Một số phương pháp giải phương trình siêu việt (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

MỤC LỤC
MỤC LỤC .........................................................................................................1
MỞ ĐẦU.............................................................................................................3
CHƢƠNG I: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARIT VÀ CÁC KIẾN THỨC CĨ
LIÊN QUAN.......................................................................................................5
Vài nét sơ lƣợc về lịch sử xuất hiện khái niệm lôgarit.....................................5
1.1. HÀM SỐ MŨ .............................................................................................. 8
1.1.1. Định nghĩa ......................................................................................... 8
1.1.2. Tính chất của hàm số mũ .................................................................. 8
1.1.3. Một số tính chất của lũy thừa ........................................................... .9
1.2. HÀM SỐ LÔGARIT ................................................................................. 10
1.2.1. Định nghĩa ....................................................................................... 10
1.2.2. Tính chất của hàm số lơgarit ........................................................... 10
1.2.3. Một số tính chất của lơgarit............................................................. 11
1.3. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ BỔ TRỢ ................................................................... 12
1.3.1. Định lý Fermat ................................................................................ 12
1.3.2. Định lý Lagrange............................................................................. 12
1.3.3. Định lý Rolle ................................................................................... 12
CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH MŨ ............................................................13
2.1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN ............................................................. 13
2.2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ ...................... 13
2.2.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số. .................................................... 13
2.2.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ ................................................................ ..17
2.2.3. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. ........................... 33
2.2.4. Phƣơng pháp lơgarit hóa. .............................................................. ..34
2.2.5. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange ...................................... ..35
2.2.6. Phƣơng pháp đánh giá. ................................................................ ....36
2.2.7. Phƣơng pháp đặt nhân tử. ............................................................... 38

1

2.3. XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH MŨ ....................................................... 40
2.3.1. Xây dựng phƣơng trình mũ dựa vào phƣơng pháp đặt ẩn phụ.... ... 40
2.3.2. Xây dựng phƣơng trình mũ dựa vào tính đơn điệu của hàm số.... .. 42
2.4. MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN ............................................................. 44
2.4.1. Phƣơng trình mũ có ẩn ở cơ số...... ................................................. 44
2.4.2. Bài tốn về phƣơng trình mũ chứa tham số và chứng minh. ......... 45
CHƢƠNG III: PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT.................................................49
3.1. PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT CƠ BẢN.................................................49
3.2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT............49
3.2.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số......................................................49
3.2.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ..................................................................51
3.2.3. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.............................61
3.2.4. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange..........................................63
3.2.5. Phƣơng pháp đánh giá.....................................................................64
3.3. XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT............................................66
3.3.1. Xây dựng phƣơng trình lơgarit dựa vào phƣơng pháp đặt ẩn phụ...66
3.3.2. Xây dựng phƣơng trình lơgarit dựa vào tính đơn điệu của hàm số.68
3.4. CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN....................................................................70
3.4.1. Phƣơng trình lơgarit có hai cơ số.....................................................70
3.4.2. Phƣơng trình lơgarit có ẩn ở cơ số...................................................72
3.4.3. Phƣơng trình lơgarit có chứa tham số..............................................74
KẾT LUẬN ......................................................................................................78
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................79

