CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ
Tổng hợp dạng và các bài toán liên quan
Lovebook.vn sưu tầm và giới thiệu
29/10/2013
Phạm Hồng Phong

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 1
Mục lục
§1. Các phương pháp tìm cực trị 2
A. Tóm tắt lý thuyết 2
B. Một số ví dụ 3
C. Bài tập 5
D. Đáp số 5
§2. Cực trị của hàm bậc ba 7
A. Tóm tắt lý thuyết 7
B. Một số ví dụ 7
C. Bài tập 10
D. Đáp số 11
§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương 12
A. Tóm tắt lý thuyết 12
B. Một số ví dụ 12
C. Bài tập 15
D. Đáp số 15

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§1. Các phương pháp tìm cực trị
A. Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho
:fD
và
0
xD
.
a)
0
x
được gọi là một điểm cực đại của
f
nếu tồn tại khoảng
 
;ab
sao cho
 
       
0
00
;
;\
x a b D
f x f x x a b x




  



.
b)
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của
f
nếu tồn tại khoảng
 
;ab
sao cho
 
       
0
00
;
;\
x a b D
f x f x x a b x




  


.
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
0

x

 
0
fx

 
 
00
;x f x

Điểm cực đại của
f

Giá trị cực đại (cực đại) của
f

Điểm cực đại của đồ thị hàm số
f

Điểm cực tiểu của
f

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của
f

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f

Điểm cực trị của

f

Cực trị của
f

Điểm cực trị của đồ thị hàm số
f

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
f
có đạo hàm tại
0
x
. Khi đó: nếu
f
đạt cực trị tại
0
x
thì

 
0
'0fx
.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
 Nếu
 
'fx

đổi dấu từ dương sang âm khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực đại tại
0
x
;
 Nếu
 
'fx
đổi dấu từ âm sang dương khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
b) Quy tắc 2:

 

 
0
0
'0
"0
fx
fx










f
đạt cực đại tại
0
x
;

 
 
0
0
'0
"0
fx

fx










f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 3
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
32
14
3
33
y x x x   
.
Giải. Hàm số có TXĐ

,
2

' 2 3y x x  
,
'0y 



1x 
hoặc
3x 
.
Bảng biến thiên:
+
∞
-
∞
f
x
( )
f '
x
( )
+
+
_
0
0
-
23
3
3

+
∞
3
-1
-
∞
x

Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại
1x 
, giá trị cực đại
tương ứng là
 
13y 
; hàm số đạt cực tiểu
tại
3x 
, giá trị cực tiểu tương ứng là
 
23
3
3
y 
.
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
 
2y x x
.
Giải. Hàm số có TXĐ


. Ta có
 
2
2y x x



 
 
2
2
'2
xx
x
y x x
xx

   
(
0x 
).
Ta thấy với mọi
0x 
, dấu của
'y
chính là dấu của tam thức bậc hai
2
xx
. Nên ta có bảng

biến thiên của hàm số như sau:
+
∞
-
∞
y
y'
+
+
_
0
0
1
+
∞
0
-1
-
∞
x

Kết luận: hàm số đạt cực đại tại
1x 
, giá trị cực
đại tương ứng là
 
11y 
; hàm số đạt cực tiểu
tại
0x 

, giá trị cực tiểu tương ứng là
 
00y 
.
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
32
14
3
33
y x x x   
.
Giải. TXĐ

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 4

2
' 2 3y x x  
,
'0y 



1x 
hoặc
3x 
.

" 2 2yx

,
+)
 
" 1 4 0y    


hàm số đạt cực đại tại
1x 
, giá trị cực đại tương ứng là
 
13y 
;
+)
 
" 3 4 0y 


hàm số đạt cực tiểu tại
3x 
, giá trị cực tiểu tương ứng là
 
23
3
7
y 
.
Ví dụ 4. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
sin2 2y x x  
.
Giải. TXĐ


.

' 1 2cos2yx
,
'0y 



1
2
cos2x 



22
3
xk


  



6
xk


  

(
k 
).

