3 phuong trinh 3(dang11)

11. Dạng 11. mx  n a 1  x  b 1  x  c 1  x 2
Phương pháp giải:
Biểu diễn: mx  n  (1  x)   (1  x)  (  ).x  (  ) và đồng nhất hệ số
   m
  , . Sau đó đặt u  1  x 0, v  1  x 0, để đưa về
được hệ: 
   n
phương trình hai ẩn u, v có thể giải bằng cách đưa về tích số hoặc ẩn phụ khơng
hồn tồn (xem u là biến số và v là hằng số hoặc ngược lại).
Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta cùng xét các ví dụ sau:
Ví dụ 77.

()

Giải phương trình: 3 1  x 2 4 1  x  4 1  x  3  x

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1.
Ta có: 3  x  (1  x)   (1  x) (  ) x     và đồng nhất hệ số được hệ
    1  2
 
 Khi đó viết: 3  x 2(1  x)  (1  x) và
phương trình 
   3
 1

(i )

()  3 (1  x)(1  x) 4 1  x  4 1  x  2(1  x)  (1  x)
2
2
Đặt u  1  x 0, v  1  x 0, thì (i )  3uv 4v  4u  2u  v

(i )  3uv 4v  4u  2u2  v2  v 2  (4  3u)v  2u2  4u 0
Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và v là hằng số thì có:
 (4  3u)2  4(2u2  4u) u2  8u  16 (u  4) 2 .

3u  4  u  4
2u  4
 1  x 2 1  x  4
v 
2
 x 0.
, suy ra: 
Do đó: 
 1  x  1  x
 v  3u  4  u  4 u

2
Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x 0.
Ví dụ 78.

()
Giải phương trình: 3x  1 4 x  1  2 1  x  1  x 2
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Long An – Tỉnh Long An

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1.
Ta có: 3x  1  (1  x)   (1  x) (  ) x     và đồng nhất hệ số được hệ
   3

phương trình: 
   1

  1
 Khi đó viết: 3x  1  (1  x)  2(1  x).

 2

()   (1  x)  2(1  x) 4 x  1  2 1  x 

(i)

(1  x)(1  x)

2
2
Đặt u  1  x 0, v  1  x , thì (i )   u  2v 4v  2u  uv

 u2  (2  v) u  4v  2v 2 0
Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và v là hằng số.
u (2  v)2  4(4 v  2 v 2 ) 9 v 2  12 v  4 (3 v  2)2 .

2  v  3v  2
2 v
u 
2
, suy ra:
Do đó: 
 u  2  v  3v  2 2  v

2


3
 1  x 2 1  x
x 
 

5

 1  x 2  1  x
 x 0

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 

3
, x 0.
5

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


Ví dụ 79.

Giải phương trình: 3x 2  1 4 1  x 2  2 1  x 2 

()

1  x4

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1.

Bản chất của bài tốn này cũng giống hai thí dụ trước khi thay x 2 bởi x.
2
2
2
2
Ta có: 3x  1  (1  x )   (1  x ) (  ) x     và đồng nhất hệ số được hệ:
   3


   1

  1
 Khi đó viết: 3x 2  (1  x 2 )  2(1  x 2 ) và:



2


()   (1  x 2 )  2(1  x2 ) 4 1  x 2  2 1  x2 

(i )

(1  x 2 )(1  x 2 )

Đặt u  1  x 2 0, v  1  x 2 0, thì (i )   u2  2v 2 4v  2u  uv
 u2  (2  v) u  4v  2 v 2 0 có biệt số u (3v  2)2 .

2  v  3v  2
2 v

 1  x 2 2 1  x 2
u 
2
 x 0.
,

Do đó:
suy ra: 
 1  x 2 2  1  x 2
 u  2  v  3v  2 2  v


2
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 110. Giải phương trình: x  3  1  x  2 1  x  3 1  x 2

( x  )

()

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1. Đặt a  1  x 0, b  1  x 0.
()  3. 1  x2  2 1  x  1  x  (1  x)  2.(1  x)
 3ab  2b a  a2  2b 2  a 2  (1  3b)  2b 2  2b 0  ( a  2b).( a  1  b) 0
 a 2b hoặc a  1 b.
3
Với a 2b , suy ra: 1  x 2 1  x  1  x 4.(1  x)  x  
5
Với a  1 b , suy ra:

1  x  1  1  x  2 1  x  1  2 x  x 

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm là x 

3

2

3
3
, x 
2
5
()

BT 111. Giải phương trình: x  6 4 1  x  5 1  x  3 1  x2

( x  )

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1. Đặt a  1  x 0, b  1  x 0.
()  3. 1  x 2 5. 1  x  4. 1  x  2.( x  1)  (1  x)  3
 3ab 5a  4b  2a2  b2  3  b2  (4  3a).b  2a 2  5a  3 0
 (b  2a  3).(b  a  1) 0  b 2a  3 hoặc b a  1.
Với b 2a  3, suy ra:
Với b a  1, suy ra:

1  x 2 x  1  3  12 x  1  12  5x : vô nghiệm.
1  x  1  x  1  2 1  x  1  2 x  x 

3


2

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm của phương trình là x 
BT 112. Giải phương trình: (4 

1  x ) 1  x 1  3 x  2 1  x

()

3

2
( x  )

 Lời giải. Điều kiện:  1 x 1. Đặt a  1  x 0, b  1  x 0.
()  4. x  1 2.(1  x)  (1  x)  2. 1  x  1  x 2 .
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


 4a 2a2  b2  2b  ab  2 a2  (4  b).a  2b  b 2 0  (2 a  b).( a  b  2) 0
 b 2a hoặc b 2  a.
3
Với b 2a , suy ra: 2 x  1  1  x  4.( x  1) 1  x  x  
5
2
Với b 2  a , suy ra: x  1  1  x 2  2  2 1  x 4  x 0.
Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm của phương trình là x 

3
, x 0.
5

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word