chuyên đề lượng giác, tổ hợp, xác suất lớp 11 và luyện thi thpt quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.98 MB, 84 trang )
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
1
Phần 1. LƯỢNG GIÁC
Tóm tắt lý thuyết
I.
Công thức lượng giác
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
sin
Cho OA,OM . Giả sử M(x; y).
T
B
K
cos x OH
tang
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
sin y OK
tan
sin
AT
cos
cot
co s
BS
sin
k
2
S
M
O
cosin
H
sin
2
cot xác định khi k , k
sin( k2 ) sin
cos( k2 ) cos
tan( k2 ) ta n
cot( k2 ) cot
(II)
(I)
(III) (IV)
2. Däu của các giá trị lượng giác
Góc
HSLG
sin
cos
tan
cot
A
k
Nhận xét:
, – 1 cos 1; – 1 sin 1
tan xác định khi k , k
cotang
(I)
(II)
(III)
(IV)
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
–
–
“Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
cos
2
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
3. Một số lưu ý:
① Quan hệ giữa độ và rađian: 10
0
180
( rad ) và 1( rad )
180
② Với 3,14 thì 10 0,0175 (rad), và 1(rad) 5701745
③ Độ dài l của cung tròn có số đo (rad), bán kính R là l = R.
④ Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối là B:
sđ AB k2 ,k
⑤ Mỗi cung lượng giác CD ứng với một góc lượng giác (OC, OD) và
ngược lại.
II. Cung liên kết
Cung đối nhau: và –
sin(– ) = – sin
cos(– ) = cos
tan(– ) = – tan
cot(– ) = – cot
Cung bù: – và
sin( – ) = sin
cos( – ) = – cos
tan( – ) = – tan
cot( – ) = – cot
Cung hơn kém
:
2
Cung hơn kém k2
sin( + k2) = sin
cos( + k2) = cos
cot( + k2) = cot
tan( + k2) = tan
Cung khác : + và
sin( + ) = – sin
cos( + ) = – cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
Cung phụ – và :
2
sin = cos
sin = cos
2
2
cos = – sin
cos = sin
2
2
tan = – cot
tan = cot
2
2
cot = – tan
cot = tan
2
2
Chú ý sin = cos ; – sin = cos
2
2
“Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác tan”
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
3
III. Các giá trị lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
Rad
0
6
4
3
2
sin
0
cos
1
2
2
2
2
3
2
1
2
3
4
2
2
2
–
2
tan
0
1
2
3
2
3
3
2
3
3
2
1
–
2
1
3
||
– 3
–1
5
6
1
2
3
–
2
3
–
3
cot
||
3
1
3
3
0
–
3
3
–1
1
0
– 3
IV. Công thức lượng giác:
Hệ thức cơ bản:
1)
3)
5)
sin2x + cos2x = 1
s inx
t anx
cosx
1
1 tan 2 x
cos 2 x
2)
4)
6)
tanx . cotx = 1
cosx
cot x
sinx
1 cot 2 x
1
sin2 x
1800
0
–1
0
||
4
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
Công thức cộng:
7)
8)
9)
10)
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
t ana tanb
t ana tanb
11) tan( a b )
12) tan( a b )
1 tan a.tanb
1 tan a.tanb
Công thức nhân hai:
13) sin2a = 2sina.cosa
14) cos2a
= cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a
15) tan 2a
2t ana
1 tan2 a
16) cot 2a
cot 2 a 1
2 cot a
Công thức nhân ba: (chứng minh trước khi dùng)
19) sin3a = 3sina – 4sin3a
20)
cos3a = 4cos3x – 3cosa
3tan a tan3 a
3cot 2 a 1
22)
cot
3a
1 3tan 2 a
cot 3 a 3cot a
Công thức hạ bậc:
1 cos 2a
1 cos 2a
23) sin2 a
24)
co s 2 a
2
2
1 cos 2a
1 cos 2a
25) tan2 a
26)
cot 2 a
1 cos 2a
1 cos 2a
Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