2

Thư viện Đại học Thăng Long

MỞ ĐẦU
Phƣơng trình là một nội dung cơ bản và quan trọng trong chƣơng trình
Tốn học ở Bậc trung học phổ thông. Đây là một nội dung rất rộng, chứa đựng
nhiều dạng tốn hay và khó. Trong hệ thống phƣơng trình đƣợc học ở bậc trung
học phổ thơng, phƣơng trình siêu việt (phƣơng trình mũ và phƣơng trình lơgarit)
chiếm vị trí khá quan trọng. Đƣợc đƣa vào giảng dạy chính thức trong chƣơng
trình lớp 12, với một thời lƣợng khá dài. Đặc biệt các dạng tốn về phƣơng trình
mũ và phƣơng trình lơgarit ln đƣợc quan tâm khai thác triệt để và đƣa vào
trong các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại học, thi học sinh giỏi Quốc
gia.
Khi nghiên cứu giải một phƣơng trình mũ hoặc phƣơng trình lơgarit, địi
hỏi ngƣời giải phải nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số mũ, hàm số
lôgarit, các phƣơng pháp giải các phƣơng trình mũ, phƣơng trình lơgarit cơ bản,
cùng với các kiến thức liên quan, qua đó nhận dạng phƣơng trình, phân tích và
đƣa ra phƣơng pháp giải hợp lý nhất.
Nội dung chính của luận văn “ Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình
siêu việt ” của tơi là trình bày một số phƣơng pháp giải và xây dựng phƣơng
trình mũ, phƣơng trình lơgarit. Mục đích của luận văn khơng chỉ dừng lại ở việc
trình bày phƣơng pháp giải mà tôi muốn hƣớng tới việc xây dựng một số bài tập,
ví dụ phục vụ cho cơng tác giảng dạy, kiểm tra và đánh giá.
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 3 chƣơng.
 Chƣơng I: Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit và các kiến thức
có liên quan.
 Chƣơng II: Phƣơng trình mũ.
 Chƣơng III: Phƣơng trình lơgarit.
Luận văn này đƣợc hồn thành với sự hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình của
TS. Nhâm Ngọc Tần – Đại học Thăng Long – Hà Nội. Tác giả xin đƣợc bày tỏ

3

lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viện và sự chỉ bảo hƣớng dẫn tận
tình của thầy Nhâm Ngọc Tần.
Tác giả xin chân thành gửi tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáo – Trƣờng
Đại học Thăng Long – Hà Nội, lời cảm ơn sâu sắc. Đồng thời tác giả xin gửi lời
cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A – Trƣờng Đại học Thăng Long đã
động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hồn thành luận văn này.
Do thời gian và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ nên chắc rằng trong q
trình nghiên cứu và hồn thiện, luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác
giả rất mong đƣợc sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của quý thầy cô và độc giả
quan tâm tới luận văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2016
Tác giả

Kiều Hải Châu

4

Thư viện Đại học Thăng Long


CHƢƠNG I: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
VÀ CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN
Vài nét sơ lƣợc về lịch sử xuất hiện khái niệm lôgarit
Nhiều ngƣời khi sử dụng lôgarit, chỉ ghi nhớ các quy tắc, mà không hiểu hết
khái niệm của nó. Các khái niệm cơ bản của lơgarit có thể đƣợc thể hiện nhƣ
một phép tính tắt.
Phép nhân là một phép tính tắt, ví dụ: 4 x 5 có nghĩa là 5 + 5 + 5 +5.
Số mũ là một phép tính tắt cho phép nhân: 43 có nghĩa là 4 x 4 x 4.
Lơgarit là một phép tính tắt cho số mũ: 104 = 10000.

Từ khá lâu, trƣớc khi máy tính xuất hiện, lơgarit là một cơng cụ tiết kiệm lao
động tốn học tuyệt vời! Mặc dù có bằng chứng rằng lơgarit đã đƣợc biết đến
trong thế kỷ thứ XIII Ấn Độ, các phát minh đó của họ nhƣ là một sự trợ giúp để
tính tốn và phát minh ra lôgarit của một ngƣời Scotland tên là John Napier
(1550-1617).
Lôgarit đƣợc John Napier giới thiệu lần đầu tiên trong tác phẩm “Mirifici
logarithmorum canonis descriptio” vào năm 1614, sau 20 năm nghiên cứu.
Dựa trên ý tƣởng “ nhân hai số theo cộng và trừ” của phƣơng pháp
prosthaphaeresis . Tuy nhiên phƣơng pháp prosthaphaeresis chứa đựng nhiều
bất lợi khi thực hiện phép chia và khai căn. Tuy nhiên, phƣơng pháp
prosthaphaeresis cịn tồn tại nhiều thiếu sót khi thực hiện phép chia và khai căn.
Chính điều đó đã thơi thúc John Napier sáng tạo ra phƣơng pháp tính: nhân,
chia, căn bậc hai, căn bậc ba dựa trên lôgarit.
John Napier căn cứ quan niệm của ông về lôgarit trong một khuôn khổ động
học. Những động lực đằng sau phƣơng pháp này vẫn chƣa đƣợc hiểu rõ bởi các
nhà sử học của toán học. Napier tƣởng tƣợng hai hạt bất kỳ dịch chuyển dọc
theo hai đƣờng thẳng song song. Đƣờng thứ nhất dài vơ hạn và đƣờng thứ hai có
chiều dài cố định (xem hình 1.1 và hình 1.2). Napier tƣởng tƣợng nhƣ hai hạt bắt
đầu dịch chuyển từ vị trí tƣơng đƣơng (ngang) cùng lúc với cùng một vận tốc.