" 4sin2yx
,
+)
4sin 2 2 3 0
63
y k k


   

    
   
   


hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
6
xk



, giá trị cực tiểu tương ứng là
6
3
2
62

y k k




    


.
+)
4sin 2 2 3 0
63
y k k


   

       
   
   


hàm số đạt cực đại tại các điểm
6
xk



, giá trị cực tiểu tương ứng là
3

2
6 6 2
y k k



      


.
Ví dụ 5. [SGK] Tìm
a
,
b
,
c
sao cho hàm số
32
y ax bx cx d   
đạt cực tiểu tại điểm
0x 
,
 
00y 
và đạt cực đại tại
1x 
,
 
11f 
.

Giải. Ta có
22
' 3 2y ax bx c  
. Từ giả thiết suy ra
 
 
 
 
' 0 0
00
' 1 0
11
y
y
y
y














0
0
3 2 0
1
c
d
a b c
a b c d






  


   



2
3
0
0
a
b
c
d












.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 5
Khi đó
32
23y x x  
,
2
' 6 6y x x  
,
" 12 6yx  
. Ta có
 
" 0 6 0y 


hàm số đạt cực
tiểu tại
0x 
,

 
" 1 6 0y   


hàm số đạt cực đại tại
1x 
(thỏa mãn). Vậy
2a 
,
3b 
,
0c 
,
0d 
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
1)
32
2 9 12 3y x x x   
;
2)
32
5 3 4 5y x x x    
;
3)
4 3 2
3 4 24 48 3y x x x x    
;
4)

9
3
2
yx
x
  

;
5)
2
2
8 24
4
xx
y
x



;
6)
2
4
x
y
x


;
7)

3y x x
;
8)
2
22y x x  
;
9)
2
sin 3cosy x x
;
10)
2sin cos2y x x
.
Bài 2. Tìm
a
,
b
,
c
để hàm số
32
y x ax bx c   
đạt cực tiểu tại
1x 
,
 
13y 
và đồ thị
của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2

.
Bài 3. Tìm
p
,
q
sao cho hàm số
1
q
y x p
x
  

đạt cực đại tại điểm
2x 
và
 
22y   
.
D. Đáp số
Bài 1 Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực đại tại điểm
1x 
,
 
18y 
và đạt cực
tiểu tại điểm
2x 
,
 
27y 

; Error! Reference source not found. Hàm số nghịch biến trên
nên không có cực trị; Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x 
,
 
2 115y   
và
2x 
,
 
2 13y 
, đạt cực đại tại điểm
1x 
,
 
1 20y 
; Error! Reference
source not found. Hàm số đạt cực đại tại điểm
1x 
,
 
17y   
và đạt cực tiểu tại điểm
5x 
,
 
55y 
; Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại

điểm

1x 
,
 
15y 
và đạt cực đại tại điểm
4x 
,
 
42y 
; Error! Reference source not found. Hàm số
đạt cực tiểu tại

điểm
2x 
,
 
1
2
4
y   
và đạt cực đại tại điểm
2x 
,
 
1
4
4
y 
; Error!
Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại

điểm
1x 
,
 
15y 
và đạt cực đại tại điểm
4x 
,
 
42y 
. Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x 
,
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 6
 
1
2
4
y   
, đạt cực đại tại điểm
2x 
,
 
1
2
4
y 
; Error! Reference source not found. Hàm số

đạt cực tiểu tại các điểm
2xk


,
 
2 2 3yk


và
2xk


,
 
2 2 3yk

  
. Hàm
số đạt cực đại tại các điểm
5
2
6
xk


  
,
51
2

62
yk



   


; Error! Reference source not
found. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
2
2
xk



,
21
2
yk






và
2
2
xk



  
,
23
2
yk



   


. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
2
6
xk



,
3
2
62
yk







và
5
2
6
xk



,
53
2
62
yk






. Bài 2
3a 
,
9b 
,
2c 
. Bài 3
1pq
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 7
§2. Cực trị của hàm bậc ba
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hàm
 
32
y ax bx cx d C   
(
0a 
).
1. Điều kiện có cực trị
 Hàm số có cực trị

hàm số có hai cực trị


 
C
có cực trị


 
C
có hai điểm
cực trị


'y
có hai nghiệm phân biệt.


f
không có cực trị


'0
.
2. Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị
hàm số
Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'y
để có:
 
'y p x y ax b  
.
Từ đây suy ra:

0
x
là điểm cực trị của hàm số


 
0
'0yx



 

00
y x ax b
.

