Hàm số và giới hạn hàm số 1 biến

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
52

PHẦN II. HÀM SỐ - ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Chương 3.
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN
3.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN:
3.1.1. Ánh xạ:
Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, được cho tương ứng duy nhất một y 
Y theo một qui tắc f thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y và được ký hiệu một
trong các dạng sau:

)x(fyx
YX:f



f: XY
)x(fyx



)x(fx 

a) Nếu với mọi x
1
, x
2
 X, x
1

≠ x
2
=> f(x
1
) ≠ f(x
2
) thì f được gọi là đơn ánh.
b) Nếu với mỗi y  Y, tồn tại x  X sao cho y = f(x) thì f được gọi là toàn ánh.
c) f được gọi là song ánh từ X lên Y nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh.
Nếu f: XY là song ánh thì f
-1
: YX là ánh xạ ngược của f thì:
a) x  X, y  Y: y = f(x)  x = f
-1
(y)
b) f[f
-1
(y)] = y với mọi y  Y
c) f[f
-1
(x)] = x với mọi x  X
3.1.2. Hàm số và miền xác định của hàm số:
Với X  , một ánh xạ f: X được gọi là một hàm số một biến. Ký hiệu y =
f(x), f(x) hay f.
X : Miền xác định của f.
f(X) = {f(x): x  X}: Miền giá trị của f.
x : Biến độc lập
y = f(x): Biến phụ thuộc

)x(fmaxM

Xx

: Giá trị lớn nhất
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
53

)x(fminm
Xx

: Giá trị nhỏ nhất
Nếu f(x) cho bởi một công thức mà không nói gì thêm thì miền xác định là tập
hợp tất cả giá trị x  để f(x) có nghĩa.
Ví dụ: 1xy
2
 có miền xác định là x
2
– 1  0 <=> x  -1, x  1
3.1.3. Đồ thị của hàm số :
Đồ thị của hàm số f với miền xác định X là tập C = {(x,f(x): x  X} và ta đồng
nhất nó với quỹ tích các điểm có toạ độ (x,f(x)) (x  X) trên mặt phẳng toạ độ
Descartes Oxy.
3.1.4. Các phép toán trên hàm số :
Giả sử các hàm số f, g có cùng miền xác định X, ta có:
(f + g) = f(x) + g(x), x  X
(f - g) = f(x) - g(x), x  X
(fg)(x) = f(x)g(x), x  X
f/g = f(x)/g(x), x  X: g(x)  0
af = af(x), x  X, a 
Ví dụ: Cho 3 hàm số f(x) = 2x

2
+ 1,
x)x(g 
, h(x) = x + 1. Xác định hàm số
(f – 3g)/h và miền xác định của nó.
Giải:

1
x
1x3x2
h
)g3f(
2





Miền xác định: 0x
01x
0x







3.1.5. Hàm số hợp:
Cho hàm số y = f(u), u = g(x). Khi đó, hàm số y = f[g(x)] được gọi là hàm số

hợp của f và g. Ký hiệu là f
o
g.
Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên ta có g
o
f, h
o
g.
1x2fg
2o

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
54


1xgh
o


3.1.6. Hàm số ngược:
Cho hàm số f(x) có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh (phép tương
ứng 1 – 1) thì f
-1
: YX được gọi là hàm số ngược của f.
Đồ thị của f và f
-1
đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
Ví dụ: Hàm số
3

xy 
có hàm số ngược là
3
xy 

Hàm số y = x
4
không tồn tại hàm số ngược.
3.1.7. Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f xác định trên (a,b)
- Hàm số f được gọi là tăng nếu: x
1
,x
2
 (a,b): x
1
< x
2
=> f(x
1
) < f(x
2
)
- Hàm số f được gọi là giảm nếu: x
1
,x
2
 (a,b): x
1
< x

2
=> f(x
1
) > f(x
2
)
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.
Chú ý:
- Một hàm số đã cho có thể không đơn điều trên miền xác định X của nó, nhưng
lại đơn điệu trên các tập D  X.
- Nếu hàm số f có miền xác định là một khoảng M và f đơn điệu trên N thì f có
hàm số ngược f
-1
: N = f(M)M và ta có
f tăng (giảm) trên M  f
-1
tăng (giảm) trên N.
Ví dụ: y = x
2
là hàm số không tăng, không giảm.
y = x
2
, x  [0,2] là hàm số tăng.
3.1.8. Hàm số bị chặn :
f gọi bị chặn trên nếu M: f(x)  M, x
f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x)  m, x
f gọi bị chặn nếu M: |f(x)|  M, x
Ví dụ : Hàm số y = cosx bị chặn trên vì
1xcos 

