Luận văn đại số boole và một số ứng dụng

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận
văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Trịnh Thị Hiếu

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Khoa khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học
Hồng Đức - Thanh Hóa dưới sự hướng dẫn của TS. PHẠM THỊ CÚC, Trường
Đại học Hồng Đức. Cơ đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành
luận văn này. Qua đây tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và lịng u
q tới Cơ.
Tơi cũng xin được cảm ơn tới tất cả các thầy cô đã giảng dạy tơi và cảm ơn
tất cả bạn bè vì sự giúp đỡ chân tình của mọi người. Tơi xin gửi lời cảm ơn tới
phòng Sau đại học Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa đã giúp đỡ về mặt
thủ tục để tơi hồn thiện luận văn này.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cơ quan nơi tôi
công tác đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập và nghiên
cứu.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.
Tác giả rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầy giáo,
cô giáo, các anh chị và đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn. Xin trân trọng
cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng .... năm 2020
Tác giả

Trịnh Thị Hiếu

ii


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Nguyên lý đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Đại số con, đại số thương, đồng cấu đại số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Chương 2. ĐẠI SỐ BOOLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Một số ví dụ về đại số Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Các tính chất của đại số Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Sơ đồ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1. Ứng dụng đại số Boole vào sơ đồ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2. Mạch nối tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.3. Mạch song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4. Hai sơ đồ (mạch điện) tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Ước số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1. Nhắc lại về quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2. Kết quả xây dựng đại số Boole dựa trên quan hệ chia hết . . . . . . . 21

3.4. Tập được sắp và dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1. Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iii


3.4.2. Dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Dạng chuẩn tắc và sự rút gọn các sơ đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6. Định lý biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đại số Boole (hay đại số Boolean) là một ví dụ điển hình về kiểu cấu trúc
đại số trong đó các ký hiệu thường đại diện cho các đối tượng không phải là
số. Đại số này được mô phỏng theo đại số các tập con của một tập hợp với các
phép tốn hai ngơi là phép hợp và phép giao, cịn phép tốn một ngơi là phép
lấy phần bù. Đại số Boole có nhiều ứng dụng, đặc biệt là ứng dụng quan trọng
trong sơ đồ chuyển mạch mà ở đó mỗi ký hiệu đại diện cho một công tắc hoặc
một mạch điện đặc biệt.
Nguồn gốc của đại số Boole bắt nguồn từ năm 1947, khi nhà toán học người
Anh George Boole (1815 – 1864) xuất bản một bài báo có tên là “Giải tích tốn
học của logic”, trong đó đã đã chỉ ra cách mà các ký hiệu đại số có thể được áp
dụng cho logic. Các thao tác trên các mệnh đề logic nhờ đại số Boole ngày nay
được gọi là các phép toán mệnh đề.
Trong đại số trừu tượng, đại số Boole là một cấu trúc đại số có các tính chất
cơ bản của cả các phép toán trên tập hợp và các phép toán logic. Cụ thể, các

phép toán trên tập hợp được quan tâm là phép giao, phép hợp, phép bù; và các
phép toán logic là AND (và), OR (hoặc), NOT (phủ định). Bởi vì các đại lượng
chỉ có hai trạng thái nên đại số Boole rất khác đại số thường và dễ tính tốn
hơn. Ở đại số Boole khơng có phân số, số thập phân, số ảo, số phức, căn số, . . .
mà chỉ thực hiện chủ yếu ba phép tính tốn cơ bản trên. Ngồi ra, các tính chất
của đại số Boole giúp đơn giản hóa các biểu thức logic. Việc này là cần thiết để
các thiết kế được thực hiện đơn giản và kinh tế hơn. Vì vậy, tơi lựa chọn đề tài
“Đại số Boole và một số ứng dụng” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu về đại số Boole và một số ứng dụng của
đại số Boole.
3. Nhiệm vụ đề tài
1


Tìm hiểu tổng quan về Đại số Boole và ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về đại số Boole.
Phạm vi nghiên cứu: Đại số Boole và một số ứng dụng của đại số Boole.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn là một tài liệu tham khảo cho giảng viên, học viên cao học và các
bạn sinh viên trong việc tìm hiểu về đại số Boole và các ứng dụng của nó.
6. Cấu trúc luận văn
Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
ba chương chính như sau:
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại các khái niệm về tập hợp và đại số. Đây là những kiến
thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau.
Chương 2. ĐẠI SỐ BOOLE
Chương này trình bày định nghĩa đại số Boole, một số ví dụ về đại số Boole,

các tính chất của đại số Boole.
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE
Chương này trình bày logic mệnh đề, sơ đồ chuyển mạch, ước số, tập được
sắp và dàn, dạng chuẩn tắc và sự rút gọn các sơ đồ.

2


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về tập hợp và
đại số. Nội dung của chương này được trình bày dựa theo các tài liệu [1], [2].

1.1. Tập hợp
1.1.1. Các phép toán trên tập hợp
1.1.1.1. Phép hợp
Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∪ B, là tập hợp bao gồm tất cả các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B:
A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.

1.1.1.2. Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B, là tập hợp bao gồm tất cả các
phần tử thuộc cả A và B:
A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.
Nếu hai tập hợp A và B khơng có phần tử chung, nghĩa là A ∩ B = ∅, thì ta gọi
A và B là hai tập hợp rời nhau.

