021 tổ hợp xác xuất lớp 11 hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

CHƯƠN
G

CẤP SỐ CỘNG – NHÂN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
GÓC – KHOẢNG CÁCH

0

TỔ HỢP – XÁC SUẤT
1. Qui tắc đếm :
 Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động
này có
cách thực hiện, hành động kia có cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào
của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có
cách thực hiện.
 Nếu
và
là các tập hợp hữu hạn khơng giao nhau thì:
.
 Quy tắc nhân: Một cơng việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có cách thực hiện hành động thứ
hai thì có
cách hồn thành cơng việc.
2. Hốn vị, Chính hợp, tổ hợp.
 Hoán vị :
+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần
tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

+ Số các hốn vị
Kí hiệu
là số các hốn vị của n phần tử. Ta có:
 Chỉnh hợp :
+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Kết quả của việc lấy k phần tử của tập
hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần
tử đã cho.
+Số các chỉnh hợp
Kí hiệu

là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

. Ta có:

 Tổ hợp :
+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
+ Số các tổ hợp:
Kí hiệu

là số các tổ hợp chập k của n phần tử

. Ta có:

.
3. Tính xác xuất :
 Tính xác suất bằng định nghĩa : Cơng thức tính xác suất của biến cố
 Tính xác suất bằng công thức :

:

.

Page 655


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
+ Quy tắc cộng xác suất:
* Nếu hai biến cố

xung khắc nhau thì

* Nếu các biến cố

xung khắc nhau thì

+ Cơng thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố

của biến cố

là:

+ Quy tắc nhân xác suất:
* Nếu

và

là hai biến cố độc lập thì

* Một cách tổng qt, nếu
Câu 1:

biến cố

là độc lập thì

Câu 3 (101-2023) Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục
giác đều?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các
Câu 2:

đỉnh của một lục giác đều là
tam giác.
Câu 28 (103-2023) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số
được lấy từ tập hợp
A.

.

?
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Gọi số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là
có 6 cách chọn 1 số từ tập hợp trên
có 5 cách chọn 1 số khác
có 4 cách chọn 1 số khác
Câu 3:

Áp dụng quy tắc nhân ta có:
số.

Câu 11 (102-2023) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số
được lấy từ tập hợp
A.

.

?
B.

C.
.
D.
.
Lời giải
Số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.
Vậy có
Câu 4:

.

số.

Câu 15 (104-2023) Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục
giác đều?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 656


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Lời giải
Số tam giác:
Câu 5:

Câu 36 (104-2023) Từ một nhóm học sinh gồm
Xác suất để trong

nam và

nữ, chọn ngẫu nhiên

học sinh.

học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng:

A.

.

B.

Gọi

là khơng gian mẫu

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có:
Gọi

học sinh được ó cả nam và nữ

Xác suất cấn tìm là:
Câu 6:

.

Câu 35 (101-2023) Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh.
Xác suất để 4 học sinh được ó cả nam và nữ bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ
Khi đó
Gọi

.

D.

học sinh là

.

.

.
là biến cố để 4 học sinh được ó cả nam và nữ.

Khi nó
Nên
Câu 7:

.

Câu 38 (102-2023) Gọi
nhiên một số từ
A.

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu

, xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng

.

B.

.

C.
Lời giải

Gọi

là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.

Chọn

có

cách.

Chọn

có

cách.

Do đó có
Gọi

.

là
D.

.

số có hai chữ số khác nhau.

là biến cố: “Chọn được số có tổng hai chữ số bằng

”.
Page 657

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khi đó
Vậy
Câu 8:

.

Câu 32 (103-2023) Gọi
nhiên một số từ
A.

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu

, xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng

.

B.

Trong

.

C.
Lời giải

số tự nhiên có hai chữ số, có

Suy ra tập

có

.

D.

;

;

và

số.

có tổng hai chữ số bằng

(MĐ 101-2022) Số các tổ hợp chập
A.

bao gồm:

;

;

.

Vậy xác suất để chọn được số từ
Câu 9:

.

số gồm hai chữ số giống nhau.

Các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau có tổng hai chữ số bằng
;

là

.

B.

của

.

là

.

phần tử là
C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Số các tổ hợp chập
Câu 10:

của

phần tử là

(MĐ 102-2022) Số các tổ hợp chập
A.

.

B.

của

.

phần tử là
C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
Ta có: Số các tổ hợp chập
Câu 11:

của

(MĐ 103-2022) Từ các chữ số ,
đôi một khác nhau?
A.

