25 câu ôn phần toán đánh giá tư duy đh bách khoa hn phần 1 (bản word có giải)

25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư duy ĐH Bách Khoa HN - Phần 1
(Bản word có giải)
Tốn trắc nghiệm (câu hỏi 36 - 60)
1  3x
Câu 36. Đồ thị hàm số có y 
tâm đối xứng là 
x 1
A. I   1;  3 .

B. I   1;1 .

C. I   3;1 .

D. I  1;  3 .

Câu 37. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên đoạn   1; 4 như hình vẽ
4

bên. Khi đó, tích phân I  f  x  dx bằng bao nhiêu?
1

A. I 3 .

11
B. I  .
2

C. I 5 .

D. I 

5
2

Câu 38. Thầy Thắng muốn sau 5 năm có 1 tỉ đồng để mua ôtô. Hỏi rằng thầy Thắng phải gửi ngân hàng
mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây? Biết lãi suất hàng tháng là 0,5%, tiền lãi sinh ra hàng
tháng được nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là như nhau.
A. 14 261 000 đồng.

B. 14 260 500 đồng.

C. 14 260 000 đồng.

D. 14 261 500 đồng.

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng  P  : x  y  z  1 0 ,  Q  : 2 x  my  2 z  3 0 và

 R  :  x  2 y  nz 0 . Tính tổng
A. –6.

m  2n , biết rằng  P    R  và  P  / /  Q  .

B. 1.

C. 0.

D. 6.

Câu 40. Gọi I  t  là số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 ở quốc gia X sau t ngày khảo sát. Khi đó ta có cơng
r  t  1
thức I  t   A.e 0

với A là số ca bị nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên, r0 là hệ số lây nhiễm. Biết rằng

ngày đầu tiên khảo sát có 500 ca bị nhiễm bệnh và ngày thứ 10 khảo sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh. Hỏi
ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng trong suốt q trình khảo sát hệ số
lây nhiễm là khơng đổi?
A. 2000.

B. 2160.

C. 2340.

D. 2520.

Câu 41. Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng lại hẳn sau 20s kể từ lúc bắt đầu hãm phanh.
Trong thời gian đó xe chạy được 120m. Biết cơng thức tính vận tốc của chuyển động biến đổi đều là
v v0  at ; trong đó a  m / s 2  là gia tốc, v (m/s) là vận tốc tại thời điểm t(s). Hãy tính vận tốc v0 của xe
lửa lúc bắt đầu hãm phanh.
A. 30 m/s.

B. 6 m/s.

C. 12 m/s.

D. 45 m/s.
Trang 1


Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  BCD  . Biết tam giác BCD vuông tại C và

AB 

a 6
, AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng
2

A. 45°.

B. 90°.

C. 30°.

D. 60°.

Câu 43. Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó là 
A. 10.

B. 90.

Câu 44. Cho x 

C. 45.

D. 24.

m
; m, n  * ,  m, n  1 . Biết ba số log 3 x , –1, log 3  81x  theo thứ tự lập thành một
n

cấp số cộng. Tính m  n .
A. 28.

B. 82.

C. 10.

D. 4.

 
Câu 45. Số nghiệm của phương trình sin 5 x  3 cos 5 x 2sin 7 x trên khoảng  0;  là 
 2
A. 2.

B. 1.

C. 3.

D.

4.
Câu 46. Hình bên bao gồm hình chữ nhật ABCD và hình thang vng CDMN. Các
điểm B, C, N thẳng hàng, AB CN 2 dm ; BC 4 dm ; MN 3 dm . Quay hình
bên xung quanh cạnh BN ta được khối trịn xoay có thể tích bằng
A. 54 dm3 .
C.

B.

86 3
dm .
3

86
dm3 .
3

D. 54dm3 .

Câu 47. Gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1  z  1 2 trong mặt phẳng phức.
Khi đó, diện tích hình  H  bằng
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 48. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng
của ngun tố đó chỉ cịn một nửa). Biết ban đầu có m (gam) Poloni 210. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì
khối lượng Poloni 210 cịn lại bằng
A. 460 ngày.

