tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo bồi dưỡng thi Tóm tắt sách giáo khoa Lượng giác

LƯNG GIÁC

Chuyên đề 8:

TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:

180 o

Góc 10 = 1 góc bẹt
180

2. Radian: (rad)

.

x

O

y

1800 = π rad
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
00
0

Độ
Radian

300

π

6

450

600

π

900

π

4

1200
2π
3

π

3

2

1350

3π
4

1500
5π
6

1800

π

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghóa:
(tia ngọn)
y

y

(điểm ngọn)

+

B

O

x

(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

+

α

α

t

α

3600
2π

x

O

(tia gốc)

t
M
A (điểm gốc)

AB = α + k 2π

2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

A

→

B

→

C

→

D

→

A, C

→

B, D

→

y

2kπ

B

π + 2kπ

+

2

π + 2kπ
- π + 2kπ

C

2
kπ

D

π + kπ
2

33

x

A

O

−


y

III. Định nghóa hàm số lượng giác:

x'

u

B
1

u'
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang

t

−1
C

R =1
O

+
1
A
−

−1 D
y'

x

t'

2. Định nghóa các hàm số lượng giác:
a. Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghóa:
t
y
t
Trục sin
Trục cotang
u'

U

B
M

Q
x'

O

Trục cosin

+

T

α

α

t

u

P

b. Các tính chất :
•

y'

sin α = OQ

x

A

−

−1

Trục tang
t'

Với mọi α ta coù :
−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

•

•

tgα xác định ∀α ≠

π

+ kπ
2
cotgα xác định ∀α ≠ kπ

c. Tính tuần hoàn

sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cosα
tg(α + kπ )
= tgα
cot g(α + kπ ) = cot gα

cosα = OP

(k ∈ Z )

34

tgα

= AT

cot gα = BU


IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y

t
3

- 3

- 3 /3

-1

u'

B
1

2π/3

π

u
π/4

2 /2

5π/6

π/6

1/2

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

-1

2 /2

3 /2

-π/6

-1
-π/2

cos α

1

tg α

0

cotg α

kxñ

300

450

6
1
2

4
2
2
2
2
1

π

3
2
3

3
3

π

1

600 900

π

π

3
3
2
1
2

2
1

3
3
3

−

- 3 /3

0
kxñ
0

t'

1200
2π
3
3
2
1
−
2

− 3
−

35

-1

-π/3

y'

0

x

-π/4

- 3 /2

Hslg
sin α

+

O

- 2 /2

00
0

3 /3

1 A (Điểm gốc)

-1/2

Góc

3

1

π/3

3 /2

3π/4

x'

3 /3

π/2

3
3

1350
3π
4
2
2
2
−
2
-1
-1

- 3

1500
5π
6
1

2

3
2
3
−
3
− 3
−

1800 3600
π
2π
0

0

-1

1

0

0

kxñ

kxñ

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :

1. Cung đối nhau

: α và -α

2. Cung bù nhau

: α và π -α

3. Cung phụ nhau

: α và

4. Cung hơn kém

π
2

: α và

π
2

π
2

(tổng bằng 0)

−α

( tổng bằng π )

( tổng bằng

π
2

)

sin(−α ) = − sin α
tg(−α ) = −tgα
cot g(−α ) = − cot gα

π

(Vd:

6

π
6

π
6

6

,…)

5π
,…)
6

&

π
3

,…)

&

2π
,…)
3

&

7π
,…)
6

cos(π − α ) = − cosα
Bù sin

Đối cos

3. Cung phuï nhau :

sin(π − α ) = sin α
tg(π − α ) = −tgα
cot g(π − α ) = − cot gα

4. Cung hơn kém

π

sin( − α )
2

= cosα

tg( − α )
2

= cotgα

Phụ chéo

Hơn kém

π

2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin

π

2

cos( + α ) = − sin α
2

π

sin( + α )
2

= cosα

tg( + α )
2

= −cotgα

π

π

cot g( − α ) = t gα
2

cot g( + α ) = − t gα
2

5. Cung hơn kém π :

cos(π + α ) = − cosα
sin(π + α ) = − sin α
tg(π + α ) = tgα

π

π

cos( − α ) = sin α
2

cot g(π + α ) =

6

&

π

2. Cung buø nhau :

cos(−α ) = cosα

π

π

(Vd:

