Cực trị của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.26 KB, 28 trang )
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D
(
)
( )
a ) x 0 ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa ñiểm x 0 sao cho
(a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) với mọi x ∈ (a;b ) \ {x } . Khi ñó f (x ) ñược gọi là giá trị cực ñại của
0
0
0
hàm số f .
( )
b ) x 0 ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa ñiểm x 0 sao cho
(a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) với mọi x ∈ (a;b ) \ {x } . Khi đó f (x ) được gọi là giá trị cực tiểu của
0
0
0
hàm số f .
Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị
Nếu x 0 là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x 0 .
(
Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp D D ⊂ ℝ
)
2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị:
ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x 0 . Khi đó , nếu f có đạo hàm tại ñiểm x 0 thì f ' x 0 = 0
( )
Chú ý :
• ðạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x 0 nhưng hàm số f khơng ñạt cực trị tại ñiểm x 0 .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm .
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm
số khơng có đạo hàm .
3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị:
ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a;b chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng
( )
(a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó :
f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )
a ) Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại ñiểm x
f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )
0
0
0
0
0
0
( )
. Nói một cách khác , nếu f ' x ñổi
0
dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x 0 .
x
( )
f (x )
f' x
x0
a
b
−
+
()
()
f a
f b
( )
f x0
( )
( )
(
(
)
)
f ' x > 0, x ∈ a; x
0
0
b ) Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 . Nói một cách khác , nếu f ' x ñổi
f
'
x
0,
x
x
;
b
<
∈
0
0
dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm x 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 .
( )
-41-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
x
a
x0
b
( )
f (x )
+
f' x
−
( )
f x0
()
()
f a
f b
( )
( )
ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa ñiểm x 0 , f ' x 0 = 0 và f có đạo
hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm x 0 .
( )
Nếu f '' ( x ) > 0 thì hàm số f
a ) Nếu f '' x 0 < 0 thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm x 0 .
b)
0
ñạt cực tiểu tại điểm x 0 .
4. Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2
( )
• Tìm f ' x
(
)
Xét dấu của f ' ( x ) . Nếu f ' ( x ) ñổi dấu khi x qua điểm x
• Tìm các điểm x i i = 1, 2, 3... tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
•
0
thì hàm số có cực trị tại điểm x 0 .
Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3
• Tìm f ' x
( )
(
)
( )
Với mỗi x tính f '' ( x ) .
Nếu f '' ( x ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x .
Nếu f '' ( x ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x .
• Tìm các nghiệm x i i = 1, 2, 3... của phương trình f ' x = 0 .
•
−
−
i
i
i
i
i
i
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số :
1
5
a ) f x = x 3 − x 2 − 3x +
3
3
b) f x = x x + 2
( )
( )
(
( ) x (x − 3 )
f (x ) = x
c) f x =
)
d)
Giải :
1 3
5
x − x 2 − 3x +
3
3
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
( )
a) f x =
( )
Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3
Cách 1. Bảng biến thiên
x
−∞
−1
f' x
+
0 −
( )
3
0
10
3
( )
f x
−∞
( )
f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3
+∞
+
+∞
−
22
3
-42-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
10
22
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1, f −1 =
, hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 3, f 3 = −
3
3
Cách 2 : f '' x = 2x − 2
( )
()
( )
( )
( )
Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm số ñạt cực đại tại điểm x = −1, f −1 =
()
()
Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 3, f 3 = −
(
)
10
.
3
22
.
3
x x + 2 khi x ≥ 0
b) f x = x x + 2 =
−x x + 2 khi x < 0
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ .
2x + 2 > 0 khi x > 0
Ta có f ' x =
f ' x = 0 ⇔ x = −1
−2x − 2 khi x < 0
Hàm số liên tục tại x = 0 , khơng có đạo hàm tại x = 0 .
Bảng biến thiên
x
−∞
−1
0
+∞
f' x
+
0
−
+
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
f (x )
+∞
1
−∞
0
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1, f −1 = 1 , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0, f 0 = 0
( )
( )
(
c) f x =
x x −3
()
)
(
)
x x − 3 khi x ≥ 0
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . f x =
.
−x x − 3 khi x < 0
3 x − 1
khi x > 0
2 x
Ta có f ' x =
f' x =0⇔x =1
3 − x + −x > 0 khi x < 0
2 −x
( )
(
( )
f (x )
)
)
( )
x
f' x
(
( )
−∞
0
+
−
1
0
+
+∞
0
−∞
+∞
−2
()
()
Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x = 0, f 0 = 0 , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm x = 1, f 1 = −2
( )
d) f x = x
-43-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
x khi x ≥ 0
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . f x =
.
