Hdg bdnlth toán 7 chương i hình học

Bài 1. QUAN HỆ SONG SONG – VNG GĨC
CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU TRONG QUAN HỆ SONG SONG
0

     
Bài 1: Cho hình vẽ, biết a // b và B1 55 . Tính các góc A1 ; A2 ; A3 ; B2 ; B3 ; B4 ?

a

b

2A 1
3 4

2 1 55°
3 B
4
Hướng dẫn giải

0
0




Ta có B1 B3 (hai góc đối đỉnh). Mà B1 55  B3 55
0
0
0
 



Ta có B1  B2 180 (hai góc kề bù) nên B2 180  B1 125
0
 B


B
2
4 (hai góc đối đỉnh) nên B4 125

0


Do a // b nên ta có: A1 B1 55 (hai góc ở vị trí đồng vị)
0


Tương tự ta có: A2 B2 125 (hai góc ở ví trí đồng vị)
A  A 550
1
3
(hai góc đối đỉnh)
0
A  A
 55
2
2
(hai góc đối đỉnh)

Bài 2: Trong hai hình vẽ sau, cho biết MN // BC. Chứng minh rằng hai AMN và ABC có hai góc

tương ứng bằng nhau từng đơi một?
A
N

M
A

B

M

C
Hình a

N

B

C
Hình b


Hướng dẫn giải



Hình a) Do MN // BC nên ta có NMA  ABC (hai góc so le trong)


MNA

 ACB (hai góc so le trong)


NAM
BAC
(hai góc đối đỉnh)
Vậy hai AMN và ABC có hai góc tương ứng bằng nhau từng đơi một.



Hình b) Do MN // BC nên ta có AMN  ABC (hai góc đồng vị)

ANM  ACB
(hai góc đồng vị)


MAN
BAC
(góc chung)
Vậy hai AMN và ABC có hai góc tương ứng bằng nhau từng đôi một.



xOy
300 . Từ điểm A trong xOy
, vẽ tia song song bới Ox cắt Oy ở B và vẽ tia song song

Bài 3: Cho
với Oy cắt Ox ở C.
1, Tính

ABy, ABO



2, Tính xCA, CAB
Hướng dẫn giải
x

C

O

A

y

30°
B

0
0




a) Ta có AB / / O x nên xOy  ABy (hai góc đồng vị) mà xOy 30 nên ABy 30
0
0




0
0
0

Ta có ABy  ABO 180 (hai góc kề bù) mà ABy 30 nên ABO 180  30 150
0



0

b) Ta có AC / / O y nên xOy  ACx (hai góc đồng vị) mà xOy 30 nên ACx 30
0



0

Ta có AC / / O y nên CAB  ABy (hai góc so le trong) mà ABy 30 nên CAB 30




Bài 4: Cho xOy nhọn. Từ điểm A thuộc tia phân giác của xOy , vẽ đường thẳng song song với Ox cắt
Oy ở B.
1, Tìm trên hình vẽ hai góc so le trong.




2, Chứng minh BOA BAO
Hướng dẫn giải

x

A

y

O

B

Hướng dẫn giải



a) Các góc so le trong là xOA và OAB


b) Do AB / / O x nên xOA OAB (hai góc so le trong)





Mặt khác OA là tia phân giác của xOy nên xOA  AOy hay xOA  AOB



Vậy BOA BAO (đpcm)
Bài 5: Từ điểm A thuộc tia phân giác của


xOy
, vẽ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ở B. Chứng



minh BOA BAO .
Hướng dẫn giải
x

A

O

y
B



Do AB / / O x nên xOA OAB (hai góc so le trong)





Mặt khác OA là tia phân giác của xOy nên xOA  AOy hay xOA  AOB



Vậy BOA BAO (đpcm)



0

Bài 6: Cho xOy 60 . Từ điểm A thuộc tia phân giác của
Oy ở B và vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở C.


