(Luận án) DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

BỘGIÁODỤCVÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNGĐẠI HỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍMINH

NGƠMINHĐỨC

DẠYHỌC KHÁINIỆMĐẠOHÀMVÀTÍCHPHÂNTHEO
QUANĐIỂMLIÊNMƠN:
TRƯỜNGHỢPLIÊNMƠNTỐN–VẬT LÍ

LUẬNÁNTIẾNSĨKHOAHỌCGIÁODỤC

THÀNHPHỐHỒCHÍMINH–NĂM2021



BỘGIÁODỤCVÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNGĐẠI HỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍMINH

NGƠMINHĐỨC

DẠYHỌC KHÁINIỆMĐẠOHÀMVÀTÍCHPHÂNTHEO
QUANĐIỂMLIÊNMƠN:
TRƯỜNGHỢPLIÊNMƠNTỐN–VẬT LÍ

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn
tốnMãsố: 62.14.01.11

LUẬNÁNTIẾNSĨKHOAHỌCGIÁODỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA
HỌC:PGS.TS.LÊTHỊHỒICHÂ

U

Thànhphố Hồ ChíMinh –Năm2021



LỜICAMĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng
dẫncủa PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu. Các số liệu và kết quả nêu trong luận án là
trungthựcvàchưatừngđượccơngbốtrongbấtkỳcơngtrìnhnàokhác.
Tácgiảluậnán

NgơMinhĐức


MỤCLỤC
DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN
ÁNDANHMỤCCÁCBẢNG
DANHMỤCCÁCHÌNHVẼ,SƠĐỒ
MỞĐẦU...................................................................................................................1
1. Lídochọnđềtài....................................................................................................1
1.1. Mộtsốvấnđềđặtrachodạyhọc giảitích...............................................................1
1.2. DạyhọcliênmơnTốnvàVật lí, một xu hướngđểkhắcphục...............................3
1.3. Lựachọn đốitượngtrithức................................................................................5
2. Tổngquanvềvấn đềnghiêncứu...........................................................................6
2.1. Cáchhiểucủangườihọcvềhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân...............................6
2.2. Nghiêncứutheohướngdạyhọcđạohàm vàtíchphânđểhỗ
trợchoviệcứngdụngtrong Vậtlí.................................................................................9
2.3. NghiêncứuvềviệcsửdụngVậtlíđểhỗtrợviệcdạyhọccáckháiniệmcủaGiảitích
11

2.4. Cácchươngtrìnhdạyhọctheohướngliên mơnGiải tíchvớiVậtlí........................12
2.5. Nghiêncứuvềdạyhọcgiảitíchtheoquanđiểmliên mơnởViệtNam.....................13
2.6. Kếtluậnvàđịnhhướngnghiêncứu....................................................................14
3. Cơsởlíluận........................................................................................................16
4. Mụctiêuvà câuhỏinghiêncứu...........................................................................16
5. Giảthuyếtkhoahọc............................................................................................17
6. Phươngphápnghiêncứu...................................................................................17
7. Nhữngluậnđiểmcầnbảovệ................................................................................18
8. Cácđónggópmớicủaluậnán..............................................................................18
9. Cấutrúcluận án................................................................................................19
CHƯƠNG1.CƠSỞ LÍLUẬN...............................................................................200
1.1. Liên mơn.Cácmơhình,chiếnlượcliên mơn TốnvàKhoahọc.....................20
1.1.1. Vềkháiniệmliên mơn.............................................................................20
1.1.2. LiênmơnTốnvàmơnkhoahọc: mộtsốmơhình vàcáchtiếpcận.................24
1.1.3. Bachiếnlược dạyhọcliênmơnTốn –Khoahọc........................................27


1.2. Vềviệchiểuvàứngdụngmộtkháiniệmtốnhọc.............................................28
1.2.1. Hiểu kháiniệmtốnhọc...........................................................................29
1.2.2. Ứng dụngkháiniệmtốnhọc....................................................................31
1.2.3. Tiểukết..................................................................................................32
1.3. ThuyếtnhânhọctrongDidacticTốn...........................................................33
1.3.1. Vềthuyếtnhânhọc...................................................................................33
1.3.2. Lýthuyếtchuyểnhóasư phạm..................................................................34
1.3.3. Phântíchtri thứcluận..............................................................................36
1.3.4. Quanhệthểchếvàquanhệcánhân..............................................................37
1.3.5. Tổchức trithức.......................................................................................39
1.4. Lýthuyếttìnhhuống.....................................................................................39
1.4.1. Những điểmđặctrưngcủalýthuyếttình huống.........................................39
1.4.2. Tình huống lítưởng................................................................................41

1.4.3. Biếndạyhọc............................................................................................42
1.5. Đồándạy học................................................................................................43
1.5.1. Kháiniệmđồándạyhọc............................................................................43
1.5.2. Cácbước đểxâydựngmộtđồándạyhọc.....................................................44
1.6. Kếtluậnchương 1:những nghiêncứu cầntriển khai...................................46
CHƯƠNG2 .Đ Ạ O H À M , T Í C H P H Â N : M Ố I Q U A N H Ệ G Ắ N K Ế T G I Ữ A GIẢITÍ