−x khi x < 0
1 khi x > 0
Ta có f ' x =
−1 khi x < 0
Bảng biến thiên
x
−∞
0
+∞
f' x
−
+
( )
( )
( )
f (x )
+∞
+∞
0
Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x = 0, f 0 = 0
()
Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau :
( )
f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x
( )
f ( x ) = x − sin 2x + 2
a) f x = x 4 − x 2
c) f x = 2 sin 2x − 3
b)
d)
Giải :
( )
a) f x = x 4 − x 2
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn −2;2
4 − 2x 2
Ta có a ) f ' x =
, x ∈ −2;2
4 − x2
( )
(
)
( )
f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2
( )
f ' x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm − 2 thì hàm số đạt cực tiểu tại ñiểm x = − 2,
( )
f − 2 = −2
( )
f ' x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
f
2 thì hàm số đạt cực đại tại ñiểm x = 2,
( 2) = 2
Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận:
x
( )
f (x )
−2
− 2
−
f' x
0 +
0
2
0
2
−
2
−2
0
( )
b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ .
-44-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
( )
(
Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x
)
sin x = 0
x = k π
f' x =0⇔
,k ∈ ℤ .
⇔
cos x = − 1 = cos 2π
x = ± 2π + k 2π
2
3
3
( )
( )
f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x
2π
2π
2π
1
2π
+ k 2π = 4
f '' ±
+ k 2π = 6 cos
= −3 < 0 . Hàm số ñạt cực ñại tại x = ±
+ k 2π , f ±
3
3
2
3
3
( )
c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3
( )
(
f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm số ñạt cực tiểu tại x = k π , f k π = 2 1 − cos k π
)
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ .
( )
Ta có f ' x = 4 cos 2x
( )
f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =
,
π
4
+k
π
2
,k ∈ ℤ
π
π
−8 khi k = 2n
π
f '' + k = −8 sin + k π =
khi k = 2n + 1
2
4
2
8
π
π
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm x = + nπ ; f + nπ = −1 và ñạt cực ñại tại
4
4
π
π π
π
x = + 2n + 1 ; f + 2n + 1 = −5
4
2 4
2
( )
f '' x = −8 sin 2x
(
,
)
(
)
( )
d ) f x = x − sin 2x + 2
Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm x = −
π
6
+ k π , k ∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm
π
+ kπ , k ∈ ℤ .
6
Ví dụ 3 :
x =
(
)
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số y = f x , m =
có cực ñại và cực tiểu .
(
) (
(
)
x 3 − m m + 1 x + m3 + 1
x −m
luôn
)
2 . Với giá trị nào của m ,hàm số y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có cực đại , cực tiểu .
mx 2 + x + m
khơng có cực ñại , cực tiểu .
x +m
4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k chỉ
(
)
3 . Với giá trị nào của m ,hàm số y = f x , m =
( )
(
)
có một ñiểm cực trị.
(
)
5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số y = f x , m = y =
đại.
Giải :
-45-
1 4
3
x − mx 2 + có cực tiểu mà khơng có cực
2
2
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
{ }
g (x )
− 2mx + m − 1
=
(x − m )
(x − m )
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m .
x2
Ta có y ' =
2
2
2
( )
, x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1
(
( )
)
( )
Dấu của g x cũng là dấu của y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do đó ∀m thì g x = 0
ln có 2 nghiệm phân biệt x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thuộc tập xác ñịnh .
x
f' x
( )
f (x )
−∞
+
m −1
0
−
m
−
+∞
m +1
0
+
+∞
+∞
−∞
−∞
y ' ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x 1 = m − 1 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x 1 = m − 1
y ' ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x 2 = m + 1 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x 2 = m + 1
2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
(
)
Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m
Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay
m + 2 ≠ 0
m ≠ −2
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
2
−3 < m < 1
∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0
3 −m − 2m + 3 > 0
Vậy giá trị m cần tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 .
(
(
)
)
{ }
3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có đạo hàm y ' =
mx 2 + 2m 2x
(x + m )
2
Hàm số khơng có cực đại , cực tiểu khi y ' = 0 khơng đổi dấu qua nghiệm , khi đó phương trình
( )
(
)
g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
• Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 thoả .
