 8


Câu 41.
Theo giả thiết ta có r  BC a .
Độ dài đường cao là h  AB 2a .
Thể tích khối trụ là V  r 2 h  .a 2 .2a 2 a 3 .

Câu 42. Ta có MN SM SN 48 cm nên SMN đều  MSN
60
Chu vi đường trịn đáy của cái mũ chính là chiều dài x của dây cung MN.

 .48.60

16 .

Mặt khác số đo cung MN bằng số đo MSN
60 nên x 
180
Gọi r là bán kính của đường trịn đáy của cái mũ, ta có x 2 r  r 

x 16

8 .
2
2

Chiều cao của cái mũ h  SM 2  r 2  482  82 8 35 .
1
1
512 35
Vậy thể tích cái mũ V   r 2 h   82.8 35 
 cm3  .
3
3
3
Câu 43. +) Trên khoảng  1;  ta có

1

f '  x  dx x  1 dx ln  x  1  C

1

 f  x  ln  x  1  C1 .

Mà f  2  2018  C1 2018 .
+) Trên khoảng   ;1 ta có

1

f '  x  dx x  1 dx ln  1  x   C

2

 f  x  ln  1  x   C2

Mà f  0  2017  C2 2017 .
ln  x  1  2018 khi x  1
Vậy f  x  
. Suy ra f  3  f   1 1 .
ln  1  x   2017 khi x  1
Câu 44. Biểu đồ biểu diễn vận tốc của xe A là

 0;0  ;  3;60  ;  4;0  

 P  : vA at 2  bt  c  a 0 

đi qua điểm

v A  20t 2  80t .

Biểu thức biểu diễn vận tốc của xe B là đường thẳng  : vB mt  n  m 0  đi qua điểm

 0;0  ;  3;60  

vB 20t .

2
Ta có v A  20t  80t 0  t 4 nên xe A dừng lại sau giây thứ 4.
4
2
Do đó quãng đường xe A đi được sau 4 giây là S A   20t  80t  dt 
0

640
 m .
3

5

Quãng đường xe B đi được sau 5 giây đầu là S B  20t  dt 250  m 
0

110
Khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây kể từ lúc xuất phát là S  S A  S B 
 m .
3

Trang 9


2

Câu 45. Ta có  1  2i  z 5  1  i 

2

51  i 
10i  1  2i 
10i
 z


4  2i .
1  2i
1  2i
5

Suy ra w  z  iz  4  2i   i  4  2i  2  2i .
Vậy số phức w có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. Suy ra 22  22 8 .
Câu 46. Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    .
Gọi E  1,  2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i .
Gọi F  0,  1 là điểm biểu diễn số phức  i .
Ta có z  2i  1  z  i  ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của EF:
EF : x  y  2 0 .
Để MA ngắn nhất thì MA  EF tại M  M  3,1  z 3  i .
Câu 47. Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox  A   1;0;0  .
2

2

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là R  IA  02    2     3  13 .
2

2

2

Phương trình mặt cầu  S  tâm I   1; 2;  3 và bán kính R  13 là  x  1   y  2    z  3 13 .
Câu 48.
Dựng DH   ABC  .
 BA  DA
 BA   DAH   BA  AH .
Ta có 
 BA  DH
 BC  DB
 BC   DBH   BC  BH
Tương tự 
 BC  DH
Tam giác AHB có AB a, ABH 45
 HAB vng cân tại A  AH  AB a .

Áp dụng định lý cosin, ta có BC a 2 .
1
1
2 a2

Vậy S ABC  .BA.BC.sin CBA
 .a.a 2.
 .
2
2
2
2
 HE  DA

 HE   DAB  và HF   DBC  .
Dựng 
 HF  DB
Suy ra


và tam giác HEF vuông tại E.
 DBA ,  DBC   HE, HF  EHF

Đặt DH  x , khi đó HE 


Suy ra cos EHF

ax
2

a x

2

, HF 

xa 2
2a 2  x 2

.