CHVÀVẬT LÍNHÌN TỪLỊCHSỬ..................................................................................50
2.1. Mụctiêucủa chươngvàđịnhhướngthựchiện...............................................50
2.2. QuanhệgắnkếtgiữaTốnhọcvớiVậtlíhọctronglịchsửhìnhthànhvàtiếntriểncủ
ađạo hàm,tíchphân............................................................................................51
2.2.1. Thờikìcổđại...........................................................................................51
2.2.2. ThờikìtiềnGiải tích(sauArchimedesvàtrướcNewton–Leibniz)...............53
2.2.3. CơhọccổđiểncủaNewton vàvaitrịcơngcụcủa Giảitích............................58
2.2.4. Những đónggóp củaGiảitíchvàosự pháttriểnsauđócủaVậtlí...................62
2.3. Đặctrưngtrithức luậncủađạohàmvàtíchphân...........................................63
2.3.1.Cácbàitốnlàđộnglực nảysinhvàtiếntriểncủa đạohàm,tíchphân63
2.3.2. Cácnghĩacủahaikháiniệmđạohàmvàtíchphân.........................................66
2.4. Kếtluậnchương2vànhữnggợiýsưphạmđượcrútra.....................................66


CHƯƠNG3.ĐẠO HÀM,TÍCHPHÂN:MỘTNGHIÊNCỨUTHỂCHẾTỪQUANĐ

IỂMLIÊN MƠNGIỮAGIẢITÍCHVÀVẬTLÍ...........................................................70
3.1. Mụctiêucủa chươngvàđịnhhướngthựchiện...............................................70
3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ
địnhhướngliên mơn..............................................................................................71
3.2.1. ĐạohàmtrongthểchếIVL.....................................................................................................................71
3.2.2. Đạo hàmtrongthểchếIT......................................................................................................................75
3.3. Nghiêncứumốiquanhệthểchếđốivớikháiniệmtíchphânnhìntừđịnhhướngliên

mơn..................................................................................................................... 80
3.3.1. TíchphântrongthểchếIVL..................................................................................................................81
3.3.2. TíchphântrongthểchếIT.....................................................................................................................88
3.4. Kếtluậnchương3:mốiquanhệliênmơnTốn–
Vậtlítrongviệcdạyhọchaikháiniệmđạohàmvàtíchphân................................95
CHƯƠNG4.CÁCGIẢIPHÁP SƯPHẠM..................................................................97

4.1. Cơsởđề xuấtgiảipháp..................................................................................97
4.1.1. Cáchhiểuđầyđủvềkháiniệmđạo hàm,tíchphân........................................98
4.1.2. Ứng dụngkháiniệmđạohàm,tíchphântrongVậtlí...................................102
4.1.3. VậndụngcácchiếnlượcliênmơnTốn–
Khoahọctrongdạyhọckháiniệmđạohàm,tíchphân..........................................105
4.1.4. Sựliênmơnthểhiệntrongchuyểnhóasưphạmhaitrithứcđạohàm,tíchphân......107
4.2. Cácgiảiphápsưphạm.................................................................................109
4.2.1. Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người
họcvềhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân............................................................110
4.2.2. Nhóm 2: Nhóm giải pháp nhằm tăng cường vai trị cơng cụ của đạo
hàmvàtíchphânvàgiúpngườihọcứngdụnghiệuquảchúngtrongcácvấnđềcủaVậtlí............................114
CHƯƠNG5.NGHIÊNCỨUTHỰCNGHIỆM..........................................................126

5.1. Đồándạyhọckháiniệmđạohàm.................................................................126
5.1.1. Mụctiêuxâydựngđồán..........................................................................126
5.1.2. Cácgiảiphápđượcvậndụng...................................................................127
5.1.3. Cácphântíchbanđầu.............................................................................128
5.1.4. Cácbàitốncơsởcủa đồán.....................................................................130


5.1.5. Phântíchtiênnghiệm.............................................................................133
5.1.6. Phântíchhậunghiệm.............................................................................140
5.1.7. Kếtluậnchothực nghiệmdạyhọckhái niệmđạohàm...............................149

5.2. Đồándạyhọckháiniệmtíchphân................................................................149
5.2.1. Mụctiêu xâydựngđồán.........................................................................149
5.2.2. Cácgiảiphápđược vậndụng..................................................................150
5.2.3. Cácphântíchbanđầu.............................................................................151
5.2.4. Cácbàitốncơsởcủa đồán.....................................................................155
5.2.5. Phântíchtiênnghiệm.............................................................................158
5.2.6. Phântíchhậunghiệm.............................................................................172
5.2.7. Kếtluậnchothực nghiệmdạyhọckháiniệmtíchphân...............................189
5.4.Kếtluậnchương5........................................................................................189
KẾTLUẬNCỦALUẬNÁN..................................................................................191
DANHMỤCCÁCCƠNGTRÌNHCỦATÁCGIẢ................................................194
TÀILIỆUTHAMKHẢO......................................................................................195


CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN
ÁNVIẾTTẮT

VIẾTĐẦYĐỦ

DH

Dạyhọc

GT

Giảitích

GV

Giáoviên

HS

Họcsinh

LM

Liênmơn

SGK

Sáchgiáokhoa

SV

Sinhviên

TN

Thựcnghiệm

tr

Trang


DANHMỤCCÁCBẢNG
Bảng3.1.Kiểunhiệmvụvậtlícósửdụngcơngcụtíchphân...................................................93
Bảng5.1.Thốngkêkếtquảbàitốn2a….........................................................................144
Bảng5.2.Kếtquảcuộcthiởpha4.................................................................................145

