Tải bản đầy đủ (.pdf) (8 trang)

tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo bồi dưỡng thi Tích phân và ứng dụng tóm tắt sách giáo khoa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (149.13 KB, 8 trang )

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x
α

1
1
x
C
α
α
+
+
+

()ax b
α
+

a
1
1
()
1
ax b


C
α
α
+
+
+
+

1
x

ln
x
C+

1
ax b
+

1
ln ax b C
a
++

x
a


ln
x

a
C
a
+


x
e

x
eC+

ax b
e
+

1
ax b
eC
a
+
+

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )ax b C
a
−+
+


cosx Sinx + C cos(ax+b)

1
sin( )ax b C
a
++

2
1
cos
x


tgx + C
2
1
cos ( )ax b
+

1
()tg ax b C
a
++

2
1
sin
x



-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+


1
cot ( )gax b C
a
−+
+

'
()
()
ux
ux

ln ( )ux C+

22
1
x
a



1

ln
2
x
a
C
axa

+
+

tgx

ln cos
x
C−+

22
1
x
a+

22
ln
x
xa C+++
cotgx
ln sin
x
C+








Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
() cos
1
fx x
x
x
=+
+−
2.
2
2x 5
f(x)
x4x3

=


+


83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sin
x
xdx

2.
cos
tgx
dx
x

3.
1ln
x
dx
x
+


I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[
]
;ab

. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:

[]
() () () ()
b
b
a
a
f
xdx Fx Fb Fa==−

( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
() 0
b
a
fxdx
=



Tính chất 2:
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=−

∫∫


Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[
]
;ab
thì:
()
b
a
cdx c b a
=



• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[
]
;ab

() 0
f
x ≥
thì
() 0
b
a
fxdx≥


• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[
]
;ab

[
]
() () x a;bfx gx≥∀∈
thì

() ()
bb
aa
f
xdx gxdx≥
∫∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[
]
;ab

( ) ( m,M là hai hằng số)mfx M


thì

() () ()
b
a

mb a f xdx Mb a

≤≤




Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[
]
;ab
thì

[]
() () () ()
bb
aa
b
a
f
x gx dx f xdx gxdx±= ±
∫∫∫


Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và k là một hằng số thì


.() . ()
bb
aa
kf xdx k f xdx=
∫∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và c là một hằng số thì

() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[
]
;ab
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa
là :
( ) ( ) ( )
bbb
aaa
f x dx f t dt f u du==
∫∫∫
=


84
Bài 1: Tính các tích phân sau:

85
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+

2)
1
0
x
dx
2x 1+

3)
1
0
x1 xdx−

4)
1
2
0
4x 11

dx
x5x6
+
++


5)
1
2
0
2x 5
dx
x4x4

−+

6)
3
3
2
0
x
dx
x2x1++

7)
6
66
0
(sin x cos x)dx

π
+

8)
3
2
0
4sin x
dx
1cosx
π
+


9)
4
2
0
1sin2x
dx
cos x
π
+

10)
2
4
0
cos 2xdx
π


11)
2
6
1sin2xcos2x
dx
sinx cosx
π
π
++
+

12)
1
x
0
1
dx
e1+

.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44


π
14)


+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)

+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)


2
0
sin25
cos
π
dx

x
x

17)

−+

0
2
2
32
4
dx
x
x

18)

+
+

1
1
2
52
x
x
dx



Bài 2:
1)
3
2
3
x1dx



2)
4
2
1
x3x2dx

−+

3)
5
3
(x 2 x 2)dx

+−−

4)
2
2
2
1
2

1
x2
x
+−

dx

5)
3
x
0
24dx−

6)
0
1 cos2xdx
π
+

7)
2
0
1sinxdx
π
+

8)
dxxx



2
0
2

Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B
=
π+
thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'
f(1) 2=
2
0
f(x)dx 4
=


2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
23
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
+
−+ =


II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1)

DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx

Công thức đổi biến số dạng 1:
[]

=

)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax

bx
=
=

=
=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[]

=
b
fI (tiếp tục tính tích phân mới)

=
)(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu


Tính các tích phân sau:
1)
2
32
0
cos xsin xdx

π

2)
2
5
0
cos xdx
π

3)
4
2
0
sin 4x
dx
1cosx
π
+

4)
1
32
0
x1xdx−


5)
2
23
0

sin2x(1 sin x) dx
π
+

6)
4
4
0
1
dx
cos x
π

7)
e
1
1lnx
dx
x
+

8)
4
0
1
dx
cosx
π



9)
e
2
1
1lnx
dx
x
+

10) 11)
1
536
0
x(1 x)dx−

6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
−+

12)
3
4
0
tg x
dx

cos2x


13)
4
0
cos sin
3sin2
x
x
dx
x
π
+
+

14)

+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)


−+

5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)

+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)

3
4
2sin
)ln(
π
π
dx

x
tgx
18)


4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)

+

2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)

+
+
2
0

cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)

+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
22)