.

B.

.

phần tử là
,

,

,

.
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số

C.
Lời giải

.

D. .

Chọn A
Gọi số tự nhiên có năm chữ số đơi một khác nhau là
Chọn

: có

cách chọn.

Chọn

: có

cách chọn.

Chọn

: có

cách chọn.

Chọn

: có

cách chọn.

Chọn

: có

.

cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có

số cần tìm.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 658


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 12:

(MĐ 104-2022) Từ các chữ số
đôi một khác nhau?
A.

.

C.

lập được bao nhiêu số tự nhiên bao gồm năm chữ số

B. .

.

D.

.
Lời giải

Chọn C
Từ các chữ số
Câu 13:

, ta có thể lập đuọc

số tự nhiên đôi một khác nhau.

(MĐ 101-2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn
suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng

A.

B.

C.
Lời giải

. Xác

D.

Chọn D
Ta có:

.

Gọi A là biến cố chọn được số
TH1:

.

có 5 số

TH2:

có 4 số.

Vậy
Câu 14:

thỏa mãn

.

(MĐ 102-2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các chữ số tự nhiên thuộc đoạn
Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng:

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

.

Chọn C
Không gian mẫu:
.
Gọi
là biến cố “số được chọn có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.
Suy ra

.

Khi đó:

Câu 15:

(MĐ 103-2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn
suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

. Xác

.
Page 659

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Lời giải
Chọn A

Số các số tự nhiên từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn

là

.
Gọi
là biến cố chỉ các số tự nhiên thuộc đoạn
chữ số hàng chục.

sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn

.
.
Câu 16:

(MĐ 104-2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn
suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn hàng chục bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

. Xác

.

Chọn A
- Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn
- Gọi A là biến cố “chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn hàng chục”.
là số cần tìm
TH1: khi

có 6 cách chọn.

TH2: khi

có 5 cách chọn.

.
Câu 17:

(TK 2020-2021) Có bao nhiêu cách chọn ra
A.

B.

Đây chính là tổ hợp chập
Câu 18:

Với

A.

C.
Lời giải
của

B.

Ta có số các chỉnh hợp chập

học sinh?

D.

việc chọn học sinh ra không có tính thứ tự.

là số ngun dương bất kì,

.

học sinh từ một nhóm có

, cơng thức nào dưới đây đúng?

C.
Lời giải

của

phần tử là:

.

D.

,

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

.

.

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 660


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 19:

(MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Với
đây đúng?

là số ngun dương bất kì,

A.

.

.

Ta có:
Câu 20:

B.

C.
Lời giải

.

D.

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Với
đây đúng?

là số nguyên dương bất kì,

A.

.

.

B.

C.
Lời giải

.

. Suy ra

.

A.

.

Với

A.

Với
Câu 23:

.

là số ngun dương bất kì,

.

Với

A.

B.

C.
Lời giải

, cơng thức nào dưới

D.

(MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Với
đây đúng?

Ta có:
Câu 22:

.

.

Theo cơng thức tính số chỉnh hợp chập k của n ta có
Câu 21:

, cơng thức nào dưới

.

, cơng thức nào dưới

D.

.

.
là số nguyên dương bất kỳ,

.

B.

.
C.
Lời giải

là số ngun dương bất kỳ,
là số ngun dương bất kì,

.

, cơng thức nào dưới đây đúng?

B.

Áp dụng công thức tổ hợp:

, ta có

.

D.

.

.

, cơng thức nào dưới đây đúng?

.

C.
Lời giải
, với

.

D.

.

, Chọn D
Page 661

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 24:

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Với
đây đúng?

là số ngun dương bất kì,

A.

.

.

B.

Ta có cơng thức

D.

.

. Vậy Chọn A

(MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Với
đây đúng?

A.

.

Ta có
Câu 26:

.

với

Do đó,
Câu 25:

C.
Lời giải

, công thức nào sau

B.

là số nguyên dương bất kì,

.

C.
Lời giải

, cơng thức nào dưới

.

D.

.

.

(TK 2020-2021) Chọn ngẫu nhiên một số trong

chọn được số chẵn bằng

A.

B.

Trong

số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để

C.
Lời giải

số nguyên dương đầu tiên

D.

ta đếm được có

số chẵn nên xác suất cần

tìm là
Câu 27:

Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng
thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi

.

D.