1
khối lượng ban đầu?
10

B. 456 ngày.

C. 459 ngày.

D. 458 ngày.

Câu 49. Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của
đường trịn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm. Sau khi lăn trọn 10 vịng thì
trục lăn tạo một diện tích trên bức tường phẳng bằng
A. 1500  cm  .

B. 150  cm  .

2
C. 3000  cm  .

2
D. 300  cm  .

2

2

Trang 2


Câu 50. Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc, diện tích của
mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m 2. Yêu cầu là
nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Tính số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp.
A. 333 viên gạch.
Câu 51. Cho hàm số y 

B. 334 viên gạch.

C. 332 viên gạch.

D. 335 viên gạch.

m sin x  1
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn   5;5 để giá
cos x  2

trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn – 1?
A. 6.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 52. Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1;1;1 , B  4;1;1 , C  1;1;5  . Tìm tọa độ điểm I là tâm
đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
A. I   2;1;  2  .

B. I  2;1; 2  .

C. I  2;1;  2  .

D. I   2;  1;  2  .

Câu 53. Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9 z 2  6 z  1  m 0 có nghiệm phức thỏa
mãn z 1 . Tính S.
A. 20.

B. 12.

C. 14.

D. 8.

Câu 54. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có M, N, P lần lượt là trung
điểm các cạnh BC, C D , DD (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng
144, thể tích khối tứ diện AMNP bằng
A. 15.

B. 24.

C. 20.

D. 18.

Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  2 0 và mặt phẳng

 Q  : 2x 

y  2 z  10 0 song song với nhau. Biết A  1; 2;1 là điểm nằm giữa hai mặt phẳng  P  và

 Q  . Gọi  S 

là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P  và  Q  . Biết rằng khi  S  thay đổi

thì tâm của nó ln nằm trên một đường trịn. Tính bán kính r của đường trịn đó.
A. r 

4 2
.
3

B. r 

2 2
.
3

C. r 

5
.
3

D. r 

2 5
.
3

Câu 56. Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, trong đó có 3 đội Việt Nam. Ban tổ
chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội của Việt Nam
cùng nằm ở một bảng đấu.
A.

3
.

55

B.

1
.
330

C.

1
.
110

D.

6
.
55

Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vng
góc H của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp
với mặt phẳng  ABCD  một góc 30°. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a.
Trang 3


A. d a 3 .

B. d 

2a 5
.
3

C. d 

2a 21
.
21

D. d 

a 21
.
7

4
3
2
Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y  3 x  4 x  12 x  m

nghịch biến trên khoảng   ;  1 ?
A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 5.

Câu 59. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2020 để phương trình





log 2 m  m  2 x 2 x có nghiệm thực?
A. 2017.

B. 2018.

C. 2020.

D. 2019. 

Câu 60. Cho một hình hộp chữ nhật kích thước 4 4 h chứa một khối cầu
lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1. Biết rằng các
khối cầu đều tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (tham
khảo hình vẽ). Thể tích của khối hộp bằng?
A. 32  32 5 .

B. 48  32 7 .

C. 32  64 2 .

D. 32  32 7 .

Toán tự luận
Bài 1. Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:
Quãng đường

Giá cước (VNĐ/km)
Từ 0 đến 10 km
10 000
Từ trên 10 km đến 40 km
15 000
Trên 40 km
12 500
1. Thiết lập công thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và số tiền tương ứng phải trả. Nếu một người
đi taxi của hãng X phải trả số tiền xe là 475 000 VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?
2. Một người đi taxi của hãng X từ A đến B, sau đó phải bắt taxi một lần nữa để đi từ B đến C. Biết quãng
đường AB trong khoảng từ 10 đến 40 km, quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32 km. Số tiền
người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường AB. Tính độ dài quãng
đường AB.
3. Ngày Valentine, hãng X áp dụng chương trình giảm giá 10% cho khách hàng, tối đa 50 000 VNĐ. Một
người đi taxi của hãng X trong dịp này phải trả 360 000 VNĐ thì người đó đã đi qng đường là bao
nhiêu?

Trang 4



Bài 2. Cho hình hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD
120 . Biết rằng hình
chiếu vng góc của A lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của AC và BD. Diện tích tam giác

AAB bằng

a2 3
4

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABBA và  ABC  .
2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D .