+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)


−+
2
1
11
dx
x
x
24)

+
e
dx
x
xx
1
lnln31

25)

+

4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x



2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx

(t)
ϕ


Công thức đổi biến số dạng 2:
[]

=

=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'
ϕϕ

=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=

=
=
t
t
ax
bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
(tiếp tục tính tích phân mới)
[]

=

=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Tính các tích phân sau:

1)
1
2
0
1xdx−

2)
1
2
0
1
dx
1x
+

3)
1
2
0
1
dx
4x


4)
1
2
0
1
dx

xx1
−+


5)
1
42
0
x
dx
xx1
++

6)
2
0
1
1cos sin
dx
x
x
π
++

7)
2
2
2
2
0

x
dx
1x−

8)
2
22
1
x4xdx−



86
9)
2
3
2
2
1
dx
xx 1


10)
3
2
2
1
93x
dx

x
+

11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x

+

12)
2
2
2
3
1
1
dx
xx−


13)
2
0
cos

7cos2
x
dx
x
π
+

14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+

15)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
π
+


16)

+
+

0
1
2
22
x
x
dx

17)

++
1
0
311 x
dx
18)



2
1
5
1
dx

x
xx


II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
xx
+

2)
7
3
32
0
1
x
dx
x+

3)
3
52
0

1
x
xdx+

4)
ln2
x
0
1
dx
e2
+


5)
7
3
3
0
1
31
x
dx
x
+
+

6)
2
23

0
1
x
xd+

x
7)

+
32
5
2
4xx
dx


III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:


[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay:
[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=

=
=

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :

[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[

]
b
a
vu.

b
a
vdu

Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x


2)
2
2
0
xcos xdx
π

3)
1
x
0
esinxdx

4)
2
0
sin xdx
π

5) 6)
e
2
1
xln xdx

3
2
0
xsinx

dx
cos x
π
+



87
7) 8)
2
0
xsinxcos xdx
π

4
2
0
x(2cos x 1)dx
π


9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+



10) 11) 12)
1
22x
0
(x 1) e dx+

e
2
1
(xlnx) dx

2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+


13)
2
1
ln
(1)
e
e
x
dx
x +


14)
1
2
0
x
tg xdx

15)


1
0
2
)2( dxex
x
16) 17)

+
1
0
2
)1ln( dxxx

e
dx
x
x
1
ln
18)


+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
19) 20)

++
2
0
)1ln()72( dxxx


3
2
2
)ln( dxxx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0

=



2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx

=
∫∫
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
a)
22
00
f(sinx)dx f(cosx)dx
ππ
=
∫∫

b)
00
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
ππ
π
=
∫∫

ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:

88
1)
n

2
+
nn
0
cos x
dx với n Z
cos x sin x
π

+

2)
4
2
44
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+

3)
6
2
66
0
sin x
dx
sin x cos x

π
+



4) 5)
5
0
xsin xdx
π

2
2
2
4sin
xcosx
dx
x
π
π

+


6)
1
4
2
1
sin

1
x
x
dx
x

+
+


7)
2
0
xsinx
dx
4cosx
π


8)
43
0
cos sin
x
xxd
π

x



Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
()
( ) với R và a > 0
1
x
fx
dx f x dx
a
αα
α
α

=∈
+
∫∫
;
a1


ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
2)
1
2
1
1
12
x
x

dx


+

3)
2
sin
31
x
x
dx
π
π

+

1)
1
4
1
21
x
x
dx

+


IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

Công thức:


89
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x





]
dxxgxfS )()(








[

−=
b
a
[]

−=
b
a
dyygyfS )()(



Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y4
4
x
y
42

=−





=


2) (H
2
) :
2
yx4x3
yx3

=
−+


=+


3) (H
3
):
3x 1
y
x1
y0
x0




=



=


=



4) (H
4
): 5) (H
2
2
yx
xy

=


=−


5
):
2
yx
y2x

⎧=


=



6) (H
6
):
2
yx50
xy30

+
−=

+
−=


7) (H
7
):
lnx
y
2x
y0
xe
x1


=



=


=

=


8) (H
8
) :
2
2
yx 2x
yx4

=−


x
=
−+


9) (H

9
):
2
33
yx x
2
yx

2
=
+−



=


10) (H
10
): 11)
2
y2yx0
xy0

−+=

+=







−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)






=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x




V.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.

Công thức:









=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1










=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)(

1
yfxC =
)(:)(
2
ygxC =
a
y
=
by =
O
y
x
x
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
a
=
=
)(:)(
2
xgyC
bx =
O
=



b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by =
a
y
=
a
b
0
=y
)(:)( xfyC
=
b
a
x
=
bx =
x
y
O











[]
dxxfV
b
a
2
)(

=
π
[]
dyyfV
b
a
2
)(

=
π



Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x

2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0
=
=− =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
2
y(x2)=−
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
22
4;yxyx2
=
−=+.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
12
x
yy
x

==
+

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox





Hết

90

×