(Vd:

1. Cung đối nhau:

&−

6

(Vd:

+α

5. Cung hơn kém π : α và π + α

π

π

(Vd:

Hơn kém π
tang , cotang

cot gα

36


Ví dụ 1: Tính cos(−

21π

11π
) , tg
4
4

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos(
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2

π
2

+ x) + cos(2π − x) + cos(3π + x)

1
cos2α
1
1 + cotg2α =
sin 2 α
tgα . cotgα = 1
1 + tg2α =

2

cos α + sin α = 1
sinα
tgα =
cosα
cosα

cotgα =
sinα
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x
2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x
2. Công thức cộng :
cos(α + β ) = cosα .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cosα .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cosα
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα
tgα +tgβ
1 − tgα .tg β
tgα − tgβ
tg(α − β ) =
1 + tgα .tgβ

tg(α +β ) =

Ví dụ: Chứng minh rằng:

π

1.cos α + sin α = 2 cos(α − )
4

π

2.cos α − sin α = 2 cos(α + )
4
3. Công thức nhân đôi:

cos 2 α =

1 + cos 2α
2

sin 2 α =

1 − cos 2α
2

cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
2

= 1 − 2 sin α
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2 sin α .cos α
2tgα
tg2α =
1 − tg2α

sin α cos α =
37

1
sin 2α
2

4 Công thức nhân ba:

cos 3 α =

sin 3 α =

cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α

cos 3α + 3 cos α
4
3 sin α − sin 3α
4

5. Công thức hạ baäc:

cos 2 α =

1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2

6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg

sin α =

2t

;
1 + t2

α
2

cos α =

1 − t2
;
1 + t2

tgα =

2t
1 − t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cos β =

Ví dụ:

1. Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos 5 x. cos 3 x
5π
7π
sin
2. Tính giá trị của biểu thức:
B = cos
12
12
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cosα + cos β = 2 cos

α+β

.cos

α −β

2
2
α+β
α −β
cosα − cos β = −2sin
.sin
2
2
α+β
α−β
sin α + sin β = 2sin
.cos

2
2
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tgα + tgβ =
cosα cos β
sin(α − β )
tgα − tgβ =
cosα cos β

38

tg 2α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α


Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x
9. Các công thức thường dùng khác:

π

3 + cos 4α
4

5 + 3 cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8

π

cos 4 α + sin 4 α =

cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + )
4
4

π

π

cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )

sinu=sinv

cosu=cosv

⎡ u = v+k2π
⇔ ⎢
⎣ u = π -v+k2π
⎡ u = v+k2π
⇔ ⎢
⎣ u = -v+k2π

tgu=tgv

⇔

u = v+kπ

cotgu=cotgv

⇔

(u;v ≠

u = v+kπ

π

+ kπ )
2
(u;v ≠ kπ )

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z )

Ví dụ : Giải phương trình:

π

3π
4
4
1
4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x )
4

1. sin 3 x = sin( − 2 x )
4

2. cos( x −

3. cos 3 x = sin 2 x

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m
1. Dạng 1:

Nếu m > 1 thì pt(1) vô nghiệm

•

Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = sin α và ta có

⎡ x = α +k2π
(1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢

⎣ x = (π -α )+k2π
* Gpt : cosx = m (2)
39

) = cos

( ∀m ∈ R )

* Gpt : sinx = m (1)

•

π


•

Nếu m > 1 thì pt(2) vô nghiệm

•

Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = cos β và ta coù

⎡ x = β +k2π
(2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢
⎣ x = − β +k2π
* Gpt: tgx = m (3)
( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )
•