HE
3

x 2  2a 2


 x a
HF
4
2 x 2  2a 2
Trang 10


1
a3
Vậy VABCD  .DH .S ABC  .
3
6
Câu 49.
Xét trường hợp tổng qt là bốn mặt cầu có bán kính r.
Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C, trong đó S là tâm của mặt cầu trên
cùng. Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nên S.ABC là chóp đều
cạnh 2r.
Gọi I là tâm của tam giác ABC, khi đó SI vng góc với mặt phẳng

 ABC 

và AI 

2r 3
.
3

Tam giác SAI vng tại I, có
2

 2r 3 
2r 6
.
SI  SA  AI  4r  
 
3
 3 
2

2

2

Kẻ đường sinh JP của hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâm S và tâm A lần lượt tại H, K.
Ta có SAI ~ JSH (g-g) nên
 SJ 

SJ SH

.
SA AI

SA.SH
3
2r.r.
r 3 .
AI

2r 3

Chiều cao của khối nón là
h  JS  SI  IO r 3 


2r 6
2 6
 r r  1  3 
.
3
3 



Bán kính khối nón là R OP  JO.tan SJH
.

2 6  AI
 R h.tan ASI r  1  3 
.
3  SI



2 6  2r 3 3
2 6 1
r  1  3 
.
r  1  3 

 .
.
3  3 2r 6
3  2


1 
2 6
2 6
.  1  3 
.
 1  3 
3 
3
2 

Câu 50. Đường thẳng d1 đi qua A  2;6;  2  và có một vectơ chỉ phương u1  2;  2;1 .

Đường thẳng d 2 có một vectơ chỉ phương u2  1;3;  2  .

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  . Do mặt phẳng  P  chứa d1 và (P) song song với
Áp dụng với r  2 ta được R  2.

 
d
n
đường thẳng 2 nên  u1 , u2   1;5;8  .

Trang 11

Vậy phương trình mặt phẳng

 P


đi qua A  2;6;  2  và có một vectơ pháp tuyến n  1;5;8  là

x  5 y  8 z  16 0 .
Câu 51. Gọi M  x; y; z  . Ta có

MA 2

MB 3

2

2

2

 9 MA2 4 MB 2   x  6    y  6    z  6  108 .
Vậy điểm M thuộc mặt cầu tâm I   6;6;  6  , bán kính R 6 3 .
Vậy MN nhỏ nhất khi M, N thuộc đường thẳng đi qua tâm I và vng góc với mặt phẳng  P  . Gọi  d  là
đường thẳng đi qua tâm I và vng góc với mặt phẳng  P  .
 x  6  t

Khi đó  d  :  y 6  2t . Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương
 z  6  2t


 x  6  t
 y 6  2t

trình: 
 z  6  2t
  x  2 y  2 z  6 0
 x  6  t
 y 6  2t



z

6

2
t

6  t  12  4t  12  4t  6 0

 x  2
 y  2

 N   2;  2;2  .

z

2


t  4

Do đó T  2  2  2  2 .
Câu 52.
Ta có SA   ABCD  nên AO là hình chiếu vng góc của SO lên

 ABCD 


nên góc giữa SO và đáy là góc SOA
.

Tam giác ABD đều cạnh a 2 nên AO a 2

3 a 6
.

2
2

3 2
a
SA
2


 3 , suy
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có tan SOA 
AO
a 6

2

ra


SOA
60 .
Vậy góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 .
Câu 53.
Trang 12


Góc giữa hai mặt phẳng

sin  

 

và



là góc  . Khi đó

d  A, 
. Gọi điểm G là trọng tâm BCD , kéo dài
d  A,  

tia BM cắt AD tại F.
Ta có  SAC    BEF  EG .

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  BME  là góc

 có sin  

d  A,  BEF  
d  A, EG 

Ta có d  A,  BEF   
 sin  

2a 3
AE. AG
a 70
, d  A, EG  

2
2
3
7
AE  AG

d  A,  BEF  
d  A, EG 

.