27) sin a.cosb sin( a b ) sin( a b )
2
1
28) cos a.sinb sin( a b ) sin( a b )
2
1
29) cos a.cosb cos( a b ) cos( a b )
2
1
30) sin a.sinb cos( a b ) cos( a b )
2
Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
a b
cos
31) sin a sinb 2 sin
sin cộng sin = 2 lần sin cos
2
2
21) tan3a
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
5
ab
a b
sin trừ sin = 2 lần cos sin
sin
2
2
ab
a b
33) cos a cosb 2cos
cos cộng cos = 2 lần cos cos
cos
2
2
ab
a b
34) cos a cosb 2 sin
cos trừ cos = trừ 2 lần sin sin
sin
2
2
sin(a b)
35) tan a tanb
(chứng minh trước khi dùng)
cos a.cos b
sin( a b )
36) tan a tanb
(chứng minh trước khi dùng)
cos a.cos b
sin( b a )
37) cot a cot b
(chứng minh trước khi dùng)
sin a.sinb
sin( b a )
38) cot a cot b
(chứng minh trước khi dùng)
sin a.sinb
Một số hệ quả:
1
1
39) sin a cos a sin 2a
40) sin2 a cos 2 a sin 2 2a
2
4
ka
ka
41) 1 cos ka 2cos 2
42) 1 cos ka 2 sin 2
2
2
32) sin a sinb 2cos
ka
ka
43) 1 sin ka sin cos
2
2
2
45) sin x cosx 2 sin x
4
ka
ka
44) 1 sin ka sin cos
2
2
2
46) sin x cosx 2 sin x
4
48) cos x sin x 2 cos x
4
1
3 1
49) sin4 x cos 4 x 1 2 sin 2 xcos 2 x 1 sin 2 2x cos 4x
2
4 4
3
5 3
50) sin6 x cos6 x 1 3 sin 2 xcos 2 x 1 sin 2 2x cos 4x
4
8 8
47) cos x sin x 2 cos x
4
6
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
II.
Hàm số lượng giác
1. Hàm số y = sinx và y = cosx
y = sinx
y = cosx
Tập xác định
D=R
D=R
Tập giá trị
T = [– 1 ; 1 ]
T = [– 1 ; 1 ]
Chu kỳ
T = 2
T = 2
Tính chẵn lẻ
Lẻ
Chẵn
Đồng biến trên:
Sự biến thiên
k2 ; k2
2
2
Đồng biến trên:
Nghịch biến trên:
Nghịch biến trên:
3
k 2
k 2 ;
2
2
k 2 ; k2
x
–
k 2 ; k2
2
0
2
1
y = sinx
Bảng
thiên
biến
x
0
–
–1
0
0
0
1
y = cosx
y = sinx
Đồ thị
y = cosx
–1
–1
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
7
2. Hàm số y = tanx và y = cotx
y = tanx
Tập xác định
D=R\{
y = cotx
+ k}
2
D = R \ {k}
Tập giá trị
R
R
Chu kỳ
T=
T=
Tính chẵn lẻ
Lẻ
Lẻ
Đồng biến
khoảng:
Sự biến thiên
trên
mỗi
k ; k
2
2
x
y = tanx
Nghịch
khoảng:
biến
trên
k ; k
2
2
+
–
Bảng biến thiên
x
y = cotx
0
+
–
A
y = tanx
Đồ thị
y = cotx
mỗi
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
III.
Phương trình lượng giác
1. Phương trình cơ bản.
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.
Tổng quát: m [– 1 ; 1], n R.
u arcsin m k2
sinu = m
u arcsin m k2
cosu = m
u arccos m k2
u arccos m k2
tanu = n
u arctan n k (chú ý đk)
cotu = n
u arccot n k (chú ý đk)
Nếu m, n là các số đặc biệt:
1
2
3
3
m 0; 1; ;
;
; 3 thì:
, n 0; 1;
2
2
2
3
u v k 2
sinu = sinv
u v k 2
u v k 2
cosu = cosv
u v k 2
tanu = tanv u v k (chú ý đk)
cotu = cotv u v k (chú ý đk)
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt:
sinx = – 1 x = –
+ k2
tanx = – 1 x = –
+ k
2
4
sinx = 0 x = k
tanx = 0 x = k
sinx = 1 x =
+ k2
tanx = 1 x =
+ k
2
4
cosx = – 1 x = (2k + 1)
cotx = – 1 x = –
+ k
4
cosx = 0 x =
+ k
cotx = 0 x =
+ k
2
2
cosx = 1 x = k2
cotx = 1 x =
+ k
4
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sinx = sin(– x)
– cosx = cos( – x)
– tanx = tan(– x)
– cotx = cot(– x)
Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0).