Đặt m = tg γ thì
(3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ

* Gpt: cotgx = m (4)

•

( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )

Đặt m = cotg δ thì
(4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ

Các trường hợp đặc biệt:
sin x = −1 ⇔ x = −
sinx = 0

⇔ x = kπ

sin x = 1

⇔ x =

cosx = 0

⇔ x=

π
2

+ k 2π

π

+ k 2π
2
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π

cos x = 1

π

+ kπ
2
⇔ x = k 2π

Ví dụ:

1) Giải các phương trình :
a) sin 2 x =

1
2

π
2
b) cos( x − ) = −
4
2

π

d) 2 cos( x +

c) 2 sin(2 x − ) + 3 = 0
6
e) sin 2 x + cos 2 x = 1

π

)− 3 =0
3
f) cos 4 x + sin 4 x = cos 2 x

2) Giải các phương trình:
a) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x

c) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0
1
d) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x =
4

b) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x
x
e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 4
2

40


2. Daïng 2:

a sin 2 x + b sin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0

( a ≠ 0)

atg 2 x + btgx + c = 0
a cot g2 x + b cot gx + c = 0

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at 2 + bt + c = 0 (1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :

5
=0
2
d) 2 cos x cos 2 x = 1 + cos 2 x + cos3 x

a) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0

b) cos 2 x − 4 cos x +

c) 2 sin 2 x = 4 + 5 cos x
e) sin 4 x + cos4 x = sin 2 x −

1

2

f) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos(

x
x
+ cos4 = 1 − 2sin x
2
2
6
2(cos x + sin 6 x) − sin x. cos x

g) sin 4
k)
3. Daïng 3:

2 − 2 sin x

a cos x + b sin x = c (1)

•

=0

l) 5(sin x +

a
a2 + b2

= cos α vaø

( a;b ≠ 0)

b

(2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
⇔ cos(x-α ) =

c
2

a +b
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.

(2)

= sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì :

a2 + b 2

− 2 x) = 0

cos 3x + sin 3x
) = cos 2 x + 3
1 + 2 sin 2 x

Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 thì pt
a
b
c

(1) ⇔
cos x +
sin x =
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
Đặt

2

h) sin 4 x + cos 4 x + sin x. cos x = 0

Cách giải:

•

π

2

41

c
a2 + b 2
(3)


Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2

Ví dụ : Giải các phương trình :
a) cos x + 3 sin x = −1

b) cos x + 3 sin x = 2
1
d) tgx − 3 =
cos x

c) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2
e)
d. Daïng 4:

cos x − sin 2 x
= 3
2 cos 2 x − sin x − 1

a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0

(a;c ≠ 0)

(1)

Caùch giải 1:

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
và cos2 x =
2
2

1
và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
2

p dụng công thức hạ bậc : sin 2 x =

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt:
atg2 x + btgx + c = 0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x =

π
+ kπ có phải là nghiệm của (1) không?
2

Ví dụ : Giải phương trình:
3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0
d. Daïng 5:

a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0
Cách giải :

π

(1)

Đặt t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) với - 2 ≤ t ≤ 2
4

t2 − 1
Do (cos x + sin x )2 = 1 + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx=
2
• Thay vào (1) ta được phương trình :
t2 − 1
at + b
+ c = 0 (2)
2

•

42


•

Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:

π

2 cos( x − ) = t tìm x.
4

Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0
Chú ý :

a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0

Ta giải tương tự cho pt có dạng :

Ví dụ : Giải phương trình :

sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a. Phương pháp 1:
Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:
3
sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − = 0
2
b. Phương pháp 2:
Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

⎡ A=0
A.B = 0 ⇔ ⎢
⎣ B=0

hoặc

A.B.C = 0

Ví dụ : Giải các phương trình :
a. sin 2 x + sin2 2 x + sin2 3 x = 2

⎡ A=0
⇔ ⎢ B=0

⎢
⎢C=0
⎣

b. sin 2 3 x − cos2 4 x = sin 2 5 x − cos2 6 x

c. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0

d. sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x +

π

4

)+3= 0

c. Phương pháp 3:
Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0
1
c. 2 cos 2 x − 8cos x + 7 =
cos x
4
2
d. sin x + cos 2 x = 2
* Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx

3
Ví dụ : Giải phương trình : a. 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x
2
3
3
b. sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 1

43


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số
• Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
π
7x
3x
x
5x
1) sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x + ) + 3 = 0
2) sin cos + sin cos + sin 2 x cos 7 x = 0
4
2
2
2
2

3) cos 2 ( x +

π

) + cos 2 (2 x +

2
x
x
cos 4 − sin 4
2
2 =
4)
sin 2 x

π

2

) + cos 2 (3x −

π

2

) = 3. cos

1 + sin 2 x
2 sin ( x +
2

6) 2 sin x + cos x = sin 2 x + 1

π
4

π

6

5) cos 7 x + sin 8 x = cos 3 x − sin 2 x
)

Baøi 2 : Giải các phương trình lượng giác sau

x π
x
8. sin 2 ( − ).tg2 x − cos2 = 0
2 4
2
2
cos x (cos x − 1)
= 2(1 + sin x )
9.
sin x + cos x
1
10. tg2 x − tgx = cos x.sin 3 x
3
1
11. 2 cos 2 x − 8cos x + 7 =

cos x
cos 2 x
1
12. cot gx − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tgx
2
2
13. cot gx − tgx + 4sin 2 x =
sin 2 x
x
14. tgx + cos x − cos2 x = sin x.(1 + tgx.tg )
2

1. 2sin3 x + cos 2 x + cos x = 0

π x 7
2. sin x.cos 4 x − sin 2 2 x = 4sin 2 ( − ) −
4 2 2
3. 9 sin x + 6 cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8
sin 4 x + cos4 x 1
1
= cot g2 x −
5sin 2 x
2
8sin 2 x
2
(2 − sin 2 x )sin 3 x
5. tg 4 x + 1 =
cos4 x

4.

6. 3 − tgx (tgx + 2sin x ) + 6 cos x = 0
7. cos 2 x + cos x.(2tg2 x − 1) = 2

DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)
• Chuyển phương trình về phương trình đại số
• Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
• Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1
sin 4 x + cos 4 x − cos 2 x + sin 2 2 x + m = 0
4
1
1
1
Bài 2: Định m để phương trình : sin x + cos x + 1 + (tgx + cot gx +
+
)=m
2
sin x cos x

44


⎛ π⎞
có nghiệm x ∈ ⎜ 0; ⎟

⎝ 2⎠
4
2
Bài 3: Cho hàm số: 2(
+ cos 2 x) + m(
− cos x) = 1
2
cos x
cos x

π

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0; ).
2
3
Bài 4: Cho phương trình :
+ 3tg 2 x + m(tgx + cot gx) − 1 = 0
sin 2 x
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Xác định m để phương trình :

2(sin 4 x + cos4 x) + cos 4x + 2sin 2x − m = 0
π
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2

Bài 6: Cho phương trình : sin 2 x − 4(cos x − sin x) = m (1)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình : 4(sin 4 x + cos4 x) − 4(sin 6 x + cos6 x) − sin 2 4x = m có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình cos 4 x + 6 sin x cos x − m = 0

⎡ π⎤
Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ 0; ⎥ .
⎣ 4⎦
Bài 9: Tìm m để phương trình : 2 cos 2 x + (sin x. cos x − m)(sin x + cos x) = 0

⎡ π⎤
coù nghiệm trên đoạn ⎢0; ⎥
⎣ 2⎦
cos 6 x + sin 6 x
Bài 10: Cho phương trình:
= mtgx
cos 2 x − sin 2 x
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình: sin 4 x + (sin x − 1) 4 = m
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

π π
Bài 12: Tìm m để phương trình : 2 + 2sin 2x = m(1 + cos x)2 có nghiệm x ∈ [− ; ]
2 2
--------------------------Heát--------------------------

45