Hàm số
2
xy  bị chặn dưới trên vì 0
2
x
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
55

Chú ý : Hàm số f bị chặn khi và chỉ khi f bị chặn trên và bị chặn dưới.
3.1.9. Hàm số tuần hoàn:
Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu:
T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X
Số T
0
> 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Một
hàm số tuần hoàn có thể có hoặc không có chu kỳ cơ sở.
Ví dụ: Hàm sinx, cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T
0
= 2.
Hàm tg(x), cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T
0
=.
Ví dụ: Hàm số Dirichlet




tineu x vo 0
huu tineu x 1

f(x)

Đây là hàm số tuần hoàn vì f(x) = f(x+T) với T là hữu tỉ hoặc vô tỉ. Nhưng
không tìm được T > 0 nhỏ nhất để f(x) = f(x+T) với mọi x  .
3.1.10. Hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Cho hàm số f có miền xác định X, với x  X, -x  X :
a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X
Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (x,f(x))  (C)
b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X
Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (-x,-f(x))  (C)
Ví dụ: y = x
2
là hàm số chẵn.
y = x
3
là hàm số lẻ.
3.1.11. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
1. Hàm số hằng số:
y = c , c là hằng số.
Hàm hằng số có miền xác định , tập giá trị {c}.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
56

2. Hàm số luỹ thừa:
y = x


, với  
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc .
- Với  nguyên dương: miền xác định x  .
- Với  nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.
- Với  có dạng 1/p, p  thì:
* Với p nguyên dương:
với p chẵn: miền xác định là
+

với p lẻ: miền xác định là


* Với p nguyên âm thì miền xác định cũng phụ thuộc p chẵn hay lẻ
- Với  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x

. Miền xác định với mọi x ≥ 0 nếu 
> 0 và với mọi x > 0 nếu  < 0.
Đồ thị của y = x

luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0,
không đi qua góc toạ độ nếu  < 0.



Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
57

3. Hàm số mũ: y = a
x

, a > 0, a ≠ 1
Số a gọi là cơ số của hàm số mũ. Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
- Hàm số mũ tăng khi a > 1.
- Hàm số mũ giảm khi a < 1.
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.

4. Hàm số logarit: y = log
a
x, a > 0, a ≠ 1
Số a được gọi là cơ số của logarit. Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
- Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ. y = log
a
x <=> x = a
y

- Hàm số log
a
x tăng khi a > 1
- Hàm số log
a
x giảm khi a < 1
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
58

 Một số tính chất của log
a
x:

log
a
(xy) = log
a
x + Log
a
y
yx
y
x
aaa
loglog)(log 
log
a
x
α
= αlog
a
x

xlog
a
ax 


a
b
b
c
c

a
log
log
log 
5. Hàm số lượng giác:
 Hàm y = sinx
Hàm số y = sinx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1].
Hàm sinx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2

 Hàm y = cosx
Hàm số y = cosx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1].
Hàm cosx là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
59

 Hàm y = tgx
Hàm số y = tgx có miền xác định  x ≠ (/2+k), k  và có miền giá trị là .
Hàm số tgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và tăng trong từng khoảng xác
định (/2+k, /2+(k+1)), k 

 Hàm y = cotgx
Hàm số y = cotgx có miền xác định  x ≠ k, k  và có miền giá trị là .
Hàm số cotgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và giảm trong từng khoảng
xác định (k, (k+1)), k 


Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

60

6. Các hàm số lượng giác ngược:
 Hàm số y = arcsinx
Hàm số arcsinx là hàm số ngược của hàm số sinx:
y = arcsinx <=> x = siny
Hàm arcsinx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2]
Hàm arcsinx là hàm số tăng.

 Hàm số y = arccosx
Hàm số arccosx là hàm số ngược của hàm số cosx:
y = arccosx <=> x = cosy
Hàm arccosx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [0,]
Hàm arccosx hàm số giảm.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
61

 Hàm số y = arctgx
Hàm số arctgx là hàm số ngược của hàm số tgx:
y = arctgx <=> x = tgy
Hàm arctgx có miền xác định là , miền giá trị (-/2,/2)
Hàm arctgx là hàm lẻ, tăng.