1.1.1.3. Phép lấy phần bù
Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong E, ký hiệu là CE A là tập

hợp cả các phần tử của E mà không là phần tử của A.
3


Chú ý 1.1.1. Với hai tập hợp A, B bất kỳ, người ta còn xét hiệu của hai tập hợp
A và B.
Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A \ B là tập hợp gồm tất cả các phần
tử thuộc A nhưng không thuộc B:
A \ B = {x | x ∈ A và x 6∈ B}.

1.1.2. Nguyên lý đếm
1.1.2.1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương
án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện phương án B.
Khi đó cơng việc có thể được thực hiện bởi m + n cách.
Quy tắc cộng cho cơng việc có thể được thực hiện theo một trong k phương
án A1 , A2 , . . . , Ak . Có n1 cách thực hiện phương án A1 , có n2 cách thực hiện
phương án A2 , . . . và nk cách thực hiện phương án Ak . Khi đó cơng việc có thể
được thực hiện bởi n1 + n2 + · · · + nk cách.
Chú ý 1.1.2. Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau: Nếu A và B là
hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử
của A cộng với số phần tử của B, tức là: |A ∪ B| = |A| + |B|.

1.1.2.2. Quy tắc nhân
Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A
có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện cơng đoạn A thì cơng đoạn B có
thể làm theo m cách. Khi đó cơng việc có thể được thực hiện theo n · m cách.
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau: Giả
sử một cơng việc nào đó bao gồm k cơng đoạn A1 , A2 , . . . , Ak . Cơng đoạn A1 có
thể được thực hiện theo n1 cách, cơng đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,

. . . , cơng đoạn Ak có thể được thực hiện theo nk cách. Khi đó cơng việc có thể
thực hiện theo n1 · n2 · · · nk cách.
Nguyên lý nhân theo tập hợp:
Nguyên lý nhân thường được phát biểu bằng ngôn ngữ tập hợp như sau. Nếu
A1 , A2 , . . . , Ak là các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tích Descartes của các
tập này bằng tích của số các phần tử của mọi tập thành phần.
4


Ta biết rằng việc chọn một phần tử của tích Descartes A1 × A2 × · · · × Ak được
tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của A1 , một phần tử của A2 , ...,
một phần tử của Ak . Theo quy tắc nhân ta có:
|A1 × A2 × · · · × Ak | = |A1 | · |A2 | · · · |Ak | .
Ngun lý bù trừ:
Khi hai cơng việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng
để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực
hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách
làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn
ngữ tập hợp: Cho A1 , A2 là hai tập hữu hạn, khi đó:
|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | .
Nguyên lý bù trừ: Từ đó với ba tập hợp hữu hạn A1 , A2 , A3 , ta có:
|A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 |
− |A1 ∩ A2 | − |A2 ∩ A3 | − |A3 ∩ A1 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | ,
Nguyên lý Dirichlet
*Nguyên lý Dirichlet mở đầu:
Mệnh đề 1.1.1. Nếu có k + 1 (hoặc nhiều hơn) đồ vật được đặt vào trong k hộp
thì tồn tại một hộp có ít nhất hai đồ vật.
Chứng minh. Giả sử khơng có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn một đồ vật.
Khi đó tổng số vật được chứa trong các hộp nhiều nhất là bằng k. Điều này trái
giả thiết là có ít nhất k + 1 vật.

Nguyên lý này thường được gọi là nguyên lý Dirichlet, mang tên nhà toán
học người Đức ở thế kỷ 19. Ông thường xuyên sử dụng nguyên lý này trong
công việc của mình.
*Ngun lý Dirichlet tổng qt:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một
hộp chứa ít nhất [N/k] đồ vật (ở đây, [x] là giá trị của hàm trần tại số thực x, đó
là số nguyên nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hoặc bằng x). Khái niệm này đối ngẫu
với [x] − 1 giá trị của hàm sàn hay hàm phần nguyên tại x− là số nguyên lớn
nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x.
5


Chứng minh. Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn [N/k] vật. Khi đó tổng số đồ vật
là ([N/k] − 1) < k · N/k = N. Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có N đồ vật
cần xếp.

1.2. Đại số
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử K là một vành có đơn vị, giao hoán. Một đại số trên K hoặc một K –
đại số là một K – môđun X được trang bị một phép tốn nhân; tích của hai phần
tử x, y ∈ X ký hiệu là xy sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
A1. Phép nhân trong X phân phối đối với phép cộng trong X:
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx,
với x, y, z ∈ X.
A2. Phép nhân trong X và phép nhân vô hướng các phần tử của vành K thỏa
mãn điều kiện:
(α x)y = α (xy), α ∈ K; x, y ∈ X.
Phép nhân trong K-môđun X thỏa mãn các điều kiện A1. và A2. gọi là phép
nhân song tuyến tính.

Các điều kiện A1. và A2. tương đương với các điều kiện:
(α s + β y)z = α (xz) + β (yz),
x(α y + β z) = α (xy) + β (xz),
với mọi α , β ∈ K và x, y, z ∈ X. Nếu X là K-mơđun tự do thì X gọi là đại số tự
do. Bằng cách ấn định các điều kiện: giao hoán, kết hợp, có đơn vị cho phép
nhân, ta được các kiểu đại số: giao hốn, kết hợp, có đơn vị.

1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1.2.1. Mỗi vành K giao hốn có đơn vị là một K-đại số trên chính nó.
Mỗi iđêan I của K là một K- đại số.

6


Ví dụ 1.2.2. Tập các đa thức K[x] là một K-đại số với phép cộng và phép nhân
đa thức.
Ví dụ 1.2.3. Tập Mn [K] các ma trận vuông cấp n là một K-đại số kết hợp có đơn
vị, khơng giao hoán đối với phép cộng, phép nhân ma trận và phép nhân các ma
trận với các phần tử vơ hướng.
Ví dụ 1.2.4. Xét không gian vectơ thực bốn chiều H = R ⊕ Ri ⊕ R j ⊕ Rk với cơ
sở {1, i, j, k}. Phép toán nhân trên H được định nghĩa thông qua các phần tử
sinh như sau:
i2 = j2 = k2 = −1, i j = − ji = k,
jk = −k j = i,

ki = −ik = j.

Kiểm tra thấy rằng H cùng với phép cộng vectơ và phép nhân xác định như trên
là một vành, phép nhân trên H và phép nhân với vô hướng trong R thỏa mãn
điều kiện A2. Do đó H lập thành một đại số trên trường số thực R, được gọi là

đại số Quaternion.

1.2.3. Đại số con, đại số thương, đồng cấu đại số
1.2.3.1. Đại số con
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một K-đại số. Một đại số con của K-đại số X là
một môđun con A của K-môđun X ổn định đối với phép nhân, tức là nếu x, y ∈ A
thì xy ∈ A.
Ví dụ 1.2.5. Mỗi vành K giao hốn có đơn vị là một K-đại số trên chính nó.
Khi đó mỗi iđêan I của K là một đại số con. Tập các ma trận tam giác trên là
một đại số con của K-đại số Mn [K].
Cho S là tập con của K-đại số X. Giao của tất cả các đại số con của X chứa
S cũng là một đại số con của X chứa S và là đại số con nhỏ nhất (theo quan hệ
bao hàm) của X chứa S ta gọi nó là đại số con sinh bởi tập S.

1.2.3.2. Đại số thương
Iđêan trái của K-đại số X là một đại số con A thoả mãn XA ⊆ A (tức là với
∀a ∈ X, a ∈ A thì xa ∈ A).
Tương tự, một iđêan phải của K-đại số X là một đại số con A thoả mãn
AX ⊆ A.
7


Một đại số con A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của K-đại số X gọi là
iđêan, ký hiệu là A △ X.
Tương tự như trong lý thuyết vành, nếu A là một iđêan của K-đại số X thì
trong mơđun thương
X/A = {x = x + A | x ∈ A} ,
ta có thể định nghĩa phép nhân như sau:
x · y = xy; x, y ∈ X/A.
Khi đó là một K-đại số, gọi là đại số thương của K-đại số X theo iđêan A.

1.2.3.3. Đồng cấu đại số
Giả sử X,Y là các K-đại số. Ta gọi K- đồng cấu đại số của K-đại số X vào
K-đại số Y là một K- đồng cấu f của môđun X vào môđun Y thoả mãn:
f (xy) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ Y.
Tương tự như trong lý thuyết vành ta có:
Giả sử f là mơt K- đồng cấu đại số của K-đại số X vào K-đại số Y .
Khi đó ta có :

• Ảnh Im( f ) = f (X) là một đại số con của đại số Y .
• Nhân Ker( f ) = f −1 ({0}) là một iđêan của đại số X.
Định lý 1.2.1 (Đồng cấu đại số). Đối với mọi đồng cấu đại số f : X → Y , tồn
tại duy nhất đẳng cấu đại số fe: X/ Ker f → Im f sao cho biểu đồ sau đây giao
hốn
f

X

Y
fe

p
X/ Ker f
trong đó p là phép chiếu chính tắc

p(x) = x + Ker f , ∀x ∈ X.

8

Chương 2

ĐẠI SỐ BOOLE
Trong chương này chúng tơi trình bày định nghĩa, một số ví dụ, các tính chất
và định lý biểu diễn của đại số Boole làm cơ sở để phân tích những ứng dụng
của nó trong chương tiếp theo. Nội dung của chương này được trình bày theo
các tài liệu [3] và [4].

2.1. Định nghĩa
Phần này chúng tôi đưa ra định nghĩa trừu tượng về đại số Boole dựa vào
tập hợp với hai phép tốn hai ngơi và một phép tốn một ngơi. Chúng tơi chỉ
ra được rằng cấu trúc đại số khác chẳng hạn như đại số tập hợp, mệnh đề logic
và đại số các sơ đồ chuyển mạch đều là đại số Boole. Từ đó suy ra được một
kết quả tổng quát là các mệnh đề sẽ đúng trong tất cả các ví dụ đưa ra về đại số
Boole.
Định nghĩa 2.1.1. Đại số Boole (K, ∧, ∨,′ ) là một tập hợp K cùng với hai phép
tốn hai ngơi ∧ và ∨ và phép tốn một ngôi ′ trên K thỏa mãn tiên đề sau cho
tất cả A, B,C ∈ K:
i) A ∧ (B ∧C) = (A ∧ B) ∧C. (luật kết hợp)
ii) A ∨ (B ∨C) = (A ∨ B) ∨C. (luật kết hợp)
iii) A ∧ B = B ∧ A. (luật giao hoán)
iv) A ∨ B = B ∨ A. (luật giao hoán)
v) A ∧ (B ∨C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧C). (luật phân phối)
vi) A ∨ (B ∧C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨C). (luật phân phối)
9


vii) Có một phần tử khơng 0 trong K sao cho A ∨ 0 = A.
viii) Có một phần tử đơn vị 1 trong K sao cho A ∧ 1 = A.
ix) A ∧ A′ = 0.

x) A ∨ A′ = 1.
Ta gọi các phép toán ∧ và ∨ lần lượt là giao và hợp. Phần tử A′ gọi là phần bù
của A.
Tiên đề kết hợp i) là thừa trong hệ tiên đề ở trên vì nó dễ dàng có thể suy từ
các tiên đề khác. Tuy nhiên, vì tính kết hợp là tính chất quan trọng nên ta giữ lại
như các tiên đề khác.

2.2. Một số ví dụ về đại số Boole
Ví dụ 2.2.1. Đại số lơgic là một đại số Boole, trong đó K là tập hợp các mệnh
đề, các phép toán (hội), (tuyển), - (phủ định) tương ứng với ∧, ∨, ′ ; các hằng T
(đúng), F (sai) tương ứng với các phần tử trung hoà 1, 0.
Ví dụ 2.2.2. Đại số tập hợp là một đại số Boole, trong đó K là tập hợp P(X)
gồm các tập con của tập khác rỗng X, các phép toán ∩ (giao), ∪ (hợp), − (bù)
tương ứng với ∧, ∨, ′ ; các tập X, ∅ tương ứng với các phần tử trung hồ 1, 0.
Khi X = ∅ thì tập P(X) = {∅}. Nghĩa là tập P(X) chứa một phần tử. Phần
tử này vừa là phần tử không vừa là phần tử đơn vị. Khi đó đại số Boole có duy
nhất một phần tử.
Ví dụ 2.2.3. Cho tập hợp gồm 2 phần tử B = {0, 1}. Ta định nghĩa các phép
toán ∧, ∨,′ bằng Bảng 2.1 sau

Bảng 2.1. Đại số Boole hai phần tử
A

B

A∧B

A∨B

0

0

0

0

A

A

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

Khi đó B cùng với các phép toán ∧, ∨,′ là một đại số Boole. Đây cũng chính là
10


đại số lơgic; trong đó 1, 0 tương ứng với T (đúng), F (sai). Mỗi phần tử 0, 1 của
K gọi là một bit. Ta thường viết x thay cho x′ .
Tổng quát, gọi K n là tập hợp các xâu n bit (xâu nhị phân độ dài n). Ta định
nghĩa tích, tổng của hai chuỗi và bù của một chuỗi theo từng bit một như trong
Bảng (2.1), mà thường được gọi là các phép toán AND-bit, OR-bit, NOT-bit. K n
với các phép toán này tạo thành một đại số Boole.

2.3. Các tính chất của đại số Boole
Mệnh đề 2.3.1. Nếu phép tốn hai ngơi ∗ trên tập hợp K có phần tử đơn vị e
sao cho: a ∗ e = e ∗ a = a cho mọi a ∈ K thì phần tử này là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử cả e và e′ đều là phần tử đơn vị. Khi đó e = e ∗ e′ vì e′
là đơn vị và e ∗ e′ = e′ vì e là đơn vị. Do đó e = e′ . Vậy phần tử đơn vị là duy
nhất.

Hệ quả 2.3.1. Phần tử 0 và phần tử đơn vị trong đại số Boole là duy nhất.
Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.1 vì phần tử 0 và
phần tử đơn vị lần lượt là đơn vị của phép hợp và phép giao.
Mệnh đề 2.3.2. Phần bù của một phần tử trong đại số Boole là duy nhất; nghĩa
là, với mỗi A ∈ K chỉ có một phần tử A′ ∈ K thỏa mãn tiên đề ix) và x): A∧A′ = 0
và A ∨ A′ = 1.
Chứng minh. Giả sử cả B và C là phần bù của A, sao cho A ∧ B = 0, A ∨ B =
1, A ∧C = 0 và A ∨C = 1. Khi đó:
B = B ∨ 0 = B ∨ (A ∧C) = (B ∨ A) ∧ (B ∨C)
= (A ∨ B) ∧ (B ∨C) = 1 ∧ (B ∨C) = B ∨C.
Tương tự, C = C ∨ B và vì vậy B = B ∨C = C ∨ B = C.
Nếu ta hoán vị ∧ và ∨ và hoán vị 0 và 1 trong hệ tiên đề của đại số Boole,
thì kết quả thu được hệ tiên đề giống như vậy. Do đó nếu bất kỳ mệnh đề nào
rút ra từ các tiên đề đó, thì mệnh đề thu được bằng cách đổi vị trí của ∧ và ∨ và
vị trí 0 và 1 cũng được rút ra từ đó. Nó được gọi là nguyên lý đối ngẫu. Chẳng
hạn, trong mệnh đề trên có bốn cặp khẳng định đối ngẫu. Nếu một khẳng định
11


trong một khẳng định được chứng minh thì các khẳng định còn lại sẽ được suy
ra từ nguyên lý đối ngẫu.
Nếu (K, ∧, ∨,′ ) là một đại số Boole với 0 là phần tử không và 1 là phần tử
đơn vị, thì (K, ∨, ∧,′ ) cũng là một đại số Boole với 1 là phần tử không và 0 là
phần tử đơn vị.
Mệnh đề 2.3.3. Nếu A, B là các phần tử của đại số Boole (K, ∧, ∨,′ ) hệ thức
sau đây là đúng.
(i) A ∧ 0 = 0.
(ii) A ∨ 1 = 1.
(iii) A ∧ (A ∨ B) = A.
(iv) A ∨ (A ∧ B) = A. (luật hút)

(v) A ∧ A = A.
(vi) A ∨ A = A. (luật lũy đẳng)
(vii) (A ∧ B)′ = A′ ∨ B′
(viii) (A ∨ B)′ = A′ ∧ B′ . (luật De Morgan)
(ix) (A′ )′ = A.
Chứng minh. Lưu ý trước tiên ta thấy rằng (ii), (iv), (vi), (viii) là đối ngẫu của
chất (i), (iii), (v) và (vii), nên ta chỉ chứng minh một hệ thức trong mỗi cặp hệ
thức trên và ix). Sử dụng một số tiên đề của đại số Boole ta có:
(i) A ∧ 0 = A ∧ (A ∧ A′ ) = (A ∧ A) ∧ A′ = A ∧ A′ = 0.
(iii) A ∧ (A ∨ B) = (A ∨ 0) ∧ (A ∨ B) = A ∨ (0 ∧ B) = A ∨ 0 = A.
(v) A = A ∧ 1 = A ∧ (A ∨ A′ ) = (A ∧ A) ∨ (A ∧ A′ ) = (A ∧ A) ∨ 0 = A ∧ A.
Hệ thức (vii) suy ra từ Mệnh đề 2.3.2. Nếu ta có thể chỉ ra rằng A′ ∨ B′ là
phần bù của A ∧ B (khi đó nó là phần bù của (A ∧ B)′ ). Bây giờ dùng phần (i)
phép toán này,
(A ∧ B) ∧ (A′ ∨ B′ ) = [(A ∧ B) ∧ A′ ] ∨ [(A ∧ B) ∧ B′ ]
= [(A ∧ A′ ) ∧ B] ∨ [A ∧ (B ∧ B′ )]
= [0 ∧ B] ∨ [A ∧ 0]
= 0∨0
12


= 0.
Tương tự phần (ii), ta có:
(A ∧ B) ∨ (A′ ∨ B′ ) = [A ∨ (A′ ∨ B′ )] ∧ [B ∨ (A′ ∨ B′ )]
= [(A ∨ A′ ) ∨ B′ ] ∧ [(B ∨ B′ ) ∨ A′ ]
= [1 ∨ B′ ] ∧ [1 ∨ A′ ]
= 1∧1
= 1.
Để chứng minh Hệ thức (ix), bằng định nghĩa ta có A′ ∧ A = 0 và A′ ∨ A = 1. Vì
thế, A là phần bù của A′ và vì phần bù là duy nhất nên A = (A′ )′ .

Mệnh đề 2.3.4. Nếu A, B là các phần tử của đại số Boole (K, ∧, ∨,′ ) hệ thức
sau đây là đúng.
i) (A′ )′ = A.
ii) Nếu A ∨ B = B thì A ∧ B = A.
Một trong những kết quả quan trong của đại số Boole là Định lý biểu diễn.
Tuy nhiên, ta sẽ khơng trình bày định lý ở đây, do trong phép chứng minh của
định lý có sử dụng một số khái niệm và kết quả được trình bày ở Chương 3. Do
đó, Định lý biểu diễn sẽ được trình bày ở cuối chương 3.

13


Chương 3

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE
Trong đại số trừu tượng, đại số Boole là một cấu trúc đại số có các tính chất
cơ bản của cả các phép tốn trên tập hợp và các phép toán logic. Cụ thể, các
phép toán trên tập hợp được quan tâm là phép giao, phép hợp, phép bù; và các
phép toán logic là Và, Hoặc, Không. Đại số Boole làm việc với các đại lượng
chỉ nhận giá trị Đúng hoặc Sai và có thể thể hiện hệ thống số nhị phân, hoặc
các mức điện thế trong mạch điện logic. Do đó đại số Boole có nhiều ứng dụng
trong kỹ thuật điện và khoa học máy tính, cũng như trong logic tốn học.
Trong chương này chúng tơi sẽ phân tích một số ứng dụng của đại số Boole
trên sơ đồ chuyển mạch, xây dựng đại số Boole dựa trên quan hệ chia hết, quan
hệ thứ tự, dàn, dạng chuẩn tắc và rút gọn các sơ đồ. Nội dung của chương này
được trình bày chủ yếu dựa theo tài liệu [4].

3.1. Logic mệnh đề
Bây giờ, ta nêu vắn tắt cách mà đại số Boole có thể được vận dụng cho logic
mệnh đề. Xét hai mệnh đề “A” và “B” có thể hoặc đúng hoặc sai. Ví dụ, “A” là

“3 là một số nguyên tố” và “B” là “4 là một số chính phương”. Ta có thể kết hợp
những mệnh đề này để thành lập những mệnh đề mới, chẳng hạn “A và B” sẽ là
“3 là một số nguyên tố và 4 là một số chính phương”. Ta cũng có thể thành lập
mệnh đề “khơng A” là “3 không là một số nguyên tố ”. Ta hãy so sánh sự đúng
sai của mệnh đề được suy ra với sự đúng hoặc sai với mệnh đề trước. Ta mô
phỏng hệ thức bằng biểu đồ gọi là bảng chân trị. Bảng 3.1 là bảng chân trị của
các biểu thức “A và B”, “A hoặc B” và “không A”. Trong bảng này T có nghĩa là
đúng và F có nghĩa là sai. Ví dụ, nếu mệnh đề “A ” là đúng trong khi đó “B” sai,
14


thì mệnh đề “A và B” sẽ sai, và mệnh đề “A hoặc B ” sẽ đúng.
Ta định nghĩa lôgic mệnh đề qua Bảng 3.1 sau

Bảng 3.1. Bảng chân trị
A

B

A và B

A hoặc B

F

F

F

F

A

F

T

F

T

F

T

T

F

F

T

T

F

T

T

T

T

Khơng

A

Ta có hai câu có vẻ như khác nhau nhưng lại cùng chung một nghĩa. Chẳng
hạn “3 không là một số nguyên tố và 4 không là một số chính phương” là cùng
nghĩa với khẳng định “khơng phải 3 là một số nguyên tố và 4 là một số chính
phương”. Nếu khẳng định P và Q có cùng ý nghĩa gọi là logic tương đương, khi
đó ta ký hiệu P = Q.
(không A) hoặc (không B) = không (A và B).
Đẳng thức này này tương ứng với định luật De Morgan trong đại số Boole.
Như vậy, tập hợp các khẳng định có vẻ giống như đại số Boole. Để chính
xác hơn, ta hãy xét tập hợp mệnh đề đóng kín với các phép tốn “hoặc”, “và”,
“khơng”. Cho K là một tập hợp mà phần tử của nó bao gồm tất cả các khẳng
định là tương đương logic với một khẳng cụ thể đặc biệt nào đó. Khi đó, ta có
thể kiểm tra được (K, và, hoặc, khơng) đúng là đại số Boole. Phần tử không
được gọi là hằng sai, là một khẳng định luôn luôn sai như “4 là một số chính
phương và 4 khơng là một số chính phương”. Phần tử đơn vị được gọi là hằng
đúng, nghĩa là một khẳng định luôn luôn đúng chẳng hạn như “4 là một số chính
phương hoặc 4 khơng là một số chính phương”. Điều này cho phép ta thao tác
mệnh đề logic sử dụng công thức suy ra từ tiên đề đại số Boole.
Một phương pháp quan trọng để kết hợp hai mệnh đề A và B thành một mệnh
đề nhờ điều kiện, đó là “Nếu A, thì B” hoặc tương đương “A kéo theo B”, ta viết
“A ⇒ B”. Vậy tính đúng sai của các điều kiện như vậy phụ thuộc vào A và B
như thế nào? Hãy xem xét mệnh đề sau:

(1) Nếu x > 3, thì x2 > 9,
.
.
(2) Nếu x .. 2, thì x2 .. 4,
15


(3) Nếu 1 = 2, thì 0 · 1 = 0 · 2,
(4) Nếu 2 = 3, thì mặt trăng được cấu tạo bằng pho mát xanh.
Rõ ràng là nếu A đúng thì B cũng đúng để mệnh đề “A ⇒ B” là đúng. Tuy nhiên,
nếu A khơng đúng, thì mệnh đề “Nếu A, thì B” khơng có nghĩa chuẩn trong ngơn
ngữ hằng ngày. Khi ta có “A ⇒ B” nghĩa là không thể xảy ra A đúng và B không
đúng. Điều này kéo theo giá trị đúng của mệnh đề “A ⇒ B” là giống với mệnh
đề “không(A và không B)”. Nếu ta ký hiệu ∧, ∨ và ′ lần lượt cho “và”, “hoặc” và
“khơng” thì “A ⇒ B” là tương đương với (A ∧ B′ )′ = A′ ∨ B. Do vậy “A ⇒ B” là
đúng nếu A là sai hoặc nếu B đúng. Theo cách hiểu này, thì mệnh đề (1), (3) và
(4) là đúng, trái lại mệnh đề (2) là sai.
Ta có thể kết hợp hai mệnh đề điều kiện để tạo thành một mệnh đề hai điều
kiện dưới dạng “A khi và chỉ khi B” hoặc “A ⇔ B”. Mệnh đề này tương đương
với “(A ⇒ B) và (B ⇒ A)” hoặc (A ∧ B) ∨ (A′ ∧ B′ ). Một cách khác để diễn đạt
hai điều kiện này là “A là một điều kiện cần và đủ để có B”. Theo Bảng 3.2
mệnh đề “A ⇔ B” là đúng nếu cả A và B là đúng hoặc cả A và B đều sai.