• Xét m ≠ 0 . Khi đó ∆ ' = m 4
Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghiệm phân biệt nên khơng có giá trị tham số m để
( )
( )
(
)
g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán .
4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x
(
)
x = 0
y' = 0 ⇔ 2
2kx + k − 1 = 0
(*)
-46-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y ' = 0 có một nghiệm duy nhất và y ' ñổi dấu khi x ñi qua
nghiệm ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0
(*) vơ nghiệm hay có nghiệm kép x = 0
k = 0
k = 0
k ≤ 0
⇔ k ≠ 0
⇔
⇔
k < 0∨k ≥1
k ≥1
∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0
Vậy k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá trị cần tìm .
5 . Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
x = 0
Ta có y ' = 2x 3 − 2mx
y' = 0 ⇔ 2
x = m *
Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại khi phương trình y ' = 0 có một nghiệm duy nhất và y ' ñổi
(
)
()
dấu khi x đi qua nghiệm đó Khi đó phương trình x 2 = m
(*) vơ nghiệm hay có nghiệm kép x = 0
⇔m≤0
Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4 :
x 2 + mx + 1
ñạt cực ñại tại x = 2.
x +m
2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñạt cực ñại tại
( )
( )
1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x =
(
)
x = −1.
3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñạt cực ñại và
( )
(
)
cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
( )
4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x =
(P ) : y = x
2
x 2 + mx + 2
có điểm cực tiểu nằm trên Parabol
x −1
+x −4
Giải :
{ }
( )
1. Hàm số ñã cho xác định trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm f ' x =
x 2 + 2mx + m 2 − 1
(x + m )
m = −3
Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔
m = −1
x = 2
x 2 − 6x + 8
,
≠
3
'
=
0
⇔
x
f
x
m = −3 , ta có f ' x =
2
x =4
x −3
()
( )
Bảng biến thiên :
x
−∞
2
f' x
+
0
( )
f (x )
1
(
( )
)
3
−
−
4
0
+∞
+
+∞
+∞
-47-
2
, x ≠ −m
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
−∞
−∞
5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại x = 2 , do đó m = −3 thoả mãn .
Tương tự với m = −1
Cách 2 :
x 2 + 2mx + m 2 − 1
, x ≠ −m
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có đạo hàm f ' x =
2
x +m
{ }
y '' =
2
(
x +m
)
3
( )
(
)
, x ≠ −m
Hàm số ñạt cực ñại tại x = 2 khi
1
=0
1 −
m 2 + 4m + 3 = 0
2
y ' 2 = 0
m = −1 ∨ m = −3
2+m
⇔
⇔ m ≠ −2
⇔
⇔ m = −3
2
2
m
<
−
''
2
0
y
<
m < −2
<0
2+m 3
Vậy m = −3 là giá trị cần tìm.
()
()
(
)
(
)
2. Hàm số cho xác định trên ℝ .
( )
(
)
(
Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6
2
−∞
x
( )
f (x )
−
+
f' x
2m + 6
3
0 −
+
0
Hàm số ñạt cực ñại tại x = −1 ⇔ −
(
( )
+∞
0
3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ .
)
x = 0
⇒f' x =0⇔
x = − 2m + 6
3
2m + 6
3
= −1 ⇔ m = − .
3
2
)
Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 .
(
)
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0
⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2
1
1
y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2 + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2
3
3
Gọi A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñiểm cực trị của đồ thị hàm số thì x 1, x 2 là nghiệm của phương trình
(
(
( )
)
) (
(
)
(
)
)
(
)
g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 .
Trong đó :
-48-
(
)
(
)
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
1
y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2
⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2
3
y ' x 1 = 0
1
y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2
⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2
3
y ' x 2 = 0
Theo định lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2
Theo bài toán :
( )
(
) ( ) (
)
(
)
(
) ( ) (
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2 2 m − 2 x 2 + m − 2 > 0 ⇔ m − 2
(
)
(
2
)
(
)
(
2
) (2x
2
1
)(
)
+ 1 2x 2 + 1 > 0
)
(
⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2
) ( 4m + 17 ) > 0
2
17
m > −
⇔
4
m ≠ 2
17
< m < 2 là giá trị cần tìm .