Bảng5.3.Khunglýthuyếtcủatíchphântrongngữcảnhvậtlí…........................................153
Bảng5.4.Khunglýthuyếtvềđabiểudiễncủatíchphân....................................................162
Bảng5.5.KếtquảTNbàitốn1và2…..........................................................................174
Bảng5.6.Kếtquảcácchiếnlượcgiảixuấthiệntrongbàitốn6..........................................182


DANHMỤCHÌNHẢNH,SƠĐỒ
Sơđồ1.1.Bamắtxíchcủaqtrìnhchuyểnhóasưphạm….................................................35
Sơđồ1.2.Tìnhhuốnglítưởng.......................................................................................43
Hình1.1.Nhữnglựachọntrongviệctíchhợp TốnvàKhoahọc…....................................26
Hình2.1.TínhdiệntíchtamgiácParabol…...................................................................52
Hình2.2.Stevinxácđịnhtrọngtâmtamgiác......................................................................54
Hình2.3.Oresmemơtảsựbiếnthiênbằngđồthịrờirạc.....................................................55
Hình2.4.Qngđườngtrongchuyểnđộngnhanhdầnđều…..........................................55
Hình2.5.ĐồthịvậntốctheothờigiancủaOresme…........................................................56
Hình2.6.Cơngcủalựcbiếnđổi.......................................................................................63
Hình2.7.Bàitốnxácđịnhtiếptuyến…...........................................................................64
Hình4.1.KhungcủaZandiehchokháiniệmđạohàm.....................................................98
Hình4.2.Mơhìnhcáchhiểukháiniệmđạohàm..............................................................99
Hình4.3.KhunglýthuyếtvềkháiniệmtíchphâncủaHabineza….....................................100
Sơđồ5.1.TómtắtchuỗitìnhhuốngDHtíchphântrongngữcảnhvậtlí...............................154
Hình5.1.Lờigiảibàitốn1củanhóm4..........................................................................141
Hình5.2.Lờigiảibàitốn1củanhóm1........................................................................141
Hình5.3.Lờigiảibài tốn1’củanhóm4............................................................................143
Hình5.4.Lờigiảibàitốn3củanhóm5..........................................................................147
Hình5.5.Lờigiảibàitốn2củanhóm1........................................................................174
Hình5.6.Lờigiảibàitốn2củanhóm3........................................................................175
Hình5.7.Lờigiảibàitốn3củanhóm2........................................................................177
Hình5.8.Lờigiảibàitốn4củanhóm1........................................................................178
Hình5.9.Lờigiải bàitốn5củanhóm5.......................................................................180

Hình5.10.Lờigiảibàitốn6củanhóm5......................................................................183
Hình5.11.Lờigiảibàitốn6củanhóm1......................................................................183
Hình5.12.Lờigiảibàitốn6củanhóm6......................................................................184
Hình5.13. Lờigiảibàitốn7củanhóm1.....................................................................186
Hình5.14. Lờigiảibàitốn8củanhóm1.....................................................................187


1

MỞĐẦU
1. LÍDOCHỌNĐỀTÀI
1.1. Mộtsốvấn đềđặtrachodạy họcgiảitích
Giải tích (GT) ln được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí
tuệlồi người. Nó khơng chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi tốn học mà
cịnđemđếnmộtsứcmạnh
thựctiễntolớnthểhiệnquacácứngdụnghiệuquảtrongnhiềulĩnhvực.Điềunàygiảithíchchosựcơn
gnhậnrộngrãicủacácnhànghiêncứugiáodụcvềvaitrịquantrọngcủadạyhọc(DH)GTtrongnhàtr
ườngởcảbậcphổthơnglẫnđạihọc.
Mỗi khái niệm tốn học nói chung và GT nói riêng đều có hai mặt là đối tượng
vàcơng cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học
sinh(HS)hiểukháiniệmvàsửdụngđượcnónhưmộtcơngcụ.Tuynhiên,dosựtrừutượngcủa các khái
niệmGTmàmụctiêu“hiểu”chúngcólúcbịviệcDHbỏqua.CólẽvìthếmàHộinghịcảicáchgiáodụctổchứcởđạihọcTulanenăm1986
đãxácđịnh“hiểukhái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986). Kể từ
đó,

mục

tiêunàylnnhậnđượcsựquantâmcủacộngđồnggiáodụctốn.Đốivớimụctiêucịnlại,trongvàithậ
pkỉgầnđâynhiềunhànghiêncứugiáodụckêugọiDHTốndànhsựquantâm lớn hơn cho ứng dụng của GT
vào

các

ngữ

cảnh

ngồi

tốn

học.

Theo

các

nhànghiêncứu,điềuđótrướchếtmanglạiđộngcơthựctiễnchoviệchọcGTvàgiúpngườihọcsửdụngđ
ượcGTtrongcáclĩnhvựckhác.Rồichínhviệclàmchủđượcnhữngứngdụngđólạigiúpngườihọchiểumột
cáchsâusắcvàđầyđủhơncáckháiniệmGTvốnrấttrừutượng.
Tuynhiên,trongthựctế,nếunhìntừhaimụctiêunóitrênthìviệcDHGTởtrườngTrung học phổ thơng
(THPT)

hiện

nay

phải

đối

mặt

với

nhiều

vấn

đề.