14
1

 cos  
.
15
15

2
2
Câu 54. Phương trình  2cos x  5sin x  4 0   2  1  sin x   5sin x  4 0

 sin x 2
1

 2sin x  5sin x  2 0  
 sin x  sin
1
 sin x 
2
6

2
2



 x  6  k 2

 k , l   .
 x  5  l 2

6


9
9 1
13

 1
 1
0   k 2 
 2k  

k 



 9 
6
2
6
2 6
12
6


Vì x   0;  nên 
 2 
 0  5  l 2  9
  5 2l  9  5
  5 l 11

 6

 12
6
2
2 6
6
 k   0;1;2
 
. Vậy phương trình có 5 nghiệm.
 l   0;1
Câu 55. Để chọn ra 3 người để lập 1 đồn đi cơng tác, trong đó phải có cả nam lẫn nữ và phải có cả Tốn
học lẫn Vật lý, ta có các trường hợp sau:
1
2
TH1: 1 nhà Vật lý nam, 2 nhà Toán học nữ có C4 .C3 cách.
1
1
1
TH2: 1 nhà Vật lý nam, 1 nhà Toán học nam, 1 nhà toán học nữ có C4 .C5 .C3 cách.
2
1
TH3: 2 nhà Vật lý nam, 1 nhà Tốn học nữ có C4 .C3 cách.
1
2
1
1
1
2
1
Vậy có C4 .C3  C4 .C5 .C3  C4 .C3 90 cách.

Trang 13


Câu 56. Số người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: 50  18 32 .
Số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là:  20  17   32 5 .
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.
5
Suy ra n    C32 .

Gọi A là biến cố “trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.
3
Chọn 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp có C5 cách.
2
Ứng với mỗi cách chọn 3 người nói trên, có C27 cách chọn 2 người cịn lại.
3
2
Suy ra, n  A  C5 .C27

n  A
1755

.
n    100688

Vậy xác suất của biến cố A là p  A  

2
Câu 57. Do  un  là cấp số nhân nên un 1 un .q với n  * , suy ra q 

u4 18

 9  q 3 .
u2 2

Câu 58. Theo giả thiết a;b;c;p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên
 a  c 2b
a  c 2b



 a b c
a

c

3
b

4
c
b


2
c


2
4
5



b a
a  b 2b
a  c 2b





3
4



5
c  4 b
c  5 b
c  5 b  5 a


4
4
3
 a  c 2b
t

b  p 2c

a  c 2b


5b 4c

Suy ra c  b  a . Do đó góc A là góc nhỏ nhất.
16 2 25 2
a  a  a2
b c  a
4
9
9
 .
Từ đó ta có cos A 
4 5
2bc
5
2 a. a
3 3
2

2

2

2 3 3
2
Câu 59. Tam giác A1B1C1 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là R1  .
 3  S1  . R1  3 .
3 2
3
1
1

2
Tam giác A2 B2C2 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R2 
 S2  . R2   .3  S1 .
2
4
4
3
1
1
2
Tam giác A3 B3C3 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là R3 
 S3  . R3   .3  S2
4
16
4
………………………………………..
3
1
Tam giác An BnCn có bán kính đường trịn ngoại tiếp là Rn  n  1  Sn  S n  1 .
2
4
1
Suy ra S là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn, có u1 S1 3 , cơng bội q  .
4
Trang 14


S
S  1 4
1

Vậy
.
1
4
Câu 60. Gọi t là số giờ làm tăng thêm mỗi tuần, t   .
 số công nhân bỏ việc là

t
t
nên số công nhân làm việc là 100 
người.
2
2

Năng suất của cơng nhân cịn 120 

5t
sản phẩm một giờ.
2

Số thời gian làm việc một tuần là 40  t  x giờ.