4
4. Hàm số đã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1
So với ñiều kiện bài tốn , vậy −
{}
Ta có y ' =
x 2 − 2x − m − 2
(
x −1
)
2
( )
,x ≠ 1
g x = x 2 − 2x − m − 2
( )
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1
(
)
∆ ' = 1 − −m − 2 > 0
m + 3 > 0
⇔
⇔ m > −3
m ≠ −3
g 1 = −m − 3 ≠ 0
m+3
=m +2−2 m +3
x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 +
3
−
+
m
Khi đó y ' = 0 ⇔
m+3
=m +2+2 m +3
x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 +
m+3
Bảng biến thiên :
x
−∞
x1
1
x2
+∞
()
( )
f (x )
+
f' x
0
−
−
+∞
y1
−∞
+
0
−∞
+∞
y2
)
(
Dựa vào bàng biến thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñiểm cực tiểu của hàm số .
( )
(
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3
)
2
+1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1
-49-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
(
( )
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3
)
2
+ 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2
So với điều kiện bài tốn ,vậy m = −2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5 :
( )
1. Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0,
()
()
2. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f ( x ) = x
x = −2 và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A (1; 0 ) .
f 0 = 0 và ñạt cực ñại tại ñiểm x = 1, f 1 = 1
( )
3. Tìm các hệ số a, b sao cho hàm số f x =
3
+ ax 2 + bx + c ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm
ax 2 + bx + ab
ñạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 .
ax + b
Giải :
( )
x = 0, f ( 0 ) = 0 và ñạt cực ñại tại ñiểm x = 1, f (1) = 1
1. Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñạt cực tiểu tại ñiểm
Hàm số ñã cho xác định trên ℝ .
Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b
( )
( )
()
()
()
()
f ' 0 = 0
c = 0
c = 0
Hàm số f x ñạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi
1
⇔
⇔
2
b
0
b
0
>
>
f
''
0
0
>
f ' 1 = 0
3a + 2b + c = 0
Hàm số f x ñạt cực ñại tại x = 1 khi và chỉ khi
⇔
2
6
a
2
b
0
+
<
f
''
1
0
<
( )
( )
()
()
Từ (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0
Ta kiểm tra lại f ( x ) = −2x + 3x
Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6
f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0
f '' (1) = −6 < 0 . Hàm số ñạt cực ñại tại x = 1
()
()
()
f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3
3
2
2
Vậy : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0
( )
2. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm x = −2
( )
và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A 1; 0 .
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b
( )
-50-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
f ' −2 = 0
4a − b = 12
⇔
Hàm số ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm x = −2 khi và chỉ khi
1
4
a
2
b
c
8
−
+
=
f
2
0
−
=
( )
( )
( )
()
()
()
ðồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A 1; 0 khi và chỉ khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2
()( )
Từ 1 , 2 suy ra a = 3, b = 0, c = −4 .
3. Hàm số ñã cho xác ñịnh khi ax + b ≠ 0 và có đạo hàm y ' =
a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b
(ax + b )
2
• ðiều kiện cần :
Hàm số đạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 khi và chỉ khi
b 2 − a 2b = 0
b 2 − a 2b
b = a 2 > 0
=
0
2
y ' 0 = 0
a = −2
≠
0
b
2
b
8
2
0
⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b
⇔ 2
⇔
+
=
⇔
a
a
2
2
b=4
=0
y ' 4 = 0
16a + 8ab + b − a b = 0
4a + a 2 ≠ 0
2
4a + b ≠ 0
4a + b
()
()
(
(
)
• ðiều kiện đủ :
a = −2
x 2 − 4x
⇒ y' =
2
b = 4
−x + 2
(
)
x = 0
y' = 0 ⇔
x = 4
)
Bảng biến thiên
−∞
x
f' x
( )
f (x )
+
0
0
2
−
−
4
0
+∞
+
+∞
Cð
−∞
−∞
+∞
CT
Từ bảng biến thiên :hàm số ñạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 . Vậy a = −2, b = 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 6:
( )
1. Cho hàm số y = f x = x 3 − 3x 2 + 2
(C ) . Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của a
ñể ñiểm cực ñại
( )
và ñiểm cực tiểu của ñồ thị C ở về hai phía khác nhau của đường trịn (phía trong và phía ngồi):
(C ) : x
a
2
+ y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0
( )
2. Cho hàm số y = f x =
(
x ∈ 0;2m
)
x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3
. Tìm m > 0 để hàm số ñạt cực tiểu tại
x
3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có cực đại , cực tiểu và hai ñiểm ñó ñối xứng nhau qua
-51-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
1
5
ñường thẳng y = x −
2
2
x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số y = f (x )
. có cực
x −1
trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
x 2 + m + 2 x + 3m + 2
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số y = f (x ) =
có giá trị
x +1
1
2
2
+ yCT
> .