Dưới

đây

là

nhữngvấnđềcơbảnđãđượccộngđồngcácnhànghiêncứuchỉra.
1.1.1. Người học thành thạo tính tốn nhưng khơng hiểu được các khái niệm và
kĩthuậtcủagiảitích
Ở chương trình DH Tốn phổ thơng, hai trong số những bước chuyển quan
trọngmàHSphảitrảiqua,đólàtừSốhọcvàoĐạisốvàtừĐạisốvàoGT.ỞmỗibướcchuyểnHS đều phải đối
diện

với

những

khó

khăn.

Nhưng

khó

khăn

ở

hai

bước

chuyển

nàykhơnggiốngnhau.BướcchuyểnthứnhấtlàmnảysinhởHSnhiềusailầmliênquanđếnsựkháiqt
hóa(cáctínhchất,quytắctínhtốntrêncácsốchocácbiểuthứcđạisố).


Tuy nhiên, bản chất hữu hạn và rời rạc của đối tượng vẫn khơng thay đổi và vì
thếphương pháp nghiên cứu khơng có q nhiều sự khác biệt. Điều này khơng cịn
đúng ởbướcchuyểntừĐạisốvàoGT.GTnghiêncứucácđạilượng,cácqtrìnhvơhạn,biếnthiênliêntục,
và

phải

sử

dụng

những

phương

pháp

và

kĩ

thuật

khác

hẳn

với

Đại

số

nhưchianhỏ,lậptổngvơhạn,xấpxỉ,đóngkhung(chặntrên,chặndưới).Nhiềunghiêncứuchothấynhững
khái

niệm

cơ

bản

như

giới

hạn,

đạo

hàm,

tích

phân

và

các

kĩ

thuật

củaGTkhóhiểukhơngchỉvớiHSphổthơngmàthậmchícịncảvớisinhviên(SV)đạihọc(Orton,1983a;
1983b;Tall, 1993).
Mặc dù vậy các phép tốn lấy giới hạn hay tính tốn đạo hàm và tích phân lại
cóthể được thực hiện theo những quy trình đại số mà khơng bắt buộc phải hiểu khái
niệmmộtcáchđầyđủ.Ởđiểmnày,DoormanvàVanMaanen(2008)nhậnđịnhrằng“GTlàmộttrongnhữngchủđềtốnhọcmànhững
thaotácthuậttốntrêncáckíhiệuthìdễdànghơnviệchiểuthấubảnchấtkháiniệm”(tr.4).

Những ghi nhận nói trên đã dẫn đến một xu hướng khá phổ biến trong DH GT
ởbậc THPT – xu hướng đại số hoá GT. Theo xu hướng này, người ta không chú
trọngvào yêu cầu hiểu khái niệm mà chỉ tập trung vào các tính tốn đại số (theo quy tắc,
chẳnghạn như đạo hàm của hàm hợp hay tích phân từng phần), nhằm mục đích tránh cho
HSphảiđươngđầuvớinhữngkhókhăncủaphươngphápGT.Dùcóthểgiúpngườihọcthành thạo trong tính tốn hay
giải quyết những dạng tốn theo quy trình có sẵn, xuhướng DH này vẫn vấp phải sự
phê phán từ nhiều nhà giáo dục tốn học. Họ cho rằngđó khơng phải là DH GT, bởi lẽ
người học có thể khơng thật sự hiểu được ý nghĩa vàcấu trúc của các khái niệm cũng
như những kĩ thuật mà mình đang sử dụng. Zandieh(2000) đưa ra thuật ngữ “giả khái
niệm” để nói về điều này. Tall (1993) cũng cho rằngviệc hạ thấp cách hiểu khái niệm
xuống

thành

các

kĩ

thuật

tính

tốn

đại

số

là

một

sựđánhtráovấnđềtrongDHGT.ĐólàcịnchưanóikiểuDHnàycóthểdẫnHSđếnviệcthaotáctrêncá
cđốitượngvơhạnnhưvớicácđốitượnghữuhạncủaĐạisố,từđóphạmphảinhiềusailầm.Nhiềucơngtrìnhnghiên
cứu ở các nền giáo dục khác nhau trên thếgiớiđãxácnhậnmộtsựhiểubiếtkhơngđầyđủcủacảHSphổthơng
lẫnSVđạihọcvềcáckháiniệmcủaGT,dùcácemthểhiệnsựthànhthạođángkểtrongcácnhiệmvụtính tốn (Orton,
1983a;

1983b;

Bezuidenhout,

2000;Jones,2015a;2015b;Wagner,2017).

1998;

Bezuidenhout

và

Olivier,


1.1.2. Ngườihọckhơngvậndụngđượckiếnthứcgiảitíchtrongngữcảnhngồitốnhọc,nóiriên
glàngữ cảnhvậtlí
GTcómộtsứcmạnhthựctiễntolớn.Điềunàythểhiệnởnhữngứngdụngđadạngvà hiệu quả của nó
trongthựctếvànhiềulĩnhvựckhoahọc,đặcbiệtlàVậtlí,vốncómối liên hệ mật thiết nhất với GT trong suốt
lịch sử. Thậm chí theo Kleiner (2001) thìGT là “cơng cụ định lượng chủ yếu cho việc
nghiên cứu các vấn đề khoa học trong bathế kỉ gần đây (…) mà nếu khơng có nó thì
Vật

