(Luận án) Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯỜNGĐẠIHỌCVINH
------------------------------

NGUYỄNDUYCƯỜNG

NGHIÊNCỨUSỰPHÁVỠĐỐIXỨNGTỰPHÁTTRONGMỘ
TSỐHỆQUANGHỌCPHITUYẾN

LUẬNÁNTIẾNSĨVẬT LÝ

NGHỆAN-2020


BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯỜNGĐẠIHỌCVINH
------------------------------

NGUYỄNDUYCƯỜNG

NGHIÊNCỨUSỰPHÁVỠĐỐIXỨNGTỰPHÁTTRONGMỘ
TSỐHỆQUANGHỌCPHITUYẾN
Chuyênngành:QUANGHỌC
Mãsố:9440110

LUẬNÁNTIẾNSĨVẬTLÝ

Người hướngdẫn khoa học:
1. GS.TS.ĐinhXuânKhoa
2. GS.TSKH.MarekTrippenbach

NGHỆAN- 2020


LỜICAMĐOAN
Tơicamđoannộidungcủaluậnánnàylàcơngtrìnhnghiêncứ u củariêngtơi dưới sự hướng dẫn
khoahọccủaGS.TS.ĐinhXnKhoavàGS.TSKH.Marek Trippenbach. Cáck ết quả trong luận án là
trung th ực và được công b ốtrên các tạpchí chuyênngànhởtrongnước vàquốc tế.
Tácgiả

NguyễnDuyCường


LỜI CẢMƠN
Tơi xin được bày t ỏ lịng bi ếtơn sâu sắc đối với GS.TS. Đinh Xuân Khoavà
GS. TSKH. Marek Trippenbach là những Thầy đã định hướng nghiênc ứu,cung cấp
các tài li ệu quan trọng,nhiều lần thảo luận góp ý và tận tình ch ỉ dẫnchotơitrong
suốtthời gian nghiêncứu.
Tơi xin chân thành c ảm ơn đến quý Thầy giáo GS.TSKH. Cao Long
Vân,TS.BùiĐìnhThuận,TS.NguyễnViệtHưngvàcácThầycơgiáoNgànhVậtlýthuộcV i ệ n
S ư p h ạ m T ự n h i ê n cùngn h ó m N g h i ê n c ứ u s i n h c h u y ê n n g à n h Quanghọcđ
ãgiúpđỡ,nhiệttìnhgiảngdạycáckiếnthứcchunngành,chỉdẫncáckỹnăngnghiêncứu,cónh
iềuđónggópýkiếnqbáuvàgiảiđápcácthắcmắcvềmặtkhoahọctrongqtrìnht ơ i t h ự c hi
ệnđềtài.
Tơixingửilờicảm ơnđếnBangiám hi ệu,ViệnSưphạmTự nhiên,Phịng Đào tạo
Sau đại học Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợinhất,tận tìnhhướng
dẫn và giúp đỡ kịp thời các th ủ tục hành chínhtrongthờigiantơih ọ c tậpvànghiên cứu.

Tơi cũng chân thành c ảm ơnBan giám hiệu Trường Đại học Công nghi ệpVinh
đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian cho tôi trongviệc học tập vànghiên cứu
trongnhữngnămqua.

Cuối cùng, tôicảm ơn sâu sắc tới gia đình, người thân và bạn bè đã
quantâmđộngviên,g i ú p đỡđểtơihồnthànhluậ n ánn à y .
Trântrọngcảmơn!

Tácgiảluậnán


MỤCLỤC
LỜI CAM
ĐOANLỜICẢM
ƠNMỤCLỤC
DANHMỤCCÁCTỪVIẾTTẮTTIẾNGANHDÙNGTRONGLUẬNÁNDANHM
ỤC CÁCHÌNHVẼ
DANHMỤC CÁCSƠĐỒ
TỔNGQUAN........................................................................................................1
1. Lýdochọnđềtài....................................................................................................1
2. Mụctiêunghiêncứu..............................................................................................4
3. Đốitượngvàphạmvinghiêncứu...........................................................................5
4. Phươngphápnghiên cứu.....................................................................................5
5. Bốcụccủaluậnán..................................................................................................6
Chương1 . M Ộ T S Ố K H Á I N I Ệ M C Ơ B Ả N T R O N G L Ý THUYẾTPHƯƠNG
TRÌNHVIPHÂNĐẠOHÀMRIÊNGPHITUYẾN.......................................................7
1.1. Phươngtrình đạohàmriêngmơtảmộtsố hệvậtlý.................................................7
1.2. PhituyếnkiểuKerrvàphươngtrìnhSchrưdingerphituyếnmơtảmộtsốhệquanghọc
9
1.2.1. Hiệuứngphituyến Kerr.................................................................................9
1.2.2. Hiệntượnghấpthụhaiphoton.......................................................................12
1.2.3. PhươngtrìnhSchrưdingerphituyếnmơtảmộtsố hệquanghọc........................13
1.3. Solitonsvàlờigiảisolitons..............................................................................14
1.4. Mộtsốphươngphápsố đểtínhtốnphươngtrìnhSchrưdingerphituyến.16

1.4.1. Phươngpháp thờigianảođểtìmkiếmlờigiảisolitonscủaphươngtrìnhSc
hrưdingerphi tuyến...............................................................................................17
1.4.2. PhươngphápSplit-Step Fourier(SSF).........................................................19
1.5. Mộtsốphươngphápdùngđểxéttínhchấtổnđịnhcủacáctrạngthái.........................23
1.5.1. Phươngpháptuyếntínhhóatrịriêngcủamodenhiễuloạn..................................23
1.5.2. TiêuchuẩnổnđịnhVakhitov-Kolokolov(V-K).............................................27
1.6. Sự phávỡđốixứngtựphát................................................................................28
1.6.1. Kháiniệmvềsựphávỡđốixứngtựphát...........................................................28
1.6.2. Đặctrưngrẽ nhánhtronghệ phituyếnbảotoàn................................................29


