Luận văn phương pháp sai phân trong các bài toán về dãy số và ứng dụng

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình giải tích sơ cấp ở các trường Đại học sư
phạm hay ở các trường Đại học có khoa sư phạm ở trong nước và trên thế giới đã quan
tâm nghiên cứu chủ đề “Phương trình sai phân”. Trong giáo dục tốn học ở trường phổ
thơng, đặc biệt là THPT chủ đề về dãy số và ứng dụng trong giải toán đã được quan tâm
ở các lớp chun về mơn tốn. Dãy số là một trong những chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi của quốc gia. Nhiều dạng tốn khó liên quan đến số học và đại số, lượng giác được
tháo gỡ nhờ sử dụng phương trình sai phân. phương trình sai phân cho phép chuyển các
bài toán phức tạp về dãy số sang các bài toán về dạng quen thuộc hơn. Các dạng toán
như vậy bao gồm: các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số (xem [1, 4, 8]), các
bài toán về lượng giác (xem [1, 3, 6])... Việc nghiên cứu trang bị cho giáo viên các kiến
thức về phương trình sai phân cũng như các kỹ năng, kỹ thuật giải các bài tốn khó sẽ
góp phần định hướng bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên, chuẩn bị kiến thức và kỹ năng
đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Nhiều bài toán ở Trường THPT được
giải bằng cách sử dụng phương pháp tổng hợp (xem [1, 4, 9]), phương pháp lượng giác,
phương pháp số học (xem [2, 4, 7]), có thể được giải quyết nhờ sử dụng phương trình
sai phân và các tính chất của chúng.
Việc nghiên cứu đề tài này sẽ góp phần bồi dưỡng tiềm lực cho giáo viên toán giải
quyết các vấn đề toán học liên quan đến vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
2. Đối tượng nghiên cứu. Phương trình sai phân. Một số Bài tốn liên quan đến phương
trình sai phân ở phổ thơng.
3. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình sai phân.
Nghiên cứu về áp dụng phương trình sai phân vào giải một số bài toán liên quan.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu các lý thuyết chuẩn bị về phương trình sai phân.
Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình sai phân.
Nghiên cứu các áp dụng của phương trình sai phân vào giải tốn ở phổ thơng.
5. Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa lý thuyết để nghiên
cứu các tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình sai phân, một số bài tập áp
dụng phương trình sai phân.

6. Ý nghĩa của luận văn Luận văn góp phần bổ sung hồn thiện phương pháp giải các
bài toán về dãy số bằng phương pháp sai phân.
7. Cấu trúc của luận văn Luận văn được cấu trúc thành hai chương:
Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản về phương pháp sai phân như là khái
niệm dãy số, sai phân, phương trình sai phân tuyến tính, phi tuyến.
Chương 2, chương này tác giả dựa vào nghiên cứu và các kiến thức về sai phân của
chương 1 để ứng dụng của phương pháp sai phân vào các bài tốn về dãy số như là các
bài tốn tính tổng, bài tốn tìm số hạng tổng qt và giới hạn của dãy số, phương trình
hàm, tích phân.
1


Chương 1. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả về
phương pháp sai phân được sử dụng trong luận văn.
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả về
phương pháp sai phân được sử dụng trong luận văn.

1.1

Một số nghiên cứu liên quan ở trong nước và trên thế giới

1.1.1

Các nghiên cứu liên quan về dãy số

1.1.2

Các nghiên cứu liên quan về phương pháp sai phân

1.2

Một số kiến thức cơ bản về phương pháp sai phân

1.2.1

Khái niệm dãy số

1.2.2

Khái niện cấp số cộng, cấp số nhân

1.2.3

Khái niệm sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0. Ta gọi hiệu
∆0 f (x) = f (x)
là sai phân cấp không của hàm số f (x) . Và
∆1 f (x) = f (x + h) − f (x)
là sai phân cấp một của hàm số f (x). Và


∆2 f (x) = ∆ ∆1 f (x) = ∆ f (x + h) − ∆ f (x) = f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x) ,
là sai phân cấp hai của hàm số f (x). Từ đó


∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) =

n

∑ Cnk ∆ f (x + hk) (−1)k+1,

k=0

là sai phân cấp n của hàm số f (x).

1.2.4

Phương trình sai phân

Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá
trị của hàm xn tại các thời điểm khác nhau
Lh .xn = a0 .xn+k + a1 .xn+k−1 + ... + ak .xn = fn
Trong đó
2

(1.1)


• Lh là kí hiệu tốn tử tuyến tính tác động lên hàm xn , xác định trên lưới có bước lưới
h.
• a0 , a1 , a2 , ..., ak , (a0 6= 0, ak 6= 0) là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là
hệ số của phương trình vi phân.
• fn là một hàm sổ của n được gọi là vế phải.
• xn là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì để tính
được tất cả các giá trị x, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của x theo cơng thức truy
hồi. Hơn nữa

• Nếu fn ≡ 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
• Nếu fn 6= 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất.
• Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak ,a0 6= 0 là các hằng số thì (1.1) trở thành

Lh xn = a0 xn +k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0.

(1.2)

Khi đó (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các
hệ số là hằng số.

1.2.5

phương trình sai phân tuyến tính cấp một

1.2.6

phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

1.3
1.3.1

Phương pháp sai phân và bài tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số
Cách tìm cơng thức tổng quát dãy số sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân

DẠNG 1: Tìm số hạng tổng quát dạng đa thức khi biết các số hạng đầu tiên.
Ví dụ 1.3.1. Cho dãy số (un ) có dạng khai triển sau
1, −1, −1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, ...
Hãy tìm số hạng tổng qt của dãy số đó.
Lời giải. Bảng giá trị ban đầu
uk 1
-1
-1
1

5
11
19
29
41
55
∆uk
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
∆2 u k
2
2
2
2
2
2
2
2
Ta thấy hàng ∆2 uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai
un = an2 + bn + c, (a 6= 0)
3

(1.3)

trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Cho n = 1, 2, 3 thay vào cơng thức (1.3) ta được hệ phương trình sau





a = 1
 a+b+c = 1
4a + 2b + c = −1 ⇒ b = −5



9a + 3b + c = −1
c = 5.
Vậy số hạng tổng quát un = n2 − 5n + 5.
Ví dụ 1.3.2. Cho dãy số (un ) có dạng khai triển sau
−5, -3, 11, 43, 99, 185, 307, 471, ...
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đó.
Lời bình. Cơng thức tìm được trên là khơng duy nhất.
DẠNG 2. Dạng cơ sở. Cho dãy (un ) biết u1 = a, un+1 = qun + d, n ≥ 1, với q, d là các
hằng số thực. Ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Nếu q = 0 thì u1 = a, un+1 = d, n ≥ 1.
Nên u1 = a, un = d, với mọi n ∈ N∗ , n ≥ 2.
• Trường hợp 2: Nếu q = 1 thì u1 = a, un+1 = un + d, n ≥ 1.
Suy ra (un ) là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = a và cơng sai bằng d.
Do đó un = a + (n − 1) d.

• Trường hợp 3: Nếu d = 0 thì u1 = a, un+1 = qun , n ≥ 1.
Suy ra (un ) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = a và công bội bằng q.
Do đó un = a.qn−1 .
• Trường hợp 4: Nếu q 6= 0, q 6= 1, d 6= 0. Đặt dãy (vn ) sao cho
d
un = v n +
1−q
Thay công thức (1.4) vào cơng thức truy hồi ta có


d
d
= q vn +
+ d.
vn+1 +
1−q
1−q
Suy ra
vn+1 = qvn , n ≥ 1.
Khi đó (vn ) là một cấp số nhân với số hạng đầu
d
d
v 1 = u1 −
= a−
1−q
1−q
và công bội
 bằng q.
d
Nên vn = a − 1−q

qn−1 , n ≥ 1.
Vậy


d
d
d
un = vn +
= a−
qn−1 +
.
1−q
1−q
1−q
4

(1.4)


Ví dụ 1.3.4 ([1, 4, 9]). Tìm cơng thức của số hạng tổng quát của các dãy (un ) biết
a) u1 = −1, un+1 = un + 3, n ≥ 1
b) u1 = 1, un+1 = 2un + 3, n ≥ 1.
Lời bình. Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:

• Với 3 trường hợp 1,2 và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: Dãy số hằng, cấp
số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được cơng thức của số hạng
tổng quát.
• Trên cơ sở của 3 dãy này ,để giải trường hợp 4 bằng phương pháp đặt một dãy số
mới (vn ) liên hệ với dãy số (un ) bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về
dãy số (vn )mà (vn )là dãy số hằng hoặc cấp số nhân.

Vấn đề đặt ra là mỗi quan hệ giữa (un ) và (vn ) bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy
(vn ) thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng, cấp số nhân hoặc trường hợp 4. Qua q trình
tìm tịi, tác giả đã tìm ra một số dạng sau.
LOẠI 2.1: u1 = a, un+1 = qun + cn + d, n ≥ 1 với q, c, d ∈ R và q, c 6= 0. Ta xét các
trường hợp

• Trường hợp 1: Nếu q = 1 thì u1 = a và un+1 = un + cn + d.
Cách 1: Ta có
u1 = a
u2 = u1 + c.1 + d
u3 = u2 + c.2 + d
u4 = u3 + c.3 + d
......................
un = un−1 + c. (n − 1) + d.
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được
un = a + c.1 + c.2 + c.3 + ... + c. (n − 1) + (n − 1) d
cn (n − 1)
+ (n − 1) d.
2
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triển).
cn
• Trường hợp 2: Nếu q 6= 1thì đặt dãy (vn ) sao cho un = vn +
, thay vào công
1−q
thức truy hồi ta được


c (n + 1)
cn
vn+1 +

= q vn +
+ cn + d
1−q
1−q
c
⇒ vn+1 = qvn + d −
1−q
= a+

5


Từ đó ta có dãy (vn ) với v1 = u1 −

c
c
, vn+1 = qvn + d −
, n ≥ 1 Khi đó dãy
1−q
1−q

(vn ) lại có DẠNG 1.
Ví dụ 1.3.6. Tìm số hạng tổng quát của các dãy (un ) biết
a) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ 1;
b) u1 = 11, un+1 = 10un + 1 − 9n, n ≥ 1;
c) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ 1.
LOẠI 2.2. u1 = a, un+1 = qun + rcn , n ≥ 1,với q 6= 0.
Ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Nếu q = 1 thì u1 = a, un+1 = un + rcn ta có thể làm bằng phương

pháp sau:
u1 = a
u2 = u1 + rc1
u3 = u2 + rc2
u4 = u3 + rc3
......................
un = un−1 + rcn−1 .
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được
un = a + c1 + c2 + c3 + ... + c



n−1



c cn−1 − 1 .r
.r = a +
.
c−1

• Trường hợp 2: Nếu c 6= q thì u1 = a, un+1 = qun + rcn nên đặt dãy (vn ) sao cho
un = v n +

rcn
.
c−q

Thay vào công thức truy hồi ta được


rcn+1

rcn
vn+1 +
= q vn +
+ rcn ⇒ vn+1 = qvn .
c−q
c−q
rc
rc
Suy ra (vn ) là cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 −
= a−
và cơng bội
c−q
c−q
bằng q. Khi đó


rc
vn = a −
qn−1 .
c−q
Suy ra


rcn
rc
rcn
n−1
un = vn +
= a−
q +

.
c−q
c−q
c−q
6


• Trường hợp 3: Nếu c = q thì u1 = a, un+1 = qun + rqn , đặt dãy un = qn vn , thay vào
công thức truy hồi của dãy (un ) ta được
r
qn+1 vn+1 = q. (qn vn ) + rqn ⇒ vn+1 = vn + .
q
r
u1 a
= và công sai d = .
Suy ra (vn ) là 1 cấp số cộng với số hạng đầu v1 =
q
q
q
 n
1
Ví dụ 1.3.8. Cho dãy (un ) biết u1 = 1, un+1 = un +
, với n ∈ N∗ . Xác định số hạng
2
tổng quát của dãy số.
Ví dụ 1.3.9. Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số (un ) với
a) u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ 1;
b) u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 1;
c) u1 = 101, un+1 = 7un + 7n+1 , n ≥ 1;
d) u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ 1;

e) u1 = 0, un+1 = un + 2n.3n , n ≥ 1.
cun
, n ≥ 1.
LOẠI 2.3. u1 = a, un+1 =
q + dun
1
Ta đặt dãy số (vn ) sao cho un = thay vào công thức truy hồi của dãy (un ) ta được
vn
1
vn+1

=

c. v1n
q + d. v1n

⇔

1
vn+1

=

c
q
d
⇔ vn+1 = vn + .
qvn + d
c
c

1
q
d
Nên (vn ) : v1 = , vn+1 = vn + , n ≥ 1.
a
c
c
Quay về DẠNG 1.
b + cun
, n ≥ 1.
LOẠI 2.4. u1 = a, un+1 =
p + run
Ta đặt dãy số (vn ) sao cho un = vn + α thay vào công thức truy hồi của dãy (un ) ta được
b + c (vn + α)
p + r (vn + α)
b + c.vn + cα − pα − rαvn − rα 2
⇔ vn+1 =
p + r (vn + α)


−rα 2 + (−p + c) α + b + (c − rα) vn
⇔ vn+1 =
.
(p + rα) + rvn

vn+1 + α =

Để dãy (vn ) trở lại LOẠI 2.3, ta chọn α là nghiệm của phương trình
−rα 2 + (−p + c) α + b = 0.

7


Ví dụ 1.3.10. Tìm cơng thức của số hạng tổng quát của các dãy (un ) sau, biết
un
a) u1 = 1, un+1 =
, n ≥ 1;
1 + un
un
b) u1 = 2, un+1 =
, n ≥ 1;
2 + un
1
c) u1 = 12 , un+1 =
, n ≥ 1;
2 − un
1 − 4un
d) u1 = 1, un+1 =
, n ≥ 1.
1 − 6un

1.3.2

Phương trình sai phân tuyến tính

a. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng
Dưới đây ta trình bày một số phương trình, hệ phương trình sai phân cơ bản và phương
pháp giải chúng (không nêu cách chứng minh).
Loại 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một. phương trình sai phân tuyến tính
cấp một là phương trình sai phân dạng

u1 = α, a.un+1 + b.un = fn , n ∈ N∗,
trong đó a, b, α là các hằng số, a 6= 0 và fn là biểu thức của n cho trước.
DẠNG 1. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = α, a.un+1 + b.un = 0, n ∈ N∗
a, b, α cho trước.
Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ . Khi đó un = qλ n (q là hằng số),
trong đó q được xác định khi biết u1 = α.
Ví dụ 1.3.12. Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu tiên
bằng 1 và còn bội bằng 2.
Lời giải. Ta có
un+1 = 2un , u1 = 1.
phương trình đặc trưng λ − 2 = 0 có nghiệm λ = 2. Vậy un = c2n . Từ u1 = 1 suy ra
c = 12 . Do đó un = 2n−1 .
DẠNG 2. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = α, a.un+1 + b.un = fn , n ∈ N∗ ,
trong đó fn là đa thức theo n.
Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 ta tìm được λ .

8


Ta có un = uen + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
a.un+1 + b.un = 0 và u∗n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình khơng thuần nhất
a.un+1 + b.un = fn .
Vậy uen = qλ n , q là hằng số sẽ được xác định sau.
Ta xác định u∗n ,
a) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với fn .
b) Nếu λ = 1 thì u∗n = n.gn với gn là đa thức cùng bậc với fn .
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số, ta tính được các hệ số của u∗n .
Ví dụ 1.3.14. Tìm un thỏa mãn điều kiện

u1 = 2, un+1 = un + 2n, n ∈ N ∗ .
DẠNG 3. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = α, a.un+1 + b.un = vµ n , n ∈ N∗ .
Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ .
Ta có un = un + u∗n , trong đó un = cλ n , c là hằng số chưa được xác định, u∗n được xác
định như sau
a) Nếu λ 6= µ thì u∗n = Aµ n .
b) Nếu λ = µ thì u∗n = Anµ n .
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số tính được các hệ số của u∗n . Biết u1 , từ
hệ thức un = u˜n + u∗n , tính được c.
Ví dụ 1.3.16. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = 1, un+1 = 3un + 2n , n ∈ N∗ .
DẠNG 4. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = α, a.un+1 + b.un = f1n + f2n , n ∈ N∗ ,
trong đó f1n là đa thức theo n và f2n = vµ n .
Cách giải: Ta có
un = u˜n + u∗n + u∗∗
n ,
trong đó u˜n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un+1 + b.un = 0.
u∗n là một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất a.un+1 + b.un = f1n
u∗∗
n là một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất a.un+1 + b.un = f 2n .
Ví dụ 1.3.18. Tìm un , biết
u1 = 1, un+1 = 2un + n2 + 2.2n , n ∈ N∗ .
9


Loại 2. phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai là phương trình sai phân dạng
u1 = α, u2 = µ, aun+1 + bun + cun−1 = gn , n ∈ N∗ ,

trong đó a, b, c, α, µ là các hằng số, a 6= 0 và gn là biểu thức chứa n cho trước. (tham
khảo thêm [6, 8]).
DẠNG 1. Tìm un thỏa mãn điều kiện
u1 = α, u2 = µ, aun+1 + bun + cun−1 = 0, n ∈ N∗ .
Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ 2 + bλ + c = 0, tìm λ .
a) Nếu λ1 và λ2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un = Aλ1n + Bλ2n , trong đó A và B
được xác định khi biết u1 và u2 .
b) Nếu λ1 và λ2 là nghiệm thực kép, λ1 = λ2 = λ thì un = (A + B.n) λ n , trong đó A
và B được xác định khi biết u1 và u2 .
c) Nếu λ là nghiệm phức, λ = x + iy, thì ta đặt


p
y
−π π
2
2
.
r = |λ | = x + y , tan ϕ = , ϕ ∈
,
x
2 2
Lúc đó λ = r (cosϕ + i sin ϕ) và un = rn (A cos nϕ + B sin nϕ) , trong đó A và B
được xác định khi biết u1 và u2 .
Ví dụ 1.3.20. Tìm un , biết
u1 = 0, u2 = 0, un+1 − un + un−1 = 0, n ∈ N∗ .
DẠNG 2. Tìm un , biết rằng
u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = fn , n ≥ 2,
trong đó a 6= 0, fn là đa thức theo n cho trước.
Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ 2 + bλ + c = 0, để tìm λ . Ta có, un = u˜n + u∗n ,

trong đó u˜n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
aun+1 + bun + cun−1 = 0
và u∗n là một nghiệm riêng tùy ý của phương trình khơng thuần nhất
aun+1 + bun + cun−1 = fn .

(1.5)

Theo DẠNG 1 ta tìm được uen , trong đó hệ số A và B chưa được xác định, u∗n được xác
định như sau:
a) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với fn .
b) Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = n.gn , gn là đa thức cùng bậc với fn .
10


c) Nếu λ = 1 là nghiệm kép thì u∗n = n2 .gn , gn là đa thức cùng bậc với fn .
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của u∗n . Biết u1 , u2 ,
từ hệ thức un = u˜n + u∗n tính được A, B.
Ví dụ 1.3.22. Xác định un , biết rằng
u1 = 1, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ 2.
DẠNG 3. Tìm un , biết rằng
u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = vµ n , n ≥ 2.
Cách giải:
Giải phương trình đặc trưng aλ 2 + bλ + c = 0, để tìm λ .
Ta có un = u˜n + u∗n , trong đó u˜n được tìm như DẠNG 1, hệ số A và B chưa được xác
định, u∗n được xác định như sau:
a) Nếu λ 6= µ thì u∗n = k.µ n .
b) Nếu nghiệm đơn λ = µ thì u∗n = k.n.µ n .
c) Nếu nghiệm kép λ = µ thì u∗n = k.n2 .µ n .
Thay u∗n vào phương trình, dùng phương pháp đồng nhất các hệ số sẽ tính được hệ số k.
Biết u1 , u2 , từ hệ thức un = u˜n + u∗n , tính được A, B.

Ví dụ 1.3.24. Tìm un , biết rằng
u1 = 0, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = 2.2n , n ≥ 2.
DẠNG 4. Tìm un biết
u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = fn + gn , n ≥ 2.
Trong đó a 6= 0 , fn là đa thức theo n , gn = ν µ n .
Cách giải: Ta có un = u˜n + u∗n + u∗∗
n , trong đó
u˜n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun+1 + bun + cun−1 = 0.
u∗n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình khơng thuần nhất
aun+1 + bun + cun−1 = fn .
u∗∗
n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình khơng thuần nhất
aun+1 + bun + cun−1 = gn .
Ví dụ 1.3.26. Tìm un biết
u1 = 1 , u2 = 0 , un+1 − 2un − 3un−1 = n + 2n , n ≥ 2.

11


DẠNG 5. Tìm un biết rằng
u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = ν sin n + µ cos n, (a 6= 0) , n ≥ 2.
Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ 2 + bλ + c = 0 ,tìm λ .
Ta có un = uen + u∗n ,trong đó uen là nghiệm của phương trình thuần nhất, xác định như ở
DẠNG 1, các hệ số A, B chưa được xác định u∗n = k cos n + l sin n. Thay u∗n vào phương
trình aun+1 + bun + cun−1 = ν sin n + µ cos n, đồng nhất các hệ số và tính k, l.
Từ hệ thức un = un + u∗n và u1 , u2 ta tính được hệ số A, B.
Ví dụ 1.3.28. Tìm un biết rằng
u1 = 1, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = sin n , n ≥ 2.
Loại 3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng.
Trong mục này ta chủ yếu xét hệ phương trình sai phân dạng


xn+1 = pxn + qyn , x1 = a

(1.6)

y
n+1 = rxn + syn , y1 = b.
Cách giải: Trong (1.6) thay n bởi n + 1, ta nhận được
xn+2 = pxn+1 + qyn+1
= pxn+1 + q (rxn + syn )
= pxn+1 + qrxn + s (xn+1 − pxn ) .
Nên
xn+2 − (p + s) xn+1 + (ps − qr) xn = 0, x1 = a.
Từ (1.6) ta lại có x2 = px1 + qy1 = pa + qb. Như vậy ta được phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai thuấn nhất
x1 = 1 , x2 = pa + qb , xn+2 − (p + s) xn+1 + (ps − qr) xn = 0 , n ≥ 2.
Giải phương trình này ta tìm được xn . Thay xn vào (1.6) ta tìm được yn .
Ví dụ 1.3.30. Tìm xn , yn biết
(
xn+1 = 4xn − 2yn , x1 = 1
yn+1 = xn + yn , y1 = 1.

(1.7)

b. phương trình sai phân dạng hệ số biến thiên
Loại 1. phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 dạng hệ số biến thiên
Định nghĩa 1.3.32 ([6, 7]). phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên
có dạng
xn+1 = qn xn + fn , n = 0, 1, 2, · · ·
(1.8)

trong đó x0 = a , fn , qn là các hàm số của n.
12


Định lý 1.3.33. Nghiệm tổng quát của (1.8) có dạng
xn = xen + xn∗ ,
trong đó xen là nghiệm tổng qt của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương
ứng xn+1 = qn xn , còn xn∗ là một nghiệm riêng tùy ý của (1.8).
Ví dụ 1.3.34. Giải phương trình sai phân


9
xn+1 = nxn + n.n! , x1 = , n = 1, 2, ... .
8
Loại 2. phương trình sai phân tuyến tính cấp hai dạng hệ số biến thiên.
Định nghĩa 1.3.36. phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên có
dạng
xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn , n = 0, 1, 2, ...
(1.9)
Trong đó x0 = a; fn , qn , pn là các hàm số của n.
Định lý 1.3.37 ([5]). Nghiệm tổng quát của (1.9) có dạng
xn = xen + xn∗ ,
trong đó xen là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, cịn
xn∗ là một nghiệm riêng tùy ý của (1.9).
Ví dụ 1.3.38. Giải phương trình sai phân




1

1
1
1
4n2 − 1 n
1 + − 2 xn+1 − 2xn + 1 − − 2 xn−1 =
.3 .
2n 2n
2n 2n
2n2

1.3.3

Một số dạng sai phân phi tuyến tính

- Một phương trình sai phân khơng tuyến tính được gọi là phương trình sai phân phi
tuyến tính.
- Một số phương pháp giải phương trình sai phân phi tuyến được trình bày bên dưới.
Loại 1. Sử dụng công thức lượng giác.
Kiến thức sử dụng. ([5, 8]) Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng cơng thức
lượng giác để tính giới hạn: Công thức nhân đôi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng
giác.
Ý tưởng chính. Nhận dạng và dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu diễn các số
hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác đặc biệt nào?
Ví dụ 1.3.40. Cho dãy số u1 =

1
2

và
un+1 = 2un 2 − 1.

Tìm cơng thức tổng quát của dãy.
13


Phân tích. Nhận thấy un+1 = 2un 2 − 1 có dạng giống cơng thức
cos 2a = 2cos2 a − 1,
Nên ta sẽ biến đổi như sau:
2n π
π
1
Ta có u1 = 2 = cos nên khi đó ta biểu diễn và quy nạp được un = cos
3
3
Ví dụ 1.3.41. Cho dãy số (un ):

√
u
=
3


 1
√
un + 2 − 1
√

un+1 =
∀n ≥ 1.




1−
2 − 1 un
Tính u2019 .
Loại 2. Tuyến tính hóa một số phương trình sai phân
Tuyến tính hóa một phương trình sai phân là ta đưa phương trình sai phân ở dạng phi
tuyến về dạng tuyến tính.
Một số phương trình sai phân với hệ số thay đổi cũng có thể biến đổi đưa về phương
trình sai phân tuyến tỉnh với hệ sổ hằng số.
Cách giải. Xét phương trình phi tuyến
F (xn , xn+1 , ..., xn+k ) = 0.

(1.10)

Từ phương trình (1.10) ta đưa phương trình về dạng
xn = ϕn (xn−k , xn−k+1 , ..., xn−k ) = 0.

(1.11)

Với điều kiện ban đầu là x1 = α1 , x2 = α2 , ..., xk = αk .
Giả sử (1.11) tuyến tính hóa được, khi đó tồn tại các hệ số α1 , α2 , ..., αk để ta có
xn = α1 .xn−1 + α2 .xn−2 + ... + ak .xn−k .

(1.12)

Ta tìm α1 , α2 , ..., αk bằng cách giải hệ phương trình sau




xk+1 = α1 xk + α2 xk−1 + ... + αk x1



 x
= α x + α x + ... + α x
k+2

1 k+1

2 k

k 2


................................................




x2k = α1 x2k−1 + α2 x2k−2 + ... + αk xk .
Với α1 , α2 , ..., αk vừa tìm được ta suy ra
xn = α1 .xn−1 + α2 .xn−2 + ... + ak .xn−k
Đây chỉ là điều kiện cần để phương trình (1.10) tuyến tính được. Ta cần kiểm tra điều
kiện đủ bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
14


pxn + q
, x0 = a.

rxn + s
Tổng quát: Nếu yn , zn là nghiệm của hệ
(
yn+1 = pyn + qzn , y0 = a
DẠNG 1: Dạng phân thức xn+1 =

zn+1 = ryn + szn , z0 = 1
thì xn =

yn
là nghiệm của phương trình.
zn

Ví dụ 1.3.43. Tuyến tính hóa phương trình sau xn+1 =

xn − 1
, x0 = 1.
xn + 3

2
xn−1
+c
DẠNG 2: Dạng phân thức xn =
.
xn−2
Tổng quát. phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức

2

xn = xn−1 + c

xn−2


x1 = a , x2 = b

có dạng tuyến tính
b2 + c
a+
a x − x , (a, b 6= 0) .
xn =
n−1
n−2
b
Ví dụ 1.3.45. Tuyến tính hóa phương trình sau
2
xn−1
+2
xn =
(n = 3, 4....) , x1 = x2 = 1.
xn−2

DẠNG 3. Dạng căn thức
Ví dụ 1.3.46. Tuyến tính hóa phương trình sau
q
2
+ 1 (n = 3, 4, ...)
x1 = 0 , x2 = 1 , xn = 5xn−1 + 24xn−1
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật. Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình

vi phân.
Với mục đích bước đầu làm quen với phương pháp sai phân, Chương 2 luận văn đã
giới thiệu phương trình sai phân nhằm giúp học sinh nắm được các khái niệm và các
kiến thức liên quan, phương pháp Giải về phương trình sai phân. Cụ thể phần một ở
trên, ta đã trình bày các phần như sau.
Phần 1. Trình bày cách tìm cơng thức tổng quát dãy số.
15


Phần 2. Phần này trình bày về phương trình sai phân tuyến tính.
Phần 3. Trình bày một số dạng tốn sai phân phi tuyến tính.
Đây cũng là nền tảng kiến thức để giải một số ứng dụng của phương pháp sai phân
và các bài toán về dãy số ở chương sau.

16


Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Phần này là phần một số ứng dụng của phương pháp sai phân và các bài toán về dãy
số nhằm giúp học sinh hiểu hơn và yêu thích hơn trong việc sử dụng sai phân để giải
các bài tốn khó.

2.1

Các bài tốn tính tổng
N

Tính chất 1. ∑ ∆k xn = ∆k−1 xN+1 − ∆k−1 xα với k ∈ Z∗ .
n=α

N

Tính chất 2. ∑ ∆xn = xN+1 − xα với k = 1.
n=1

Nhận xét. Thực chất các bài tốn tính tổng ta thường đưa số hạng tổng quát f (k) về
dạng f (k) = g (k + 1) − g (k).
n

Từ đó ta tính được ∑ f (k) = g (n) − g (1).
k=1

Ví dụ 2.1.1. Tính các tổng sau
n

1
.
k=1 k (k + 1)

a) S1 = ∑
n

1
.
k=1 k (k + 1) (k + 2)

b) S2 = ∑

Lời giải. a). Ta có
1

1
1
1
= −
= −∆ .
k (k + 1) k k + 1
k
Nên

n

n
1
1
1
=
−
∑ k (k + 1)
∑ ∆k = 1 − n + 1.
k=1
k=1

b). Ta có


1
1
1
1
1

1
=
−
=− ∆
.
k (k + 1) (k + 2) 2 k (k + 1) (k + 1) (k + 2)
2 k (k + 1)
Nên



1
1 n
1
1 1
1
=− ∑ ∆
=
−
.
∑
2 k=1 k (k + 1) 2 2 n (n + 1)
k=1 k (k + 1) (k + 2)
n

Ví dụ 2.1.3. Tính các tổng sau
n

a) S3 = 1!1 + 2!2 + 3!3 + . . . + n!n = ∑ k.k!.
k=1

n


b) S4 = ∑ k2 + k + 1 .k!
k=1

17


Ví dụ 2.1.5. Tính các tổng sau
Tm = 1m + 2m + ... + nm với m = 1, 2, 3.
Ví dụ 2.1.7. Tính các tổng sau
Sn = sin x + sin 2x + ... + sin nx
Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx.

Ví dụ 2.1.9. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1 và un+1 =

p

3un 2 + 2 với mọi n ≥ 1.

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ).
b) Tính tổng S = u21 + u22 + u23 + ... + u22011 .
a) Tìm p ∈ N∗ sao cho hệ

p


∑ xi = 4



 i=1

Ví dụ 2.1.11.

p

∑ x1−1 = 4



i=1

x > 0, ∀i ∈ 1, p
i
có nghiệm.
b) Với p tìm được ở câu a hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng
p

ai
với ai > 0 và
∑
2
i=1 1 − ai

p

∑ a2i = 1.

i=1

Ví dụ 2.1.13. Cho dãy số thực {xn }được xác định như sau
x1 = 1, xn+1 = xn +

1
, ∀n ∈ N.
2xn

Chứng minh rằng [25x625 ] = 625 ( kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x).
Ví dụ 2.1.15. Dãy số (un ) xác định như sau
u1 = 2, un+1 = u2n − un + 1, n ∈ N ∗ .
Chứng minh rằng
1−

1
22015

2

2016

<

1

1

∑ uk < 1 − 222016 .

k=1

Ví dụ 2.1.17. Cho dãy số (un ) với mọi n ∈ N∗ và
u1 = −1, u2 = −2, nun+2 − (3n + 1) un+1 + 2 (n + 1) un = 3.
a) Chứng minh un = 2n − 3n.
18


n−1

b) Đặt Sn = ∑ uk . Chứng minh rằng nếu n là SNT và n > 2 thì Sn chia hết cho n.
k=1

Ví dụ 2.1.19. Cho dãy số (un ) thỏa mãn với n ≥ 2 được xác định như sau
u1 = 2, un = 3un−1 + 2n3 − 9n2 + 9n − 3.
p−1

Chứng minh rằng với mọi SNT p thì 2014 ∑ ui chia hết cho p.
i=1

2.2

Các bài tốn tìm số hạng tổng qt và giới hạn dãy số

Ví dụ 2.2.1. Cho dãy số (un ) biết
u1 = −2, un = 3un−1 − 1, ∀n ≥ 2.
Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Ví dụ 2.2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi


n+4
3

un − 2
u1 = 1; un+1 =
2
n + 3n + 2
với mọi n ∈ N∗ . Tìm cơng thức số hạng tổng qt un của dãy số theo n.
Lời giải. Với mọi n ∈ N∗ , ta có


n+4
2un+1 = 3 un −
(n + 1)(n + 2)


3
2
−
⇔2un+1 = 3 un +
n+2 n+1




3
3
⇔2 un+1 −
= 3 un −
n+2
n+1



3
3
3
⇔un+1 −
=
un −
.
n+2 2
n+1
3
3
1
Dãy số (vn ), vn = un −
là cấp số nhân có cơng bội q = và v1 = − .
1
2
2
 n−1 n + 
3
1
Từ đó vn =
. − .
2
2
 n−1
3
1 3
Suy ra un =
−
với mọi n ∈ N∗ .

n+1 2 2
1
Ví dụ 2.2.5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) biết u1 = , u2 = 673,
2
2(n + 2)2 un+1 − (n3 + 4n2 + 5n + 2)un
(n ∈ N, n ≥ 1) .
un+2 =
n+3
19


Ví dụ 2.2.6. Cho dãy số (xn ) được xác định bởi :x4 = 1 và
xn+1 = xn + 1. (n − 2) + 2. (n − 3) + 3. (n − 4) + · · · + (n − 2) .1, ∀n ≥ 4.
xn
Tính giới hạn lim 4 .
n→+∞ n
Ví dụ 2.2.8. Cho dãy số (un ) xác định bởi
u4n + 20132
u1 = 2014, un+1 = 3
, n ∈ N∗ .
un − un + 4026
n

1
, n ∈ N∗ . Tính lim vn .
3 + 2013
u
k=1 k
Ví dụ 2.2.10. Cho dãy (un ) xác định như sau u1 = 3 và

Đặt vn = ∑

un+1 =

u2015
+ 2un + 4
n
, n = 1, 2, 3...
u2014
−
u
+
6
n
n
n

1

Với mỗi số nguyên dương n, đặt vn = ∑

2014 + 4
i=1 ui

. Tìm lim vn .
n→+∞

Ví dụ 2.2.12. Cho dãy số (un ) xác định bởi
u2n
+ un , n ∈ N∗ .

u1 = 1; un+1 =
2015
Tìm giới hạn sau

lim

n→+∞


u1 u2
un
+ + ... +
.
u2 u3
un+1

Ví dụ 2.2.14. Cho dãy số (un ) xác định bởi
u1 = 1; u2 = 4; un+2 = 7un+1 − un − 2, n ∈ N ∗ .
Chứng minh un là số chính phương với mọi n ngun dương.
Ví dụ 2.2.16. Tìm số các dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện
1
u2004 = , un+1 + 4u2n − 4un = 0, n ≥ 1.
2
Ví dụ 2.2.18. Cho x1 , x2 , ..., xn , ... là các nghiệm dương của phương trình tan x = x được
sắp theo thứ tự tăng dần. Tính lim (xn − xn−1 ).
n→+∞

Ví dụ 2.2.20. Cho hai dãy số {un } và {vn } xác định như sau u1 = 1, v1 = 2, và
un =

un−1 + vn−1
√
, vn = un vn−1 khi n ≥ 2.
2

Chứng minh rằng hai dãy {un } và {vn } có giới hạn và tìm giới hạn đó.

20


2.3

Các bài toán khác

Loại 1. Ứng dụng sai phân trong bài tốn phương trình hàm
Ví dụ 2.3.1. Tìm hàm số f : R → R thoả mãn điều kiện
f ( f (x)) = 3 f (x) − 2x, với mọi x ∈ R.
Ví dụ 2.3.2. Tìm tất cả các hàm xác định trên N và thoã mãn đồng thời các điều kiện
sau
2 f (n) f (k + n) − 2 f (k − n) = 3 f (n) f (k), k ≥ n , f (1) = 1.
Ví dụ 2.3.3. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f (x) = f (2x) với
mọi x ∈ R. Tìm hàm số f (x).
Ví dụ 2.3.5 ([6]). Tìm hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện
f (0) = 1, f (x). f 0 (x) =

1 − 2x
, x ∈ R.
f (x)

Ví dụ 2.3.7. Cho hàm số f (x), x ∈ Z, thoả mãn

f (1) = 0, f (m + n) = f (m) + f (n) + 3(4mn − 1); m, n ∈ Z.
Tính f (19).
Ví dụ 2.3.9 (Dự tuyển IMO). Cho hàm số f (x) thỏa mãn
(
f (1) = 1
f (x) + f (y) = f (x + y) − xy − 1; ∀x, y ∈ R.
Tìm các số n ∈ Z sao cho f (n) = n.
Ví dụ 2.3.10. Cho hàm số f (n) xác định trên tập N∗ thoả mãn
(
f ( f (n)) = 4n + 9
, f (1) = 5 , n ∈ N∗ .
n
n+1
f (2 ) = 2 + 3
Tính f (1789).
Ví dụ 2.3.12 ([5]). Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn đồng thời các điều kiện
sau đây.
a) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R.
b) f (x) ≤ ex − 1 với mỗi x ∈ R.
Ví dụ 2.3.14. Cho hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) thỏa mãn điều kiện


1
f (3x) ≥ f
f (2x) + 2x với mọi x > 0.
2
Chứng minh rằng f (x) ≥ x với mọi x > 0.
21

Loại 2. Ứng dụng sai phân trong Bài tốn tích phân
π

R2

Ví dụ 2.3.15. Tính tích phân sau In = sinn x .dx.
0

Ví dụ 2.3.17. Tính tích phân
Zπ

In =

cosn x. cos nx .dx, n ∈ N∗ .

0

Ví dụ 2.3.18. Tính tích phân In =

R1

1 − x2


n

dx.

0
π

R4

Ví dụ 2.3.19. Xét tích phân tann x dx với n ∈ N∗ . Chứng minh rằng
0

In+2 =
Ví dụ 2.3.20 ([2]). Xét tích phân In =

R1 enx
0

Chứng minh rằng In =

en−1 − 1

n−1
Ví dụ 2.3.22. Xét tích phân
Z1

1
− In .
n+1

1 + ex

dx với n ∈ N∗ .

− In−1 .

√

xn . 1 − x dx với n ∈ N∗ .

0

Chứng minh In+1 =

2n + 2
In .
2n + 5
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thơng trung học là tốn
về dãy số, trong đó sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó khơng
những góp phần giải quyết các bài tốn dãy số mà cịn giúp giải một số bài tốn khác
như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức...
Qua chương 2, tơi đã trình bày một số ứng dụng của phương pháp sai phân vào việc
giải một số bài tốn trong chương trình trung học phổ thông. Các nội dung cụ thể ứng
dụng sai phân trình bày dưới dạng các ứng dụng
Ứng dụng 1. phần này trình bày các bài tốn tính tổng.
Ứng dụng 2. phần này trình bày các bài tốn tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn
dãy số.
Ứng dụng 3. phần này trình bày các bài tốn phương trình hàm và bài tốn tích phân
truy hồi.
Trên đây là nội dung của luận văn hy vọng góp một phần nhỏ bé vào cơng tác giảng
dạy tốn phổ thơng nói chung và đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng.
22


KẾT LUẬN
Bản luận văn này nêu được các phương pháp Giải phương trình sai phân tuyến tính

và một số dạng phương trình sai phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa được. Từ
những kiến thức đó đã nêu được các ứng dụng của phương trình sai phân trong việc giải
các bài tốn ở trường trung học phổ thơng.
Phương pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc đáo khác nhau cho các bài
tốn có dạng đặc thù. Tuy nhiên với những bài tốn liên quan đến phương trình sai phân
thì chúng ta đều có thể khai thác phương pháp tổng quát đã xây dựng được để giải. Đây
cũng là sự thành công về mặt định hướng cho phương pháp giải toán.
Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, tơi hy vọng luận văn này sẽ giúp ích
phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh ở nhà trường phổ thông trong việc
học tập mơn tốn. Luận văn này cũng hy vọng đóng gó pmột phần nhỏ bé vào việc
mở rộng ứng dụng của phương trình sai phân trong việc rèn luyện học sinh giỏi tốn ở
trung học phổ thơng.
Cuối cùng tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâusắc đến ban lãnh
đạo, cùng các thầy cô Trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình,
chu đáo, sâu sắc và đầy kinh nghiệm của Thầy-PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn – Giảng
viên của nhà trường đã giúp tơi hồn thành luận văn này.

23


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua
dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân, NXB Đại học Quốc Gia
Hà Nội, Hà Nội.
[3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán về dãy số, NXB Đà
Nẵng.
[4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số và ứng dụng, NXB Giáo dục.

[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác định
dãy số và tính giới hạn, NXB Sư phạm Hà Nội.
[6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tốn phương trình sai phân, NXB Giáo dục.
[7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001),
Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB Giáo dục.
[8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, NXB Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
[9] Nguyễn Tiến Tuấn, Lê Đình Định(2011), Phương trình sai phân và ứng dụng,
NXB Sư phạm Hà Nội.

24