lí

và

kĩ

thuật

hiện

đại

sẽ

khơng

thể

tồntại”(tr.138).Vìthế,việcDHGTkhơngthểchỉtậptrungvàonhiệmvụgiảicácbàitốntốn học thuần
tmàbỏquacơhộigiúpngườihọcthấyđượcvaitrịcơngcụquantrọngcủa GTtrongVậtlí.
Từ điểm này, nhiều nghiên cứu lại cho thấy người học gặp khó khăn khi vận
dụngkiếnthứcGTmàmìnhđượchọcởlớphọctốnđểgiảiquyếtcácnhiệmvụcủaVậtlí.Chẳng hạn, theo điều tra của
Redish et al. (1996) thì nhiều SV mặc dù có thể sử dụngkiến thức GT để giải quyết
thành

cơng

các

vấn

đề

tốn

học

nhưng

lại

khơng

thể

làmđượcđiềutươngtựtrongngữcảnhvậtlí.NghiêncứucủaJones(2010,2015a)xácnhậnrằngdườn
gnhưkiếnthứctốncủangườihọcđãkhơngđượckíchhoạtthànhcơngtrongcác lớp học khoa học. Vấn đề
khônghẳnlàởsựthiếuhụtkiếnthức.Chẳnghạn,nhưBajracharya và Thompson (2014), hay Ngơ Minh
Đức (2019), đã chỉ ra, kể cả khi cóđầyđủkiếnthứctốnvàvậtlícầnthiết,người
họcvẫngặpkhókhăntrongviệcnốikếtnhữnghiểubiếtnàyđểgiảiquyếtcácvấnđềcủaVậtlíbằngcơngcụGT.Thậm
chí,nhiềuHSkhơngbiếtnhữngkiếnthứcGTcácemđượchọccóứngdụnggìtrong
Vậtlí,khinàovàtạisaonólạiđượcsửdụngtrongnhữngvấnđềđó(López-Gay&Torregrosa,2015). Giải
thíchhiệntượngnày,Jones(2010)nhậnđịnhngunnhânnằmởchỗ“cáckhóahọcGTthànhcơngtrongviệccungcấpchoSVmộtdạng
của kiến thức, dạng cầnthiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học tốn, nhưng lại khơng chuẩn bị cho
việcsửdụngkiếnthứcnàymộtcáchthànhcơngtrongcáclớphọckhoahọc”(tr.2).
1.2. Dạyhọcliên mơn Tốnvà Vậtlí, mộtxuhướngđể khắcphục
Hai vấn đề chính cần giữ lại từ các phân tích ở trên. Thứ nhất, cần tìm một
cáchDHcóthểgiúpHShiểuđầyđủhơnvềbảnchấtkháiniệmvàgiúpcácemlàmquenvớicác kĩ thuật
của

GT.

Thứ

hai,

cần

làm

cho

HS

vận

dụng

được

kiến

thức

GT

vào

Vật

lí,hatralàhiểuđượcnhữngứngdụngđadạngcủaGTxuấthiệntrongchươngtrìnhvậtlíTHPT.Giả
iphápnàogiúpđạtđược haimụctiêunày?


NhiềunhànghiêncứugiáodụcđãtiếnhànhxemxétsựhìnhthànhvàtiếntriểncủaGTtronglịchs
ửđểtìmkiếmnhữngcáchtiếpcậnphùhợphơntrongDH(Kaput,1994;LêThịHồiChâu,2004;Doorman&
VanMaanen,2008;Bressoud,2011).Việcphântích lịch sử cho thấy một mối liên hệ chặt chẽ giữa GT
với những động lực đến từ thựctiễnvàcácngànhkhoahọc.Nóiriêng,đãcómộtgắnkếtvơcùngmậtthiếtgiữaGTvàVậtlí
trongsuốtlịchsử.NhiềuvấnđềmàVậtlíđặtrađãlàđộngcơthúcđẩysựnảysinh và tiến triển các khái niệm của GT.
Ở

chiều

ngược

lại,

cơng

cụ

mà

GT

mang

đếngiúpVậtlígiảiquyếtnhiềuvấnđềcủamình.Mốiquanhệhỗtrợlẫnnhaugiữahaikhoahọcnàyđãtạ
oranhữngbướcpháttriểnvượtbậctronglịchsửvănminhlồingười.Cácnhànghiêncứuchorằngnónênđược

tậndụngtrongviệcDHcáckiếnthứcGTởnhàtrườnghiệnnay.
Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khó khăn kể trên trong việc
hiểuvà ứng dụng các khái niệm của GT: đó là tận dụng sự gắn kết giữa Tốn học và
Vật líhọcvàoqtrìnhDHđểhaimơnhọccóthểhỗtrợlẫnnhau.Hướngnghiêncứunàyđưađến một xu
hướngDHthườngđượcgọilà“tíchhợp(TH)–liênmơn(LM)tốnvàcácmơnkhoahọc1”. Đây là hướng nghiên cứu
mà

theo

Berlin

và

White

(1999)