1.6.3. Trạngtháihỗnloạnvàmộtsốkịchbảndẫnđếnhỗnloạn....................................31
1.7. Kếtluận chương1...........................................................................................34
Chương2 . S Ự P H Á V Ỡ Đ Ố I X Ứ N G T Ự P H Á T T R O N G M Ộ T S Ố H Ệ
QUANGHỌCPHITUYẾNBẢOTỒN.......................................................................36
2.1. HệốngdẫnsóngcóphituyếnKerrđồngnhấtvàthếtuyếntínhkép....................36
2.1.1. Mơhìnhvàphươngtrìnhmơtảhệ.................................................................36
2.1.2. Hệnghiêncứuvớiphituyếntựhộitụvàthếtuyếntínhkép...................................39
2.1.3. Hệnghiêncứuvớiphituyếntự phânkỳ vàthếtuyếntínhkép..............................46
2.2. Hệhaiốngd ẫ n sóng song s on g với phit uyến bi ến đi ệu và liênkết tuyến
tính 48
2.2.1. Hệphươngtrìnhmộtchiềumơtảhệnghiêncứu............................................48
2.2.2. Cáct r ạ n g t h á i s o l i t o n s , g i ả n đ ồ r ẽ n h á n h v à t í n h c h ấ t ổ n đ ị n h c ủ
a c á c trạngthái.......................................................................................................49
2.3. Kếtluận chương2...........................................................................................53
Chương3.SỰPHÁVỠĐỐIXỨNGTỰPHÁTTRONGHỆHAIVỊNGCỘN
GHƯỞNGQUANGKÍCHTHƯỚCCỠMICROMÉT.................................................54
3.1. Mơhìnhnghiêncứuvàhệ phươngtrìnhmơtả......................................................54
3.2. Mộtsố loại trạngtháivàhiện tượng xuất hiện trong hệcộng hưởng vòngquang
57

3.2.1. Trạngtháidừngvàsựphávỡđốixứng.............................................................58
3.2.2. Trạng thái daođộng....................................................................................63
3.2.3. Trạngtháihỗn loạn......................................................................................65
3.3. Sựphávỡđốixứngcủa hệvới hàmliênkếtGausskép..........................................68
3.3.1. Ảnhhưởngcủa cườngđộliênkếtlênsựphávỡđốixứngcủahệ..........................69
3.3.2. Ảnhhưởngcủathamsốkhuếchđạilênsựphávỡđốixứngcủa hệ.......................77
3.3.3. Ảnhhưởngcủathamsốmấtmátlênsựphávỡ đốixứngcủahệ............................83
3.4. Kếtluận chương3...........................................................................................85
KẾTLUẬNCHUNG............................................................................................87
CÁCCƠNGTRÌNHĐÃCƠNG BỐ......................................................................89
TÀILIỆUTHAMKHẢO......................................................................................90


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG
ANHDÙNGTRONGLUẬNÁN
Từviết tắt

Viếtđầyđủ

Nghĩa tiếngviệt

SSB

SpontaneousSymmetryBreaking

Sự phávỡ đốixứngtự phát

NLSE

NonlinearSchrưdingerEquation

BEC

Bose-Einsteincondensation

AI

ArtificialIntelligence

V-K

Vakhitov-Kolokolov

SSF

Split-StepFourier

Re

Real

Phần thực

Im

Image

Phầnảo

PhươngtrìnhS c h r ư d i n g e r

phituyến
Hệ

ngưng

tụ

Bose

-

Einstein
Trítuệnhântạo
Tênc ủahainhà
khoahọcVakhitovvàKolokolov
TêncủaphươngphápsốSplitStep Fourier


DANHMỤCCÁCHÌNHVẼ
Hình
1.1
1.2
1.3

Nội dung
Haicáchlàmthayđổichiếtsuấthiệudụngcủamơitrường:(a)
tựđiềubiếnphavà(b)điềubiếnphachéo[33].
Lantruyềncủacácsolitonssaumộtchukỳ:(a)solitonbậc
nhấtvà(b)s o l i t o n bậcbốn.
LantruyềncủaxungquabướcnhỏℎtheophươngphápSplitStep bậchai.

Trang
10
15
22

PhổổnđịnhtuyếntínhcủacáctrạngtháisolitonscủaphươngtrìnhSchrưd
1.4

ingerphituyến(1.84)vớihằngsốlantruyền𝜇=

26

1,tươngứngvớibatrườnghợpphituyến (1.84a)-(1.84c).
Hình(a)làđườngcongcơngsuấttrạngtháisolitons(1.85);
1.5

(b,c)làphổổnđịnhtuyếntínhcủatrạngtháisolitonstạihaigiá

27

trị𝜇=1và𝜇=3tươngứngvớicácđiểmtrịnở hình(a).
1.6
1.7
1.8
1.9

Hiệntượng phávỡđốixứngtrụccủa dâythépthẳng.
Sựrẽnhánhtrêntớihạncủacáctrạngtháisolitonstrongmơ
hìnhmộtchiều[44].

Sựrẽnhánhdướitớihạncủacáctrạngtháisolitonstrongmơ
hìnhhaichiều[45].
QuỹđạocủahệLorenzkhicácgiát r ị thamsốρ=28,σ=10,
β=8/3.