xOy
, vẽ đường thẳng song song với Ox cắt



1, Tính COA và AOB


2, Tính BAO và OAC

3, Chứng minh AO là phân giác của BAC
Hướng dẫn giải
x

C
A

y
O

B

Hướng dẫn giải

xOy

xOA
 AOy 
300
xOy
2
a) Vì OA là tia phân giác của
nên
0


hay COA  AOB 30
0
0




b) Ta có AB / /Ox nên COA OAB (hai góc so le trong) mà COA 30 vậy BAO 30
0
0





Ta có AC / /Oy nên AOB OAC (hai góc so le trong) mà AOB 30 vậy OAC 30



0


c) Có BAO; CAO là hai góc kề nhau, mà BAO CAO 30
Trường hợp 1 : Nếu AB, AC cùng phía với AO  tia AB trùng với tia AC
Mặt khác, AC // Oy; AB // Ox  Ox trùng với Oy  khơng thỏa mãn.
Như vậy AC, AB nằm khác phía với AO  tia AO nằm giữa 2 tia AC, AB

 AO là tia phân giác của BAC
.



Bài 7: Từ điểm A thuộc tia phân giác của xOy , vẽ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ở B và vẽ
đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở C.




a) Chứng minh BAO  AOC và CAO  AOB

b) Chứng minh AO là phân giác của BAC

Hướng dẫn giải
x

C
A

y
O

B

Hướng dẫn giải



a) Ta có AC / / OB nên CAO  AOB (hai góc so le trong)


Ta có AB / / OC nên BAO  AOC (hai góc so le trong)




b) Có BAO; CAO là hai góc kề nhau, mà BAO CAO
Trường hợp 1 : Nếu AB, AC cùng phía với AO  tia AB trùng với tia AC
Mặt khác, AC // Oy; AB // Ox  Ox trùng với Oy  không thỏa mãn.
Như vậy AC, AB nằm khác phía với AO  tia AO nằm giữa 2 tia AC, AB

 AO là tia phân giác của BAC
.


Bài 8: Cho tam giác ABC, tia phân giác của B và
cắt AB ở D và AC ở E.



1, Chứng minh DIB DBI


C
cắt nhau ở I. Từ I kẻ đường thẳng song song với BC



2, Chứng minh EIC


ECI


A

D

E

I

C

B

Hướng dẫn giải



a) Ta có DE / / BC nên DIB IBC (hai góc so le trong)



Mà BI là tia phân giác của ABC nên DBI IBC



Vậy DIB DBI (cùng bằng IBC )


b) Ta có DE / / BC nên EIC ICB (hai góc so le trong)



Mà CI là tia phân giác của ACB nên ECI ICB



Vậy EIC ICE (cùng bằng ICB )
Bài 9: Cho tam giác ABC có
AC ở M.



1, Tính BAD và ADM ?

 = 700
A
, AD là tia phân giác. Từ D vẽ đường thẳng song song với AB cắt


2, Tính AMD ?
Hướng dẫn giải

A

M

B

D

C



BAC



BAD


DAC

DAM

350
BAC
2
a) Do AD là tia phân giác của
nên
0
0




Do DM / / AB nên ADM BAD (hai góc so le trong) mà BAD 35 nên ADM 35
0


b) Do DM / / AB nên DMC BAC 70 (hai góc đồng vị)
0


Có AMD  DMC 180 (hai góc kề bù)

 AMD 1800  DMC
1100 .



0

Bài 10: Cho ABC có A = 60 có AD là đường phân giác. Từ điểm E bất kì thuộc AC vẽ một tia song
song với AD cắt BC ở K.


1, Tính CAD ?
2, Tính CEK ?
Hướng dẫn giải

A

E

B

D

C

K


BAC


BAD

CAD


300
BAC
2
a) Do AD là tia phân giác của
nên
0
0




CAD
EK / / AD nên CEK
(hai góc đồng vị) mà CAD 30 nên CEK 30
b) Do

Bài 11.

1


BAC  BAD  DAC  2 BAC 30
1) Do AD là tia phân giác của
.

A
M

B

D

K

C





Do DM //AB (gt )  ADM BAD (hai góc ở vị trí so le trong)  ADM 30 .