: y ax b  
là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của
 
C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
m
để hàm số
 
32
2 3 5y m x x mx    
có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có
 
2
' 3 2 6y m x x m   
.
y

có cực đại, cực tiểu thì trước hết
20m


2m 
. (1)

Khi đó
'y
là tam thức bậc hai có
 
2
' 3 2 3mm    
.
y

có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
'0


2
2 3 0mm  



31m  
. (2)
Kết hợp với
 
1
và
 
2
ta có những giá trị của
m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là

   
3; 2 2;1m    
.
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2
22
2 3 1
33
y x mx m x    
có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
sao cho
 
1 2 1 2
21x x x x  
.
Giải. Ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 8
   
2 2 2 2
' 2 2 2 3 1 2 3 1y x mx m x mx m       
,

 
22
31t x x mx m   
là tam thức bậc hai có
2
13 4m  
. Do đó hàm số có hai điểm cực trị
khi và chỉ khi
'y
có hai nghiệm phân biệt


 
tx
có hai nghiệm phân biệt


0


2 13
13
2 13
13
m
m









. (1)
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
 
tx
nên theo định lý Vi-ét, ta có
12
2
12
31
x x m
x x m



  

.
Do đó
 
1 2 1 2

21x x x x  



2
3 2 1 1mm   



2
3 2 0mm  



0
2
3
m
m






.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
2
3
m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      
có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Giải. Ta có
   
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 12y x x m x x m       
,
 
22
2 1mtx xx 
là tam thức bậc hai có
2
' m
. Do đó:
y
có cực đại cực tiểu


'y
có
hai nghiệm phân biệt



 
tx
có hai nghiệm phân biệt


'0


0m 
. (1)
Khi đó
'y
có các nghiệm là:
1 m


tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
3
1 ; 2 2A m m  
và
 
3
1 ; 2 2B m m  
. Ta có
 
3
1 ; 2 2OA m m  



 
 
2
2
23
1 4 1OA m m   
;
 
3
1 ; 2 2OB m m  



 
 
2
2
23
1 4 1OB m m   
.
A
và
B
cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
OA OB


22
OA OB


 
 
 
 
22
22
33
1 4 1 1 4 1m m m m      



3
4 16 0mm  



0
1
2
m
m







.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 9
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
1
2
m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
33y x mx m  
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao
cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
48
.
Giải. Ta có
 
2
' 3 6 3 2y x mx x x m   
,
'0y 



0
2
x
xm





.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
20m 



0m 
. (1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
3
0;3Am
,
 
3
2;B m m
. Ta có:


 
3
0;3OA m



3
3OA m
. (2)
 Ta thấy
A Oy



OA Oy



   
, , 2d B OA d B Oy m
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
4
1
;3
2
OAB
S OA d B OA m   
.

Do đó:
48
OAB
S 



4
3 48m 



2m 
(thỏa mãn (1)).
Ví dụ 5. Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực
trị của đồ thị hàm số
32
3 6 8y x x x   

 
C
.
Giải. Ta có
 
22
' 3 6 6 3 2 2y x x x x     
.
Vì
 
2

22t x x x  
có
' 3 0  
nên
 
tx
có hai nghiệm phân biệt, suy ra
'y
có hai nghiệm
phân biệt. Do đó
 
C
có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của
'y
là
12
1 3 1 3xx    
.
'y
đổi dấu từ dương sang âm khi
x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại,
'y
đổi dấu từ âm sang dương khi

x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại.
Thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
ta được
   
1 6 6y x t x x   
.
Suy ra:
 
11
66y x x  
(vì
 
1
0tx 
)


 
 

1
6 1 3 6 6 3yx     


tọa độ điểm cực đại của
 
C
là
 
1 3;6 3
.
Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của
 
C
là
 
1 3; 6 3
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 10
Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của
 
C
cùng thỏa mãn phương trình
66yx  
nên phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
66yx  
.
Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia

y
cho
'y
, ta thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
đơn giản
hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì
'y
và
 
tx

có cùng tập nghiệm.
Ví dụ 6. [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
 
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m      
.
Giải. Ta có
   
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 2 1y x mx m x mx m         
.
Tam thức bậc hai
 
22
21t x x mx m   

có
' 1 0  
nên
 
tx
có hai nghiệm phân biệt và đổi
dấu tiên tiếp khi
x
đi qua hai nghiệm này. Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu.
Thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
ta có
   
