Công thức lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02
≤
β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
co

s 0α≠
cos

cot g
sin
α
α=
α
với
sin 0α≠
II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc
α

Giá trò
()
o
00

()
o
30
6
π

()
o
45
4
π

()

o
60
3
π

()
o
90
2
π

sinα

0 1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2

2

1
2

0
t
g
α

0
3
3

1
3

||
cot gα
||
3

1
3
3

0

III. Hệ thức cơ bản
22

sin cos 1α+ α=
2
2
1
1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)

a. Đối nhau: và
−α

α
(
)
sin sin−α = − α

(
)
cos cos−α = α

(
)
(
)
tg tg−α = − α

(
)
(
)
cot g cot g−α = − α



b. Buø nhau: vaø
α π−α
(
)

()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot
g
cot
g
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau : vaø
π+

π
α α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg t g
cot
g

cot
g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α

d. Phuï nhau: vaø
α
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2
t
g
cot
g
2
cot
g
t
g
2
π
⎛⎞
−α = α

⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠


e.Sai nhau
2
π
:
α
vaø
2
π
+α

sin cos

2
cos sin
2
t
g
cot
g
2
cot
g
t
g
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞

+α =− α
⎜⎟
⎝⎠


f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sin x,k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cot gx


V. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sin bcosa
cos a b cosacosb sin asin b

tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=
m
m


VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=
22 2 2
2
2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cotg a 1
cotg2a
2cotga
−

VII. Công thức nhân ba:
3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4 cos a 3cosa
=−
=−


VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1
sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1cos2a
tg a
1cos2a
=−
=+
−
=

+


IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
tt
g
2
=
(với
ak
)
2≠π+ π

2
2
2
2
2t
sina
1t
1t
cosa
1t
2t
tga
1t
=
+

−
=
+
=
−


X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=

+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=


XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1
sina.sin b cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
−
=⎡ +− −
⎣⎦

=⎡ + + −⎤
⎣⎦
⎤


Bài 1: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:
(
)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422

22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−


Do đó:
44 22
66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
==
+−−


Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1

sin x sin x
⎡
⎤
−
+
==+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Tính giá trò A nếu
1
cosx
2
=−
và
x
2
π
<
<π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A

sin x sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟
⎝⎠

(
)
2
21 cosx
1cosx
A.
sin x sin x
−
+
⇔=

(
)
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sin x
−
⇔= = =
(với

sinx 0
≠
)
Ta có:
22
13
sin x 1 cos x 1
44
=
−=−=

Do:
x
2
π
<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sin x
2
=

Do đó
244
A
sin x 3

3
===
3


Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2
b.
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
+
=+
−−
1


a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2

(
)
(
)
(

)
()
2
42 22 2
42424
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện
sinx.cosx 0,t
g
x1
≠
≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

1
1
221t
g
x
tgx
B
1
t
g
x1 t
g
x11t
g
x
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−
−
−


(
)
21tgx
1tgx

B1
tgx 1 tgx 1
−−
−
⇔= = =−
−−
(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1cot
g
bcot
g
ccot
g
a1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
−
+−=
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦
−
Ta có:
*
22
22
22
cos b sin c
cot
g
b.cot
g
c
sin b.sin c
−
−
2
22
22
cot
g
b1
cot
g
bcot
g
c
sin c sin b
=−−

(
)
(
)
22 222
cot
g
b1 cot
g
c1cot
g
bcot
g
bcot
g
c=+−+− 1=−
(1)
*
()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡⎤
−
+
−
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a
⎡⎤
−
+
=−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−
⎡⎤
=−
⎢⎥
+
⎣⎦

1cosa2cosa

.cot
g
a
2sina 1 cosa
+
==
+
(2)
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABCΔ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
Pt
g
A.t
g
B.t
g
C=


Ta có:
AB C+=π−
Nên:
(
)
tg A B tgC+=−

tgA tgB

tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−

t
g
At
g
Bt
g
Ct
g
A.t
g
B.t
g
C⇔+=−+

Vậy:
Pt
g
A.t
g
B.t
g
Ct
g

At
g
Bt
g
C==++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
t
g
A,t
g
B, t
g
C
ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥


3
P3P⇔≥

32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==

⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<
⎪
⎩
tgA tgB tgC
ABC
3
0A,B,C
2
==

Do đó:
MinP 3 3 A B C
3
π
=
⇔===

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/
84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x

a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3
1t 8t−=
⇔
1t

2t−=
⇔
1
t
3
=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3;
11
y
32
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó :
∈

