49 4 5b bài tập trắc nghiệm bất pt và hệ bpt bậc nhất hai ẩn (đáp án chi tiết)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
2
2
2
A. 2x + 3y > 0. B. x + y < 2.

2
C. x + y ³ 0.

D. x + y ³ 0.

Lời giải
Chọn D.
Theo định nghĩa thì x + y ³ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình cịn lại là bất phương
trình bậc hai.
Câu 2. Cho bất phương trình 2x + 3y- 6 £ 0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
1
A. Bất phương trình ( ) chỉ có một nghiệm duy nhất.
1
B. Bất phương trình ( ) vơ nghiệm.

1
C. Bất phương trình ( ) ln có vơ số nghiệm.
1
D. Bất phương trình ( ) có tập nghiệm là ¡ .

Lời giải
Chọn C.
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng ( d) : 2x + 3y- 6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

khơng thuộc đường thẳng đó. Ta thấy ( x; y ) = ( 0;0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
d
O 0;0
d
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ( ) chứa điểm ( ) kể cả ( ) .
Chọn điểm

O ( 0;0)

1
Vậy bất phương trình ( ) ln có vơ số nghiệm.

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3x + 2( y + 3) > 4( x +1) - y + 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm:
3;0 .
A. ( )

3;1 .
B. ( )

C. ( 2;1) .

0;0 .
D. ( )

Lời giải
Chọn C.
Ta có 3x + 2 ( y + 3) > 4 ( x +1) - y + 2 Û - x + 3 y > 0 .
Vì - 2 + 3.1 > 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ ( 2;1)
Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: 3( x - 1) + 4( y- 2) < 5x - 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:
0;0 .

A. ( )

- 4;2) .
B. (

- 2;2) .
C. (

D. ( - 5;3) .
Lời giải


Chọn A.
Ta có 3( x - 1) + 4 ( y - 2) < 5 x - 3 Û - 2 x + 4 y - 8 < 0 .
0;0
Vì - 2.0 + 4.0 - 8 < 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ ( ) .

Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình - x + 2+ 2( y- 2) < 2( 1- x) là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào
trong các điểm sau?
0;0 .
A. ( )

1;1 .
B. ( )

- 4;2) .
C. (

1;- 1) .
D. (

Lời giải
Chọn C.
Ta có - x + 2+ 2( y- 2) < 2( 1- x) Û x + 2y < 4 .
- 4;2)
Vì - 4 + 2.2 < 4 là mệnh đề sai nên (
khơng thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x - 4y + 5 > 0
A. ( - 5;0) .

B. ( - 2;1) .

D. ( 1;- 3) .

0;0 .
C. ( )

Lời giải
Chọn A.
- 5;0)
Vì - 5 - 4.0 + 5 > 0 là mệnh đề sai nên (
không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
A - 1;3)
Câu 7. Điểm (
là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:

A. - 3x + 2 y - 4 > 0. B. x + 3 y < 0.

C. 3x - y > 0.

D. 2 x - y + 4 > 0.
Lời giải

Chọn A.
A - 1;3)
Vì - 3.( - 1) + 2.3 - 4 > 0 là mệnh đề đúng nên (
là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình
- 3x + 2 y - 4 > 0 .

2;3
Câu 8. Cặp số ( ) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

A. 2x – 3y – 1> 0 . B. x – y< 0 .

C. 4x > 3y .

D. x – 3y+ 7 < 0 .
Lời giải

Chọn B.
y

2;3
Vì 2 - 3 < 0 là mệnh đề đúng nên cặp số ( ) là nghiệm của bất phương trình x – y< 0 .

3
Câu 9. Phần tơ đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các
BPT sau?
x

2

O

A. 2x - y < 3.

B. 2x - y > 3.

C. x - 2y < 3.

D. x - 2y > 3.
-3


Li gii
Chn B.
ổ3 ử
Aỗ
;0ữ
ỗ
ữ
ỗ ữ
B 0;- 3)
ng thng i qua hai điểm è2 ø và (
nên có phương trình 2x - y = 3.
0;0
Mặt khác, cặp số ( ) không thỏa mãn bất phương trình 2 x - y > 3 nên phần tơ đậm ở hình trên biểu diễn
miền nghiệm của bất phương trình 2 x - y > 3 .

Câu 10. Miền nghiệm của BPT x + y £ 2 là phần tơ đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

y

y

2

2

2

2

x

O

A.

B.

y

y

2

2

2

x
2

x

O

x
O

O

C.

D.
Lời giải

Chọn A.
0;0
Đường thẳng D : x + y- 2 = 0 đi qua hai điểm A ( 2;0) , B( 0;2) và cặp số ( ) thỏa mãn bất phương trình

x + y £ 2 nên Hình A biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y £ 2 .

DẠNG 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 11. Cho hệ bất phương trình

ìïï x + 3y- 2 ³ 0
í
ïïỵ 2x + y +1£ 0

. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ BPT?


A.

M ( 0;1) .

B. N ( –1;1) .

C. P ( 1;3) .

D. Q( –1;0) .
Lời giải

Chọn B.
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Với

ìïï 0 + 3.1- 2 0
ớ
M ( 0;1) ị ùùợ 2.0 +1 +1 £ 0

Với

ïìï - 1 + 3.1- 2 ³ 0
ớ
N ( 1;1) ị ùùợ 2.( - 1) +1 +1 £ 0
: Đúng.

. Bất phương trình thứ hai sai nên A sai.

ïìï 2x - 5y- 1> 0
ïï
í 2x + y + 5> 0
ïï
Câu 12. Cho hệ bất phương trình ïïỵ x + y +1< 0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ BPT?

A.

O( 0;0) .

B.

M ( 1;0) .

C. N ( 0;- 2) .

D. P ( 0;2) .
Lời giải

Chọn C.
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
ïìï 2.0 - 5.0 - 1 > 0
ïï
í 2.0 + 0 + 5 > 0
ïï
Với O ( 0; 0) ị ùùợ 0 + 0 +1 < 0 . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai.
ìï 2.1- 5.0 - 1 > 0

ïï
ïí 2.1 + 0 + 5 > 0
ï
M ( 1;0) Þ ïïïỵ 1 + 0 +1 < 0
Với
. Bất phương trình thứ ba sai nên B sai.
ìï 2.0 - 5.( - 3) - 1 > 0
ïï
ï 2.0 +( - 2) + 5 > 0
ớ
ùù
N ( 0; - 3) ị ùùợ 0 +( - 2) +1 < 0
Với
: Đúng.
ìï x y
ïï + - 1³ 0
ïï 2 3
ï
í x³ 0
ïï
ïï
1 3y
£2
ïï x + 2 2
ï
ỵ
Câu 13. Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

A.

O( 0;0) .

B.

M ( 2;1) .

C. N ( 1;1) .

D. P ( 5;1) .
Lời giải

Chọn B.
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.


ìï 0 0
ïï + - 1 ³ 0
ïï 2 3
ï
í0³ 0
ùù
ùù
1 3.0
0+ Ê2
O ( 0;0) ị ùùùợ
2 2
Vi
. Bt phng trình thứ nhất sai nên A sai.
ìï 2 1

ïï + - 1 ³ 0
ïï 2 3
ï
í 2³ 0
ïï
ïï
1 3.1
2+ £2
M ( 2;1) ị ùùùợ
2 2
Vi
: ỳng.

Cõu 14. Min nghim ca hệ bất phương trình
A.

O( 0;0) .

B.

M ( 1;2) .

ìï 3x + y ³ 9
ïï
ïï x ³ y - 3
í
ïï 2y ³ 8- x
ïï
ïïỵ y £ 6

C. N ( 2;1) .

chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
D. P ( 8;4) .

Lời giải
Chọn D.
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Câu 15. Điểm M ( 0;- 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?

A.

ìïï 2x - y £ 3
.
í
ïïỵ 2x + 5y £ 12x + 8

B.

ìïï 2x - y > 3
.
í
ïïỵ 2x + 5y £ 12x + 8

C.

ìïï 2 x - y >- 3
.
í
ïïỵ 2 x + 5 y £ 12 x + 8

D.

ìïï 2 x - y £ - 3
.
í
ïïỵ 2 x + 5 y ³ 12 x + 8

Lời giải
Chọn A.
Thay tọa độ M ( 0;- 3) lần lượt vào từng hệ bất phương trình.

Câu 16. Cho hệ BPT
A.

O( 0;0) .

ìïï x + y- 2 £ 0
í
ïïỵ 2x - 3y + 2 > 0

B. M ( 1;1) .

. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ BPT?
C.

D. P ( - 1;- 1) .

N ( - 1;1) .

Lời giải
Chọn C.
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình
ïìï x - 2y < 0
ïï
í x + 3y >- 2
ïï
Câu 17. Miền nghiệm của hệ BPT ïïỵ y- x < 3 là phần khơng tơ đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?


A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn A.
Chọn điểm

M ( 0;1)

thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.

Câu 18. Phần khơng tơ đậm trong hình vẽ dưới đây (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương
trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
y
1

A.

ïìï x - y ³ 0
.
í
ïïỵ 2x - y ³ 1

B.

ïìï x - y > 0
.
í
ïïỵ 2x - y > 1

C.

ïìï x - y < 0
.
í
ïïỵ 2x - y > 1

D.

ïìï x - y < 0
.
í
ïïỵ 2x - y < 1

x

O
1
-1

Lời giải
Chọn B.
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.
Chọn điểm

M ( 1;0)

thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án B, ta có

ïìï 1- 0 > 0
í
ïïỵ 2.1- 0 > 1

: Đúng và miền nghiệm không chứa biên.

Câu 19. Phần không tơ đậm trong hình vẽ dưới đây (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương
y
trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
1

A.

ïìï x - 2y £ 0

.
í
ïïỵ x + 3y ³ - 2

B.

ïìï x - 2y > 0
.
í
ïïỵ x + 3y <- 2

C.

ïìï x - 2y £ 0
.
í
ïïỵ x + 3y £ - 2

D.

Lời giải

ïìï x - 2y < 0
.
í
ïïỵ x + 3y >- 2

x

-2

2


Chọn D.
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C.
Chọn điểm M ( 0;1) thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án B, ta có

ìïï 0 - 2.1 > 0
í
ïïỵ 0 + 3.1 <- 2

: Sai.

ìï x + y- 1> 0
ïï
ïí y ³ 2
ïï
Câu 20. Miền nghiệm của hệ BPT ïïỵ - x + 2y > 3 là phần khơng tơ đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?
y

y

2

2

1

1
1

-3

x

O

-3

A.

B.

y

y

2

2

1

x

1

x

1
1

-3

1
O

x

O

-3

C.

O

D.
Lời giải

Chọn B.
Chọn điểm

M ( 0; 4)

thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.

x  y  3


 1
1  x  y  0
Câu 21: Cho hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A.

 1;  2   S .

B.

 2;1  S .

C.

 5;  6   S .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì khơng có điểm nào thỏa hệ bất phương trình.

D. S  .


3

2 x  y 1
2


4 x  3 y 2
Câu 22: Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng ?

 1

  ;  1  S

A.  4
.
B.

S   x; y  | 4 x  3 2

.

C.Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y 2 .
D.Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng khơng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với

d là là đường thẳng 4 x  3 y 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

 d1  : 2 x 

3
y 1

2

 d 2  : 4 x  3 y 2
Thử trực tiếp ta thấy

 0 ; 0

là nghiệm của

phương trình (2) nhưng khơng phải là
nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch
các miền khơng thích hợp, tập hợp nghiệm
bất phương trình chính là các điểm thuộc
đường thẳng

bỏ
của

 d  : 4 x  3 y 2.

 2 x  3 y  5 (1)


3
 x  2 y  5 (2)
S
S
Câu 23: Cho hệ
. Gọi 1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), 2 là tập nghiệm
của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A.

S1  S2 .

B.

S 2  S1 .

C.

S 2 S .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

 d1  : 2 x  3 y 5
 d2  : x 

3
y 5
2

D.

S1 S .


 0 ; 0

Ta thấy
là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc
cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp,
miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 24: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
nào trong bốn hệ A, B, C, D ?

y

3

x

2
O

y  0

3x  2 y  6 .
A. 

y  0

3x  2 y   6 .
B. 

x  0

3x  2 y  6 .
C. 

x  0

3x  2 y   6 .
D. 

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng

 d1  : y 0

và đường thẳng

 d 2  : 3x  2 y 6.
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.
Lại có

 0 ; 0

thỏa mãn bất phương trình 3 x  2 y  6.

Câu 25: Miền ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bết phương trình nào trong
bốn bệ A, B, C, D ?


2

A

B
O

x

5
2

C

A.

 y 0

5 x  4 y 10
5 x  4 y 10


.

B.

 x 0

4 x  5 y 10
5 x  4 y 10


.

C.

 x 0

5 x  4 y 10
4 x  5 y 10


.

D.

x  0

5 x  4 y 10
4 x  5 y 10


.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:

 d1  : x 0
 d 2  : 4 x  5 y 10

 d3  : 5 x  4 y 10
d 
Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị x dương (kể cả bờ 1 ).

Lại có

 0 ; 0

là nghiệm của cả hai bất phương trình 4 x  5 y 10 và 5 x  4 y 10.

Câu 26: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.

A  1 ; 0

.

B.

B   2 ; 3

.

x  2 y  0

x  3y   2
y  x  3


chứa điểm nào sau đây?

C  0 ;  1

C.

.
Hướng dẫn giải

D.

D   1 ; 0 .


Chọn D.
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

 d1  : x  2 y 0
 d 2  : x  3 y  2
 d3  : y  x 3
 0 ; 1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  0 ; 1
Ta thấy

thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp,
miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 27: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.

A1 ; 2 .

B.

B  0 ; 2

.

2 x  3 y  6  0

 x 0
 2 x  3 y  1 0


C   1 ; 3

chứa điểm nào sau đây?

C.
.
Hướng dẫn giải

1

D 0 ;  .
3
D. 

Chọn D.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

 d1  : 2 x  3 y  6 0
 d 2  : x 0
 d3  : 2 x  3 y  1 0
 1 ; 1 là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm  1 ; 1

Ta thấy
thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích
hợp, miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.

2 x  1 0

 3 x  5 0
Câu 28: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây?
A.Khơng có.

5 
B ; 2.

B.  3

C   3 ; 1 .

1

D  ; 10 
.
D.  2
Hướng dẫn giải

Chọn A.

C.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

 d1  : 2 x  1 0
 d 2  :  3x  5 0
1 ; 0
Ta thấy

là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 1 ; 0

không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy khơng có điểm
nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.

3  y  0

2 x  3 y  1  0 chứa điểm nào sau đây?
Câu 29: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
A 3 ; 4
B  4 ; 3
C  7 ; 4
D  4 ; 4 .
A.

.

B.

.

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

Chọn C.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

 d1  : 3  y 0
 d 2  : 2 x  3 y  1 0
 6 ; 4  là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  6 ; 4 
Ta thấy

thuộc
cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp,
miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.

x  2 y  0

x  3 y   2 không chứa điểm nào sau đây?
Câu 30: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
A.

A   1 ; 0 .

B.

B  1 ; 0 .

C   3 ; 4

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

D  0 ; 3 .


Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

 d1  : x  2 y 0
 d 2  : x  3 y  2
 0 ; 1 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  0 ; 1
Ta thấy

thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần khơng thích hợp, phần
khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 31: Miền nghiệm của hệ bất phương trình

3x  2 y  6 0

3y


4
 2( x  1) 
2

 x 0
không chứa điểm nào sau
đây?
A.

A  2 ;  2

C.

C  1 ;  1 .

.

B.

B  3 ; 0 .
D  2 ;  3 .

D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

 d1  : 3x  2 y  6 0

 d2  : 4 x  3 y  12 0
 d3  : x 0
 2 ;  1 là nghiệm của cả ba bất phương
Ta thấy

 2 ;  1

trình. Điều đó có nghĩa điểm
thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích
hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 32: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.

A  3 ; 2 .

Chọn A.

B.

B  6 ; 3 .

x  y  0

 x  3 y  3
x  y  5


không chứa điểm nào sau đây?

C  6 ; 4 .

C.
Hướng dẫn giải

D.

D  5 ; 4 .


Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

 d1  : x  y 0
 d 2  : x  3 y  3
 d3  : x  y 5

 5 ; 3

 5 ; 3

Ta thấy
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm
thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền khơng thích hợp,
miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 33: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.

A  0 ; 1 .

C.

C   3 ; 0 .

B.

x  3y  0

x  2 y   3
y  x  2


không chứa điểm nào sau đây?

B   1 ; 1 .

D   3 ; 1 .

D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

 d1  : x  3 y 0
 d 2  : x  2 y  3
 d3  : x  y 2

  1 ; 0

  1 ; 0

Ta thấy
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm
thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền khơng thích
hợp, miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.

DẠNG 3. BÀI TỐN TỐI ƯU
Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F ( x, y) = ax + by với ( x; y) nghiệm đúng một hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ BPT đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận: · Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
·

Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Câu 34. Giá trị nhỏ nhất Fmin

ïìï y- 2x £ 2
ïï
í 2y - x ³ 4
ïï
của biểu thức F ( x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ ïïỵ x + y £ 5 là


A. Fmin = 1.

B. Fmin = 2.

C. Fmin = 3.

D. Fmin = 4.
Lời giải

Chọn A.
ïìï y- 2x £ 2
ïï
í 2y- x ³ 4 Û
ïï
Ta có ïỵï x + y £ 5

ïìï y- 2x - 2 £ 0
ïï
í 2y- x - 4 ³ 0.
ïï
ïỵï x + y- 5£ 0 ( *)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng
d1 : y- 2x - 2 = 0, d2 : 2y- x - 4 = 0,
d3 : x + y - 5 = 0.

*
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình ( ) là phần mặt phẳng (tam
giác ABC kể cả biên) tơ màu như hình vẽ.

*
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ ( ) là

A ( 0;2) , B ( 2;3) , C ( 1;4) .
ìï F ( 0;2) = 2
ùù
ù F ( 2;3) = 1 ắắ
đ Fmin = 1 .
í
ïï
ï F ( 1;4) = 3
Ta có ïỵ

Câu 35. Biểu thức F ( x; y) = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
A. ( 4;1) .

ổ
8 7ử
ỗ
;- ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
3
3ứ
B.

ổ
2 2ử
ỗ
;- ữ

ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
3
3ứ
C.

ỡù 2x - y ³ 2
ïï
ïï x - 2y £ 2
í
ïï x + y £ 5
ïï
ïïỵ x ³ 0

tại điểm M có toạ độ là:

5;0 .
D. ( )

Lời giải
Chọn A.
Ta đi giải các hệ phương trình
ìïï 2x - y = 2
Û
í
ïỵï x - 2y = 2

ìï
ïï x = 2
3
ïíï
;
ïï
2
ïï y = 3
ỵï

ïíìï 2x - y = 2 Û
ïỵï x + y = 5

ìï
ïï x = 7
3
ïíï
;
ïï
8
ïï y =
3
ỵï

ïíìï x - 2y = 2 Û
ïỵï x + y = 5

ïíìï x = 4.
ïỵï y = 1

Suy ra chỉ có đáp án A và C là đỉnh của đa giác miền nghiệm.
So sánh F ( x; y) = y – x ứng với tọa độ ở đáp án A và C, ta được đáp án ( 4;1) .

Câu 36. Cho

x, y

thoả mãn hệ

ïìï x + 2y- 100 £ 0
ïï
ïí 2x + y - 80 £ 0 .
ïï x ³ 0
ïï
ïïỵ y ³ 0

Tìm giá trị lớn nhất

Pmax

của biểu thức


P = ( x; y) = 40000x + 30000y.

A. Pmax = 2000000. B. Pmax = 2400000. C. Pmax = 1800000.

D. Pmax = 1600000.

Lời giải

Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng
d1 : x + 2y- 100 = 0,

d2 : 2x + y- 80 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác OABC kể cả biên) tơ màu như hình
vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
O( 0;0) ,
A ( 0;50) ,
B ( 20;40) ,
C ( 40;0) .

Ta có

ìï P ( 0;0) = 0
ïï
ïï P ( 0;50) = 1500000
ï
í
ïï P ( 20;40) = 2000000
ïï
ïï P ( 40;0) = 1600000
ợ

ắắ
đ Pmax = 2000000.

Cõu 37. Giỏ tr ln nht Fmax của biểu thức F ( x; y) = x + 2y trên miền xác định bởi hệ

A. Fmax = 6.

B. Fmax = 8.

C. Fmax = 10.

D. Fmax = 12.
Lời giải

Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng
d1 : x - y- 1= 0,
d2 : x + 2y - 10 = 0,
D : y = 4.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ
giác OABCD kể cả biên) tơ màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
O( 0;0) , A ( 1;0) , B ( 4;3) , C ( 2;4) , D ( 0;4) .

ìï 0 £ y £ 4
ïï
ïï x ³ 0
í
ïï x - y - 1£ 0
ïï
ïïỵ x + 2y - 10 £ 0

là

Ta có

ìï F ( 0;0) = 0
ïï
ïï F ( 1;0) = 1
ùù
ù F ( 4;3) = 10 ắắ
đ Fmax = 10.
í
ïï
ïï F ( 2;4) = 10
ïï
ïï F ( 0;4) = 8
ỵ

Câu 38. Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F ( x; y) = 4x + 3y trên miền xác định bởi hệ
A. Fmin = 23.

B. Fmin = 26.

C. Fmin = 32.

ìï 0 £ x £ 10
ïï
ïï 0 £ y £ 9
í
ïï 2x + y ³ 14
ïï
ïïỵ 2x + 5y ³ 30

là

D. Fmin = 67.
Lời giải

Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng
d1 : 2x + y - 14 = 0, d2 : 2x + 5y- 30 = 0, D : y = 9, D ': x = 10.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác ABCD kể cả biên) tơ màu như hình
vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kớn to bi h l
A ( 5;4) ,
ổ
5 ử
Bỗ
;9ữ
ữ
ỗ
ữ,
ỗ
ố2 ứ
C ( 10;9) ,
D ( 10;2) .

Ta có

ìï F ( 5;4) = 32
ùù

ùù ổ
5 ử
ùù F ỗ
ữ
ỗ ;9ữ
ữ= 37 ắắ
ùớ ỗ
ố2 ứ
đ Fmin = 32.
ùù
ùù F ( 10;9) = 67
ùù
ùùợ F ( 10;2) = 46

Câu 39. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g
đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế
bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo.
Lời giải


Chọn C.
Giả sử x, y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Suy ra 30x +10y là số gam đường cần dùng;
x+ y

là số lít nước cần dùng;

x + 4y

là số gam hương liệu cần dùng.