đã

được

đềcậptừ

đầuthếkỉ20và

cịnđượcquantâmnhiềuhơntrongvàithậpkỉtrởlạiđây.
Nằm trong xu hướng nói trên, nhiều mơ hình bàn về sự gắn kết giữa tốn và
cácmơn khoa học đã được các nhà nghiên cứu xây dựng. Trong đó, người ta thường
nhấnmạnhđếnhaitươngtácLMchủyếusauđây:
1/Toán học – ngữ cảnh khoa học (Math – Science context): khoa học cung

cấpnhững ngữ cảnh, nguyên lí, nội dung đem lại ý nghĩa và lí do ra đời cho khái
niệmtốnhọc.
2/Khoahọc–ứngdụngTốnhọc(Science–
applyMath):nhấnmạnhTốnhọcnhưlàcơngcụgiúpgiảiquyếtcácvấnđềcủacáckhoahọc.
Bịthuhútbởixuhướngnghiêncứutrên,chúngtơiđặtracâuhỏi
xuấtphátsauđây:LàmthếnàotậndụngnhữnggắnkếtgiữaTốnvàVậtlívàoDHGTởtrườngTHP
T,nhằmmanglạinhiềulợiíchhơnchocảhaimơnhọc?CụthểhơnlànhằmgiúpHSvừavượtquađượcnhữngkhókhăntrong
việchiểucáckháiniệmtrừutượngcủaGT,vừa ứngdụng đượcGTvàocácvấn đềcủa Vật lí. Câu hỏi
xuất phát nàychính là

1

Cácmơnkhoahọcởđâychỉnhữngmơnhọcđượcdạytrongchươngtrìnhgiáodụcphổthơngnhư:Vậtlí,Hóa,Sinh,…


độnglựcđưachúngtơiđếnvớihướngnghiêncứuDHmộtsốkháiniệmcủaGTởtrườngTHPTtheocáchti
ếpcậnLM Tốnvà Vậtlí.
1.3. Lựachọnđốitượngtrithức
Những bài học mở đầu về GT phải đi từ một số khái niệm cơ bản là giới hạn,
liêntục, đạo hàm và tích phân. Trong những khái niệm này, chúng tơi lựa chọnhai
kháiniệm đạo hàm và tích phân cho định hướng tiếp cận LM Toán và Vật lí.Lý do
lựachọnđóđượchình thành từ nămluậnđiểmdưới đây.
- Đạo hàm và tích phân, hai khái niệm nền tảng của GT:đạo hàm và tích
phânlà hai trong số những khái niệm nền tảng nhất, thể hiện hai mặt đảo ngược vi
phân

vàtíchphântrongbứctranhtổngthểcủaGTtốnhọc.Nhữngphảnánhtừlịchsửchothấyrằng

việc hiểu được các ý tưởng ẩn dưới hai khái niệm này và phát hiện ra mối quan
hệmậtthiếtgiữachúnglàmộtchặngđườngquantrọngđánhdấusựphátminhraGT.Liệucó thể nói đến GT

mà

bỏ

qua

đạo

hàm

và

tích

phân

hay

khơng?

Câu

trả

lời

là

gì

có

lẽmọingườibiếtvềGTđềuđãrõ.ĐâycũnglàlýdođểhaikháiniệmnàychiếmđượcsựquantâmcủaDH
GT

ở

mọi

nền

giáo

dục

tốn.

Ở

Việt

Nam,

những

nội

dung

liên

quanđếnchúngchiếmmộtthờilượnghọctậplớntrongsuốthainămcuối cấpTHPT.
- Vai trị đạo hàm và tích phân trong các lĩnh vực ngồi tốn học:Sự
quantrọngcủađạohàm,tíchphânkhơngchỉgiớihạntrongphạmviGT,thậmchítrongTốnhọc. Tầm
quantrọngcủađạohàm,tíchphâncịnnằmởnhữngứngdụngrộngrãicủachúngtrongnhiềulĩnhvựcnhưVậtlí,Kinhtế,
…Chínhvaitrịđókhiếnchúngtiếptụctác động vào các bậc giáo dục cao hơn ở đại học, trong đào tạo Toán học – hiển
nhiên,và trong cả các lĩnh vực đào tạo nghề khác. Việc giúp HS cuối cấp THPT hiểu và
sửdụngđượchaikháiniệmnàylàcầnthiếtchocácemvềsau.
- Sự gắn kết giữa đạo hàm, tích phân với Vật lí nhìn từ lịch sử:Xét riêng
tácđộngcủađạohàm,tíchphânvàoVậtlí.Mộtphầnđộnglựcquantrọngchosựrađời
vàtiếntriểncủahaikháiniệmđạohàmvàtíchphânđếntừnhữngvấnđềđặtratrongngànhkhoahọcnày.Saukhi
ra

đời,

hai

khái

niệm

đang

nói

tới

cịn

mang

lại

những

cơng

cụtốnhọcmạnhmẽgiúpVậtlípháttriểnvàgiảiquyếtthêmnhiềuvấnđềkháccủamình.Sựgắnkếtnàyrõ
ràng là nên được phản ánh trong việc DH hai khái niệm đạo hàm vàtíchphânởtrường THPT nếunhìntừ
lợiíchcủacảhaimơnhọc.
- Đạo hàm và tích phân, cơng cụ tốn học cho nhiều vấn đề của Vật lí
THPT:Tiếp tục luận điểm trên, chúng tơi đã xem xét chương trình vật lí THPT ở
Việt Nam vàtìmthấynhiềuvấnđềmàviệcgiảiquyếtchúngcầnđếncơngcụđạohàm,tíchphân.Có


thểkểrađâynhữngbài tốncầnsửdụngđạohàmnhư:tìmvậntốctứcthời,giatốctứcthời,cườngđộdịng
điện,suấtđiệnđộngcảmứng,…Cácbàitốnsửdụngtíchphân:tìm độ dời khi vận tốc biến đổi, tìm độ thay
đổi