8
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
9
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng (a
0):
asin2 u + bsinu + c = 0 (1)
acos2 u + bcosu + c = 0 (1)
Đặt t = sinu.
Đặt t = cosu.
Điều kiện: – 1 t 1.
Điều kiện: – 1 t 1.
(1) at2 + bt + c = 0…
(1) at2 + bt + c = 0…
atan2 u + btanu + c = 0 (1)
acot2 u + bcotu + c = 0 (1)
Điều kiện: cosu 0.
Điều kiện: sinu 0.
Đặt t = tanu,
Đặt t = cotu,
2
(1) at + bt + c = 0…
(1) at2 + bt + c = 0…
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ
điển).
asinx + bcosx = c
(1)
với a, b, c R, v a2 + b2 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 c2
Chia 2 vế phương trình cho a2 b2 , ta được:
a
b
c
sinx +
cosx =
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
a
Vì
2
2
a b
2
2
b
1
2
2
a b
a
b
nên đặt cos =
, sin =
2
2
2
a b
a b2
c
Khi đó ta được: sin(x + ) =
rồi giải như phương trình cơ
a2 b2
bản.
Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:
) = 2 cos(x
)
4
4
4. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx
(Phương trình đẳng cấp).
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
(1)
2
2
Hoặc asin x + bsinxcosx + ccos x = d
(2)
(2)
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)
(a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2)
Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng
(2) thì ta đưa về dạng (1) như trên.
sinx cosx =
2 sin(x
10
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
Sau đây là cách giải dạng (1):
Nếu a = 0 và b, c 0 thì
cos x 0
(1) cosx.(bsinx + ccosx) = 0
b sin x ccos x 0
Nếu c = 0 và b, a 0 thì
sin x 0
(1) sinx.(asinx + bcosx) = 0
a sin x bcos x 0
Nếu a, b, c 0:
Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì
sinx = 1). Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm
là x =
+ k (k Z).
2
Với cosx 0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình:
atan2 x + btanx + c = 0
(1)
(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải.
Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x =
+ k (nếu có).
2
Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về
dạng phương trình bậc nhất theo sinX và cosX (Phần 3). Với:
1 cos 2x
1 cos 2x
1
, cos2 x
, sin x.cos x sin 2x
2
2
2
Phương trình đẳng cấp bậc 3:
asin3x + bsin2 xcosx + c.sinxcos2x + dcos3x = 0
giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.
sin2 x
5. Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.
Dạng1:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)
Đặt t = sinx + cosx =
2 sin(x +
t2 = 1 + 2sinxcosx
), Điều kiện: – 2 t 2
4
sinxcosx =
t2 1
2
t2 1
= c bt2 + 2at – b – 2c = 0
(2)
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t 2
(1) at + b.
Giải phương trình
2 sin(x +
) = t để tìm x.
4
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
Dạng 2:
11
a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c
2 sin(x –
Đặt t = sinx – cosx =
t2 = 1 – 2sinxcosx
(1)
), Điều kiện: – 2 t 2
4
sinxcosx =
1 t2
2
1 t2
=c
bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2)
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t 2
(1) at + b.
Giải phương trình
Dạng 3:
2 sin(x –
) = t để tìm x.
4
a|sinx cosx| + bsinxcosx = c
Đặt t = |sinx cosx| =
2 sin(x
4
(1)
, Điều kiện: 0 t 2
Giải tương tự như trên.