2
2y m x t x x m m    
. Giả sử
0
x
là điểm cực trị
nào đó của hàm số, ta có
     
22
0 0 0 0 0
22y x m x t x x m m x m m       
(do
 
0

0tx 
).
Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2
2y x m m  
.
Nhận xét. Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng. Do đó,
có thể áp dụng phương trình đường
C. Bài tập
Bài 1. Cho
 
32
3 1 1y mx mx m x    
. Tìm
m
để các hàm số có cực trị và các điểm cực trị
đều âm.
Bài 2. Cho
32
2 12 13y x mx x   

 
m
C
.
1) Chứng tỏ rằng với mọi
m
,
 
m

C
luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi
1
x
,
2
x
là hoành độ
các điểm cực trị của
 
m
C
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  
22
1 2 1 2
11S x x x x    
.
2) Tìm
m
để các điểm cực đại, cực tiểu của
 
m
C
cách đều trục tung.
Bài 3. Cho
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      

 
m
C
.
1) Tìm
m
để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
2) Tìm
m
để
 
m
C
có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng
25
.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
32
3 2 1y x x x    
;
2)
32
25y x x x   
;
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 11
3)
32
2 10 3 1y x x x    

.
Bài 5. Tìm
m
để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
 
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m    
;
2)
 
 
 
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m       
.
Bài 6. Tìm
m
để đồ thị hàm số
1)
   
32
2 3 1 6 2 1y x m x m x     
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
41yx  
;
2)
   

32
2 3 1 6 1 2y x m x m m x    
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng
4yx
;
3)
32
73y x mx x   
có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại,
cực tiểu vuông góc với đường thẳng
37yx
;
4)
 
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m      
có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại
cực tiểu và điểm
 
1;0M
thẳng hang;
5)
3 2 2
3y x x m x m   
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
15
22
yx
;
6)

 
32
11
1
32
y x m x mx   
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
72 12 35 0xy  
.
D. Đáp số
Bài 1
1
1
4
m
. Bài 2 1)
19
min
4
A 
, đạt được


3
2
m 
; 2)
0m 
. Bài 3 1)
1m



1m 
; 2)
1m
. Bài 4 Error! Reference source not found.
21
33
yx
; Error! Reference
source not found.
7 89
9 18
yx  
; Error! Reference source not found.
68 29
3
99
yx   
.
Bài 5 Error! Reference source not found. Hàm số có cực đại, cực tiểu
m
, phương trình
đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2y x m  
. Error!
Reference source not found. Hàm số có cực đại, cực tiểu

35

2
m





35
2
m


,
phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2 3 2
2 2 2 8 8 2
2
3 3 3 3 3 3
y m m x m m m

       


.
Bài 6 1)
5m 
; 2)
1m 
; 3)
3 10

2
m


; 4)
1m 



2m 
; 5)
0m 
; 6) vô nghiệm.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 12
§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Xét hàm
 
42
f x ax bx c  
(
0a 
). Ta có
 
 
32
' 4 2 4
2
tx

b
f x ax bx ax x
a

   


.
Trường hợp 1:
0ab 
. Khi đó
 
tx
vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
0x 



 
'fx
có
nghiệm duy nhất
0x 
và
 
'fx
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0



f
chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2:
0ab 
. Khi đó
 
tx
có hai nghiệm phân biệt khác
0



 
'fx
có ba nghiệm
và
 
'fx
đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua ba nghiệm này


f
ba cực trị.
2. Một số kết quả cụ thể:


f
có một cực trị


0ab 
;

f
có ba cực trị


0ab 
;

f
có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu


0
0
a
b





;

f

có đúng một cực trị và cực trị là cực đại


0
0
a
b





;

f
có hai cực tiểu và một cực đại


0
0
a
b





;

f

có một cực tiểu và hai cực đại


0
0
a
b





.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm
m
để hàm số
 
4 2 2
9 10y mx m x   
có
3
điểm cực trị.
Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc
4
, tức là
0m 
. Ta có
 
 

 
2
3 2 2
9
2
' 4 2 9 4
m
m
tx
y mx m x mx x

    
.
Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 13
'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



2
9
0
2
m
m





 
2
90mm



03
3
m
m





.