1.10 Bakịch bảndẫntới trạngtháihỗnloạn.
2.1

Thết u y ế n t í n h G a u s s k é p đ ư ợ c c h u ẩ n h ó a 𝑈 ( 𝑥 ) ⁄|
𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥

28
30
31
32
33
37

theotọađộkhônggian𝑥 .
Trạng thái soliton b ất đối xứng trái (a) vàbất đối xứng phải (b)
(cácđường nét li ền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường
2.2

nétđứt). Các th am số: độ rộng của hàm th ế Gauss kép là𝑎 =

38

0.5,cơngsuấtxunglà𝑁=2,trườnghợpnàylàphituyếntựhộitụ
𝜎=−1.
CáctrạngtháisolitonscủahệvàthếGaussképlầnlượttươngứngc á c đ ư

2.3

ờngmàuxanhvàmàuđỏnétđứt:(a)trạngthái

39

solitonđốixứng,(b)trạngtháisolitonbấtđốixứng.
2.4

Hình(a),(b)lầnlượtlàđộbấtđốixứngnhưlàhàmcủahằng
sốlantruyền𝜇,vàcơngsuất xung𝑁.

40


Hình (a) là cơng xuất xung phụthuộc vào h ằng số lan
truyền;hình (b) là ti ến triển trongkhơng gian tr ạng thái soliton
2.5

đốixứng với𝑁 = 0.5, 𝑎 = 0.5 ; hình (c),(d) l ần lượt là ti ến

41

triểntrạngtháisolitonđốixứ ng và trạngt hái so l i t o n đối xứ ng k
hi
𝑁=2,𝑎=0.5.
Hình(a),(b),(c)tươngứnglàhnìhdạngsolitonscủacáctrạng
2.6

tháiứngvớicácđiểmA,B,C(hoặcD).Cáchnìh(a1),(b1),(c1)tương

ứng làphổ trị riêng c ủa các mode nhi ễu loạn khi tiến

43

triểncácsolitonsứngvới(a),(b),(c)trongkhơnggianthực.
Hình(a),(b)lầnlượtmiêutảsựphụthuộccủađộbấtđốixứng
2.7

đượctínhtheocơngthức(2.5)vàohằngsốlantruyềnµvà
cơngsuấtxung𝑁ứngvớitrườnghợpđộrộngcủathếGausskép𝑎 =0.2

44

.
Hình(a),(b)lầnlượtmiêutảsựphụthuộccủađộbấtđốixứng
2.8

được tínhtheocơngth ức (2.5) vàoh ằngsố lantruyềnµvàcơngsu ất
của xung vào𝑁ứng với trường hợp độ rộng của thếGauss

44

kép𝑎 =1.0.
Hình (a) cơng suất xung vào ngưỡng𝑁𝑏𝑖𝑓như là hàm của
2.9

độộrộng𝑎(đường cong chấm trịn); hình (b) hằng số lan

45

truyềnngưỡng𝜇𝑏𝑖𝑓nhưlàhàmcủađộrộng𝑎(độườngcongchấmtrịn).
SựphụthuộccủađộbấtđốixứngΘvàocơngsuấtxungtrong
2.10 trườnghợpphituyếntựphânkỳ,độrộngthếtuyếntínhGausskép𝑎=1

46

.0.
CáctrạngtháisolitonstrongthếGaussképứngvớiđộrộng
2.11 khácnhau,hình(a)tươngứngđộrộnga=1/3,cơngsuất𝑁=2vàhình(b)

47

tươngứngvớia=1.0, cơngsuất𝑁=2.
Tiếntriểntrongkhơnggianthựccáctrạngtháisolitons,hình
2.12

(a)ứngvớitrườnghợpđộrộnga=1/3,cơngsuấtxung𝑁=2,hình(b)ứng
vớitrườnghợpđộrộnga=1.0,cơngsuấtxung

47

𝑁=2.
Cácloạitrạngtháisolitons:hình(a)làtrạngtháiđốixứng,hình(b)trạngth
2.13

áiphảnđốixứngvàhình(c)trạngtháikhơngđốixứngcủahệtrongtrường
hợphệsốliênkết𝜅=1vàhằng
sốlantruyền𝜇=4.

50

Hình( a ) miêut ả cơngsuấtxungvàhình(b)miêut ả năng
2.14 lượngcủacáctrạngtháiđốixứng,phảnđốixứngvàkhơngđốixứng

51

theohằngsố lantruyền𝜇.
Hình(a),(b)miêutảđộbấtđốixứng  đư ợc địnhnghĩatheo
2.15 biểuthức(2.25)theohằngsốlantruyền𝜇vàtổngcơngsuất

52

𝑁.
Mơhìnhnghiêncứugồmhaivịngcộnghưởngquanghọcvới
3.1

sự cómặtcủakhuếchđạituyếntính, mấtmátphi tuyến

55

vàliênkếttuyếntínhvớinhau[31].
3.2
3.3

3.4

Mộts ốl oạ i trạngt há i cu ối cù ng củ a hệ khil i ên k ế t giữahai
vònglàhằngsố,thamsốmấtmát cốđịnhΓ=1[31].
TrạngtháidừngtrongtrườnghàmliênkếtGaussđơnvớicác

thamsố:𝛾=3,Γ=1,𝐽0= 2,𝑎=1.
CáctrạngtháidừngtrongtrườnghợpliênkếtGaussđơn,các
thams ố 𝛾=3,𝛤=1 và𝑎 =1,v ớ i c ư ờ n g đ ộ l i ê n k ế t k h á c
nhaulà𝐽0=1,𝐽0= 2,𝐽0= 3.H ì n h ( a ) l à k ế t q u ả t í n h t o á n củalu

58
59

60

ậnán,(b)là kếtquả của cơngtrình[48].
3.5

Trạngt h á i d ừ n g đ ố i x ứ n g , h ì n h ( a ) l à m ô đ u n c ủ a c á c h à
m