cực trị , ñồng thời y CÑ
2
Giải :
x = 0 ⇒ y = 2
1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có đạo hàm y ' = 3x 2 − 6x
y' = 0 ⇔
x = 2 ⇒ y = −2
(
)
(
( ) (
)
( ) (
)
)
ðồ thị hàm số có hai điểm cực trị A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñiểm A 0;2 , B 2; −2 ở về hai phía của hai
( )
đường trịn C a khi
(
)(
)
3
⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1
a
a
5
( )
( ) (
Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a
) + (y − 2a )
2
2
=1
(C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1
a
Ta có : IB =
2
(a − 2 ) + (2a + 2 )
2
2
2
36
6
= 5a + 4a + 8 = 5 a + +
≥
> 1 = R ⇒ điểm B
5
5
5
2
( )
nằm ngồi C a , do đó điểm A nằm trong đường trịn
(C ) ⇔ IA < 1 ⇔
a
(
a 2 + 2 − 2a
)
2
< 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔
{}
3
5
2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 0 và có đạo hàm
( )
x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x
= 2 , x ≠ 0 Với g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 Hàm số ñạt cực tiểu tại
2
x
x
x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 x 1 < x 2 thoả
y' =
(
)
( )
( )
(
)
m > 0
1
m > 0
m > 0
m < 1
⇔
x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔
2
m > 3
m > 3
1.g 2m > 0
2m 2 + 5m − 3 > 0
2
2
m < −3
1
m >
2
()
( )
-52-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
1
3
Vậy giá trị m cần tìm là < m < 1 ∨ m > .
2
2
3. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có đạo hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 .
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2
m2
.
3
là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm của ñoạn AB .
⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2
(
) (
Gọi A x1; y1 , B x 2 ; y2
)
ðường thẳng AB có hệ số góc
3
3
2
2
2
y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1
kAB =
=
= x1 + x 2
x 2 − x1
x 2 − x1
(
)
(
)
(
)
2
x 1.x 2 =
,
(
)
− x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2
m2
2m 2 − 6
− 6 + m2 =
3
3
1
5
1
ðường thẳng y = x − ∆ có hệ số góc k =
2
2
2
kAB = 4 −
( )
AB ⊥ ∆
Hai ñiểm A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñối xứng nhau qua ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi
I ∈ ∆
1 2m 2 − 6
• AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .
= −1 ⇔ m = 0
2
3
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0
1
y' = 0 ⇔ 1
• m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x
⇒ I 1; −2
x
y
=
2
⇒
= −4 ⇒ B 2; −4
2
2
(
) (
)
( )
( )
( )
(
(
)
)
Dễ thấy I 1; −2 ∈ ∆
Vậy m = 0 thoả mãn u cầu bài tốn .
4. Hàm số đã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 .
{}
g (x )
x − 2x + m − 3m + 3
g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3
=
,x ≠ 1
Ta có y ' =
( x − 1)
( x − 1)
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghiệm phân biệt x , x
2
2
2
2
2
2
1
2
khác 1 .
2
∆ ' > 0
−m + 3m − 2 > 0
⇔
⇔ 2
⇔1
1
0
≠
m
m
3
2
0
−
+
≠
Gọi
()
A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñiểm cực trị của đồ thị hàm số thì x , x
1
1
2
1
2
2
là nghiệm của phương trình
( )
g x = 0, x ≠ 1 .
x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2
1
Khi đó y ' = 0 ⇔ 1
2
x = 1 + −m + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2
2
2
(
)(
)
(
y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 = 1 − m
-53-
)
2
(
− 4 −m 2 + 3m − 2
)
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
2
7
4
4
4
7
y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5 m − − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m =
5
5
5
5
5
7
So với ñiều kiện , vậy m = là giá trị cần tìm .