6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:
A 0 B 0
A 0
A B 0
B 0
A M B
b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:
A B
c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất:
A M vaø B N
A B M N
A M
B N
sin u 1
sinu + sinv = 2
sin v 1
sin u 1
sinu – sinv = 2
sin v 1
sin u 1
sinu + sinv = – 2
sin v 1
sin u 1
sinu – sinv = – 2
sin v 1
Tương tự cho các trường hợp:
cosu cosv = 2 và cosu cosv 2.
A M
B M
12
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:
A M vaø B N
A.B M.N
A M
B N
A M
B N
sin u 1 sin u 1
sin v 1 sin v 1
sin u 1 sin u 1
sinu.sinv = –1
sin v 1
sin v 1
Tương tự cho các trường hợp:
sinu.sinv = 1
cosu.cosv = 1, sinu.cosv = 1, cosu.sinv = 1.
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
13
Bài tập trong các đề thi
I.
Biến đổi lượng giác
1.1
Cho góc thỏa mãn
tan
3
.
và sin . Tính A
2
5
1 tan 2
Đề minh họa THPT Quốc gia - 2015
1.2
ĐS: A = – 12/25
Tính giá trị của biểu thức P cos4 sin 4 , biết sin 2
2
.
3
Đề dự bị THPT Quốc gia - 2015
1.3
ĐS: 7/9
Tính giá trị của P 1 3cos 2 2 3cos 2 , biết sin
THPT Quốc gia - 2015
1.4
1.5
1.6
1.7
2
.
3
ĐS: 14/9
4
, 0 . Tính A sin cos .
4
4
5 2
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Thủ Đức
Cho cos
3
3
Cho cos x , x . Tính A sin x .
2
6
5
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Cần Thơ
1
7
Cho sin , . Tính A tan
.
3 2
2
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hai Bà Trưng, Huế
Cho góc
thỏa mãn
2
2
và
tan 1 . Tính
4
A cos sin .
6
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hùng Vương, Phú Thọ
1.8
7
Biết rằng số thực ; và thỏa mãn sin 2 .
2
9
Tính
giá
trị
của
biểu
A cos 4cos 4 sin 4sin 4 .
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên ĐH Vinh lần 3
2
2
thức
14
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
II.
Phương trình tích
1.9
Giải phương trình: sin 2x 3 sin x
ĐS: x k x
ĐH Mở TpHCM
1.10 Giải phương trình: 2 tan x cot x 3
2
sin 2x
ĐS: x
ĐH Ngoại Thương - 97
k2
6
3
k
1.11 Giải phương trình: (2sin x 1)(2sin 2x 1) 3 4cos2 x
THKT Y Tế - 97
ĐS: x k x
6
k2 x
5
k2 x k2
6
3
1.12 Giải phương trình: tanx + cotx = 4
ĐS: x
ĐH An Ninh - 97
k x
12
1.13 Giải phương trình: (1 sin2x)(cos x sin x) cos2x
ĐH DL NN TH TpHCM - 98
ĐS: x
4
k
2
x
2
5
k
12
k2 x k2
1.14 Giải phương trình: cos2 2x 2(sin x cos x)3 3sin 2x 3 0
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99 ĐS: x k x k2 x k2
4
2
1.15 Giải phương trình: (cos x 1)(cos 2x 2cos x) 2sin 2 x
ĐS: x k2
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99
1.16 Giải phương trình: sin5x sin9x 2sin 2 x 1
ĐH DL NN TH TpHCM - 99ĐS: x
1.17 Giải phương trình:
4
k