=
x
y3
Max
và
∈
=
x
1
y
Min
27


b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈


k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤
42 2
tcosx1sin==−
Nên
4
sin x 1 t=−
Vậy
8
4
y1t=−−t
trên
[
]
D' 0,1=
Thì
()
−
=−<
−
3
7
4
8
t

y' 1 0
2. 1 t

[
)
t0;1∀∈
Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :
(
)
∈
=
=
xD
max y y 0 1,

(
)
∈
=
=−
xD
min y y 1 1


Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2
fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −
2

()
2
1
f x 1 sin 2x m sin 2x
2
=− −

Đặt : với
tsin2x=
[
]
t1,∈− 1
y xác đònh ⇔
x∀
()
fx 0x R≥∀∈
⇔
2
1

1tmt0
2
−−≥
[

]
t1,1−∀∈
⇔
()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1
t

Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

2
'm 20Δ= + > m∀
Lúc đó t t
1
t
2

g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔

12
t11
≤
−< ≤

⇔ ⇔
()
()
1g 1 0
1g 1 0
−≤
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
2m 1 0
2m 1 0
−−≤
⎧
⎨
−≤
⎩
⇔
1
m
2
1
m

2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨
⎪
≤
⎪
⎩
⇔
11
m
22
−≤ ≤

Cách khác :


gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−∀∈

{
}

[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤

⇔−≤
11
0110

{
}
max ), )mm⇔−−−+≤21210
⇔
1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨

⎪
≤

⎪
⎩
m⇔− ≤ ≤
11
22


Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞

=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3

Mặt khác :
(
)
2
44 22 22
cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin


22
12sin cos
=
−αα


2
1
1sin2
2
=
−α

Do ủoự :
4444
73
A sin sin sin sin
16 16 16 16

=+++
5


44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16


=+++








22
11
1sin 1sin
28 2 8

= +


3





22
13
2 sin sin
28 8


= +




22
1
2sincos
28 8


= +

=

3
do sin cos
88




13
2
22
= =


Baứi 9 : Chửựng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta coự :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos10
==

o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o
.sin70
o


()
oo
o
11
o
A
8sin20 cos40 .cos20
2
cos10

=




()
0o

o
1
o
A
4sin20 cos20 .cos40
cos10
=


()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos10
=


o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===


Baứi 10 : Cho

A
BC
. Chửựng minh :
A
BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+
+=

Ta coự :
A
BC
22
+
2
=


Vaọy :
A
BC
tg cot g
22
+
=


A
B

tg tg
1
22
A
BC
1tg .tg tg
22 2
+
=



A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2

+=


B
2


A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++ =

Baứi 11 :
Chửựng minh :
()

++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32


Ta có : (*) ⇔
8cotg tg 2tg 4tg
32 32 16 8
ππ π
=−−−
π
Mà :

22
cos a sin a cos a sin a
cot ga tga
sin a cos a si n a cos a
−
−=−=

cos 2a
2cotg2a
1
sin 2a
2
==

Do đó :
cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
π
⎡
⎢
ππ π
⎤
−−−=
⎥
⎣⎦
(*) ⇔
2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
⇔
=
4cotg 4tg 8
⇔
88
π
π
=

−

8cotg 8
π
⇔
=
(hiển nhiên đúng)
4

Bài :12 : Chứng minh :
22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛⎞
+++−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

3
2
=
a/
111 1
cot gx cot g16x
b/
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
+++ =−


a/ Ta có :

22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛
+++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝

⎞
⎟
⎠
()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323
⎡π⎤⎡π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦

31 4 4
cos 2x cos 2x cos 2x
22 3 3
⎡
ππ⎤

⎛⎞⎛⎞
=+ + + + −
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

31 4
cos2x 2cos2xcos
22 3
π
⎡
⎤
=+ +
⎢
⎥
⎣
⎦

31 1
cos2x 2cos2x
22 2
⎡
⎤
⎛⎞
=+ + −
⎜⎟
⎢

⎥
⎝⎠
⎣
⎦

3
=

2
b/ Ta có :
cos a cos b sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b
−
−=−=

()
sin b a
sin a sin b
−
=

Do đó :
(
)
()
sin 2x x
1
cot gx cot g2x 1
sin x sin 2x sin 2x

−
−= =

(
)
()
sin 4x 2x
1
cot g2 x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x
−
−= =