Trang 5


Đáp án
36-D
41-C
51-A

37-D
42-D
52-B

38-D
43-B
53-B

39-C
44-A
54-A

40-B
45-D
55-A

46-B
56-A

47-B
57-D

48-C
58-D

49-A
59-D

50-B
60-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 - 60)
Câu 36.
Ta có: lim y lim

1  3x
  nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1

Lại có, lim y lim

1  3x
 3 nên đường thẳng y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 1

x 1

x 1

x 

x 

Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. Do đó I  1;  3 .
Câu 37.
4

2

4

Ta có: I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 
1

1

2

1
1
5
 3  1 2   1  2  1 
2
2
2

Bản word từ website Tailieuchuan.vn
Câu 38.

Gọi a là số tiền hàng tháng thầy Thắng phải gửi vào ngân hàng, r là lãi suất hàng tháng. Sau n tháng số
tiền cả gốc lẫn lãi là
Tn 

a
n
 1  r    1  r   1
r

Suy ra a 

Tn .r

 1  r    1  r 

n

 1




1000 000 000.0,5%
14 261494 đồng.
60
 1  0,5%    1  0,5%   1

Câu 39.
Ta có:


+)  P  : x  y  z  1 0 có VTPT a  1;1;1

+)  Q  : 2 x  my  2 z  3 0 có VTPT b  2; m; 2 

+)  R  :  x  2 y  nz 0 có VTPT c   1; 2; n 


 P    R   a.c 0  n  1
 P / /  Q 

2 m 2
   m 2
1 1 1

Vậy m  2n 2  2   1 0 .

Câu 40.
Trang 6


Theo giả thiết ta có I  1  A 500 .
9r
9r
Ngày thứ 10 có 1000 ca nên I  10   A.e 0  1000 500.e 0  r0 

Vậy ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh là I  20  500.e

19ln 2
9

ln 2
9

2160 .

Câu 41.
Tại thời điểm t 20  s  , v  20  0 nên v0  20a 0  a 

v0
.
20

v0
t
20

Do đó, v  t  v0 

20

Mặt khác, v  t  s t  

20

20

v  t  dt  s t  dt s  t 
0

0

20

v 

Suy ra,  v0  0 t  dt 120 
20 
0 

v0 2 

 v0t  40 t 



s  20   s  0  120
0

20

120
0

Từ đó ta có phương trình 20v0  10v0 120  v0 12  m / s 
Câu 42.
Gọi F là trung điểm của BC.
Xét ABC cố E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC
 EF là đường trung bình của ABC

 , DE .

 EF / / AB  AB, DE  EF



 



Ta có AB   BCD   EF   BCD   EF  FD
(vì FD   BCD  )





 , DE FED

 EFD vng tại F do đó EF
.
CD  BC
 CD   ABC   CD  AC hay ACD vuông tại C.
Lại có 
CD  AB
Xét tam giác vng ECD có
2

2
a 2
a 6
 AC 

2
2
ED  EC  CD  
  a 
  CD  
2
 2 
 2 
2

2



Xét EFD vng có cos FED

EF
AB 1


  FED
60 .
ED 2 ED 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60°.
Câu 43.
Trang 7


2

Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó từ 10 học sinh là A10 90 .

Câu 44.
Điều kiện: x  0 .
Vì ba số log 3 x , –1, log 3  81x  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên: 
log 3 x  log 3  81x 
2
 1  log 3 x  log 3  81x   2  log 3  9 x   2
2
2

1
1
1
2
2
 1
  9 x  3 2    9 x     9 x  , do x  0  x 
27
9
3
 3
Vậy m 1 , n 27  m  n 28
Câu 45. Phương trình 