2
x
42
k
2
5
2
x
k
7
42
7
sin x.cot 5x
1
cos9x
ĐS: x
ĐH Huế - 99
1.18 Giải phương trình: sin2x(cot x tan 2x) 4cos 2 x
ĐH Mỏ - Địa chất HN - 00
ĐS: x
12
20
k x
6
k
10
k
3
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
15
1.19 Giải phương trình: (2sin x 1)(3cos 4x 2sin x 4) 4cos x 3
7
ĐH Hàng Hải - 00
ĐS: x k x k2 x
k2
2
2
1.20 Giải phương trình: tan 2 x
6
6
1 cos x
cos x
ĐS: x k2 x
ĐH Đà Nẵng - 01
3
k2
1.21 Giải phương trình: sin 2x.sin x 3sin 2x.cos x
ĐS: x
ĐH DL Duy Tân - 01
k
x k
2
3
1.22 Giải phương trình: 3sin x 2cos x 2 3tan x
2
ĐS: x k2 x arctan k
3
HV Quân Y - 01
1.23 Tìm nghiệm thuộc đoạn [0 ; 14] của phương trình:
ĐH Khối D - 02
cos3x 4cos2x 3cos x 4 0
ĐS: x
2
x
3
5
7
x
x
2
2
2
x
1.24 Giải phương trình: tan x cosx cos2 x sin x(1 tan x.tan )
2
ĐS: x k2
Dự bị ĐH Khối B - 02
1.25 Giải phương trình: tan 4 x 1
Dự bị ĐH Khối B - 02
(2 sin2 2x)sin3x
cos4 x
ĐS: x
18
k
2
5
2
x
k
3
18
3
1.26 Giải phương trình: 3 tan x(tan x 2sin x) 6cosx 0
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối A - 03
1.27 Giải phương trình:
3
k
cos2 x(cosx 1)
2(1 sin x)
sin x cosx
Dự bị ĐH Khối D - 03
ĐS: x
2
k2 x k2
1
1
1.28 Giải phương trình: 2 2 cos x
4 sin x cos x
Dự bị ĐH Khối B - 04
ĐS: x
4
k
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
16
1.29 Giải phương trình: (2sin x 1)(2cos x sin x) sin 2x cos x
5
CĐ Điều Dưỡng - 04
ĐS: x k2 x
k2 x k
6
6
4
1.30 Giải phương trình: 4cos2 x 2cos2 2x 1 cos4x
ĐS: x k2 x
CĐ SP Ninh Bình - 04
3
1.31 Giải phương trình: 2sin 2 x 2sin 2 x tan x
4
ĐS: x
CĐ SP Bắc Ninh - 04
k
2
3
k
4
2
1.32 Giải phương trình: (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x 3) 4sin 2 x 1
5
CĐ GTVT III - 04
ĐS: x k2 x
k2 x k
6
6
2
1.33 Giải phương trình: cos2 x.sin 4 x cos 2x 2cos x(sin x cos x) 1
ĐS: x k
CĐ KTKH Đà Nẵng - 04
2
1.34 Giải phương trình: (2cos x 1)(2sin x cos x) sin2x sin x
ĐH Khối D - 04
ĐS: x k x k2
4
3
sin x
2
1.35 Giải phương trình: tan x
2
1 cos x
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối D - 05
3
k2 x
6
5
k2
6
1.36 Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cosx 2 0
Dự bị ĐH Khối D - 05
ĐS: x
2
k2 x k2 x
k2 x
6
x
1.37 Giải phương trình: cot x sin x(1 tan x.tan ) 4
2
ĐH Khối B - 06
ĐS: x
12
5
k2
6
k x
5
k
12
1.38 Giải phương trình: (2sin 2 x 1) tan 2 2x 3(2cos2 x 1) 0
Dự bị ĐH Khối B - 06
ĐS: x
6
k
2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
17
1.39 Giải phương trình: cos2x (1 2cos x)(sin x cos x) 0
Dự bị ĐH Khối B - 06
ĐS: x k x k2 x k2
4
2
1.40 Giải phương trình: cos3 x sin3 x 2sin 2 x 1
Dự bị ĐH Khối D - 06
ĐS: x k x k2 x k2
4
2
x
x
cos 4 sin 4
2
2
1.41 Giải phương trình:
sin 2x
1 sin 2x
2sin 2 x
4
5
ĐS: x k2 x
k2
CĐ Xây Dựng số 3 - 06
6
6
1
1.42 Giải phương trình: cos x.cos 2x.sin 3x sin 2x
4
1.43 Giải phương trình:
ĐS: x
CĐ Tài Chính Hải Quan - 07
2
k x k
1
1
2 sin x
cos x sin x
4
ĐS: x
CĐ Công Nghệ Thực Phẩm - 07
1.44 Giải phương trình: 1 sin x cosx tan x 0
ĐS: x
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối B - 07
4
4
5
k
k x k2
1.45 Giải phương trình: (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
ĐS: x k x
Dự bị ĐH Khối D - 07
4
k
1.46 Giải phương trình: sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0
5
CĐSP TW - 07 ĐS: x k2 x
k2 x k2 x k2
6
6
2
1.47 Giải phương trình: 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x
2
k2
ĐH Khối D - 08
ĐS: x k x
4
3
1.48 Giải phương trình: 3sin x cos 2x sin 2x 4sin x cos 2
Dự bị ĐH Khối B - 08
ĐS: x
2
k2 x
6
x
2
k2 x
7
k2
6
18
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1.49 Giải phương trình: tan x cot x 4cos 2x
2
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối A - 08
4
2
1.50 Giải phương trình: sin 2x sin x
4
4 2
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối A - 08
4
1
1.51 Giải phương trình: 2sin x sin 2x
3
6 2
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối B - 08
k
2
x
3
3
k x
k
8
k x
2
2
k2
k2
tan 2 x tan x
2
sin x
2
2
4
tan x 1
5
Dự bị ĐH Khối D - 08
ĐS: x k x k2 x
k2
1.52 Giải phương trình:
4
6
6
1.53 Giải phương trình: (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x
5
CĐ Khối A,B,D - 09
ĐS: x k2 x
k x
k
2
2
12
12
1.54 Giải phương trình: (sin2x cos2x)cos x 2cos2x sin x 0
ĐS: x
ĐH Khối B - 10
4
k
2
1.55 Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 1 0
5
ĐH Khối D - 10
ĐS: x k2 x
k2
6
1.56 Giải phương trình:
ĐH Khối A - 11
6
1 sin2x cos 2x
2 sin x sin 2x
1 cot 2 x
ĐS: x
2
k x
4
k2
1.57 Giải phương trình: sin 2x cos x sin x cos x cos2x sin x cos x
2
ĐH Khối B - 11
ĐS: x k2 x k
2
1.58 Giải phương trình:
ĐH Khối D - 11
sin2x 2cos x sin x 1
tan x 3
3
3
0
ĐS: x
3
k2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
19
1.59 Giải phương trình: 2cos2x + sinx = sin3x.
ĐS: x
CĐ Khối A, A1, B, D - 12
k
4
2
x
2
k2
1.60 Giải phương trình: 1 t anx 2 2 sin x
4
ĐS: x
ĐH Khối A, A1 - 13
4
k x
3
k2
1.61 Giải phương trình: cos x sin 2x 0
2
ĐS: x k2 x k
CĐ Khối A, A1, B, D - 13
2
3
1.62 Giải phương trình: sin x 4cos x 2 sin 2x
1.63 Giải phương trình:
3
k2
2 sin x 2cos x 2 sin 2x
ĐS: x
ĐH Khối B - 14
III.
ĐS: x
ĐH Khối A, A1 - 14
3
k2
4
Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng
1.64 Giải phương trình: sin(2x 50) cos(3x
51
) sin x
2
ĐS: x k x
CĐSP Thái Bình Khối D - 99
3