 Hàm số y = arccotgx
Hàm số arccotgx là hàm số ngược của hàm số cotgx:
y = arccotgx <=> x = cotgy
Hàm arccotgx có miền xác định là , miền giá trị (0,)
Hàm arctgx là hàm lẻ, giảm.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
62

3.1.12. Hàm số sơ cấp:
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng,
hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là
hàm số sơ cấp.
Ví dụ:











2x
1xsine2
lgy
2
2x
là hàm số sơ cấp.







1 x, x
1 x,1x
y
2
không phải là hàm số sơ cấp










0 x ,1
0x ,0
0x ,1
xsgny gọi là hàm dấu của x, không phải làm hàm sơ cấp
3.2. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
3.2.1. Các khái niệm:
3.2.1.1. Khái niệm lân cận:
 x được gọi là lân cận của x

0
  > 0 đủ nhỏ: 0 < x-x
0
 < 
 x được gọi là lân cận của +  M > 0 đủ lớn: x > M
 x được gọi là lân cận của -  N < 0 đủ nhỏ: x < N
Lận cận một phía:
 x thuộc lân cận bên phải của x
0
và x > x
0
 x
0
< x < x
0
+ 
 x thuộc lân cận bên trái của x
0
và x < x
0
 x
0
-  < x < x
0

3.2.1.2. Giới hạn hữu hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở
chứa x
0
(riêng tại x
0

, f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số
f(x) khi x x
0
, nếu  > 0 cho trước,  > 0: 0 < x – x
0
 <   f(x) – L < .
Ký hiệu
L)x(flim
0
xx



Ví dụ: Chứng minh 9)1x4(lim
2x



,
Giải:
Giả sử L = 9, ta có:
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
63

 > 0, (4x + 1) – 9 <  <=> 4x - 2 <  <=> x - 2 < /4. Đặt  = /4 > 0.
Vậy,  > 0,  = /4 > 0: 0 < x - 2 <   (4x + 1) – 9 < 
Nghĩa là
9)1x4(lim
2x





Ví dụ: Tính 6
3
x
9x
lim
2
3x





Giải :
Giả sử L = 6, ta có:
 > 0,



3x6
3x
9x
2
. Đặt  =  > 0.
Vậy,  > 0,  =  > 0: 0 < x - 1 <   



2
1x
1x
2

Nghĩa là
6
3
x
9x
lim
2
3x





Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x
0
thì
)x(f)x(flim
0
xx
0


.
3.2.1.2. Giới hạn một bên :
a) Giới hạn bên phải: Với  > 0,  > 0: x

0
< x < x
0
+   f(x) – L < . L
đượi gọi là giới hạn bên phải của f(x).
Ký hiệu :
L)x(flim
0
xx


,
L)x(flim
00
xx,xx



b) Giới hạn bên trái: Với  > 0,  > 0: x
0
-  < x < x
0
 f(x) – L < . L
đượi gọi là giới hạn bên trái của f(x).
Ký hiệu: L)x(flim
0
xx


,

L)x(flim
00
xx,xx



Ví dụ: Tính
1x
)x(flim

:






1 x, x
1 x,1x
y
2

Giải:

0)1xlim()x(flim
1x1x







Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
64

1xlim)x(flim
2
1x
1x




Định lý: L)x(flim
0
xx


 L)x(flim)x(flim
00
xxxx




3.1.2. Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số:
a)




)x(flim
0
xx
nếu
M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x
0
 <   f(x) > M
b)



)x(flim
0
xx
nếu
N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x
0
 <   f(x) < N
c) L)x(flim
x


nếu
 > 0, M > 0 đủ lớn: x > M  f(x) - L < 
d)
L)x(flim
x



nếu
 > 0, N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N  f(x) - L < 
Ví dụ: chứng minh



ax
1
lim
ax

Giải:
Giả sử L = +, ta có:
M > 0,
A
1
ax M
ax
1


. Đặt  = 1/M > 0.
Vậy, M
ax
1
a-x ,0
M
1
,0M 


 (đpcm)
Ví dụ, chứng minh rằng 0
x
1
lim
x



Giải:
Giả sử L = 0, ta có:
 > 0,





1
x
1
x0
x
1
0x
. Đặt M = 1/ > 0.
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
65