3.6

Γ=1,𝐽0= 1.5,𝑎=0.01và𝛾=0.55[50,51].
Trạngt h á i d ừ n g p h ả n đ ố i x ứ n g , h ì n h ( a ) l à m ô đ u n c ủ a c á
c

sóng,hình( b) l à độ l ệch p h a củ a haih à m sóng,cáct ham số

hàmsóng,hình(b)làđộlệchphacủahaihàmsóng,cácthamsốΓ=

61

61

1,𝐽0= 1.5,𝑎=0.01và𝛾=1.1[50,51].
Trạngtháidừngbấtđốixứng,hình(a)làmơđuncủacáchàm
3.7

sóng,hình( b) l à độ l ệch p h a củ a haih à m sóng,cáct ham số

62

Γ=1,𝐽0= 1.5,𝑎=0.01và𝛾=0.60[50,51].
3.8

Trạngtháikhơngđồngnhấttrongtrườnghợpliênkếthằngsố,
cácthamsốΓ=1,𝛾=1.5và𝑐=1.75[31].

63

Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng
số.Hình (a) biểu diễn tổng cơng suất ánh sáng trong hai vòng
3.9

theothời gian [31], (b) làbi ến đổiFourier của tổng cơng su ất,
(c) làtiếntriểncủahàmsóngtheothờigianvà(d)làmơđuncủacác
hàmsóng.Cácthamsố củahệΓ=1,𝛾=1và𝑐=1.25.
Sựt i ế n t r i ể n c ủ a h à m s ó n g t h e o t h ờig i a n t r o n g m ộ t v
òng

64


3.10

quanghọccủahệtrongtrườnghợpliênkếtGaussđơnvớicácthamsố:𝛾

65

=3,Γ=1,𝑎=1;hình(a)ứngvớicườngđộliên
kết𝐽0=4,hình(b)ứngvới cườngđộ liên kết𝐽0=5[48].
Trạngtháihỗn loạnxuấthiệntronghệtrongtrườnghợpliênk
66

3.11 ếthằngsố(trongđóhìnhnhỏcủahìnhvẽ(a)làkếtquảcủa
[31]), khicácthamsốđặctrưngcủahệΓ=1,𝛾=2và𝑐=2.
BiếnđổiFouriercủatổngcơngsuấttronghaivịngcủahệmơtảkịchbản
3.12

dẫnđếnhỗnloạn.Hình(a)ứngvớihằngsốliênkết
𝑐∈[1.74,1.82],hình(b)chitiếtvùngnhỏkhungvngmàuđỏứngvới𝑐∈

67

[1.790,1.810][52].
Mơđuncủacác hàmsóngứngvớicác giá tr ịkhác nhaucủa
3.13 cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với

70

cườngđộliênkết𝐽0= 0.9,𝐽0= 0.95,𝐽0= 1.0và𝐽0=1.1.
Trạngt h á i d a o đ ộ n g ứ n g v ớ i b a t r ư ờ n g h ợ p k h á c n h a u
3.14 c ủ a

71

cường độ liên kết𝐽0=2.598,𝐽0=2.6và𝐽0=2.61.
TổngcôngsuấtvàbiếnđổiFouriercủacáctrạngtháilầnlượt
tươngứngvớicác thamsốcườngđộliênkết𝐽 0= 2.84,𝐽0=
3.15 3.19và𝐽0=3.20;hình(a1-b1) mộttrạngtháihỗnloạn, (a2-b2)

73

trạngt h á i d a o đ ộ n g n h i ề u t ầ n s ố , ( a 3b3)t r ạ ng t h á i d a o đ ộ n g vớimộttầnsố.
Sơđồrẽnhánhsựchuyểnđổitrạngtháicủahệkhicácthamsố
3.16 𝛾=3,Γ=1,𝑎=0.01

theo

cường

độ

liên

kết

74

𝐽0∈[1.97,3.57].
3.17
3.18

Mơđuncủacáchàmsóngtrongvùngtrạngtháidừngứngvới

cácgiát r ị khácnhaucủacườngđộliênkết.
Sơđồrẽnhánhmơtảsựchuyểnđổitrạngtháicủahệởvùng
cườngđộliênkếtlớnkhiđộrộngcủahàmliên kếtrộng𝑎=1.

Giảnđ ồ r ẽ n h á n h s ự b i ế n đ ổ i c á c t r ạ n g t h á i c ủ a h ệ , k h i c á
3.19 c

75
76
77

thamsốcốđịnhΓ=1,𝐽0=2.85,𝑎=0.01và𝛾thayđổi.
Mô đun của các hàm sóng trong hai vịng quang học hình
3.20

(a)khi tham sốkhuếch đại𝛾 ≃ 2.12 mơ t ả trạng thái d ừng
đốixứngvàhình(b)khithamsốkhuếchđại𝛾≃2.22mơtảtrạng
tháikhơngđối xứng.
Tổngcơngsuấtcủahệmơtảtrạngtháidaođộng,trạngthái

78


3.21

hỗnloạncủahệ,hình(a1b1)biểudiễntrạngtháidaođộngứngvớithamsốkhuếchđại𝛾=2.42,h

79

ình(a 2-b2)biểudiễntrạng

tháihỗnloạnứngvớithamsốkhuếchđại𝛾≈2.62.
Mơđuncủacáchàmsóng,hình(a)và(b)l
ầnlượtmơtảtrạng
3.22 thái ph ản đối xứng vàtr ạng thái b ất đối xứng ứng với

80

cácthamsốkhuếchđạilà𝛾=3.06và𝛾=3.65.
3.23

Giảnđồrẽnhánhbiểudiễnsựbiếnđổicáctrạngtháiđộnglực
họccủahệ,khicácthamsốΓ=1,𝐽0=12,75,𝑎=1.

81

BiếnđổiFouriercủatổngcơngsuấtcủahệmiêutảcáctrạng
3.24

tháidaođộngmộttầnsố,batầnsố,nhiềutầnsốvàtrạngtháihỗnloạn.Cá
chình(a),(b),(c)và(d)lầnlượttươngứngvới

82

cácthamsố𝛾=0.16,𝛾=2.65,𝛾=4.75và𝛾=5.03.
Giảnđồrẽnhánhcủaqtrìnhbiếnđổitrạngtháicủahệkhi
3.25 cốđịnhcácthamsố𝛾=3,𝐽0=2.85,𝑎=0.01,thamsốmấtmátphi

83

tuyếnΓthayđổi.

SơđồrẽnhánhbiếnđổiFouriercủatổngcơngsuấtcủahệkhicácthamsố
3.26 𝛾=3,𝐽0=12.75,𝑎=1,thamsốmấtmátphi
tuyếnΓthayđổi.

84


DANHMỤCCÁCSƠĐỒ
Sơđồ
3.1
3.2
3.3

Nội dung
SựbiếnđổitrạngtháivàSSBdoảnhhưởngcủacườngđộliên
kếtkhiđộrộnghàmliênkếthẹp𝑎=0.01.
SựbiếnđổitrạngtháivàSSBdoảnhhưởngcủacườngđộliên
kếtkhiđộrộnghàmliênkếtrộng𝑎=1.
Sựb i ế n đ ổ i t r ạ n g t h á i v à SSBd o

Trang
69
74
77

ảnhh ư ở n g c ủ a t h a m s ố

3.4

khuếchđạikhiđộrộnghàmliênkếthẹp𝑎=0.01.

Sựb i ế n đ ổ i t r ạ n g t h á i v à SSBd o

81

ảnhh ư ở n g c ủ a t h a m s ố

3.5
3.6

khuếchđạikhiđộrộnghàmliênkếtrộng𝑎=1.
SựbiếnđổitrạngtháivàSSBdoảnhhưởngcủathamsốmất
mátkhiđộrộnghàmliênkếthẹp𝑎=0.01.
Sựbiếnđổitrạngtháivà SSBdoảnhhưởngcủathamsốmất
mátkhiđộrộnghàmliênkếtrộng𝑎=1.

83
85


TỔNGQUAN
1. Lýdochọnđềtài
Sự pháv ỡ đối xứng tự phát (Spontaneous Symmetry Breaking- SSB) làhi
ệntượngthườngthấytrongtựnhiênvàtrongnhiềulĩnhvựcvậtlýkhácnhaunhư:vậtlýhạtcơbả
nvớiMơhìnhchuẩn[1],vậtliệutừvàhệngưngtụBose-Einstein(BoseEinsteincondensation-BEC),v.v…Tuynhiên,theođịnhnghĩachungSSB làm ột số trạng
thái cơ bản của hệ vật lý nào đó bị“phá vỡ” đối xứngkhithamsốđiều khiển
vượtquágiátrị nhấtđịnh (gọi làgiátrị
tớihạn),vídụnhưtrongmơhìnhchiếcmũMexico[2].Trongquanghọc,sựphávỡ
đốixứngcóthểđượchiểunhưlàkếtquảcủasựtươngtácgiữacácsốhạngphituyếnvớicáccấutr
úcốngdẫnsóng.Khithànhphầnphituyếnmạnh,nósẽtriệttiêucácliênkếttuyếntínhgiữacáclõitr
ongố n g dẫnsóngsongsong,vídụtrongmơitrườngKerrtựhộitụ[2].Tronghệcộnghưởngvịn

gquanghọc,SSBlàsựcạnhtranhgiữahiệuứngtuyếntínhvàhiệu ứng phi tuyến, víd ụ như giữa
khuếch đại tuyếntínhvàmấtmátphituyến,dẫntớixuấthiệntrạngtháikhơngđốixứng,thậm
chídẫntớitrạngtháihỗnloạn[3].
SSB trongquang học có nhi ều ứng dụng trong công ngh ệ quang tử. Hiệuứng
chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh có thểđược sử dụng làm cơ sởcho việc
thiết kế các thi ết bị chuyển mạchtoàn quang [ 4, 5] và cácứng dụngkhác, ch ẳng hạn
như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phânchiabước sóng [7], cổng
logic [8] và truy ền dẫnlưỡng ổn định [9]. Bộ ghép hai s ợiquangphituyếndùngđể
nénsolitonshi

ệuquả

bằng

cách

t

ạo

độ

tán

s

ắc

khácnhautronghaisợi[10].Tronghệcộnghưởngvịngquanghọccũngc ó n h i ề u ứng dụng
trongcác

thi

ết

bịquang

tửnhư:

chọn

lọc

bước

sóng[11],

trạng

tháihỗnloạnđượcứngdụngtrongthơngtinquangnhưđồngbộvàbảomậtthơngtin [12, 13],
phát tín hi ệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực họcdao động hỗn
loạn cực nhanh của laser giải quyết triệt để bài tốn gi ả định ứngdụngvào
trítuệ nhântạo (AI)[14].
Vớinhiềuứngdụngquantrọngnhưvậy,SSBđãvàđangđượccácnhàkhoahọctrênthếgiớiq
uantâmnghiêncứu[6-25].ĐặcbiệtlànhómcủaB.A.

1


Malomedđãnghiêncứurấtchitiếtkểtừhơnhaithậpkỷ

qua.SSBđượcnghiêncứutrongnhiềuhệquanghọckhácnhaucảtronglýthuyếtvàthựcnghiệ
m.Đốivớit r o n g ố n g d ẫ n s ó n g m à chủy ế u t r o n g m ô i t r ư ờ n g K e r r t ự h ộ i t ụ [ 2 ] , ả
n h hưởngcủahiệuứngSSBlênsolitonsquanghọckhơnggianđãđượcchứngminhbằngthựcn
ghiệmtrongốngdẫnsóngphẳngphituyến[15].NghiêncứugiảitíchcủaSSBchocácmodesolit
onsđượcthựchiệntrongcácmơhìnhlõiképcótníhchấtphituyếnKerr[16],vàcácốngdẫnsón
gquanghọcphituyếnbậcbanăm[17].HiệuứngSSBtrongquanghọccóthểxảyratrongcấutrúccósựphânbốđốixứngcủac
hiếtsuấtvớiphituyếntựhộitụ,hệđượcmơtảbởiphươngtrìnhSchrưdingerphituyến(nonline
arSchrưdingerequationNLSE)cóthêmthànhphầnthếtuyếntính[ 18].Trongcács ợiquanghọclõiképghéptuyếntínhv
ớinhaucũngcóSSB,đólàthànhphầntrọngyếutrongchuyểnmạchtồnquangđiều
khiểncơngsuất,vớihiệuứngphituyếnKerr[19].SSBcủatrạngtháisóngliêntục[20]vàsựhnìh
thànhcácsolitonsbấtđốixứngtrongcácsợiquanglõikép[21]cũngđượcnghiêncứuchitiếtv
ềmặtlýthuyết.GầnđâySSBtrongốngdẫnquangvớisựcạnhtranhcủaphituyếnbậcba
-nămvàthếtuyếntínhđốixứngchẵnlẻthờigianđượcnghiêncứu[22].Qua đó chothấy,
SSBvớisựcómặtcủathếtuyếntínhkhơngngừngquantâmnghiêncứuvàứngdụngbằngcáchxe
mxétvớicácloạithếtuyếntínhmới.
Hầu hết những nghiênc ứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được
thựchiệntrongcáchệquanghọccóhệsốphituyếnlàhằngsố.Mộtcáchkhácđểthựchiện pháv
ỡ đối xứng tự phát trong h ệ quang học đó là mơi trường phi tuyếnbiếnđiệu. Năm
2008 lần đầu tiên

SSB

đượcnghiên

c

ứu

trong

hệ

với

phi

tuyến

biếnđiệudạngképtươngđươngnhưthế phi tuyến kép d ạnghàm haideltađượcnghiên c
ứu [23] và được mở rộng trong trườnghợp hai chiều [24], gần đây vàonăm 2017 phi
tuyến biến điệu dạnghàm mũ cũng được nghiên c ứu có s ố đỉnhtăng dần từ hai đến
năm

đỉnh

[25].

Như

vậy,

chúng

ta

có

th

ể

nghiênc

ứu

SSBtronghệmớivớiviệcthayđổidạngphituyếnbiếnđiệu.
Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vịng quang.
SSBtronghệnàygâyrasựbiếnđổitrạngtháicủahệ,trongđócódẫntớitrạngthái


hỗnloạn. Đây làtrạng thái đãcónhiều ứngdụng vàđược nhiềuq u a n t â m nghiênc
ứu hiện nay. Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz làngười đầu tiên
phátbi ểu khái ni ệm hỗn loạn. Theo đó, hỗn loạn được hiểu là s ựmất trật tự, lộn xộn.
Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phịngthínghi ệm bởi Gioggia
and Abraham [26]. Những năm 1990 hỗn loạn laserđược nghiên c ứu để ứng dụng
vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đếnnăm 2000 ứng dụng trở thành hi ện
thực. Sau đó hỗn loạnlaser khơng ng ừngđược nghiên c ứu ứng dụng vào n hiều lĩnh
vực

khác

như

trong

các

mạchtích

h

ợpquangtửđốivớithơngtinquang[28]nhưkỹthuậtphátsốngẫunhiên“0”,“1”
[29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin[30]và g ần đây
vàonăm2 0 1 7 n h ó m c ủ a M a r e k T r i p p e n b a c h đ ã đ ề x u ấ t m ộ t h ệ c ộ n g h ư ở n
g m ớ i gồm hai vịng quang h ọc kích thước cỡ micro métliên k ết tuyến tính v ới
nhau,động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái và hi ện tượng thúv ị hứa
hẹnnhiềuứngdụngtrongtươnglai[31].
Quatìm hi ểu SSB trong các h ệ quang học chúng tơi n hận thấy cómộtsố hệchưa
được nghiên c ứu một cách đầy đủ hoặc có th ể mở rộng nghiênc ứu thêm.Việc nghiên
c ứu SSB trong các h ệ quang học khác nhau m ộtcách đầy đủ, hệthống là r ất cần
thiết, sẽ giúp định hướngtrong thực nghiệm và ứng dụng. Đặcbiệt, trạngthái h ỗn loạn
của SSB hứa hẹn có nhi ều ứng dụng trong cuộc cáchmạng 4.0. Vìv ậy chúng tơi ch ọn
“Nghiên

cứu

sự

phá

vỡ

đối

xứng

tự

phát

trongmộtsốhệquanghọcphituyến”làmđềtàiluậnáncủamìnhgópphầnvàoh
ệthốnglýthuyếtvềSSBcủamộtsốhệquanghọc.
Động lựchọc của một hệ vật lý nói chung được mơ t ả bằng các
phươngtrìnhviphân.Trongđềtàinày,chúngtơinghiêncứucách

ệquanghọcđóng(hệbảo

tồn) và m ở (hệ khơng b ảo tồn) được mơ t ả bằng các phương trình vi
phânđạohàmriêngphituyếnkiểuSchrưdinger.CácmơitrườngphituyếnkiểuKerrlàmộtvídụđiể
nhìnhcủacácphươngtrìnhkiểunày.Khókhănchungtrongmọibàitốn phi tuy ến làv ề mặt tốn
h

ọc

củachúng.

Các

phương

trình

vi

phân

phi

tuyếnkhógiảihơnnhiềusovớicácphươngtrnìhtuyếntính.Chỉcácphươngtrìnhviphântuyế
ntínhmớichotanhữnglờigiảigiảitíchchínhxácquaviệcdùngphép

biếnđổiFouriernổitiếng“phânlờigiảithànhcácsóngphẳ n g ” . P h ư ơ n g pháp giải
tíchchỉcóthểđưaratrongmộtsốrấtítcácbài

tốnphituyếnvàkhơngthểcó

phương pháp giải chung cho tất cả các bài tốn được. Chẳng hạn, phương
trìnhSchrưdingerphituyếncóthểgiảibằngphươngpháptánxạngượcnhưngkhơngápdụngđư
ợcchophươngtrìnhSchrưdingerphituyếnsuyrộng.Đểgiảiquyếtvấnđề,ngườitađãphảivậ
ndụngnhiềuphươngpháp tínhtốn gầnđúngkhác nhau. Phương pháp hữu hiệu
nhất là phương pháp số cùngvới việc phát minh
racácmáytínhthếhệbacósứctníhtốnkhổnglồ.Chúngđãđượcsửdụngtrongrấtnhiềubàitố
nthựctếkhácnhauvàhiệuquảtrongbàitốnlantruyềnxungvàxéttníhchấtổnđịnhcủacáctrạngth
ái.Mụcđíchquantrọngcủađềtàinàylàtìmhiểuvàvậndụngmộtsốphươngphápsốđểnghiênc
ứuSSBvàxéttníhchấtổnđịnhcủatrạngtháitrongmộtsốhệquanghọcđóngvàmở.Chúngtơisử
dụngngơnngữthơngd ụngcủacáctínhtốnb ằngsốlàngơnngữMatlabđểviếtchươngtrìnhcho
máytính.Nhữngkếtquảnàykhơngchỉmangtínhlýthuyếtmàcónhiềuhướngứngdụngtolớntro
ngkỹthuậtvàcơngnghệnhưứngdụngcácsolitonsvàotruyềnthơng.Cáchệquanghọcphituyếnt
rởnên“phịngthínghiệm”cho cácnghiên c ứu giải tích vàs ố đối với phương trình vi
phân đạo hàm riêng phituyếnhiệnnay.
2. Mụctiêunghiêncứu
2.1. Mụctiêutổngqt
- Nghiêncứuảnhhưởngcủacơngsuấtxung,hằngsốlantruyềnlênsựphávỡđốixứng
tựphát(SSB)tronghệốngdẫnsóngvớisựcómặtcủaphituyếnKerrvàthếtuyếntínhGauss
kép,hệhaiốngdẫnsóngliênkếttuyếntínhvàphituyếnKerrbiếnđiệudạnghàmdelta(haih
ệ này cóHamiltoniankhơngđổitheothờigian-gọitắtlàhệbảotồn).
- Nghiêncứuảnhhưởngcủacácthamsốđiềukhiểnnhưcườngđộliênkết,thamsốkhu
ếchđại,thamsốmấtmát,độrộngcủahàmliênkếtlênSSBvàqtrình động lực học của
hệ hai vịng c ộng hưởng quanghọc liên k ết tuyến tính v

ớisựcómặtcủakhuếchđạituyếntínhvàmấtmátphituyến(hệnàycóHamiltonianthayđổit
heothờigian-gọitắtlàhệ khơngbảotồn).


2.2. Mụctiêucụthể
- Xác định các kho ảng tham số như cơng xuất xung, hằng số lan
truyềnđểtồntạicácloạitrạngtháisolitonskhácnhautronghệbảotồn.
- Xét tính chất ổn định của các lo ại trạng thái soliton s đồngthời xác địnhđặc
trưngrẽnhánhcủaSSBtronghệbảotoàn.
- Xác định các vùng tham số điều khiển như: cường độ liên k ết, tham
sốkhuếchđại,mấtmátđểtồntạicácloạitrạngtháidừng,trạngtháidaođộng,trạngtháihỗnl
oạntronghệkhơngbảotồn.
- Thiếtlậpsơđồ,giảnđồrẽnhánhvềSSBvàchuyểnđổigiữacáctrạngtháitrên,xácđị
nhkịchbảndẫn tớitrạngtháihỗnloạncủahệkhơngbảotồn.
3. Đốitượngvàphạmvinghiêncứu
3.1. Đốitượngnghiêncứu
Đối tượng nghiên c ứu là các h ệ quang học có phi tuy ến kiểuKerr và h ệcộng
hưởng vịng quang h ọc kíchthước cỡ micro mét v ới sự cóm ặt của khuếchđạituyến
tínhvàmấ t m á t p h i tuyến.
3.2. Phạm vinghiên cứu
Phạm vi nghiên c ứu là các h ệ quang học được xéttrongtrường hợp
mộtchiềuvàphituyếnkiểuKerr.
4. Phươngphápnghiêncứu
- Phươngpháplýthuyết:Sửdụngphươngpháptáchbiếnđểgiảih ệ phương trình
vi phân đạo hàm riêngbậc hai; Tiêu chu ẩn ổn địnhVakhitov -Kolokolov(V-K)để
xác định tínhchấtổnđịnhcủa cáctrạngtháisolitons.
- Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìmlời giải solitons
trongmơi trường quang học phi tuyến Kerr. Phương pháp tuyến tính hóatr ị riêng c
ủacácmodenhiễuloạnvà phươngphápSplit-StepFourier(SSF)tiếntriểnsolitons dưới ảnh
hưởngcủanhiễuloạnđểxácđịnhtínhchấtổnđịnhcủasolitons. Đồng thời sử dụng phương pháp SSF

để tìmtr ạng thái cu ối cùng tronghệcộnghưởng vòngquang.