vận

tốc

khi

biết

gia

tốc,

tìm

cơng

củalựcbiếnđổi,…

VànếunhưvậythìviệcDHhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânởmơnTốncầnphảitínhđếnnhiệmv
ụgiúpđỡchoHSvậndụnghatralàhiểuđượcnhữngứngdụngđadạngcủahaikháiniệmnàytrong
cácbàitốnvậtlí vừakểtrên.
- Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết:Lí do cuối cùng giải thích
choviệcchọnđồngthờicảhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânnằmởmốiliênhệđảongượcmật thiết giữa
chúng,thểhiệnquađịnhlýcơbảncủaGT.Chínhnhờmốiquanhệđảongược này mà ứng với một vấn đề của Vật
lí có thể được giải quyết với công cụ đạohàm, người ta ln tìm được một vấn đề
“ngược lại” mà ở đó tích phân là phương tiệntìm lời giải. Chúng tơi gọi đây là hai bài
tốn thuận – nghịch. Vì thế, việc nghiên cứusong hành hai đối tượng đạo hàm và tích
phân

trong

sự

gắn

kết,

theo

cách

tiếp

cận

LMgiữaGTvới

Vậtlícóthểsẽgiúphaikháiniệmnàysoisánglẫnnhau.
Sựlựachọnnàyxácđịnhđốitượngnghiêncứucủachúngtơilà:DHkháiniệmđạohàmvàtíchphâ
ntheoquanđiểmliênmơnTốn–VậtlíchoHSTHPT.
2. TỔNGQUAN VỀ VẤNĐỀ NGHIÊNCỨU
Từ câu hỏi xuất phát đặt ra và hướng nghiên cứu đã chọn, nghiên cứu tổng
quancủa chúng tơi sẽ tìm hiểu trước tiên về cách hiểu của người học về đạo hàm, tích
phânvànhữngkhókhăntrongviệcứngdụngchúngvàoVậtlí.Tiếpđó,chúngtơisẽxemxétcáckếtqu
ảnghiêncứuđãcóvềsựhỗtrợlẫnnhaugiữahaimơnhọcTốnvàVậtlíliênquanđếnhaikháiniệmđạo
hàm,tíchphân.VàcuốicùnglàtổnghợpcácnghiêncứuvềDH liên mơn trong và ngồi nước cũng như một số
chươngtrìnhDHliênmơngiữaGTvàVậtlíđãđượcxâydựngtrênthếgiới.
2.1. Cáchhiểucủangườihọc vềhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân
2.1.1. Cáchhiểu củangườihọcvềkháiniệmđạohàm
Orton(1983a)làmộttrongnhữngngườiđầutiêntiếnhànhnghiêncứuvềcáchhiểucủa người học về
khái niệm đạo hàm. Ông nhận thấy đa số HS và SV tham gia thựcnghiệm(TN)thànhthạovớicácnhiệmvụ
ucầutínhtốnhoặcápdụngcác quytrìnhquenthuộcđểgiảiquyết.Tuynhiênngườihọclạichothấymộtsựthiếuhụt
trongkiếnthứcvềkháiniệm,đặcbiệtlàquanniệmđạohàmtheotốcđộbiếnthiêntứcthờivàđộ


dốc2của tiếp tuyến. Orton cho rằng nguyên nhân là ở cách hiểu nghèo nàn của
ngườihọcvềgiớihạncũngnhưvềtỉsốvàtỉlệcủasự thayđổi.
Việc người học không nhận ra được sự liên hệ giữa đạo hàm với ý nghĩa tốc
độbiếnthiêncịnđượcxácnhậnbởinhiềutácgiảkhác(Bezuidenhout,1998;Bingolbalietal.,
Hankiưniemi,

2006;

Sahin

et

al.,

2015).

Chẳng

hạn,

Sahin

et

al.

2007;

(2015)

chỉ

rarằngmặcdùHSbiếtđếnđịnhnghĩahìnhthứccủađạohàmlàgiớihạncủatỉsaiphân
f ' x l i m  f
   x0x nhưngkhơngthểgiảithíchđượcsựliênquangiữanóvớiýnghĩa



tốc độ biến thiên tức thời. Hankiưniemi (2006) cũng nhận thấy khó khăn mà người
họcgặp phải với khái niệm giới hạn để hiểu được cách mà tốc độ biến thiên trung bình tiếnđếntốcđộ biếnthiên
tứcthờihaycách màđộdốccáttuyếndầnđếnđộdốctiếptuyến.
Thompson (1995), sau đó là White và Mitchelmore (1996) đã tìm ra một
trongnhữngngunnhânquantrọnggiảithíchchokhókhănmàngườihọcgặpphảivớikháiniệm
đạo hàm là ở cách hiểu về khái niệm hàm số của mình. Họ thường chỉ xem
hàmsốnhưmộtđốitượngtĩnhvàcácbiếnlànhữngkíhiệuđểthaotáchaytínhtốn.Trongkhiđó,the
ocáctácgiảnàythìđặctrưngbiếnthiênđồngthời củahàmsố(sựbiếnthiêncủabiếnsốkéotheosựbiếnthiên
củahàmsố)mớilàđiềuthenchốtđểpháttriểncáchhiểuvề đạohàmnhư làtốcđộthayđổi.
Một số nghiên cứu trong nước còn chỉ ra sự thiếu hụt trong quan niệm của
HSTHPT với cách hiểu đạo hàm theo nghĩa tốc độ biến thiên và sự xấp xỉ hàm số bởi
tiếptuyến(NgơMinhĐức,2013;2016)haykhókhăncủaHStrongviệckếtnốinhữngcáchhiểu khác
nhau

của

đạo

hàm

vào

cùng

một

khái

niệm

(Lê

Thị

Hồi

Châu,

2014).