.

là biến cố: “Lấy được 3 quả màu xanh”. Ta có

Vậy xác suất của biến cố

là:

.

.

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 662


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 28:

(MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Từ một hộp chứa
màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời
A.

.

B.

Gọi A là biến cố lấy được

quả. Xác suất để lấy được

.

quả

quả màu xanh bằng
D.

.

quả màu xanh

Số phần tử của biến cố A là:

.
.

Xác suất của biến cố A là:

.

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả
màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

Gọi

“Chọn 3 quả bóng trong hộp 10 quả bóng”, suy ra

Gọi

“Chọn 3 quả cùng màu đỏ”, suy ra

màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời

.

.

.

(MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Từ một hộp chứa

A.

.

.

Vậy xác suất chọn 3 bi đỏ:
Câu 30:

quả màu đỏ và

C. .
Lời giải

Số phần tử của khơng gian mẫu là:

Câu 29:

quả bóng gồm

B.

quả bóng gồm

quả. Xác suất để lấy được

.

C.

quả màu đỏ và

quả

quả màu đỏ bằng

.

D.

.

Lời giải
Không gian mẫu

Câu 31:

.

Gọi A là biến cố “ cả

quả bóng lấy ra đều là màu đỏ”

Xác suất để lấy được

quả màu đỏ là:

.
.

Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để
chọn được hai số chẵn bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Số cách chọn hai số bất kỳ từ 19 số nguyên dương đầu tiên là

D.

.

.
Page 663

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Trong 19 số nguyên dương đầu tiên có 9 số chẵn, do đó số cách chọn được hai số chẵn là

Vậy xác suất cần tìm là
Câu 32:

.

Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để
chọn được hai số chẵn bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có:
cách.
Gọi
là biến cố chọn được hai số chẵn. Vì trong 17 số ngun dương đầu tiên có 8 số chẵn
nên:
cách.
Vậy
Câu 33:

.

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số
nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số lẻ bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố theo yêu cầu bài toán
Trong 17 số nguyên dương đầu tiên có 9 số lẻ nên
Vậy
Câu 34:

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn B
Có
Câu 35:

cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc?
A. 7 .

B. 5040 .

C. 1 .
Lời giải

D. 49 .

Chọn B
Xếp 7 học sinh thành một hàng dọc có 7! 5040 cách.
Câu 36:

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 664

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D
Số cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của 5 phần tử, có:
Câu 37:

(cách).

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?
A.

.

B. .

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Số cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc là
Câu 38:

(cách)

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm
nam và
A.

học sinh

học sinh nữ?

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
Chọn 1 học sinh từ 15 học sinh ta có 15 cách chọn.
Câu 39:

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm
nam và
A.

học sinh

học sinh nữ là

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Tổng số học sinh là:
Số chọn một học sinh là:
Câu 40:

cách.

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm
nam và
A.

.

học sinh

học sinh nữ?
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
Số cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm
Câu 41:

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Gọi

học sinh nam và

học sinh nữ là:

cách.

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau

và các chữ số thuộc tập
. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
đó khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

, xác suất để số

A.

.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

Page 665

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Chọn A
Có

cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ

.

.
.
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc , xác suất để số đó khơng có hai chữ số liên
tiếp nào cùng chẵn”.
Nhận thấy khơng thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó ln tồn tại hai chữ số
chẵn nằm cạnh nhau.
 Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.
Chọn 4 số lẻ từ

và xếp thứ tự có

số.

 Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.
Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ

và xếp thứ tự có

số.

 Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ

có

cách.

Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.
Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự
có 3! cách.
trường hợp này có

số.

Vậy
Câu 42:

.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Gọi

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có

chữ số đơi một khác nhau

và các chữ số thuộc tập hợp

. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
suất để số đó khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

, xác

.

Chọn A
Số các phần tử của

là

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
Gọi biến cố

.
có

(cách chọn). Suy ra

.

“ Chọn được số khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 666


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Trường hợp 1: Số được chọn có

chữ số chẵn, có

Trường hợp 2: Số được chọn có

chữ số lẻ và

chữ số chẵn, có

Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và

chữ số chẵn, có

Do đó,

(số).
(số).

.

Vậy xác suất cần tìm là
Câu 43:

(số).

.

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Gọi

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác

nhau và các chữ số thuộc tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
để số đó khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

, xác suất

.

Chọn C
Không gian mẫu

.

Gọi biến cố
thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Có các trường hợp sau:
TH1: 4 chữ số đều lẻ:

số.