2) Do MK //AD (gt )  DMK  ADM (hai góc ở vị trí so le trong)  DMK 30 .




Do MK //AD (gt)  CMK DAC (hai góc ở vị trí đồng vị)  CMK 30 .
Bài 12.

A

1

CAD
 CAB
30
2

Do AD là tia phân giác của góc A nên
.

E



Lại có EK //AD (gt )  CEK CAD (hai góc ở vị trí đồng vị)

C

B


 CEK
30

D K

Bài 13.

1


BAC  BAD DAC  2 BAC


1) Do AD là tia phân giác của
hay EAD  BAD (1).

A



Do DE //AB ( gt)  EDA BAD (2) (hai góc ở vị trí so le trong).


Từ (1) và (2)  EAD  EDA (3).

E



2) Do EK //AD (gt )  DEK EDA (4) (hai góc ở vị trí so le trong).



Do EK //AD (gt )  CEK EAD (5) (hai góc ở vị trí đồng vị).



Từ (3), (4) và (5)  CEK  DEK  EK là tia phân giác của DEC
.

B

C

D K

Bài 14.

E



1) Do EC //AD ( gt )  AEC BAD (1) (hai góc ở vị trí đồng vị).


Do EC //AD ( gt )  ACE DAC (2) (hai góc ở vị trí so le trong).



2) Do AD là tia phân giác của BAC  BAD DAC (3).

A



Từ (1), (2) và (3) ta có AEC  ACE .

Bài 15.

B

D

C

1


BAC  BAD  DAC  2 BAC 60
Do AD là tia phân giác của

M



Do MC //AD (gt )  AMC BAD (hai góc ở vị trí đồng vị)
A

 AMC 60 .



Do MC //AD (gt )  ACM DAC (hai góc ở vị trí so le

 ACM
60 .

B

C

D

trong)

Bài 16.



1) Do MF //AD ( gt )  AFM BAD (hai góc ở vị trí đồng vị) hay



F AFE BAD

A
(1).

E



Do MF //AD (gt )  AEF DAE (2) (hai góc ở vị trí so le

B

trong).

C

M

D







2) Do AD là tia phân giác của BAC  BAD DAC hay BAD  DAE (3).



Từ (1), (2) và (3) ta có: AFE  AEF .
Bài 17.

E




Do AD là tia phân giác của BAC  BAD DAC (1).



Do EC //AD (gt )  AEC BAD (2) (hai góc ở vị trí đồng vị) .

A



Do EC //AD ( gt )  ACE DAC (3) (hai góc ở vị trí so le trong).


Từ (1), (2) và (3) ta có: ACE  AEC .

B

C

D

Bài 18.





Do MF //AD (gt )  AFM BAD (hai góc ở vị trí đồng vị) hay AFE BAD (1).


Do MF //AD (gt )  AEF DAE (2) (hai góc ở vị trí so le trong).





Do AD là tia phân giác của BAC  BAD DAC hay BAD  DAE (3).

F

A




Từ (1), (2) và (3) ta có: AEF  AFE .

E

Bài 19.

B

D

M

C


 tOy
  1 xOy

 xOt
60

xOy
2
1) Do Ot là tia phân giác của


2) Do At //Ot (gt )  yAt   yOt (hai góc ở vị trí đồng

O
A

vị)
  60  OAt
  180  yAt
  180  60 120
 yAt
.

y

x
x'
t

t'





Do Ax //Ox ( gt )  yAx   yOx (hai góc ở vị trí đồng vị)  yAx  120 .


3) Ta có yAt   yAx  (60  120 )  At  nằm giữa hai tia Ay và Ax 

   yAt
  120  60 60

 x At   yAx
 x At   xOt

.



4) Do At  nằm giữa hai tia Ay và Ax  và xAt   yAt ' nên At  là tia phân giác của x Ay .
Bài 20.


1) Do Ot là tia phân giác của xOy
 tOy
  1 xOy

 xOt
70
2


Do At //Ot (gt )  yAt   yOt (hai góc ở vị trí đồng vị)
  70
 yAt
.