5
5. Hàm số đã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −1 .
{ }
Ta có : y ' =
x 2 + 2x − 2m
(
x +1
)
2
=
( )
( x + 1)
g x
2
( )
, x ≠ −1
g x = x 2 + 2x − 2m
( )
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 khác
1
∆ ' > 0
2m + 1 > 0
−1 ⇔
⇔
⇔m >−
g −1 ≠ 0
2
−2m − 1 ≠ 0
( )
(
) (
nghiệm của phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1
)
Gọi A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là
Theo định lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m
Theo bài toán :
(
) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 )
+ 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2
(
)(
) (
) (
) (
) (
)
2
2
y CÑ
+ yCT
= y12 + y22 = 2x 1 + m + 2
y12 + y22 = 4 x 1 + x 2
(
)
2
− 2x 1x 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
y12 + y22 = 2m 2 + 16m + 8
1
2
1
1 1
1
Do đó hàm số f m ñồng biến trên khoảng m ∈ − ; +∞ và f m > f − = , m ∈ − ; +∞
2
2 2
2
1
1
2
2
+ yCT
> , m ∈ − ; +∞
Vậy y CĐ
2
2
Ví dụ 7:
1
1
1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có cực ñại ,
3
3
cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu x 1, x 2 thỏa x 1 + 2x 2 = 1
( )
Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > −
1
2
( )
f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > −
( )
( )
(
2. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số y =
(
)
(
)
)
mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m
tương ứng có một
x +m
điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt
( )
( )
phẳng tọa ñộ .
Giải :
1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ .
-54-
2
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
(
)
(
Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2
2
)
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi y ' ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình
(
)
(
)
mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2
m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔ 2 − 6
2
2
2+ 6
∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0
2
2
Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có:
x = 3m − 4
2
1
+
=
x
x
gt
1
2
1
m
2
2 m −1
2−m
2
m =
x
x
x
m
m
m
+
=
⇔
=
⇔
−
+
=
≠
⇔
3
8
4
0
0
3
1
2
2
m
m
m
=
2
3 m −2
3m − 4 2 − m 3 m − 2
=
x 1.x 2 =
m
m
m m
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
So với ñiều kiện bài toán , vậy m =
2
∨ m = 2 là giá trị cần tìm .
3
{ }
2. Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ \ −m
Ta có : y ' =
mx 2 + 2m 2x − 3m 3
(
)
4m 3
và y = mx + 1 +
m≠0
x +m
(
)
)
, x ≠ −m
(x + m )
Gọi A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x , x ( x < x ) là nghiệm của phương
trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m
ðồ thị của hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( II ) và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư
thứ ( IV ) của mặt phẳng tọa độ khi
• x < 0 < x
(1 )
A thuộc góc phần tư thứ (II)
⇔
⇔ • y < 0 < y
(2)
B thuộc góc phần tư thứ (IV)
• Hệsố góc của tiệm cận xiên nhỏ hơn 0 3
()
(1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a )
(2 ) ⇔ ðồ thị của hàm số không cắt trục Ox ⇔ mx + (m + 1) x + 4m + m = 0 (x ≠ −m ) vô
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
4
2
2
3
nghiệm
1
m ≠ 0
m < −
m ≠ 0
≠
m
0
5
⇔
⇔
⇔ 2 1⇔
2
4
2
2
3
1
m
m
−
−
+
<
15
2
1
0
∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0
m >
5
m >
5
(
)
(
)
( 3 ) ⇔ m < 0 (c )
-55-
(b )
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
1
Từ a b c suy ra m < −
là giá trị cần tìm.
5
Ví dụ 8:
()()()
( )
(
)
(
( )
)
Cho hàm số f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có đồ thị là C m , m là tham số.
1. Chứng minh rằng hàm số ln có một cực đại , một cực tiểu .
( )
2. Khi m = 1 , ñồ thị hàm số là C
()
a ). Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng y =
( )
( )
x
và tiếp xúc với ñồ thị C .
3
b ). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C .
Giải :
Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ .
1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 .
( )
(
)
(
)
( )
Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 ln có hai nghiệm phân biệt . Do đó đồ
thị của hàm số ln có một cực ñại , một cực tiểu với mọi giá trị của tham số m .
2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1
a ).
( ) ( )
Gọi M ( x ; y ) là toạ ñộ tiếp ñiểm của ñường thẳng (d ) và ñồ thị (C )
0
0
()
⇒ y 0 = x 03 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 02 − 3 . ðường thẳng d vng góc với đường thẳng y =
1
y 0 ' = −1 ⇔ 3x 02 − 3 = −3 ⇔ x 02 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1
3
()
( )
(
x
khi
3
)
Vậy ñường thẳng d : y = −3x − 1 và tiếp xúc với ñồ thị C tại ñiểm 0; −1 .
( )
(
)
(
)
b ). ðồ thị C có điểm cực ñại là A −1;1 , ñiểm cực tiểu là B 1; −3 . Do đó đường thẳng qua AB là :
y = −2x − 1 .