5. Bốcụccủaluậnán
Ngoài ph ần tổng quan và k ết luận chung, luận án g ồm có ba chươngcó nộidung
tómtắt nhưsau:
Chương 1. Một số khái ni ệm cơ bản trong lý thuy ết phương trình
viphânđạo hàmriêng phi tuyến
Trong chương này chúng tơi trình bàynhững vấn đề sau đây: thứ nhất
kháiqtvềphươngtrìnhđạohàmriêngphituy ến,đặcbiệtlàphươngtrìnhSchrưdinger phi
tuy ến. Đây là phương trình cơsở của một số hệ quang học phituyến với các p hi
tuyến bậc ba (gồm phi tuyến Kerr tự hội tụ, tự phân k ỳ vàhiệntượnghấpthụhaiphotonđượctrình
bày ). Thứ hai là các phương pháp tính tốnsố áp d ụng cho phương trình Schrưdingerphi tuyến,
solitons vàcác lo ại solitonscũngđượctrìnhbày. Cuốicùnglàkháiquátv ềkháiniệm sự phá
v ỡđốixứng,giản đồ rẽ nhánh, ýnghĩacủa giản đồ rẽ nhánh, tr ạng thái h ỗn loạn và m
ột sốkịchbảndẫntớihỗnloạn.
Chương 2. Sự phá v ỡ đối xứng tự phát tronghai h ệ quang học phi
tuyếnbảo tồn
Chương2chúngtơinghiêncứusựphávỡđốixứngtronghaihệquanghọcđólà:hệthứnhấ
tlàốngdẫnsóngcóphituyếnKerrđồngnhấtvàthếtuyếntínhcódạnghàmGausskép,hệthứhai
làhệhaiốngdẫnsóngsongsongcóphituyếnKerrkhơngđồngnhấtvàliênkếttuyếntính.Bằngc
ácphươngphápkhácnhauchúngtơixét
ảnhhưởngcủacơngsuấtxung,hằngsốlantruyềnlênsựphávỡđốixứngtựphát,đồngthờixéttín
hchấtổnđịnhcủacáctrạngtháisolitonscủahaihệbảotồntrên.
Chương3.Sựphávỡđốixứngtựpháttronghệ
haivịngcộnghưởngquangkíchthướccỡ micro mét
ChươngnàychúngtơinghiêncứuSSBvàqtrìnhbiếnđổitrạngtháicủahệhaivịngcộn
ghưởngquangliênkếttuyếntínhvớinhau.BằngphươngphápSSFvớikỹthuậttiếntriểnthe
othờigianvớiảnhhưởngcủanhiễuloạn,chúngtơiđixácđịnhđượccácvùngthamsốtồntạ
iSSBvàcácloạitrạngtháikhácnhau,đồngthờixemxétkịchbảndẫntớihỗnloạn.

Chương1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG
TRÌNHVIPHÂNĐẠO HÀMRIÊNG PHITUYẾN
Mục tiêu chính của chươngnày là tìm hi ểu và trình bàycác phương pháptính
tốnáp d ụng cho phương trình Schrưdingerphi tuy ến và xét tínhchất
ổnđịnhcủacáctrạngthái.Đồngthờichúngtơitìmhiểucáckháini ệm cơbảnliênquan đến sự
phá v ỡ đối xứng sẽ áp d ụng để nghiên c ứu trong Chương2 vàChương3.
1.1. Phươngtrìnhđạohàmriêngmơtả mộtsốhệvậtlý
Hầuhếtcáchiệntượngvậtlýtrongthựctếđượcmơtảbởicácphươngtrình đạo hàm
riêng. Phươngtrìnhcó ch ứa các đạo hàm riêng của hàm hai ho
ặcnhiềubiếnđượcgọilàphươngtrìnhđạohàmriêng.Tùytheo

cách phân

chiamàphươngtrìnhđạohàmriêngđượcchialàmcácloạikhácnhau.Nếuphânchiatheomức
độphituyếnchúngtacóphươngtrìnhđạohàmriêngtuyếntínhvàphươngtrìnhđạoh
àmriêngphituyến.Phươngtrìnhđạohàmriêngtuyếntínhlàphương trìnhđượcviết
ởdạngchungnhưsau[32]:
)= 𝑓 (𝑥⃗
),
𝐿𝑢 (𝑥⃗

(1.1)

ởđây𝐿làmộttốntửtuyếntính,nghĩalàthõamãntínhchấtsau:
)= 𝑎𝐿𝑢⃗
𝐿(𝑎𝑢⃗
+𝑏𝑣⃗

⃗
+𝑏𝐿𝑣⃗
⃗
,

(1.2)

𝑎,𝑏làcáchằngsố,𝑢⃗
và𝑣⃗
⃗
làcáchàmriêng.Ngượclại,phươngtrìnhđạohàmriêngphi tuy ến là
phương trình khơng tuyến tính nghĩa là𝐿khơng thõa mãntínhchất trên.
Nếu phân chia theosự phụ thuộc vào th ời gian,chúng ta có phương trìnhbiến đổi
theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái l ại thì được gọilàphươngtrình
dừng.Trongtìnhhuốngnàyngườitathườngkíhiệubiếnthờigian là𝑡,cácbiếncịn lại làbiếnkhônggian.