2) Do Ax //Ox ( gt )  yAx   yOx (hai góc ở vị trí đồng

vị)  yAx  140 .


Ta có yAt   yAx  (70  140 )  At  nằm giữa hai tia Ay và Ax 

   yAt
  140  70  70

 x At   yAx
 x At   xOt
.



3) Do At  nằm giữa hai tia Ay và Ax  và xAt   yAt ' nên At  là tia phân giác của x Ay .

CHỨNG MINH SỰ SONG SONG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HAI GÓC SO LE TRONG
Bài 1: Cho tam giác ABC có



BDx
và ABD so le trong và
Lời giải.


ABC
1000 . D là điểm trên tia đối của BC. Vẽ tia Dx sao cho các góc

BDx
800
. Chứng minh rằng AB//Dx.


0

0
0




Vì ABC  ABD 180 (kề bù)  ABD 180  ABC 80 .
0


Ta có: ABD BDx 80 . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB / / Dx .



Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm D trên tia đối của BC. Vẽ tia Dm sao cho các góc BDm và ABD so le
trong. Cho biết

0



ABC
2ABD
; BDm 60 . Chứng minh rằng AB//Dm.

Lời giải.
0


Ta có: ABD  ABC 180 (kề bù).

0
0




Mà: ABC 2 ABD  3 ABD 180  ABD 60 .
0


Ta có: ABD BDm 60 .
Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Suy ra AB // Dm.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ tia CE sao cho hai góc
trong



ACE
và DAC so le



ACE
BAD
. Chứng minh rằng AD//CE.

Lời giải.




Vì AD là phân giác BAC  ABD DAC .





Mà ACE BAD  DAC  ACE . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // CE.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ tia CE sao cho
bằng nhau. Vẽ tia CM là tia phân giác của góc ACE. Chứng minh rằng:
a, AB//CE
b, AD//CM



ACE
và BAC so le trong và


Lời giải.



a) Vì ACE và BAC so le trong và bằng nhau nên AB//CE
1


BAD
DAC
 BAC

BAC
2
b) Có AD là phân giác của
nên
1


ACM
MCE
 ACE
ACE
2
Có CM là phân giác của
nên




Mà ACE = BAC nên DAC ACM
Lại có hai góc này ở vị trí so le trong nên AD//CM.
0

Bài 5: Vẽ hai góc so le trong xAB và ABy đều bằng 800. Trong góc BAx vẽ tia Am sao cho BAm 30 ,

trong góc ABy vẽ tia Bn sao cho
a, Ax//By


yBn
500 . Chứng minh rằng:

b, Am//Bn

Lời giải.
0


a) Ta có: xBA  yBA 80 . Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Suy ra Ax // By.
yBn  yBA do 500  800
b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia By có
Suy ra tia Bn nằm giữa hai tia By và BA.



Suy ra yBn  nBA  yBA .
0
0
0


Thay số: 50  nBA 80  nBA 30 .
0


Ta có: nBA BAm 30 . Mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra Am // Bn





CHỨNG MINH SỰ SONG SONG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HAI GÓC ĐỒNG VỊ
Bài 1.

y

Từ A dựng đường thẳng song song với Ox cắt tia Oy tại B. Khi

B
O

A

30°

x




đó ABy  xOy (hai góc ở vị trí đồng vị)  ABy 30 .

Bài 2.


1) Ta có: AMx 110  AMN 180  110 70 ,

 AMN  ABC
mà hai góc này ở vị trí đồng vị  MN //BC

t

t'

hay Mx //BC .
2) Qua A dựng đường thẳng tt  song song BC. Ta có:



tAB
 BAC
(hai góc ở vị trí so le trong)  tAB 70 .


tAC  ACB
(hai góc ở vị trí so le trong)  t AC 65


  tAC 180  70  65  45
 BAC
180  tAB
hay

MAN
45 .

Bài 3.