1.65 Giải phương trình: sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x
2
ĐS: x
ĐH Ngoại Thương - 99
8
k
1.66 Giải phương trình: 1 cos2x cos3x 2cos x.cos2x
ĐS: x
ĐH Đà Nẵng - 99
2
2
x
3
k x
3
k2
k2
k2
1.67 Giải phương trình: 3cos x cos2x cos3x 1 2sin x.sin 2x
ĐH Tây Nguyên - 99
ĐS: x k x k2
2
1.68 Giải phương trình: cos x cos2x cos3x cos4x 0
2
ĐH Lâm Nghiệp - 99
ĐS: x k x k2 x k
2
5
5
20
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1.69 Giải phương trình: sin x cos2x cos4x 0
ĐH Mỹ Thuật CN - 99
ĐS: x k x
18
2
7
2
x
k
3
18
3
k
1.70 Giải phương trình: sin x sin 2x sin3x 0
ĐS: x k
PV Ngân Hàng TpHCM - 01
2
x
2
k2
3
1.71 Giải phương trình: 1 sin x cos3x cos x sin 2x cos2x
ĐH Ngoại Thương - 01
ĐS: x k x
6
k2 x
7
k2 x k2
6
3
1.72 Giải phương trình: 1 cos x cos2x cos3x 0
ĐH Nông Lâm TpHCM - 01 ĐS: x k x k2 x k2
2
3
1.73 Giải phương trình: 2sin x.cos2x sin2x.cosx sin 4x.cosx
ĐS: x k
Dự bị ĐH Khối D - 04
1.74 Giải phương trình: sin 4x.sin 2x sin9x.sin3x cos x
3
2
ĐS: x
CĐ Lương Thực Thực Phẩm - 04
1.75 Giải phương trình: cos x.cos7x cos3x.cos5x
12
k
6
x
12
k
ĐS: x k
CĐ KT Kỹ Thuật 1 - 04
6
4
1.76 Giải phương trình: 1 sin x cos x sin 2x cos2x 0
2
ĐH Khối B - 05
ĐS: x k x
k2
4
1.77 Giải phương trình: cos x cos3x sin 4x
2
CĐ Kinh Tế CN - 06
ĐS: x
6
k
3
x
3
2
k2 x
4
k
7x
3x
x
5x
1.78 Giải phương trình: sin .cos sin .cos sin 2x.cos7x 0
2
2
2
2
ĐS: x k
CĐ Bán công Hoa Sen - 06
1.79 Giải phương trình: cos3x cos2x cos x 1 0
ĐS: x k x k
ĐH Khối D - 06
2
6
2
3
3x
5x
x
1.80 Giải phương trình: sin cos 2 cos
2
2 4
2 4
Dự bị ĐH Khối B - 07
ĐS: x
3
k
2
x k2 x k2
3
2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
21
1.81 Giải phương trình: 2 2 sin x cos x 1
12
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối D - 07
1.82 Giải phương trình: sin 2x.sin x cos5x.cos 2x
ĐS: x
CĐ Kinh Tế TpHCM - 07
4
4
ĐS: x
1.84 Giải phương trình: 2sin 2 2x sin 7x 1 sin x
ĐS: x
ĐH Khối B - 07
8
k
4
x
3
k
x k2 x k
1.83 Giải phương trình: cos3x.tan5x sin 7x
CĐ Kinh Tế Công Nghệ TpHCM - 07
k x
1 cos8x
2
k
8
18
k
20
k
10
2
7
x k
2
5
2
x
k
3
18
3
1.85 Giải phương trình: 2cos2x + sinx = sin3x.
ĐS: x
CĐ Khối A, A1, B, D - 12
1.86 Giải phương trình: sin3x cos2x sinx 0
ĐH Khối D - 13
ĐS: x
4
k
2
x
6
4
k
2
x
k2 x
2
k2
7
k2
6
IV. Phương trình bậc 2 - bậc 3
1.87 Giải phương trình:
cos x(2sin x 3 2) 2cos 2 x 1
1
1 sin2x
ĐS: x
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 96
4
k2
1.88 Giải phương trình: 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin 2 4x m (1)
a. Biết rằng x = là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình (1)
trong trường hợp đó.