Bảng 3.2. Bảng chân trị của mệnh đề điều kiện và hai điều kiện
A

B

A⇒B

A⇐B

A⇔B

F

F

T

T

T

F

T

T

F

F

T

F

F

T

F

T

T

T

T

T

Ví dụ 3.1.1. Áp dụng phép tính mệnh đề này để xác định xem liệu lập luận của
nhà chính trị có phù hợp hay khơng? Trong một bài phất biểu ơng ta nói rằng:
“nếu thuế tăng, thì tỉ lệ lạm phát sẽ giảm khi và chỉ khi giá trị đồng đơ la khơng
giảm”. Trên truyền hình ơng ta nói rằng: “nếu tỉ lệ lạm phát giảm hoặc là giá
trị đồng đơ la khơng giảm, thì thuế sẽ khơng tăng”. Trong bài phát biểu ở nước
ngồi, ơng ta nói rằng: “hoặc là thuế phải tăng hoặc giá trị đồng đô la sẽ giảm
và tỷ lệ lạm phát sẽ giảm”. Kết luận của ông ta là: “thuế sẽ tăng, nhưng tỷ lệ
lạm phát sẽ giảm và giá trị đồng đô la sẽ khơng giảm”.
Lời giải. Ta ký hiệu:
A có nghĩa “Thuế sẽ tăng”.
16


B có nghĩa “Tốc độ lạm phát sẽ giảm”.
C có nghĩa “Giá trị của đồng đôla sẽ không giảm”.
Ba mệnh đề phát biểu trên có thể được viết dưới dạng ký hiệu hóa sau:

i) A ⇒ (B ⇔ C).
ii) (B ∨ A) ⇒ A′ .
iii) A ∨ (C′ ∧ B).
Kết luận của ông ta là:
(iv) A ∧ B ∧C.
Giá trị đúng của hai mệnh đề đầu là tương với những điều suy ra sau đây:
i) A′ ∨ ((B ∧C) ∨ (B′ ∧C′ )).
ii) (B ∨C)′ ∨ A′ .
Ta có bảng giá trị:

Bảng 3.3. Bảng chân trị của nhà chính trị
A

B

C

i)

ii)

iii)

i) ∧ ii) ∧ iii)

iv)

i) ∧ ii) ∧ iii) ⇒ iv)

F

F

F

T

T

F

F

F

T

F

F

T

T

T

F

F

F

F

F

T

F

T

T

T

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

T

T

T

T

F

T

T

F

T

F

F

T

F

F

T

T

T

F

F

F

T

F

F

T

T

T

T

T

F

T

F

T

T

Từ Bảng 3.3 suy ra rằng (i) ∧ (ii) ∧ (iii) ⇒ (iv) khơng phải là hằng đúng, nghĩa
là nó khơng ln đúng. Vì vậy các lý luận của nhà chính trị này là khơng phù
hợp. Nó gặp mâu thuẫn khi A và C là sai còn B là đúng và khi B và C là sai còn
A là đúng.

17

3.2. Sơ đồ chuyển mạch
3.2.1. Ứng dụng đại số Boole vào sơ đồ chuyển mạch
Phần này sử dụng đại số Boole để phân tích một số sơ đồ chuyển mạch đơn
giản. Một cơng tắc là một thiết bị có hai trạng thái, trạng thái một là trạng thái
“bật”, trạng thái 0 là trạng thái “tắt”. Công tắc đèn thông thường của hộ gia
đình là thiết bị như vậy. Chúng tơi phân tích các sơ đồ có 2 điểm: Sơ đồ được
cho là đóng nếu dịng điện đi qua điểm cuối, và mở nếu dịng điện khơng thể đi
qua điểm cuối.
A

Hình 3.1. Công tắc A
Ký hiệu một công tắc A bằng một ký hiệu như Hình 3.1. Ta gán giá trị 1 cho A
nếu cơng tắc A là đóng, giá trị 0 cho A nếu công tắc A là mở. Ký hiệu hai công
tắc cùng một chữ nếu chúng mở và đóng cùng một lúc. Nếu B là một cơng tắc
nằm ở vị trí đối lập với A (có nghĩa là: Nếu B mở thì A đóng, và B đóng thì A
mở) thì ta ký hiệu B bởi A′ .

3.2.2. Mạch nối tiếp
B

A

Hình 3.2. Các cơng tắc mắc nối tiếp

B

A

∼

Bóng điện

Nguồn điện

Hình 3.3. Sơ đồ mạch nối tiếp
18


Hai cơng tắc A và B trong Hình 3.2 được gọi là nối tiếp. Nếu chúng ta nối sơ
đồ này với một nguồn điện và một bóng điện như Hình 3.3, ta thấy rằng bóng
điện sẽ sáng khi và chỉ khi cả hai cơng tắc A và B đều đóng. Ta ký hiệu sơ đồ
này bởi A ∧ B. Tác động của nó được thể hiện ở Bảng 3.4.