1) Do Ay //Oy  xAy   xOy (hai góc ở vị trí đồng vị)  xAy ' 60 .

y



Ta có hai góc OAy  và xAy  là hai góc kề bù nên

t

y'
t'

O
  180  xAy
  180  60 120
OAy
.

A

x


1

1

   xAy
   .60 30

xAt
xAy 
2
2
2) Do At  là tia phân giác của
nên
.
1

1



xOt
 xOy
 .60 30


xOy
Ot
2
2
Do
là tia phân giác của
nên
hay AOt 30 .


3) Do xAt   xOt 30 (cmt), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ot //At  .

Bài 4.



1) Do Ay //Oy  xAy   xOy (hai góc ở vị trí đồng vị)  xAy ' 30 .

y



Ta có hai góc OAy  và xAy  là hai góc kề bù nên

y'

t
O

  180  xAy
  180  30 150
OAy
.

1

t'
x

A

1

   xAy
   .30 15
xAt
xAy 
2
2
2) Do At  là tia phân giác của
nên
.
1

1



xOt
 xOy
 .30 15

xOy
Ot
2
2
Do
là tia phân giác của
nên
.
   xOt


 xAt
, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ot //At  .

Bài 5.


1) Ta có ACx và ACB là hai góc kề bù nên

A
y

B

70°

ACx 180  ACB

180  40 140 .

1
xCy  1 ACx

 .140 70

2
2
Do Cy là tia phân giác của ACx nên
.



2) Ta có xCy CBA 70 , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB //Cy .

40°

C

x


CHỨNG MINH SỰ SONG SONG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HAI GĨC TRONG CÙNG PHÍA
0 
0


Bài 1: Cho hình vẽ, biết BAD  ADC 180 ; BCD 70
1, Chứng minh: AB//CD.

B

A


2, Tính ABC
Giải



0



1, Vì BAD  ADC 180 mà BAD; ADC là hai góc trong cùng

phía

70°
C

D

nên AB//CD (định lý)
0


2, Vì AB//CD (theo phần trên) nên ABC  BCD 180 (hai góc trong cùng phía)


 ABC 1800  BCD
1800  700 1100
ABC 1100

Vậy

0 
0


Bài 2: Cho hình vẽ, biết BAD  ADC 180 ; ABC 90
1, Chứng minh: AB//CD.

B

A

2, Chứng minh: BC  CD .
Giải



0


1, Vì BAD  ADC 180 mà hai góc BAD; ADC ở vị trí trong

C

D

cùng phía nên AB//CD (định lý)
0


2, Vì AB//CD (theo phần trên) nên ABC  BCD 180 (hai góc trong cùng phía)


 BCD
1800  ABC 1800  900 900
0

Vậy ABC 90 hay BC ^ CD
Bài 3:

D

A

0 
0 
0

Cho hình vẽ, biết A=120 , B 60 ; C 30

x

120°

1, Chứng minh: AD//BC .



2, Tính ADC và xDC ?

60°

30°
C

B

Giải



0



0

 
1, Vì A=120 , B 60 nên A  B 120  60 180 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên
AD//BC (định lý)
0

0

0

0


2, +) Vì AD//BC (theo phần trên) nên ADC  BCD 180 (hai góc trong cùng phía)


 ADC 1800  BCD
1800  300 1500
ADC 1500

Vậy

0

0

·
·
·
+) Vì AD//BC (theo phần trên) nên xDC = BCD (so le trong) mà BCD = 30 nên xDC 30


Giải



MNP
 NPQ
1800 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên NM // PQ (định lý)

+) Vì
·
·
MPQ
= NMP

0
·
0
·
(so le trong) mà MPQ = 50 nên NMP = 50
0
·
·

·
0
·
+) Vì NM // PQ nên xRN = RQP (đồng vị) mà PQR = 90 nên xRN = 90
Bài 5:



0



0

0



0



0

0

 
+) Vì A=100 , D 80 nên A+ D =100  80 180 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên
AB//CD (định lý).
0

0

 
+) Vì C=100 , D 80 nên C+ D =100  80 180 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên
AD//CB (định lý).
0

0