Ví dụ 9:
( )
(
(
)
)
1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai
điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung .
x 2 − m + 1 x + 3m + 2
2. Xác ñịnh giá trị tham số m để hàm số f x =
có hai điểm cực ñại và
x −1
cực tiểu cùng dấu .
3. Cho hàm số y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ðịnh m ñể hàm số đạt
(
( )
( )
(
)
)
(
)
cực tiểu tại một điểm có hồnh độ nhỏ hơn 1.
x 2 + 2mx + 2
có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và
x +1
khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Giải :
( )
4. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số f x =
( )
(
)
1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có đạo hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2
-56-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình
f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thoả mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0
( )
()
⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2
Vậy giá trị cần tìm là 1 < m < 2 .
{}
( )
2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 và có ñạo hàm f ' x =
x 2 − 2x − 2m − 1
(
x −1
)
2
,x ≠ 1
( )
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 hay phương trình
( )
g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 , khi đó
∆ ' > 0
2m + 2 > 0
⇔
⇔ m > −1
−2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠ 0
()
(
) (
Gọi A x 1 ; y1 , B x 2 ; y2
)
(1 )
( )
là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là nghiệm của g x = 0
2m + 2
= 1 − m − 2 2m + 2
x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m +
2
2
−
+
m
Khi đó: y ' = 0 ⇔
2m + 2
= 1 − m + 2 2m + 2
x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m +
2m + 2
Hai giá trị cực trị cùng dấu khi
)(
(
)
(
y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m
⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2
)
2
(
)
− 4 2m + 2 > 0
(2 )
() ()
Từ 1 và 2 suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2
{}
( )
Cách khác : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 và có ñạo hàm f ' x =
x 2 − 2x − 2m − 1
( x − 1)
2
,x ≠ 1
( )
Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 hay phương trình
∆ ' > 0
2m + 2 > 0
g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔
⇔
⇔ m > −1
−2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠0
Hai giá trị cực trị cùng dấu khi ñồ thị của hàm số y = 0 cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt x ≠ 1 hay
( )
()
(
)
phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0
(x ≠ 1) có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 . Tức là
m < 5 − 4 2
2
∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0
10
7
0
−
−
>
m
m
⇔
⇔
⇔ m > 5 + 4 2
2m + 2 ≠ 0
1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0
m ≠ −1
(
(
)
)
(
)
So với ñiều kiện , giá trị −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá trị cần tìm .
-57-
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
( )
(
(
)
)
3. Hàm số cho xác định trên ℝ và có đạo hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm số
2
( )
(
(
)
)
đạt cực tiểu tại một điểm có hồnh độ nhỏ hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0
có hai nghiệm x 1, x 2 thoả mãn ñiều kiện :
()
()
1 ⇔ −3.f ' 1 < 0
3 3m 2 + m − 4 < 0
9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0
x < 1 < x
∆ ' > 0
1
1
2
⇔
⇔
3 3m 2 + m − 4 ≥ 0
1
2
<
≤
x
x
2
3.
'
1
0
⇔
−
≥
f
1
2
S
m + 1 < 1
1
<
2
4
4
−
− < m < 1
4
3
3
4
m
<
− < m < 1
3
12
0
m
−
+
>
⇔
⇔
⇔ 3
⇔m <1
4
4
3m 2 + m − 4 ≥ 0
≤
−
∨
≥
m
m
1
m≤−
3
3
m < 0
<
m
0
x 2 + 2x + 2m − 2
4. Hàm số ñã cho xác định trên D = ℝ \ −1 và có ñạo hàm f ' x =
, x ≠ −1
2
x +1
()
()
()
(
(
)
(
()
)
(
{ }
)
)
( )
(
)
( )
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi f ' x ñổi dấu hai lần qua nghiệm x hay phương trình
( )
g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1
∆ ' > 0
3
3 − 2m > 0
⇔
⇔
⇔m<
g −1 ≠ 0
2
2m − 3 ≠ 0
( )
A (x ; y
) (
)
nghiệm của phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñịnh lý Vi ét x
Gọi
1
1
= 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñiểm cực trị của đồ thị hàm số thì x 1, x 2 là
1
+ x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m
Theo yêu cầu bài toán
(
)
(
)
d A, ∆ = d B, ∆ ⇔
(
⇔ 3x 1 + 2m + 2
(
) (
x 1 + y1 + 2
x 2 + y2 + 2
=
2
) = ( 3x
2
2
+ 2m + 2
)
2
)
2
⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2
(
⇔ 3x 1 + 2m + 2
(
)
) − ( 3x
2
⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0
So với ñiều kiện, vậy m =
+ 2m + 2
2
(x
1
)
)
2
=0
( )
≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m =
1
là giá trị cần tìm .