Vậy,  > 0, M = 1/ > 0: x > M =>

 0
x
1
(đpcm)
3.1.3. Các định lý của giới hạn hàm số:
Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B với A, B
 , thì
 lim(f(x)  g(x)) = A  B
 lim(f(x).g(x)) = AB
 lim(f(x)/g(x)) = A/B (B ≠ 0)
 limf(x)
g(x)
= A
B
(A > 0)
 limC = C
 lim(Cf(x)) = CA
Ghi chú:
Trong trường hợp A, B không thoả mãn điều kiện của định lý, ta cũng có thể
xác định các giới hạn nói trên, ngoại trừ các trường hợp sau đây, gọi là dạng vô định,
ta cần phải khử nó.
 - , 0., 0/0, /, 1
0
, 1

, 0
0
, 
0

Ví dụ: Tìm giới hạn
2
x
8x
lim
3
2x




Giải:
3
)2x(
)4x2x(
lim
)2x)(2x(
)4x2x)(2x(
lim
4x
8x
lim
2
2x
2
2x
2
3
2x












Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x
0
. Nếu
L)x(hlim)x(glim
00
xxxx



thì L)x(flim
0
xx



Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định
trong lân cận của L, thì lim f(u(x)) = f(L) = f(lim u(x))
Ví dụ: Tìm giới hạn












xx2
5xx
coslim
3
23
x


Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
66

Giải:
0)
2
cos(
xx2
5xx
limcos
xx2
5xx

coslim
3
23
x
3
23
x



























3.1.4. Một số giới hạn đặc biệt:
1) 1
x
xsin
lim
0x



2) e
x
1
1lim
x
x










3)



ex1lim
x/1
0x



4) aln
x
1a
lim
x
0x




5) 1
x
)x1ln(
lim
0x




6) Hàm số luỹ thừa:
0x lim ;x lim : 0
0x
x















x lim ;0x lim : 0
0x
x

7) Hàm số mũ:

0a lim ;a lim : 1a
x
x
x
x






x
x
x
x
a lim ;0a lim : 1a0
8) Hàm số logarit:









xlog lim ;xlog lim : 1a
a
0x
a
x












xlog lim ;xlog lim : 1a0
a
0x
a
x

9) Hàm số ngược hàm số lượng giác:

2
arctgx lim ;
2
arctgx lim
xx











arccotgx lim ;0arccotgx lim
xx

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

67

Ví dụ:
a)



x)arccotg(ln lim
0x

b)
3
2
3x
sin2x
lim
0x



c)
1e])xsin1[( lim)xsin1( lim
1
x
xsin
xsin
1
0x
x/1
0x




3.1.5. So sánh vô cùng bé (VCB):
Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0.
Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình, giả sử tồn tại: lim(f(x)/g(x)) = A:
 Nếu A = 0 : ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
 Nếu A = : ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
 Nếu A ≠ 0, A ≠ : ta nói f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc.
 Nếu A = 1, ta nói f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x)
 Nếu A không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB trong cùng quá trình, Nếu f(x)~f
1
(x) ,
g(x)~g
1
(x) thì lim(f(x)/g(x)) = lim(f
1
(x)/g
1
(x))
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x)
trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x).
Ví dụ:
2
2
lim
x
2x
lim

)1ln(x
)2sin(x
lim
2
2
0x
24
23
0x
24
23
0x







x
x
x
x
x
x

3.1.6. So sánh vô cùng lớn (VCL):
Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu limF(x) = 
Trong cùng quá trình, nếu f(x) là VCB thì 1/f(x) là VCL và ngược lại.
Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình, giả sử tồn tại:

lim(F(x)/G(x)) = A
Nếu A =  : ta nói F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
Nếu A = 0 : ta nói F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
68

Nếu A ≠ 0, A ≠  : ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc.
Nếu A = 1, ta nói F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x)
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F
1
(x),
G(x)~G
1
(x) thì lim(F(x)/G(x)) = lim(F
1
(x)/G
1
(x))
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x)
trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ:
12
7
x12
x7
lim
x6xx12
x6xx7
lim

3
3
x
23
53
x





3.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
3.2.1. Khái niệm liên tục :
Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trong khoảng (a,b), x
0
 (a,b). Hàm f được
gọi là liên tục tại x
0
nếu
)x(f)x(flim
0
xx
0



Nếu chỉ có )x(f)x(flim
0
xx
0



( )x(f)x(flim
0
xx
0


) thì f được gọi là liên tục bên
phải (hoặc bên trái) tại x
0
.
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x
0
nếu nó không liên tục tại
x
0
. Vậy x
0
là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x
0