TH2: 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn:

số.

TH3: 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn:

Như vậy
Câu 44:

số.

. Vậy xác suất

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Gọi

.

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có

chữ số đơi một khác nhau

và các chữ số thuộc tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
đó khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

, xác suất để số

.

Chọn B
Số phần tử không gian mẫu là
.
Để chọn được số thỏa mãn bài tốn, ta có các trường hợp:
+ Trường hợp số được chọn có đúng
Chọn chữ số lẻ trong

số lẻ: có

Xếp các chữ số lấy được có
Trường hợp này có

chữ số lẻ:
cách.

cách.
cách.
Page 667

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
+ Trường hợp số được chọn có
Lấy ra

chữ số lẻ và

chữ số chẵn.

chữ số chẵn có

Xếp các chữ số chẵn có
chẵn có

chữ số lẻ và

cách.

cách, tiếp theo xếp

chữ số lẻ vào

vị trí ngăn cách bởi các số

cách.

Suy ra trường hợp này có

cách.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố

Xác suất của biến cố
Câu 45:

.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Gọi

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
bằng

A.

.

B.

, xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A

Gọi số cần lập là

,

.

Gọi A là biến cố: “chọn được số tự nhiên thuộc tập
cùng tính chẵn lẻ”.
Do đó

sao cho số đó có hai chữ số tận cùng có

.

Trường hợp 1:

chẵn và hai chữ số tận cùng chẵn.

Số cách lập:
Trường hợp 2:

.

chẵn và hai chữ số tận cùng lẻ.

Số cách lập:
Trường hợp 3:

.

lẻ và hai chữ số tận cùng chẵn.

Số cách lập:
Trường hợp 4:

.

lẻ và hai chữ số tận cùng lẻ.

Số cách lập:
.
Xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng:
.
Câu 46:

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Gọi

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có

nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
chẵn lẻ bằng

A.

.

B.

.

chữ số đôi một khác

, xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính

C.

.

D.

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 668


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Lời giải
Chọn D
Gọi

là số tự nhiên có

Khi đó có

chữ số khác nhau.

số.

Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi
là biến cố số có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ.
TH1: Một trong hai chữ số cuối có chữ số
TH2: Hai chữ số tận cùng khơng có chữ số

: Có

số.

: Có

số.

Suy ra
Vậy
Câu 47:

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
bằng

, xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A
Số các số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau là:
không gian mẫu bằng
Gọi

, nên số phần tử của

.

là biến cố chọn được số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là hai chữ số tận cùng

có cùng tính chẵn lẻ, thì

gồm các trường hợp sau:

TH1. Trong hai chữ số tận cùng có chữ số 0, có

số.

TH2. Trong hai chữ số tận cùng khơng có chữ số 0, có

số.

Vậy xác suất của biến cố cần tìm là
Câu 48:

(ĐTK 2017-2018) Cho tập hợp
A.

B.

Chọn C
Mỗi cách lấy ra
tổ hợp chập
Câu 49:

của

có

phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
C.
Lời giải

phần tử trong

phần tử

.

phần tử của

D.

để tạo thành tập con gồm

Số tập con của

gồm

B.

C.

phần tử là một

phần tử là

(MĐ 101 2017-2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm
A.

là

học sinh.

D.

Lời giải
Page 669

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Chọn D
Mỗi một cách chọn hai học sinh trong một nhóm gồm

học sinh là một tổ hợp chập hai của

phần tử.
Vậy số cách chọn là:
Câu 50:

.

(MĐ 102 2017-2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm
A.

B.

C.

học sinh?

D.

Lời giải
Chọn C
Câu 51:

(MÃ ĐÊ 104 2017-2018) Từ các chữ số ,
nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
A.

B.

,

,

,

,

,

,

lập được bao nhiêu số tự

C.
Lời giải

D.

Chọn C

Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số ,
cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự.
Vậy có
Câu 52:

,

,

,

,

,

là số

số.

(ĐTK 2018-2019) Với
đây đúng?

A.

,

.

,

là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn

B.

.

C.
Lời giải

.

, mệnh đề nào dưới

D.

.

Chọn A
Ta có
Câu 53:

.

(MĐ 101 2018-2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A.

.

B.

.

Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
Câu 54:

C.
Lời giải

.

D.

.

D.

.

.

(MĐ 102 2018-2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
A.

.

B.

.

C.

Lời giải

.

Chọn C
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.
Vậy số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

(cách).