2
Ví dụ 10:
1. Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là ñiểm cực ñại của
x2 − m m + 1 x + m3 + 1
ñồ thị f x =
ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm cực
x −m
tiểu của ñồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A .
( )
(
)
-58-
1
2
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
4
2
4
2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số y = x − 2mx + 2m + m có cực đại , cực tiểu ñồng thời các ñiểm
cực trị lập thành tam giác ñều.
Giải :
{ }
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m .
( )
Ta có f ' x =
x 2 − 2mx + m 2 − 1
(x − m )
2
,x ≠ m
( )
g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1
∆g = 1 > 0, ∀m
(
(
( )
( )
x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2
1
Do đó f ' x = 0 ⇔ 1
x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2
( )
(
)
)
)
ðặt A x 0 ; y 0 .Giả sử ứng với giá trị m = m1 thì A là điểm cực đại và ứng với giá trị m = m2 thì A
là điểm cực tiểu của ñồ thị hàm số
x = m1 − 1
x 0 = m2 + 1
Ta có: 0
;
2
2
y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2
m − 1 = m2 + 1
m1 − m2 = 2
⇔
Theo bài tốn , ta có : 1 2
2
−m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2
m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4
1
1
m1 − m2 = 2
m1 =
x 0 = −
2 ⇒
2 ⇒ A− 1;− 7
⇔
⇔
2 4
m1 + m2 = −1
m = − 3
y = − 7
2
0
2
4
1 7
Vậy A − ; − là ñiểm duy nhất cần tìm thoả u cầu bài tốn .
2 4
2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ
x = 0
Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m
y' = 0 ⇔ 2
x = m *
ðồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y ' ñổi dấu khi x qua các
(
(
)
)(
)
()
()
nghiệm đó , khi đó phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0
Khi đó :
(
)
x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m
y' = 0 ⇔
x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C
Hàm số có 3 cực trị A, B,C lập thành tam giác ñều
(
) (
m ; m 4 − m 2 + 2m
AB = AC
⇔
⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0
AB = BC
(
)
Vậy m = 3 3 là giá trị cần tìm .
Ví dụ 11:
1. Xác ñịnh tham số a ñể hàm số sau có cực đại: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5
Giải :
-59-
(
)
)
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79
a x −2
1. Hàm số cho xác định trên ℝ và có ñạo hàm y ' = −2 +
x 2 − 4x + 5
(
(
)
a
y '' =
(x
)
2
− 4x + 5
a x −2
x 2 − 4x + 5
0
a
0
y ' x = 0
=2
0
2
=
0
⇔ x − 4x + 5
⇔
Hàm số ñạt cực ñại tại x = x 0 ⇔
2
x0 − 2
0
0
y '' x 0 < 0
a < 0
a < 0
( )
( )
()
Với a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 .
x 02 − 4x 0 + 5
( )
Xét hàm số : f x 0 =
( )
lim f x 0 = lim
x →−∞
( )
x0 − 2
, x0 < 2
= −1 ,
−2
(
Bảng biến thiên :
x
−∞
f' x
( )
f (x )
x 02 − 4x 0 + 5
x →−∞
Ta có f ' x 0 =
x0 − 2
x0 − 2
)
2
x 02 − 4x 0 + 5
( )
lim− f x 0 = lim−
x →2
(
x 02 − 4x 0 + 5
x →2
< 0, ∀x 0 ∈ −∞;2
x0 − 2
= −∞
)
2
−
−1
−∞
a
Phương trình 1 có nghiệm x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2
2
()
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm cực trị của các hàm số sau :
1
a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1
3
1 3
b) f x = x − x 2 + 2x − 10
3
1
c) f x = x +
x
1
1
d) f x = x 5 − x 3 + 2
5
3
x 2 − 3x + 3
e) f x =
x −1
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
f ) f x = 8 − x2
x
g) f x = 2
x +1
x3
h) f x =
x +1
i) f x = 5 − x 2
( )
( )
j ) f (x ) = x +
1
k ) f (x ) = x
3
2. Tìm cực trị của các hàm số sau :
-60-
x2 − 1
3
− x 2 − 3x +
4
3
)
3
(1)