1
3


sin 5 x 

cos 5 x sin 7 x  sin  5 x   sin 7 x
2
2
3






7 x 5 x   k 2
x   k


3


6
 sin 7 x sin  5 x    

 k  
3

 7 x    5 x     k 2
 x    k




3

18 6

 
Xét khoảng  0;  :
 2
+) 0 



1
1 

 k     k   k
 k 0  x 
6
2
6
3
6



 k 0  x 18


 
1
8 k 
2
 k 1  x 

+) 0   k     k   

18
6 2
3
3
9

 k 2  x  7

18
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 46.
Khi quay hình trên quanh cạnh BN ta được một khối trịn xoay gồm một khối
trụ có bán kính đáy bằng 2 dm, chiều cao bằng 4 dm và một khối nón cụt có
bán kính hai đáy lần lượt là 2dm và 3 dm, chiều cao bằng 2 dm. Do đó thể tích
của khối trịn xoay là
V 4 .4 

2
86
4  9  4 .9 
 dm3 
3
3





Câu 47.
Đặt z  x  yi , z  1  x  1  yi 

 x  1

2

 y2

Do đó 1  z  1 2
Trang 8


 1

 x  1

2

2

 y 2 2  1  x  1  y 2 4

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình phẳng nằm trong đường trịn tâm I  1;0  bán kính R 2 và
nằm ngồi đường trịn I  1;0  bán kính r 1 .
Diện tích hình phẳng S  .22   .12 3 .
Câu 48.
Theo giả thiết ta có
Lượng Poloni 210 ban đầu T0 m . 
1

Lượng Poloni 210 còn lại sau 138 ngày: T1  m
2
2

1
Lượng Poloni 210 còn lại sau 138 2 ngày: T2   m
 2
m

1
Cứ như vậy lượng Poloni 210 còn lại sau 138 n ngày: Tm   m .
 2
n

1
1
1
3,3 .
Yêu cầu bài toán tương đương   m  m  n log 1
10
 2
2 10
Vậy sau ít nhất 138 n 138 3,3 459 ngày thì khối lượng Poloni 210 cịn lại bằng

1
khối lượng ban
10

đầu.
Câu 49.

2
Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq 2 Rh  .6.25 150  cm  .

Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ. Do đó trục
2
lăn quay 10 vịng sẽ qt được diện tích là S 10.S xq 1500  cm 

Câu 50.
2
Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: S1 15  m  .

Theo yêu cầu khi xây dựng tịa tháp, diện tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:
1
S 2  S1
2
2

1
1
S3  S 2   S1
2
 2
……
1
S n  
 2

n 1

S1

Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là
Trang 9


1
11
1 
 1 1
S S1  S 2  ...  S11 S1.  1   2  ...  10  15.1. 2 29,98  m 2 
1
2 
 2 2
1
2
1

2
2
Diện tích mỗi viên gạch là 30.30 900  cm  0,09  m  .

Số lượng gạch hoa cần mua là

S
333,17 (viên). Vậy cần mua 334 viên gạch.
0, 09

Câu 51.
Do cos x  2  0 , x   nên hàm số xác định trên  .
Ta có y 

m sin x  1
 m sin x  y cos x 2 y  1 .
cos x  2

Do phương trình có nghiệm nên
2

m 2  y 2  2 y  1  3 y 2  4 y  1  m 2 0 
Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng

2

Do đó yêu cầu bài toán tương đương

2

3m 2  1
2  3m 2  1
y 
3
3

3m 2  1
.
3
2

3m 2  1
  1  3m 2  1  25  m 2  8 

3

m  2 2

 m   2 2

Vì m là giá trị nguyên thuộc đoạn   5;5 nên m    5;  4;  3;3; 4;5 . 
Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 52.
Cơng thức tính nhanh. Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC.




Khi đó BC.IA  CA.IB  AB.IC 0 .
Áp dụng, gọi I  a; b; c   AB 3; BC 5; AC 4  . Do đó





 
5IA  4 IB  3IC 0  12 IA 4 BA  3CA


 12 IA   12;0;  12   IA   1;0;  1
1  a  1

 1  b 0 
1  c  1



 a 2

b 1  I  2;1; 2 
c 2


Câu 53.
Phương trình 9 z 2  6 z  1  m 0  * có  9  9  1  m  9m .
Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1.  * có nghiệm thực   0  m 0 .