Ví dụ 2. Tìm
m
để hàm số
 
42
3
1
2
y m x mx   
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải. Ta xét hai trường hợp sau đây:

10m



1m
. Khi đó
2
3
2
yx


hàm số chỉ có cực tiểu (
0x 
) mà
không có cực đại


1m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

10m



1m 
. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc
4
có
   
 
32
' 4 1 2 4 1
21
m
y m x mx m x x
m

     



.
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại


'y
có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

dương khi
x
đi qua nghiệm này


 
 
4 1 0
0
21
m
m
m
  









10m  
.
Kết hợp những giá trị
m
tìm được, ta có
10m  
.

Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số
 
42
21y x m x m   
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị
A
,
B
,
C
sao cho
OA BC
; trong đó
O
là gốc tọa độ,
A
là điểm cực trị thuộc trục tung,
B
và
C
là hai điểm cực trị còn lại.
Giải. Ta có
   
 
32
' 4 4 1 4 1
tx

y x m x x x m

     

.
Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



10m



1m
.
 

*

Khi đó, ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 14
'0y 



0
1
1
x
xm
xm



  







 
 
 
2

2
0;
1; 1
1; 1
Am
B m m m
C m m m



    



   

,
(vai trò của
B
,
C
trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử
 
2
1; 1B m m m   
,
 
2
1; 1C m m m    
).

Ta có
 
0;OA m



OA m
;
 
2 1;0BC m



21BC m
.
Do đó

OA BC



21mm



2
4 4 0mm  
(
'8
)



28m 
(thỏa mãn
 
*
).
Vậy
28m 
.
Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
 
4 2 2
21y x m x m   
có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Giải. Ta có
   
 
32
' 4 4 1 4 1
tx
y x m x x x m

     

.
Đồ thị hàm số có

3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



10m


1m
.
 
*

Khi đó, ta có
'0y 



0
1
1
x
xm
xm



  




.
Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
2
0;Am
,
 
1; 2 1B m m   
,
 
1; 2 1C m m  
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 15
Ta thấy
A Oy

,
B
và
C
đối xứng nhau qua
Oy
nên tam giác
ABC
cân tại
A
. Do đó tam giác
chỉ có thể vuông tại
A
.
Ta có
 
 
2
1; 1AB m m   
,
 
 
2
1; 1AC m m  



   
4
. 1 1AB AC m m   

.
Tam giác
ABC
vuông khi và chỉ khi
0ABAC 



   
4
1 1 0mm   



   
3
1 1 1 0mm

   




10
11
m
m









1
0
m
m





, kết hợp với điều kiện
 
*
ta có
0m 
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm
m
để hàm số
 
42
1 1 2y x m x m    
chỉ có đúng một cực trị.
Bài 2. Cho hàm số
4 2 4

– 2 2y x mx m m  
(
m
là tham số). Tìm
m
để
1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông.
2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng
2012
đơn vị
diện tích.
Bài 3. [DHA04] Cho hàm số
4 2 2
21y x m x  
. Tìm
m
để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và cực tiểu của
 
C
lập thành một tam giác vuông cân.
Bài 4. Cho hàm số
 
42
3 1 2 1y x m x m    
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có các điểm cực đại,
cực tiểu

A
,
B
,
C
sao cho ba điểm này cùng với
 
7;3D
cùng thuộc một đường tròn.
D. Đáp số
Bài 1
1m 
. Bài 2 1)
3
4
4
m 
; 2)
3
2 18
3
m 
; 3)
2
5
503
4




. Bài 3
1m 
. Bài 4
3m 
.
Lovebook.vn vinh dự là đơn vị duy nhất phân phối bộ sách do thủ khoa GSTT GROUP biên soạn.
Với bộ sách độc này, các em học sinh hoàn toàn có thể yên tâm về việc luyện đề của mình. Bộ sách là
tổng hợp kiến thức và kinh nghiệm của đội ngũ hơn 10 thủ khoa GSTT GROUP. Không chỉ có sách,
các em còn được tặng 1 cuốn sổ tay nhỏ để sử dụng trong quá trình luyện đề. Hãy liên hệ với chúng
tôi để có được bộ tài liệu độc này:
Website:
Facebook:
SĐT: 0466.860.849
Địa chỉ: Số 16, ngõ 61 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội