TOÁN CAO CẤP

Bộ môn toán cao cấp
Đề tài thảo luân : phương trình sai phân cấp I,II cấp K
Cấu trúc đề tài
1. Phương trình sai phân cấp I
2. Phương trình sai phân cấp K
3. ứng dụng của phương trình sai phân trong các mô hình kinh tê
4. vẻ đồ thị nghiêm riêng bài 11.3 (tr 255) bằng scilab , điều kiện ban đầu
y(0) =3 trên dãy số nguyên [o;10]liệt kê các gia trị hàm
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP I
Phương trình sai phân cấp II
Phương trình sai phân cấp k
A, Các dạng bài tập:
I, Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình:
Dạng PT: a
k
.y(n+k) + a
k-1
.y(n+k-1) +………+ a
1
.y(n+1) + a
0
.y(n) = f(n) (1) (a
k
.a

0
≠
0)
Cách giải:
Nghiệm tổng quát của PT (1) là y(n) = ỹ(n) + ŷ(n)
Trong đó ỹ(n) là nghiệm của PT thuần nhất và ŷ(n) là một nghiệm riêng của PT không thuần nhất.
Với f(n) = 0 thì PT (1) là PT thuần nhất:
a
k
.y(n+k) + a
k-1
.y(n+k-1) +………+ a
1
.y(n+1) + a
0
.y(n) = 0 (2) (a
k
.a
0
≠
0)
a, Theo phương pháp chọn:
B1: Tìm ỹ(n)
Xét phương trình đặc trưng:
a
k
. λ
k
+ a
k

-1
. λ
k-1
+……….+ a
1
. λ + a
0
= 0 (3)
từ PT giải ra được : λ
1
, λ
2
,… λ
k-1,
λ
k
là nghiệm của PT (3)
⇒
nghiệm tổng quát của PT (2) là:
• Nếu PT (3) có k nghiệm thực khác nhau là λ
1
, λ
2
,… λ
k-1,
λ
k
thì

nghiệm tổng quát của PT (2) là: ỹ(n) = C
1
.
λ
n
1
+………+ C
k
. λ
n
k
(*)
• Nếu λ = λ
i
thìlà nghiệm bội cấp s của PT (3) thì

nghiệm tổng quát của PT (2) là: ỹ(n) = C
1
. λ
n

+ n.C
2
. λ
n

+
… ……+ n
s-1
C

k
. λ
n
Tổng lấy theo tất cả các nghiệm của PT đặc trưng
• Nếu a
j
±

i.b
j
là nghiệm bội cấp s của PT (3),trong đó b
j
≠
0;
a
j
±

i.b
j
= r
j
.(cos
φ
j
+ sin
φ
j
) thì số hạng C
j

.λ
j
n
ở (*) được thay thế bởi tổ hợp tuyến tính, hệ số hằng tùy ý của
r
j
n
. cos n
φ
j
, r
j
n
.sin n
φ
j
,

n.r
j
n
. cos n
φ
j
, n.r
j
n
. sin n
φ
j

,……, n
s-1
.r
j
n
. cos n
φ
j
, n
s-1
.r
j
n
. sin n
φ
j
B2: Tìm nghiệm riêng ŷ(n) của PT (1)
TH1: f(n) =
α
n
.P
m
(n) thì nghiệm riêng của PT (1) có dạng:
• ŷ(n) =
α
n
.Q
m
(n) nếu
α

không là nghiệm của PTĐT
• ŷ(n) = n.
α
n
.Q
m
(n) nếu
α
là nghiệm đơn của PTĐT
• ŷ(n) = n
s
.
α
n
.Q
m
(n) nếu
α
là nghiệm bội s của PTĐT
Bài 11.3.4
GPT: 2.y(n+1) – y(n) = 2
-n + 3
.(n + 1) (1)
Giải:
PTTN: 2.y(n+1) – y(n) = 0
Xét phương trình đặc trưng: 2 λ – 1 = 0
⇒
λ =
2
1

⇒
nghiệm tổng quát của PTĐT ỹ(n) = C. (
2
1
)
n
=C.2
- n
Do λ = 2
- 1
là nghiệm của PTĐT nên nghiệm riêng có dạng
ŷ(n) = n. 2
- n
.( An + B)
Ta có: ŷ(n+1) = (n+1). 2
- n-1
.[ A(n+1) + B]
Thay vào (1) ta có:
2An + A + B = 8n + 8
⇒
2A = 8
⇔
A =4
A + B = 8 B = 4
⇒
nghiện riêng của PT(1) ŷ(n) = 2
- n
.( 4n
2
+ 4n)

Nghiệm tổng quát của PT (1) là:
y(n) = ỹ(n) + ŷ(n) = 2
- n
.( 4n
2
+ 4n + C)
TH2: f(n) =
α
n
.[P
m
(n) . cos n
β
+ Q
l
(n) . sin n
β
] (sin n
β
≠
0)
Ta có thể tìm nghiệm riêng dưới dạng
ŷ(n) =
α
n
.[R
h
(n) . cos n
β
+ S

h
(n) . sin n
β
] nếu
α
.(cos
β
±
sin
β
) không là nghiệm của PTĐT.
ŷ(n) = n.
α
n
.[R
h
(n) . cos n
β
+ S
h
(n) . sin n
β
] nếu
α
.(cos
β
±
sin
β
) là nghiệm của PTĐT.

(Ở đây, h:= max{m;l} còn R
h
(n); S
h
(n) là các đa thức bậc h của n)
Bài 11.3.5
Chú ý:
- Nghiệm riêng của PT thỏa mãn 1 đk nào đó thì ta thay vào nghiệm tổng quát để giải hệ ta được giá trị cần tìm.
Bài 11.2:11.6;11.8
- Nếu f(n) = f
1
(n) + f
2
(n) + ……… + f
s
(n) thì ta giải từng phương trình:
a
k
.y(n+k) + a
k-1
.y(n+k-1) +………+ a
1
.y(n+1) + a
0
.y(n) = f
i
(n) với i=1,2,……,s
⇒
các nghiệm riêng tương ứng: ŷ
1

(n),… , ŷ
s
(n)
⇒
nghiệm riêng của PT (1) là : ŷ(n) = ŷ
1
(n) + ŷ
2
(n) + …….+ ŷ
s
(n)
Bài 11.3.9;11.7.5,9
b, Phương pháp biến thiên hằng số ( áp dụng cho PT thuần nhất cấp 1 hệ số hằng)
( xem SGK/240)
Nghiệm tổng quát của PTTN: a.y(n+1) +b.y(n) = 0 là ỹ(n) = C.( -
a
b
)
n
Coi C là hàm của n (nghĩa là coi C =C(n)), khi đó
ỹ(n) = C(n).( -
a
b
)
n
ỹ(n+1) = C(n+1).( -
a
b
)
n+1

Thay ỹ(n), ỹ(n+1) vào PT: a.y(n+1) +b.y(n) = f(n)
Ta được: a. C(n+1).( -
a
b
)
n+1
+ b. C(n).( -
a
b
)
n
= f(n)
⇔
C(n+1) – C(n) = -
b
1
( -
b
a
)
n
.f(n)
Đây là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đối với C(n). Ta có thể giải theo các cách đã biết. Chẳng hạn:
Ở các bước 0,1,2……… ,n-1 ta có:
C(1) – C(0) = -
b
1
( -
b
a

)
0
.f(0)
C(2) – C(1) = -
b
1
( -
b
a
)
1
.f(1)
……………………………….
C(n) – C(n-1) = -
b
1
( -
b
a
)
n-1
.f(n-1).
Cộng từng vế ta được:
C(n) – C(0) = -
b
1
( -
b
a
)

i
.
∑
−
=
1
0
)(
n
i
if
Lấy hằng số tự do là C(0) =C,được
C(n) = C -
b
1
( -
b
a
)
i
.
∑
−
=
1
0
)(
n
i
if

Thay C(n) vào ỹ(n) được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là
y(n) = C(n).( -
a
b
)
n
= [ C -
b
1
( -
b
a
)
i
.
∑
−
=
1
0
)(
n
i
if
].( -
a
b
)
n
ứng dụng phương trình sai phân trong các mô hình kinh tê

Vẽ đồ thị
Bài 11.5 trang 255
1)y(n+1)-4y(n)=3n
2
-8n-1
function z=f(n,y),z=4*y+((3*(n^2)-8*n-1)),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
tính các giá trị Y(n) bằng cách gõ y(1), y(2)…y(n)  Enter
2)y(n+1) + 3y(n)= (-3)
n
3n
function z=f(n,y),z=-3*y+((-3)^n*3*n),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
3)2y(n+1)-y(n)=2^(-n)(n+1)
ta chuyển về hàm y(n+1) = y(n)/2+4*2^(-n)(n+1)
function z=f(n,y),z=y*1/2+(4*(2^(-n))*(n+1)),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
4)2y(n+1)-y(n)=4

-n
(n
2
+n-1)
function z=f(n,y),z=y*1/2+((4^(-n)*(n^2+n-1)*1/2)),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
5)y(n+1)-3y(n)=5.2
n+1
cos(n
2
π
)
function z=f(n,y),z=3*y+(10*(2^n)*cos(n*π/2)),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d3(kvect,y)
6)y(n
+1)+5y(n)=6n
2
-4n+12
function z=f(n,y),z=-5*y+(6*(n^2)-4*n+12),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
7)y(n+1)=3y(n)+2
n
(4-n)
function z=f(n,y),z=3*y+(2^n*(4-n)),endfunction

kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)
8)y(n+1)=2y(n)+cos(n
2
π
)-3sin(n
2
π
)
function z=f(n,y),z=2*y+((cos((n*π)/2))-3*(sin((n*π)/2))),endfunction
kvect=0:10;
y=ode("discrete",3,0,kvect,f);
plot2d2(kvect,y)