Trang 10


 z 1
Khi đó, z 1  
 z  1
+) z 1  m 16 (thỏa mãn).
+) z  1  m 4 (thỏa mãn).
Trường hợp 2.  * có nghiệm phức z a  bi  b 0     0  m  0 .
Nếu z là một nghiệm của phương trình 9 z 2  6 z  1  m 0 thì z cũng là một nghiệm của phương trình
9 z 2  6 z  1  m 0 .
1 m
1  m  8 (thỏa mãn).
9

2

Ta có z 1  z 1  z.z 1 

Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12.
Câu 54.
Gọi E  NP  CD . Đặt DC 2d , BC 2r .
Ta có
S EMA S ECBA  S EMC  S ABM 5dr 

3
5
dr  dr  dr
2
2

1
1
VNEAM  S EMA .d  N ,  EMA    S EMA .CC 
3
3


5
5
.4dr.CC   VABCD. ABC D 30
24
24

1
VNPAM  VNEAM 15
2

Câu 55.
Ta thấy M  1;0;0  là một điểm thuộc  P  .
Vì  P  / /  Q  nên
d   P  ,  Q   d  M ,  Q   

2  10
2

22    1    2 

2

4

Giả sử I  a; b; c  là tâm của  S  . Vì  S  tiếp xúc với cả  P  và  Q  nên bán kính mặt cầu  S  là

R

d   P , Q 
2

4
 2 .
2

Do đó IA 2 nên I luôn thuộc mặt cầu  T  tâm A, bán kính 2.
Ngồi ra, d  I ,  P   d  I ,  Q   

2 a  b  2c  2
2

22    1    2 

2



2a  b  2c  10
2

22    1    2 

2

 2a  b  2c  2  2a  b  2c  10  2a  b  2c  2   2a  b  2c  10 
Trang 11


 2a  b  2c  4 0

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng  R  : 2 x  y  2 z  4 0 .
Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên  R  . Vì A,  R  cố định nên H cố định.
Ta có AH d  A,  R   

2.1  2  2.1  4
2

22    1    2 

2



2
3

Mà AH   R   AH  HI , do đó AHI vng tại H nên
2

4 2
 2
HI  AI  AH  2    
3
 3
2

2

2

4 2
Vậy I ln thuộc đường trịn tâm H, nằm trên mặt phẳng  R  , bán kính r 
.
3
Câu 56.
4
4
Gọi ba bảng đấu có tên là A, B, C. Chọn 4 đội cho bảng A có C12 cách, chọn 4 đội cho bảng B có C8

cách và 4 đội cịn lại vào bảng C có 1 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu là
n    C124 .C84 .1 34650 (cách).
Gọi A là biến cố “3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu”.
Giả sử 3 đội Việt Nam cùng nằm ở bảng A. Khi đó bảng A sẽ chọn 1 đội trong 9 đội nước ngoài và 3 đội
1
4
Việt Nam, 8 đội còn lại chia vào bảng B và C. Trong trường hợp này ta có số cách chọn là C9 .C8 630

(cách).
Vì vai trị của các bảng là như nhau nên trường hợp 3 đội Việt Nam ở bảng B hay bảng C đều cho kết quả
như nhau.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là  A  3.630 1890 (cách).
Xác suất của biến cố A là: P  A  

n  A  1890
3


n    34650 55

Câu 57.
Gọi O  AC  BD .
Ta có ABC đều cạnh a có H là trọng tâm
 BO 

a 3
a 3
4
2a 3
, CH 

, HD  BO 
2
3
3
3







30
Mặt khác, SD,  ABCD  SDH
2a

 SH HD.tan SDH

3
Lại có CH  AB  CH  CD .
Trang 12


Kẻ HK  SC  K  SC  . 
 SH  CD
 CD   SHC   HK  CD
Ta có 
CH  CD
 HK   SCD   d H , SCD   HK 
Mà

d H , SCD  
d B , SCD  

SH .HC
SH 2  HC 2



2a 21
21

HD 2
a 21
  d B , SCD   
BD 3
7



Câu 58.
4
3
2
3
2
Xét hàm số f  x  3x  4 x  12 x  m  f  x  12 x  12 x  24 x

 x  1


Ta có f  x  0   x 0
 x 2
Bảng biến thiên
x
y

–1
0



–

+



0
0
m

2
0

–



+


y
m 5

m  32

Hàm số y  f  x  nghịch biến trên   ;  1  m  5 0  m 5
Do m là số nguyên nhỏ hơn 10 nên ta có m   5;6;7;8;9 .
Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 59.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
m  m  2 x 22 x   m  2 x   m  2 x 2 2 x  2 x  1
Ta có

x
m  2 x 0 , 2  0 .