- Hoặc f(x) xác định tại x
0
nhưng lim f(x) ≠ f(x
0
) khi x  x
0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x
0

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x
0
= 0
a)






0 x khi1x
0 xkhi1x2
)x(f
2


1)1x(lim)x(flim1)1x2(lim)x(flim
2
0x0x0x0x



=> f không liên tục tại x = 0
b)
x
xcos
)x(f  => f không liên tục tại x = 0 vì tại đây hàm số không xác định.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
69

Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó, được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.
3.2.2. Các định lý về hàm số liên tục:
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x
0
thì các hàm số sau cũng liên tục
tại x
0
:
 f(x)  g(x)
 f(x)g(x)
 f(x)/g(x) (g(x
0
)  0)
 f(x)
g(x)
(f(x
0
) > 0)
 cf(x) (c hằng số)
Định lý: Nếu u(x) liên tục tại x
0
, f(u) liên tục tại u
0
= u(x

0
) thì f(u(x)) liên tục
tại x
0
.
Định lý: Nếu f liên tục trên đoạn [a,b]:
 f bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa là M sao cho |f(x)|  M, x  [a,b]
 f có giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn [a,b].
 Nếu f(a)f(b) < 0 thì x
0
 (a,b): f(x
0
) = 0.
3.3. BÀI TẬP:
1. Tìm miền xác định của hàm số:
1)
x
x
y



2
2
2)
2
3
1
lg
2





x
x
x
y 3)
2
sin xy 
4)
)ln(sin x
ey  5) )(sincot xgy

6)
xx
1
y


2. Tìm hàm số f(x) có dạng f(x) = ax + b, biết rằng f(0) = -2, f(3) = 5 (nội suy tuyến
tính)
3. Tìm hàm số f(x) có dạng f(x) = ax
2
+ bx + c biết rằng f(-2) = 0, f(0) = 1, f(1) = 5
(nội suy bậc bậc 2)
4. Cho hàm số y = sgnx (đọc là dấu của x) được định nghĩa như sau:
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
70










0 xkhi1
0 xkhi0
0 xkhi1
xsgn
Vẽ đồ thị và chứng minh xsgnxx 
5. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x)) nếu:
1) f(x) = x
2
, g(x) = 2
x
2)






0 xkhix
0 xkhi0

)x(f
,






0 xkhix-
0 xkhi0
)x(g
2

6. Tìm f(x) nếu:
1) f(x+1) = x
2
– 3x + 2 2) 0x,x1x)
x
1
(f
2
 3)
2
x)
1
x
x
(f 


7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
1) f(x) = 3x – x
3
2)
3
2
3
2
)x1()x1()x(f  3) f(x) = a
x
+ a
-x
(a>0)
4)
x
1
x1
ln)x(f


 5) )x1xln()x(f
2

8. Tìm các giới hạn sau:
1)
5
x
2
1xx
lim

2
2
x



2)
4
x
1x2x3
lim
3
2
x



3)
1
x
8x2
lim
2
3
x




4)

2
x
4x
lim
2
2x



5)
x
1x1
lim
0x


6)
1x
1x
lim
3
1x




7)


1x1xlim

22
x


8)
2
2
0x
x
3
3
x
sin
lim

9)
x
x
x
2
1lim









10)
1x
x
1x2
3x2
lim










11)
1x
1x
2
2
x
1x
1x
lim














12)
x
0x
x21lim 


9. Xét tính liên tục của hàm số:
1) x)x(f  2)










2 xkhiA
2 xkhi
2x
4x

)x(f
2

3)
2
x
1
e)x(f 
, nếu x0 và f(0)=0 4)






2x1 khix2
1x0 khix2
)x(f

10. Xét tính liên tục của hàm số:
1)








0x1

0x
x
xsin
)x(f 2)








0x1
0x
x
1
sinx
)x(f

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
71

11. Cho







0xxa
0xe
)x(f
x
hãy chọn a sao cho f(x) liên tục.
12. So sánh vô cùng bé khi x →0 của g(x) = x với các vô cùng bé sau:
1)
3
tgxf 
2)
3
2
xsinf  3) 3x9f 
4)
xcos1f


5)
xarctg

13. Chứng minh các VCB tương đương khi x →0:
1) x
2
1
~
x1
1
1

 2)

x~
x
1
1
1



14. Hãy so sánh các VCL khi x →:
1)
1x22xg ,5x2x3f
32


2)
22
)2(xg ,x2x2f 

3)
3
3
xg ,axf 