Bảng 3.4. Tác động của sơ đồ nối tiếp
Công tắc A

Công tắc B

Sơ đồ A ∧ B

Bóng đèn

0 (Ngắt)

0 (Ngắt)

0 (Ngắt)

Tắt

0 (Ngắt)

1 (Đóng)

0 (Ngắt)

Tắt

1 (Đóng)

0 (Ngắt)

0 (Ngắt)

Tắt

1(Đóng)

1 (Đóng)

1 (Đóng)

Sáng

3.2.3. Mạch song song
Các cơng tắc A và B trong Hình 3.4 được gọi là mắc song song và sơ đồ này
được ký hiệu bởi A ∨ B, bởi vì mạch điện là đóng nếu hoặc A hoặc B là đóng.
A
B

Hình 3.4. Các cơng tắc mắc song song
Trong lý thuyết mạch, đôi khi người ta sử dụng các ký hiệu (+ và .) lần lượt
thay cho ∧ và ∨.
Mạch mắc nối tiếp và song song có thể được kết hợp để tạo thành sơ đồ giống
như trong Hình 3.5. Sơ đồ này sẽ được ký hiệu bởi (A ∨ (B ∧ A′ )) ∧ B′ ). Những
sơ đồ như vậy được gọi là sơ đồ chuyển mạch nối tiếp - song song.
A
B′
A′

B

Hình 3.5. Sơ đồ mạch mắc nối tiếp-song song
19


Trong thực tế sơ đồ mạch điện có thể khơng lắp ráp giống như Hình3.5 bởi vì
người ta muốn lắp các công tắc A và A′ cùng với nhau và B và B′ với nhau. Hình
3.6 là sơ đồ mạch lắp ráp có thể có.
Cơng tắc A
Cơng tắc B

Hình 3.6. Sơ đồ mạch lắp ráp

3.2.4. Hai sơ đồ (mạch điện) tương đương
Hai sơ đồ C1 và C2 với các công tắc A, B được gọi là tương đương nếu các vị
trí của cơng tắc A, B cho phép dịng điện chạy qua là như nhau ở cả hai sơ đồ.
Ta viết C1 = C2 nghĩa là hai sơ đồ này tương đương. Có thể xác minh rằng tất
cả các tiên đề đại số Boole đều hợp lệ khi được hiểu là các chuyển mạch nối
tiếp – song song. Chẳng hạn, Hình 3.7 minh họa luật phân phối. Phần tử khơng

tương ứng với một sơ đồ luôn mở và phần tử đơn vị tương ứng với sơ đồ ln
ln đóng. Phần bù C ′ của sơ đồ C là đóng khi C mở và mở khi C đóng.
B

A

B

A
C
A ∧ (B ∨C)

=

C
A
(A ∧ B) ∨ (A ∧C)

Hình 3.7. Luật phân phối

3.3. Ước số
3.3.1. Nhắc lại về quan hệ chia hết
Ở đây, ta sẽ xây dựng đại số Boole dựa trên quan hệ chia hết trên tập hợp P
các số nguyên dương. Cho hai số nguyên dương d và a trong P, ta viết d|a (và
gọi d là ước số của a) nếu a = qd với q ∈ P. Nếu p ≥ 2 trong P và những ước số
20


duy nhất của p là 1 và p, khi đó p được gọi là số nguyên tố. Một số số nguyên
tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, . . .. Một kết quả quan trọng về tập P là Định lý phân

tích ra thừa số nguyên tố: Mọi a ∈ P đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
tích của các thừa số ngun tố (khơng kể đến thứ tự).
Ví dụ, phân tích các số thành tích các số nguyên tố của 110 và 12 là 110 =
2 · 5 · 11 và 12 = 2 · 2 · 3.
Nếu a = pa11 pa22 · · · par r là sự phân tích ra thành các thừa số nguyên tố của
a ∈ P, ở đó pi là các số nguyên tố riêng biệt, thì ước số d của a có thể được mơ
tả như sau:
d|a khi và chỉ khi d = pd11 pd22 · · · pdr r , trong đó 0 ≤ di ≤ ai với mỗi i.
Do đó ước số của 12 = 22 · 31 trong P là 1 = 20 · 30 , 2 = 21 · 30 , 4 = 22 · 20 , 3 =
22 · 31 , 6 = 21 · 31 và 12 = 22 · 31 .
Cho a và b trong P, giả sử p1 , p2 , . . . , pr là các ước nguyên tố riêng phân biệt
của a hoặc b. Do đó ta có thể viết a = pa11 pa22 · · · par r và b = pb11 pb22 · · · pbr r , ở đó
ai ≥ 0 và bi ≥ 0 cho mỗi i. Khi đó ước chung lớn nhất d = gcd(a, b) và bội
chung nhỏ nhất m = lcm(a, b) của a và b được định nghĩa bởi
min(a,b) min(a,b)
min(a,b)
· · · pr
p2

d = p1

max(a,b)
max(a,b) max(a,b)
· · · pr
.
p2

và m = p1

Suy ra rằng d là số nguyên duy nhất trong P là ước của cả hai số a và b đồng

thời là bội của mọi ước chung của a và b. Tương tự, m là số nguyên duy nhất
trong P là bội số của cả hai số a và b đồng thời là ước của mọi bội chung của a
và b.
Ví dụ 3.3.1. gcd(2, 3) = 1 và gcd(12, 28) = 4. Trong khi đó lcm(2, 3) = 6 và
lcm(12, 28) = 84.

3.3.2. Kết quả xây dựng đại số Boole dựa trên quan hệ chia hết
Với những kiến thức cơ sở trên, ta có thể mơ tả được một số ví dụ mới về đại
số Boole.
Ví dụ 3.3.2. Cho n ∈ P, giả sử
Dn = {d ∈ P | d chia hết n}.
Rõ ràng là gcd và lcm là các phép tốn hai ngơi giao hốn trên Dn và dễ kiểm
tra rằng phần tử không là 1 và phần tử đơn vị là n.
21