ìï x ³ 0
ïï
ïï y ³ 0
ïï
í 30x +10y £ 210 Û
ïï
ïï x + y £ 9
ïï
Theo giả thiết ta có ïỵ x + 4y £ 24

ìï x ³ 0
ïï
ïï y ³ 0
ïï
í 3x + y £ 21.
ïï
ïï x + y £ 9
ïï
ïỵ x + 4y £ 24 ( *)

Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60x + 80y.
*
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x, y thỏa mãn ( ) .

Câu 40. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200kg ngun liệu và 1200giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sp bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
A. 30 kg loại I và 40 kg loại II.

B. 20 kg loại I và 40 kg loại II.

C. 30 kg loại I và 20 kg loại II.

D. 25 kg loại I và 45 kg loại II.
Lời giải

Chọn B.
Gọi x ³ 0, y ³ 0 ( kg) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2x + 4y £ 200.
Tổng số giờ làm việc: 30x +15y £ 1200.
Lợi nhuận tạo thành: L = 40x + 30y (nghìn).
Thực chất của bài tốn này là phải tìm x ³ 0, y ³ 0 thoả mãn hệ
ïìï 2x + 4y £ 200
í
ïïỵ 30x + 15y £ 1200

sao cho L = 40x + 30y đạt giá trị lớn nhất.

Câu 41. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết
quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận
khơng quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B . Do tác động phối hợp của hai loại
vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng

mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có
giá 7,5 đồng.
A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B.
B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B.
C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B.
D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B.
Lời giải
Chọn D.
Gọi x ³ 0, y ³ 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 £ x + y £ 1000.
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có:
x £ 600, y £ 500.

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều
hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0,5x £ y £ 3x.
Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T ( x, y) = 9x + 7,5y.
Bài tốn trở thành: Tìm x ³ 0, y ³ 0 thỏa mãn hệ
ïìï 0 £ x £ 600,0 £ y £ 500
ïï
í 400 £ x + y £ 1000
ïï
ïïỵ 0,5x £ y £ 3x
để T ( x, y) = 9x + 7,5y đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 42. Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy
sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, cơng ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm
bìa có hai cách cắt khác nhau.
·

Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.

·

Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có
là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số
tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm.
Lời giải
Chọn A.


Gọi x ³ 0, y ³ 0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.
ìï 3x + 2y ³ 900
ïï
ïí x + 3y ³ 1000
ïï
x
³
0,
y
³
0
Bài tốn đưa đến tìm
thoả mãn hệ ïïỵ 6x + y = 900 sao cho L = x + y nhỏ nhất.

Câu 43. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong
một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1
giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng
người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt
động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy
lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B.
B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B.
C. Sản xuất

10
3

tấn sản phẩm A và

49
9

tấn sản phẩm B.

D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A.
Lời giải
Chọn B.
Gọi x ³ 0, y ³ 0 (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm B. Ta có:
x + 6y

là thời gian hoạt động của máy I .

2x + 3y

là thời gian hoạt động của máy II .

3x + 2y

là thời gian hoạt động của máy III .

Số tiền lãi của nhà máy: T = 4x + 3y (triệu đồng).
ìï x + 6y £ 36
ïï
ïí 2x + 3y £ 23
ïï
x
³
0,
y
³
0
Bài tốn trở thành: Tìm
thỏa mãn ïïỵ 3x + 2y £ 27 để T = 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất.

Câu 44: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  y  x trên miền xác định bởi hệ

 y  2 x 2

 2 y  x 4
 x  y 5


A. min F 1 khi x 2, y 3 .

B. min F 2 khi x 0, y 2 .

C. min F 3 khi x 1, y 4 .

D. min F 0 khi x 0, y 0 .
Lời giải

Chọn A.

là.