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 670


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 55:

(MĐ 103 2018-2019) Số cách chọn
A.

.

B.

học sinh từ

.

C.

học sinh là
.

D.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Câu 56:

(MĐ 104 2018-2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Chọn A
Câu 57:

(ĐTK 2017-2018) Một hộp chứa
quả cầu gồm quả màu xanh và quả cầu màu đỏ.
Chọn ngẫu nhiên đồng thời quả cầu từ hộp đó. Xác suất để quả cầu chọn ra cùng màu bằng
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn C
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là

, Suy ra

Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra
Xác suất của biến cố A là
Câu 58:

(MĐ 101 2017-2018) Từ một hộp chứa

quả cầu màu đỏ và

nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được
A.

B.

quả cầu màu xanh, lấy ngẫu

quả cầu màu xanh
C.

D.

Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi

là biến cố "

quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra

Vậy xác suất cần tìm là
Câu 59:

.

.

(MĐ 102 2017-2018) Từ một hộp chứa

nhiên đồng thời
A.

.

quả cầu màu đỏ và

quả cầu. Xác suất để lấy được
B.

quả cầu màu xanh, lấy ngẫu

quả cầu màu xanh bằng

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Page 671

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Gọi

là biến cố: “lấy được

Ta có
Câu 60:

quả cầu màu xanh”

.

(MĐ 103 2017-2018) Từ một hộp chứa
đồng thời

quả cầu. Xác suất để lấy được

A.

quả cầu đỏ và

quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên

quả cầu màu xanh bằng?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 15 quả cầu đã cho có
Lấy được

quả cầu màu xanh từ

Vậy xác suất để lấy được
Câu 61:

cách.

quả cầu xanh đã cho có

quả cầu màu xanh là

(MÃ ĐÊ 104 2017-2018) Từ một hộp chứa

cách.

.
quả cầu màu đỏ và

ngẫu nhiên đồng thời

quả cầu. Xác suất để lấy được

A.

B.

quả cầu màu xanh, lấy

quả cầu màu xanh bằng

C.
Lời giải

D.

Chọn A
Số phần tử không gian mẫu:
Gọi

Câu 62:

là biến cố: “ lấy được

.
quả cầu màu xanh”.

Khi đó,

.

Xác suất để lấy được

quả cầu màu xanh:

.

(MĐ 103 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên.
Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
* Số phần tử của không gian mẫu là

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 672

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
* Gọi biến cố A=“Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”, trong 21 số nguyên dương đầu
tiên có 11 số lẻ và 10 số chẵn, để hai số chọn được có tổng là một số chẵn điều kiện là cả hai số
cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Số phần tử của biến cố A là:

* Xác suất của biến cố A là:
Câu 63:

.

.

(MĐ 104 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên.
Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Ta có:
Gọi
là biến cố: “Chọn được 2 số có tổng là số chẵn”.
TH1: Chọn 2 số lẻ:
TH2: Chọn 2 số chẵn:

Vậy
Câu 64:

.

(MÃ ĐÊ 104 2017-2018) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên
thuộc đoạn

. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho

A.

B.

C.
Lời giải

bằng
D.

Chọn A
Gọi

số cần viết ra là

Phân đoạn

ra thành

. Ta có

.

tập:

là những số chia hết cho

dư

là những số chia hết cho
là những số chia hết cho

, có

số.

dư , có
dư

, có

số.
số.

Ta thấy

số

do A, B, C viết ra có tổng chia hết cho

TH1: cả

số

cùng thuộc một tập, số cách chọn là

.

TH2: cả

số

thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là

.

Xác suất cần tìm

ứng với

trường hợp sau:

.
Page 673

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 65:

(ĐTK 2018-2019) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên

học

sinh, gồm nam và nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh
ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng?

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A
Cách 1:
A

B

C

1
2
Số phần tử khơng gian mẫu là
.
Xếp bạn nam thứ nhất có 6 cách, bạn nam thứ 2 có 4 cách, bạn nam thứ 3 có 2 cách.
Xếp 3 bạn nữ vào ba ghế cịn lại có cách.
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 66:

. Đáp án

A.

(MĐ 101 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu
tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

.
Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn
Gọi
là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn.
Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn

.

Vậy
Câu 67:

(MĐ 102 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ
Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng.
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

số nguyên dương đầu tiên.

D.

.

Chọn A
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ
gian mẫu là

số nguyên dương đầu tiên, ta có số phần tử của khơng

.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 674