Bêncạnhđó,mộtnghiêncứugầnđâycủaLêThịBạchLiênvàTrầnKiêmMinh(2020)cịnchothấym
ộthiểubiếtchưađầyđủcủanhiềuSVngànhsưphạmtốnvềkháiniệmđạohàm. Sự thiếu hụt kiến thức này
khiến

cho

đa

số

SV

trong

thực

nghiệm

của

các

tác

giảkhơngvậndụngđượcđạohàmđểgiảiquyếtthànhcơngmộtbàitốncóngữcảnhvậtlímàđịihỏiphải
phốihợpđượcýnghĩavậtlívàýnghĩahìnhhọccủatrithứcđangđềcập.

2

TrongnhiềutàiliệuvềDHGTtrênthếgiới,thuậtngữ“độdốc”(slope)củađườngthẳngđượcsửdụngvớinộihà
mgiốngnhưthuậtngữ“hệsốgóc”trongSGKtốnở ViệtNam.


2.1.2. Cáchhiểucủangườihọcvềkháiniệmtíchphân
Bezuidenhout và Olivier (2000), Jones (2015a, 2015b) kết luận rằng đa số
ngườihọc chỉ sở hữu một cách hiểu hạn chế về tích phân. Kiến thức điển hình người
học

biếtthường gói gọn trong những quy trình tính tốn theo hiệu giá trị ngun hàm hoặc

ýnghĩahìnhhọccủatíchphânnhưlàdiệntíchhìnhdướiđườngcong.Trongkhiđócáchhiểutíchphâ
ntheogiớihạntổngRiemannmớiđượcxemlàcógiátrịnhấtchoviệchiểubảnchấtvàcácứngdụngcủatíchphân.
Tuynhiên,nhiềunghiêncứuchothấyngườihọc gặp một khó khăn lớn trong việc hiểu tích phân như
giới hạn của một tổng. Chẳnghạn, Rasslan và Tall (2002) tiến hành kiểm tra cách hiểu
của

một

số

HS

THPT

về

kháiniệmtíchphân.MặcdùcácHSnàyđãđượctiếpcậntíchphântừphươngpháptínhxấpxỉ diện tích
bằngcáctổngtronglớphọctốn,thếnhưngkhơngcólờigiảithíchnàovềtích phân liên quan đến giới hạn hay tổng
Riemann

xuất

hiện

trong

kết

quả

TN.

Thayvàođó,cácHSchỉgiảithíchtíchphânnhưdiệntích,hiệuhaingunhàmhoặcquamộtvídụtínhtốn
cụ

thể.

Dường

như

quan

niệm

tích

phân

theo

giới

hạn

tổng

Riemann

rấtkhóđượcxâydựnghoặcgợiratrongnhậnthứccủangườihọc.
SựthiếuhụtcáchhiểutíchphântheocấutrúctổngRiemannthậmchícịnphổbiếnvớiđốitượnglàSV
các

trường

đại

học

như

đã

được

kiểm

chứng

bởi

những

nghiên

cứucủa:Orton,1983b;Jones,2015b;Sealey,2014;Wagner,2017.Cáctácgiảnàychorằngngun nhân là
docấutrúcphứctạpcủađịnhnghĩatíchphântheotổngRiemanncũngnhư chướng ngại đến từ một khái niệm
khác – khái niệm giới hạn. Một nguyên nhânkhác được Jones et al. (2017) chỉ ra nằm
ở ngữ cảnh hình học mà các sách giáo khoa(SGK) hay giáo trình GT truyền thống sử
dụng

để

giới

thiệu

khái

niệm

tích

phân.

Ơngchorằngtrongngữcảnhcủabàitốndiệntíchdướiđườngcong,ngườihọccóxuhướngxem việc lập
tổngRiemannchỉnhưmộtquytrìnhtínhtốndiệntíchthayvìnhậnrađược bản chất của khái niệm ẩn đằng sau
phương pháp tính tốn đó. Hơn nữa, sau khimối quan hệ giữa tích phân và nguyên
hàm được thiết lập, việc tính tốn diện tích lạiđược quy về một quy trình đơn giản là
đảo

ngược

phép

lấy

đạo

hàm.

Từ

đó,

quan

niệmtíchphântheogiớihạntổngRiemanncóthểdầntrởnênmờnhạtvàkhóđượckíchhoạthaycủngcố
trongnhậnthứcngườihọcvìhọkhơngcịnbấtcứlídogìđểthiếtlậpnhữngtổngnhư vậy.

2.1.3. Khókhăncủangườihọcvớiviệchiểumốiquanhệgiữađạo hàmvàtíchphân
MốiquanhệđảongượcgiữađạohàmvàtíchphânthểhiệntrongđịnhlícơbảncủaGT(từnaysẽviế
tgọnlàđịnhlícơbản)làmộttrongnhữngpháthiệnquantrọngvàhữu