2
Xét hàm đặc trưng f  t  t  t trên  0;   .

Ta có f  t  2t  1 0 , t   0;  
 f  t  đồng biến trên khoảng  0;   .
Do đó  1  f





m  2x  f  2 x  

m  2 x 2 x  m 22 x  2 x  2  .

2
Đặt a 2 x , a  0 . Ta có  2   m g  a  a  a

Trang 13


x

0

g  a

0

1
2




1
4
Phương trình đã cho có nghiệm  m 

1
mà m là giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 nên
4

m   1; 2;3;...; 2019 .
Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 60. 
Gọi tâm của quả cầu lớn là S, tâm của các quả cầu nhỏ lần lượt là A, B, C, D.
Khi đó 5 điểm S, A, B, C, D tạo thành 1 khối chóp tứ giác đều, có cạnh đáy
bằng 2, cạnh bên bằng 3.
1
Ta có BO  BD  2 , SO  SB 2  BO 2  7 .
2
Khi đó, chiều cao của hình hộp là: h 2 SO  2.1 2 7  2 .
Vậy thể tích của khối hộp là: V 4.4.h 32 7  32 .

Toán tự luận
Bài 1.
1. Gọi x (km) là quãng đường di chuyển. Khi đó, ta có cơng thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và
số tiền tương ứng phải trả f(x) như sau:
10000 x
 0  x 10 

f  x  10000.10   x  10  .15000
 10  x 40 

 x  40 
10000.10  15000.30   x  40  .12500
10000 x
 0  x 10 

 f  x  15000 x  50000
 10  x 40 


 x  40 
12500 x  50000
Để xác định số tiền xe là 475 000 VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao
nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng.
Với f  x  10000 x ; 0  x 10 thì 0  f  x  100000 .
Với f  x  15000 x  50000 , 10  x 40 thì 100000  f  x  550000 .
Với f  x  12500 x  50000 , x  40 thì f  x   550000 .

Trang 14


Vì 100000  475000  550000 nên ứng với số tiền xe 475 000 VNĐ người đi xe đã đi được quãng đường
dài

475000  50000
35  km  .
15000

Vậy người đó đã đi được quãng đường dài 35km.
2. Gọi x (km)  10  x  40  là độ dài quãng đường AB.
Vì quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32km nên quãng đường BC dài x  32  km  .
Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường AB nên ta có
phương trình
12500  x  32   50000 2,8.  15000 x  50000   x 20  km  (thỏa mãn).
Vậy quãng đường AB dài 20km.
3. Nếu không được giảm giá 10% thì người đi xe phải trả số tiền là:
360000 :  100%  10%  400000 (đồng)
Vì 100000 < 400000 < 550000 nên người đi xe đã đi được quãng đường là:
400000  50000
30  km 

15000
Vậy người đó đã đi được quang đường dài 30km.
Bài 2.
1. Gọi H là giao điểm của AC và BD.

Hình thoi ABCD có BCD
120
 ABC 60 .
Do đó ABC là tam giác đều  S ABC 

a2 3
4

1
a2 3
 S ABH  S ABC 
2
8
Tam giác ABH là hình chiếu của tam giác ABH .
Gọi góc giữa  ABBA và  ABCD  là  .
Khi đó ta có S ABH S ABA cos   cos  
2. Ta có S ABCD 2 S ABC 

S ABH 1
   60
S ABA 2

a2 3
2

Gọi M là trung điểm AB, I là trung điểm AM.
Khi đó HI  AB  góc giữa  ABBA và  ABCD  là góc AIH 60 .
1
a 3
3a
Ta có IH  CM 
 AH IH .tan 60 
2
4
4
Trang 15


 VABCD. ABC D  AH .S ABCD 

3a a 2 3 3a 3 3
.

4
2
8

Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, vui lòng kiểm tra kỹ trước khi áp dụng

Trang 16