 40  t  0

5t

 0  t    40;48  .
Để nhà máy hoạt động được thì 120 
2


t

100  2  0
t 
5t 

Số sản phẩm trong một tuần làm được: S  100    120    40  t  .
2 
2

Số sản phẩm thu được là:
2

95  40  t   120  40  t 
t 
5t 

f  t   100    120    40  t  
2 
2
4

1
5t 
5
t
t 
5t  95

f '  t    120    40  t    100    40  t    100    120   

 40  t   30
2
2
2
2
2 
2 2

15
1135
 t2 
t  2330.
4
2
 t  4
Ta có f '  t  0  
.
 t  466  L 
3

Dựa vào bảng biến thiên ta có số lượng sản phẩm thu
được mỗi tuần lớn nhất khi t  4  x 36 .
PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1.
1. Xe 1 chuyển động qua 3 quá trình, từ O đến A, từ A đến B và từ B đến C.
Phương trình đường thẳng OA : x 80t .
Phương trình đường thẳng AB : x 40 .
Phương trình đường thẳng BC : x 50t  10 .
Phương trình chuyển động của xe 1 là:

Trang 15


 x 80t
 0 t 0,5

x1  t   x 40
 0,5  t 1  km  .

 x 50t  10  1  t 2 
Phương trình chuyển động của xe 2 chính là phương trình đường thẳng DC : x2  t   30t  90  km  .
2. Hai xe gặp nhau ở vị trí giao điểm F của BC và DE
 50t  10  30t  90  t 1,25  h 
Vậy sau khi đi được 1,25  h  thì hai xe gặp nhau.
3. Ta có: xF  30.1,25  90 52,5  km  . Quãng đường xe 1 đi được từ lúc bắt đầu di chuyển đến lúc 2
xe gặp nhau là xF  xo 52,5  km  .
Quãng đường xe 2 đi được từ lúc bắt đầu di chuyển đến lúc 2 xe gặp nhau là
xD  xF 90  52,5 37,5  km 
Bài 2.
cos x 0

 
 x  k  D  \  k  .
1. Điều kiện xác định 
2
 2
sin x 0
Xét hàm số y tan x là hàm tuần hồn có chu kì T1  .
Xét hàm số g  x  

1
.
sin x

Ta có g  x  T2   g  x  

1
1

 sin  x  T2  sin x .
sin  x  T2  sin x


Chọn x   sin x 1
2





 sin   T2  1   T2   k 2  k    T2 k 2  k  
2
2
2

Giá trị nhỏ nhất của T2 là 2 .
Ta thấy x  D; x  k 2  D thì g  x  k 2   g  x  .
Vậy hàm số g  x  

1

là hàm số tuần hoàn với chu kì T2 2 .
sin x

Khi đó, hàm số y tan x 

1
là hàm tuần hồn với chu kì T BCNN  T1;T2   .
sin x

2. Ta thấy x  D   x  D
Mặt khác, f   x  tan   x  
 Hàm số f  x  tan x 

1
1
 tan x 
 f  x  .
sin   x 
sin x

1
là hàm lẻ.
sin x
Trang 16


Bài 3.
Gọi bán kính đáy li là r  r  0  .
Khi đó, chiều cao của li là h 4r ; cạnh của viên đá là

r
.
2

 Thể tích của li là V0  r 2 h 4 r 3
3

r3
V
r
Thể tích của một viên đá là V1     0 .
8 32
 2
Để làm được 7 li sinh tố cần 7 3 21 viên đá .
Khi đó, thể tích các viên đá bằng 21V1 

21V0
.
32

Vì mỗi quả bơ có thể làm được 2 li sinh tố (khơng chứa đá) có thể tích bằng

6
thể tích li nên thể tích sinh
7

6
12
tố bơ được làm từ một quả bơ là V 2. V0  V0 .
7

7
12
 Thể tích sinh tố bơ được làm từ n quả bơ là Vn  nV0  n  * 
7
6
Tổng thể tích bơ và đá để làm 7 li sinh tố là 7. V0 6V0 .
7
Theo đề bài ra ta có

12
21V0
nV0 
6V0  n 3,38 .
7
32

Vậy cần tối thiểu 4 quả bơ để làm được 7 li sinh tố như yêu cầu.

Trang 17