là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả các nghiệm
8
của phương trình (1) thỏa mãn: x 4 3x 2 2 0
3
b. Cho biết x
ĐH QG TpHCM - 97
ĐS: a. x k
4
x
8
k
2
; b. x
8
22
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1
1.89 Giải phương trình: sin 4 x cos4 x cos 2x sin 2 2x 2
4
ĐS: x
HV Hàng không - 97
2
k
1.90 Giải phương trình: sin 3 x 2 sin x
4
ĐS: x
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 98
4
k
1.91 Giải phương trình: cos x.cos4x cos2x.cos3x 0
1
1 17
ĐH Ngoại Thương - 98
ĐS: x k x arccos
k
2
2
8
1.92 Giải phương trình: cos7x sin 2 2x cos2 2x cos x
ĐS: x
ĐH Hàng Hải - 98
8
k
4
x
9
k
2
3
1.93 Giải phương trình: sin 3 x 2 sin x
4
ĐS: x
ĐH QG - 98
1.94 Giải phương trình: 3cos4 x 4cos2 x.sin 2 x sin 4 x 0
ĐH QG - 98
ĐS: x
4
k
2
x
3
4
k
2
k
3
k x
1.95 Giải phương trình: 2sin 2 x sinx 1 0
7
CĐBC Marketing - 99
ĐS: x k2 x k2 x
k2
2
6
6
1.96 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
1 sin5x 2cos2 x 0 thỏa điều kiện cosx 0
ĐS: x
ĐH Cảng sát Nhân Dân - 99
1.97 Giải phương trình: cos 2 x 2sinx
ĐHDL Duy Tân - 99
6
k2
1
0
4
ĐS: x
6
k2 x
5
k2
6
1.98 Giải phương trình: cos4x 5sin2x 3 0
CĐBC Marketing - 99
ĐS: x
12
k x
5
k
12
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
1.99 Giải phương trình:
23
4
13cos x 9 0
1 tan 2 x
ĐS: x k2
CĐSP Quảng Ninh - 99
1.100 Giải phương trình: 3(tan x cot x) 2(2 sin 2x)
ĐS: x
ĐH Cần Thơ - 99
1.101 Giải phương trình: sin3x sin 2x 5sin x
4
k
ĐS: x k
ĐHDL Hồng Đức - 99
1.102 Giải phương trình: 4(sin3x cos2x) 5(sin x 1)
ĐH Luật HN - 99
ĐS: x
2
1
1
k2 x arcsin k2 x arcsin k2
4
4
1.103 Giải phương trình: 2cos3x 3sin x cos x 0
ĐS: x
ĐH Huế Khối D - 99
1.104 Giải phương trình: cos 2x tan 2 x
6
k
2
cos2 x cos3 x 1
cos2 x
a. Giải phương trình trên.
b. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình thỏa mãn:
0 x 99
ĐH Thài Nguyên - 99
ĐS: a. x k2 x
3
1.105 Giải phương trình: tan 2x sin 2x cot x
2
ĐH Thủy Lợi - 99
ĐS: x
2
3
k2 ; b.
k x
2209
3
6
k
1.106 Giải phương trình: 4sin 2 x 3tan 2 x 1
ĐHDL Hồng Đức - 99
1
ĐS: x arccos( 3 1) k
2
3
x
1.107 Giải phương trình: sin x 2sin
5
5 2
HV Quân Y - 99
ĐS: x
2
k2
5
24
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1.108 Giải phương trình: 3 tan x 1(sin x 2cos x) 5(sin x 3cos x)
ĐS: x arctan3 k
ĐH QG - 99
1.109 Giải phương trình: 8cos3 x cos3x
3
ĐS: x k x
ĐHQG HN - 99
6
k x
2
k
3
1.110 Giải phương trình: tan 3 x tan x 1
4
ĐS: x k x
HV CN BCVT - 99
4
k
1.111 Giải phương trình: sin 3x sin 2x.sin x
4
4
ĐS: x
HV CN BCVT - 00
1.112 Giải phương trình: tan 2 x cot 2 x cot 2 2x
4
k
2
11
3
ĐS: x
PV Ngân Hàng TpHCM - 00
1.113 Giải phương trình:
6
k
2
sin 3x sin 5x
3
5
ĐH Thủy Lợi HN - 00
1
2
ĐS: x k x arccos k
2
3
1.114 Giải phương trình: sin3x cos3x 2cos x 0
HV Ngân Hàng - 00
ĐS: x
3
k x
4
k
1.115 Giải phương trình: 1 3tan x 2sin 2x
ĐHQG HN Khối D - 00
ĐS: x
4
k
1.116 Giải phương trình: 6sin 2 x sin 2 2x 3cos2 2x
ĐHQG TpHCM khối D - 00
ĐS: x
6
k
x
x
x
1.117 Giải phương trình: sin sin x cos sin 2 x 1 2cos 2
2
2
4 2
ĐHSP TpHCM - 00
ĐS: x k