5


Hạt đầu tiên ông đặt trong chuyển động thẳng đều trên đƣờng dài vơ hạn để
nó dịch chuyển đƣợc những khoảng cách bằng nhau trong thời gian bằng nhau.
Hạt thứ hai, ông thiết lập trong chuyển động trên đoạn đƣờng hữu hạn do đó vận
tốc của nó là tỷ lệ thuận với khoảng cách còn lại từ hạt đến điểm đầu cuối cố
định của đoạn thẳng.

Hình 1.1: Hai đƣờng thẳng song song Napier với các hạt chuyển động.

Chúng ta có thể tóm tắt lời giải thích của Napier nhƣ sau:
Napier đã tƣởng tƣợng hai hạt B và b chuyển động trên hai đƣờng thẳng
song song (Hình 1.1 và hình 1.2), trong khi hạt B chuyển động theo một chiều
nhất định trên đƣờng thẳng dài vô hạn với tốc độ không đổi, bắt đầu từ A thì
hạt b chuyển động từ a trên đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần. Ở những
khoảng thời gian bằng nhau hạt B vạch ra các điểm C, D, E...tƣơng ứng với
thời điểm 1, 2, 3...trong khi đó hạt b vẽ ra các điểm c, d, e...thỏa
RQ cz dz ez



 ... với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho
SQ az cz dz

trƣớc. Napier đã định nghĩa:
AC=lognap(cz) với cz = sinθ1.
AD=lognap(dz) với dz = sinθ2.
AE=lognap(ez) với ez = sinθ3.
Tƣơng tự cho các hạt khác mà B và b vạch ra trên hai đƣờng thẳng theo
những khoảng thời gian bằng nhau. Napier đã chọn độ dài az = 10.000.000 và
tạo ra những bảng tính lơgarit cần thiết cho các tính tốn của mình.

6

Thư viện Đại học Thăng Long


Hình 1.2: Mối quan hệ giữa hai đƣờng thẳng và các bản ghi và sin

Nhƣ vậy, khái niệm lôgarit do Napier xây dựng dƣờng nhƣ khác biệt so với
khái niệm lơgarit chúng ta biết ngày nay, đó là sự liên hệ giữa các phần tử của
cấp số cộng (CSC) và các phần tử của cấp số nhân (CSN). Lôgarit biến đổi
các phần tử của CSN thành phần tử của CSC tƣơng ứng. Tuy nhiên, khơng có
một định nghĩa lơgarit một số thực dƣơng bất kì cho trƣớc, cũng nhƣ khơng có
một mối liên hệ gì với lũy thừa mũ số thực trong định nghĩa ban đầu này.
Thêm nữa, khơng có một định nghĩa tƣờng minh nào cho cơ số của lơgarit.
Lơgarit do Napier tạo ra nhằm mục đích để đơn giản hóa các phép tính
nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba theo các phép tính đơn giản hơn nhƣ cộng,
trừ, chia hai và chia ba. Dù tính tốn đã đƣợc cải thiện nhƣng cơ số lôgarit
chƣa thực sự tiện lợi, bằng lý thuyết toán hiện đại ngƣời ta chứng minh đƣợc
 x 
log nap x  107.log 1  7  . Song với những ƣu điểm vƣợt trội, lôgarit đã tạo
e  10 

hứng thú cho nhiều nhà toán học nhƣ Henry Briggs (1561–1630), Nicolaus
Mercator (1620–1687), Leonhard Euler (1707–1783)…nghiên cứu sâu và rộng
hơn về lôgarit.
Cùng với sự phát triển của khoa học, Toán học đã phát triển rất nhanh và
lơgarit cũng khơng phải là ngoại lệ. Vai trị của lôgarit thực sự đã “tiến xa”

7


hơn vai trị của nó trong lịch sử. Khơng những đƣợc ứng dụng rộng rãi trong
Tốn học mà lơgarit cịn xuất hiện trong các cơng thức tính ở các bộ môn khoa
học khác.
1.1. HÀM SỐ MŨ
1.1.1. Định nghĩa
Hàm số xác định bởi công thức y  a x (a  0, a  1) đƣợc gọi là hàm số mũ cơ số a .

1.1.2. Tính chất của hàm số mũ
a. Miền xác định:  (tức là khoảng (-∞; +∞)).
b. Miền giá trị: * (tức khoảng (0; +∞)).
c.  Nếu a  1 thì hàm số y  a x đồng biến.
 Nếu 0  a  1 thì hàm số y  a x nghịch biến.
d. Hàm số y  a x liên tục trên  .
e. Bảng biến thiên:
a>1
x

-∞

+∞

0

+∞

y  ax

1

0
0x
y  ax

-∞

0

+∞

+∞

1

0

8

Thư viện Đại học Thăng Long


f. Đồ thị của hàm số mũ:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

a>1

0< a <1

Hình 1.3: Đồ thị hàm số y  a x (a  1)

Hình 1.4: Đồ thị hàm số y  a x (0  a  1)

1.1.3. Một số tính chất của lũy thừa
Cho a, b là hai số thực dƣơng khác 1 và x, y là những số thực tùy ý.
Khi đó ta có các tính chất sau:
y
x y
 a x .a  a
.



x

ax
x y
a
.
y
a

y
x. y
 (a x )  a .
y
 (ab) x  a x .b .

a x ax
 ( ) 
.
x
b
b

y
 Nếu a  1 thì x  y  a x  a .
y
 Nếu 0  a  1 thì x  y  a x  a .
y
 ax  a  x  y .

 Nếu 0  a  b thì:

a x  b x , x  0
a x  b x , x  0 .

9


1.2. HÀM SỐ LÔGARIT
1.2.1. Định nghĩa
Cho số a  0, a  1 . Hàm số xác định bởi công thức y  log a x đƣợc gọi là hàm
số lơgarit cơ số a .
1.2.2. Tính chất của hàm số lôgarit
a. Miền xác định: * (tức là khoảng ( 0; + ∞)).
b. Miền giá trị:  (tức khoảng ( - ∞; + ∞)).
c.  Nếu a  1 thì hàm số y  log a x đồng biến.

 Nếu 0  a  1 thì hàm số y  log a x nghịch biến.
d. Hàm số y  log a x liên tục trên * .
e. Bảng biến thiên:
 a >1
x

0

1

a

y  log a x

+∞
+∞

1
0


0x
y  log a x

0

a

1

+∞

+∞
1
0



10

Thư viện Đại học Thăng Long


f. Đồ thị hàm số logarit:
y

O

y

y=logax

y=logax

x

1

1

x

O

a>1

011111
Hình1.5:Đồ thị hàm số y  log a x, a  1 Hình 1.6:Đồ thị hàm số y  log a x,0  a  1
1.2.3. Một số tính chất của lơgarit
a. Với a  0, a  1 ta có:
 log a 1  0 .
 log a a  1.
 log a ab  b, b  .
 aloga b  b, b  0 .
b. Với a  0, a  1 và b, c  0 ta có:
 loga b  log a c  b  c .
b
 log a ( )  log a b  log a c .
c

 log a b   .log a b .
 alogb c  clogb a (b  1, c  1) .
c.  Với a  1 thì loga b  loga c  b  c  0 .
 Với 0  a  1 thì loga b  loga c  0  b  c .
 log a b  log a c  b  c ( b > 0, c > 0, a > 0, a ≠ 1).
d. Với a, b là hai số dƣơng khác 1, c  0 . Ta có:
 logb c 

log a c
hay log a b.logb c  log a c .
log a b

11


 log a b 

1
.
logb a

 log a c 

1



.log a c (α ≠ 0).

1.3. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ BỔ TRỢ
1.3.1. Định lý Fermat
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a, b , khả vi trên (a,b) và đạt giá trị cực
trị tại điểm x0   a,b  thì f ' ( x0 )  0 .
1.3.2. Định lý Lagrange
Nếu hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a, b và có đạo hàm trên khoảng  a, b  thì
tồn tại c   a, b  sao cho:
f ' (c ) 

f (b)  f (a)
.
ba

1.3.3. Định lý Rolle
Giả sử f là liên tục trên đoạn  a, b và có đạo hàm tại mọi x   a, b  , nếu
f (a)  f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c   a, b  sao cho f ' (c)  0 .

12

Thư viện Đại học Thăng Long


CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH MŨ
2.1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
 Phƣơng trình mũ cơ bản có dạng a x  m , trong đó m là số đã cho. Phƣơng
trình này xác định với x  .
 Ta thấy:
∎ m  0 , đƣờng thẳng y  m không cắt đồ thị hàm số y  a x .
∎ m  0 , đƣờng thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  a x tại một điểm duy
nhất.
Do đó:
 Nếu m  0 thì phƣơng trình a x  m vơ nghiệm.
 Nếu m  0 thì phƣơng trình a x  m có nghiệm duy nhất x  log a m . Nói
cách khác x  (0, ), a x  m  x  log a m .
 Ví dụ
a. 2x  8  x  log 2 8  x  3 .
b. 5x  25  x  log5 25  x  2 .
c. 10x  1  x  log10 1  x  0 .
1

d. ( ) x  27  x  log 1 27  x   log 3 27  x  3 .
3
3

2.2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ
2.2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Để so sánh hai lũy thừa thì chúng ta phải chuyển hai lũy thừa về cùng cơ số và
so sánh hai số mũ của chúng. Ta xét các phƣơng trình mũ có dạng sau:
 Dạng 1:

a

f ( x)

a

g ( x)

a  1,


   0  a  1, (nếu cơ số a không đổi).
  f ( x)  g ( x).

a  0,

Hoặc a f ( x )  a g ( x )  
(nếu cơ số a thay đổi).
(a  1). f ( x)  g ( x)  0.

13



0  a  1, b  0,
a f ( x)  b  
f ( x)  log b.

a


 Dạng 2:
 Dạng 3:
af

( x)

 b g ( x )  log a a f ( x )  log a b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b .

Ví dụ 2.1. Giải phương trình:

3x

2

 x 8

 913 x .

(2.1)

Giải:
(2.1)  3x

2

 x 8

 32(13 x )

 x2  x  8  2  6 x
 x2  5x  6  0
 x  2

 x  3.

Vậy phƣơng trình (2.1) đã cho có hai nghiệm x  2 và x  3 .
Ví dụ 2.2: Giải phương trình:

2.5x

3

 5.2 x



5
2

2

2

3

.

(2.2)

Giải :
(2.2) 

5x
2

2 3

x 2 3

5 x 2 3
5
( )
 ( )1
2
2
 x2  3  1

 x2  4
 x2


 x  2.

Vậy phƣơng trình (2.2) có hai nghiệm phân biệt x  2 và x  2 .
Ví dụ 2.3: Giải phương trình:
2x

2

1

 3x  3x
2

2

1

 2x

2

2

.

(2.3)

14

Thư viện Đại học Thăng Long


Giải :
(2.3)  2 x
 2x

1

 3.3x

1

 23.2 x

2

2

2

1

2

1

 3x

 3x

2

 2 x 1.(1  8)  3x
2

2

1

2

1

 23.2 x
 3.3x

2

2

1

1

2 1
.

(1  3)

2

 9(2 x 1 )  4(3x 1 )


2x

2 1

2



4
9

3x 1
2 x2 1
2
( )
 ( )2
3
3
 x2  1  2
 x2  3
 x 3

 x   3.

Vậy phƣơng trình (2.3) có hai nghiệm phân biệt x  3 và x   3 .

Ví dụ 2.4: Giải phương trình:
x 5
x 7

32

 0,25.128

x 17
x 3

.

(2.4)



Giải : ĐK: x  3 .
x7
(2.4)  2

2

5( x 5)
x 7

5( x 5)
( x 7)

2

 2 .2

2

2

7( x 17)
( x 3)

7( x 17)
( x 3)

5( x  5)
7( x  17)
 2 
x7
x3
5 x  25 2 x  6  7 x  119


x7
x3
 (5 x  25)( x  3)  ( x  7)(5 x  125)


 5 x 2  25 x  15 x  75  5 x 2  35 x  125 x  875
 80 x  800  0
 x  10.

15


So sánh với điều kiện ta có nghiệm của phƣơng trình (2.4) là x  10 .
Ví dụ 2.5: Giải phương trình:



10  3



x 3
x 1





10  3



x 1
x 3

.

(2.5)

Giải :
 Nhận xét:



10  3









10  3  10  9  1

 

10  3 

10  3



1

.



 ĐK: x  3 .
x 1
 Ta có:
(2.5) 

x 3
x 1

x 1
x3

 ( x  3)( x  3)  ( x  1)( x  1)
 x 2  9  ( x 2  1)
 x2  5
 x 5

 x   5.

So sánh với điều kiện ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.5) là x  5 và

x   5.
Ví dụ 2.6: Giải phương trình:

 x2  2 x  2

4 x 2

 1.

(2.6)

Giải :
 Nhận xét: x2  2 x  2  ( x  1)  1  1, x  .
 ĐK: 4  x2  0  2  x  2 .
(2.6)   x 2  2 x  2 

4 x 2

 ( x 2  2 x  2) 0

16

Thư viện Đại học Thăng Long


 x2  2 x  2  1

 4  x 2  0
 x2  2 x  1  0

x2  4

 x 1

  x  2
  x  2.

So sánh với điều kiện ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.6) là

x  1, x  2, x  2 .
2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
 Phương pháp chung.
Có thể nói, phƣơng pháp đặt ẩn phụ là một trong những phƣơng pháp cơ
bản để chuyển một phƣơng trình về dạng phƣơng trình đại số.
+ Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho phƣơng trình (nếu có).
+ Bƣớc 2: Đặt ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ), sau đó chuyển phƣơng trình thành
một phƣơng trình đại số với 1 ẩn phụ, 2 ẩn phụ hay thành 1 hệ phƣơng trình
với 1 ẩn phụ hay 2 ẩn phụ.
+ Bƣớc 3: Giải phƣơng trình tìm nghiệm là ẩn phụ rồi từ nghiệm ẩn phụ đó ta
giải tìm nghiệm ẩn ban đầu.
BÀI TỐN 2.1: Bài tốn đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình mũ thành một
phƣơng trình với 1 ẩn phụ.
 Dạng 1: phương trình

 k .akx   k 1.a( k 1) x  ...  1.a x  0  0 .
Khi đó ta đặt t  a x (đk: t  0 ) ta đƣợc phƣơng trình:

 k .t k   k 1.t ( k 1)  ...  1.t  0  0
∗ Mở rộng: Khi thay x bằng một biểu thức f ( x) . Ta đặt t  a f ( x ) , tùy
theo f ( x) mà ta đặt điều kiện cho t .

17


 Dạng 2: phương trình

1.a x   2 .b x  3  0 với a.b  1.
1
Khi đó ta đặt t  a x (đk: t  0 ) suy ra: b x  .

t

Ta đƣợc phƣơng trình:
1
t
 1.t 2   3 .t   2  0

1.t   2 .   3  0

∗ Mở rộng: Khi thay x bằng một biểu thức f ( x) . Ta đặt t  a f ( x ) , tùy
1
theo f ( x) mà ta đặt điều kiện cho t . Suy ra b f ( x )  .
t

 Dạng 3: Phương trình

1.a 2 x   2 .(ab) x  3b2 x  0 .
Khi đó ta chia cả 2 vế phƣơng trình cho b 2 x (vì b2 x  0 ).
Phƣơng trình trở thành:
2x

x

a
a
1.    2 .    3  0
b
b
a
Đặt t   

b

x

(đk: t  0 )

Ta đƣợc phƣơng trình:

1.t 2   2 .t  3  0

∗ Lƣu ý: Có thể chia cả 2 vế phƣơng trình cho a 2 x hoặc (ab) x
∗ Mở rộng: khi thay x bởi f ( x) ta có phƣơng trình:

1.a 2 f ( x )   2 .(ab) f ( x )  3b2 f ( x)  0
Ta chia cả 2 vế của phƣơng trình cho b2 f ( x ) (vì b2 x  0 ) ta đƣợc:
a
1. 
b

2 f ( x)

a
  2 . 
b

f ( x)

 3  0 .

x

a
Đặt t    (đk: t  0 ) ta đƣợc phƣơng trình:
b

18

Thư viện Đại học Thăng Long


1.t 2   2 .t  3  0 .
∗ Lƣu ý: Tƣơng tự ta có thể chia cả hai vế phƣơng trình cho a 2 x .
∗ Mở rộng: Khi thay x bởi f ( x) ta có phƣơng trình:

1.a 2 f ( x )   2 .(ab) f ( x )  3b2 f ( x)  0 .
Chia cả hai vế của phƣơng trình cho b2 f ( x ) (hoặc a 2 f ( x) ) ta đƣợc phƣơng trình:
a
1. 
b
a
Đặt t   
b

2 f ( x)

a
  2 . 
b

f ( x)

 3  0 .

f ( x)

(tùy theo phƣơng trình f ( x) ta đặt điều kiện cho t ) phƣơng

trình trên trở thành: 1.t 2   2 .t  3  0 .
Ví dụ 2.7: Giải phương trình
2.16x  15.4x  8  0 . (2.7)

Giải:
(2.7)  2.42 x  15.4 x  8  0

Đặt t  4 x ( đk: t  0 ) ta đƣợc phƣơng trình:
2.t 2  15.t  8  0

 t 8

1
t   .

2

So sánh với điều kiện ( t  0 ) vậy phƣơng trình có nghiệm t  8 ( thỏa mãn).
3
∎ Với t  8 suy ra: 4 x  8  22 x  23  x  .
2

Vậy phƣơng trình (2.7) có nghiệm x 

3
.
2

Ví dụ 2.8: Giải phương trình
4

cos2 x

4

cos2 x

 3  0 . (2.8)

Giải:
Nhận xét: cos2 x  2cos2 x  1.

19


(2.8)  4



4

2 cos2 x 1

2 cos 2 x

4

4

4

4

2 cos 2 x

cos2 x

cos 2 x

 4.4

3 0

30

cos 2 x

 12  0.

Đặt t  4cos x ( đk: t  1 ) ta đƣợc phƣơng trình:
2

t 2  4.t  12  0

 t2

t  6.

So sánh với điều kiện của t, phƣơng trình có nghiệm t  2 thỏa mãn.
∎Với t  2 , suy ra
4cos x  2  22 cos x  2
2

2

 2cos 2 x  1  cos2 x  0
 2x 


2

 k (k  )  x 

Vậy phƣơng trình (2.8) có nghiệm x 


4




4



k
(k  ).
2

k
(k ) .
2

Ví dụ 2.9: Giải phương trình



5  24

 
x

 5  24



x

 10 . ( 2.9)

Giải:
Với mọi x  ta đều có:

5  24  .5  24   1

1
  5  24  
.
5  24 
x

x

x

x



Đặt t  5  24



x



( đk: t  0 ), suy ra: 5  24



x

1
 .

t

Phƣơng trình (2.9) trở thành:

20

Thư viện Đại học Thăng Long


1
t   10
t
 t 2 10t  1  0
 t  5  24

t  5  24.

∎ Với t  5  24 ,suy ra:

5 

∎ Với t  5  24, suy ra:



24



5  24



 5  24

x



 5  24  x  1 .

x

 5  24 .

 
x

 5  24



1

 x  1.

Vậy phƣơng trình (2.9) có nghiệm x  1 và x  1.
Ví dụ 2.10: Giải phương trình
22

x2

1

 9.2 x

2

x

 22 x  2  0 .

(2.10)

Giải:
Chia cả hai vế phƣơng trình cho 22 x2 ta đƣợc:
22

x2

 2 x 1

 9.2 x

2

 x2

1  0

2
1
9 x2  x
 .22( x  x )  .2  1  0.
2
4

Đặt t  2 x

2

x

(đk: t > 0) ta đƣợc phƣơng trình:
1 2 9
.t  .t  1  0
2
4
 2t 2  9t  4  0

t4
 1
t  .
 2

So sánh với điều kiện ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.
∎ Với t  4 , suy ra:
2x

2

x

 22

21


 x2  x  2
 x2  x  2  0
  x  1
 x  2.

∎ Với t 

1
, suy ra:
2

 2x

2

x

 21

 x2  x  1
 x2  x  1  0 (phƣơng trình vơ nghiệm).

Vậy phƣơng trình (2.10) có nghiệm x  1 và x  2 .
Ví dụ 2.11: Giải phương trình
6.4x  13.6x  6.9x  0 . (2.11)

Giải:
x

x

4
6
(2.11)  6.   13.   6  0
9
9
2x

x

2
2
 6.   13.   6  0 .
3
3
x

2
Đặt t    ( đk: t > 0) ta đƣợc phƣơng trình:
3

6.t 2  13.t  6  0

3

t  2

t  2 .
 3

So sánh với đk ( t > 0) vậy phƣơng trình có 2 nghiệm đều thỏa mãn.
x

3
∎ Với t  , suy ra:
2

2 3
    x  1.
3 2

2
∎ Với t  , suy ra :
3

2 2
    x  1.
3 3

x

22

Thư viện Đại học Thăng Long


Vậy phƣơng trình (2.11) có nghiệm x  1 và x  1 .
Ví dụ 2.12: Giải phương trình
8x  18x  2.27 x .

(2. 12)

Giải:
x

x

 8   18 
(2.12)        2
 27   27 

2
 
3

3x

x

 2
   2  0.
 3

x

2
Đặt t    (đk: t > 0) ta đƣợc phƣơng trình:
3

t3  t  2  0
 (t  1)(t 2  t  2)  0

t 1

 2
t  t  2  0.

So sánh với điều kiện ( t > 0) vậy phƣơng trình có nghiệm t = 1 thỏa mãn.
x

∎ Với t  1 , suy ra :

2
  1 x  0.
3

Vậy phƣơng trình (2.12) có nghiệm x  0 .
Ví dụ 2.13: Giải phương trình

5 



x



21  7. 5  21



x

 2 x3 . ( 2.13)

Nhận xét:
x

x

x

 5  21   5  21   (5  21)(5  21) 

 .
 
 1
2
2
4

 
 



Giải:
x

x

 5  21 
 5  21 
(1.13)  

7.


 8
2
2





23


x

x

 5  21 

 5  24  1
Đặt t  
 ( đk: t > 0)  
  .
2
2



 t

Ta đƣợc phƣơng trình:
7
8
t
 t 2 8t  7  0

t

 t 1

t  7.

So sánh với điều kiện ( t > 0) vậy phƣơng trình có 2 nghiệm đều thỏa mãn.
x

 5  21 
∎ Với t  1 , suy ra: 
 1  x  0.
2



x

 5  21 
∎ Với t  7 ,suy ra: 
  7  x  log 5 21 7 .
2


2

Vậy phƣơng trình(2.13) có nghiệm x  0 và x  log 5

21

7.

2

Ví dụ 2.14: Giải phương trình
23 x  6.2 x 

1
3( x 1)

2



12
 1.
2x

(2.14)

Giải:
(2.14)  23 x  6.2 x 

8 12
 1
23 x 2 x

3

2
 2

 2   x   6. 2 x  x   1 .
2 
2 

3x

3

2
 2
Đặt: t  2  x  23 x   x   t 3  6t .
2

2 
x

Ta đƣợc phƣơng trình:
t 3  6t  6t  1
 t 3  1  t  1.

24

Thư viện Đại học Thăng Long


∎ Với t  1 , suy ra:

2x 

2
 1.
2x

Đặt u  2 x (đk: u > 0) ta đƣợc phƣơng trình:
u

2
1
u

 u2  u  2  0

u  1


 u  2.

So sánh với điều kiện của u phƣơng trình có nghiệm u = 2 thỏa mãn điều kiện.
∎ Với u = 2, suy ra: 2x  2  x  1.
Vậy phƣơng trình (2.14) có nghiệm x  1 .
BÀI TOÁN 2.2: Dùng ẩn phụ chuyển phƣơng trình mũ về dạng một
phƣơng trình với 1 ẩn phụ, hệ số vẫn chứa ẩn ban đầu.
∗ Phƣơng pháp chung:
Một số phƣơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức
cịn lại khơng thể biểu diễn triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu có thể biểu diễn
đƣợc thì quá trình biến đổi quá phức tạp. Khi đó ta có thể coi phƣơng trình đã
cho với ẩn phụ mới, cịn hệ số thì chứa ẩn ban đầu. Ta giải phƣơng trình và biểu
diễn ẩn phụ theo ẩn ban đầu.
Ví dụ 2.15: Giải phương trình
32 x  (2x  9).3x  9.2 x  0 .

(2.15)

Giải:
Đặt t  3x (đk: t > 0) ta đƣợc phƣơng trình:
t 2  (2x  9).t  9.2 x  0 (2.15’)
  (2x  9)2  4.9.2 x  22 x  2.9.2 x  9 2  4.9.2 x  (2 x  9) 2
 t 9
⟹ phƣơng trình (2.15’) có nghiệm: 
.
x
t  2

∎ Với t  9 , suy ra: 3x  9  x  2.

25