Bộ đề đại số toán lớp 9

HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
ĐỀ SỐ 14
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1 : Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) 2x – y = 3; b) x + 2y = 4 ; c) 3x – 2y = 6;
d) 2x + 3y = 5; e) 0x + 5y = – 10 ; f) – 4x + 0y = – 12.
№Bài 2 : Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để :
a) Điểm M(1 ; 0) thuộc đường thẳng mx – 5y = 7;
b) Điểm N(0 ; – 3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = – 21.
№Bài 3 : phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b ?
a) 5x – y = 7; b) 3x + 5y = 10;
c) 0x + 3y = – 1; d) 6x – 0y = 18.
№Bài 4 : Phải chọn a và b như thế nào để phương trình ax + by = c xác định một hàm số bậc
nhất của biến x ?
№Bài 5 : Giải thích vì sao khi M(x
0
; y
0
) là giao điểm của hai đường thẳng
ax + by = c và a’x + b’y = c’
thì (x
0
; y
0
) là nghiệm chung của hai phương trình ấy.
№Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau, hãy xác định đường thẳng ax + by = c đi qua hai điểm M

và N cho trước:
a) M(0 ; – 1), N(3 ; 0);
b) M(0 ; 3), N(– 1 ; 0).
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 1 * PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1*KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2- TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Một cách tổng quát :
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi
đường thẳng ax + by = c,kí hiệu là (d).(mỗi điểm của đường thẳng ax + by = c biểu diễn một cặp
nghiệm (x ; y) của phương trình) .
• Nếu a
≠
0, b
≠
0 thì đường thẳng (d) chính là là đồ thị hàm số bậc nhất : y =
a
b
−
x +
c
b
.
• Nếu a

≠
0, b = 0 thì phương trình trở thành : x =
c
a
và đường thẳng (d) song song với Oy nếu c
≠
0, trùng với Oy nếu c = 0.
• Nếu a = 0, b
≠
0 thì phương trình trở thành : y =
c
b
và đường thẳng (d) song song với Ox nếu c
≠
0, trùng với Ox nếu c = 0. Lưu ý :
• Đường thẳng x =
c
a
không phải là đồ thị hàm số.
• Với yêu cầu giải phương trình ax + by = c ta thường thực hiện ba bước:
* Biến đổi để chỉ ra một vài nghiệm cụ thể của phương trình.
* Viết được công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
* Biểu diễn nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình :
Biểu diễn một trong hai ẩn dưới dạng một biểu thức của ẩn kia :

x R
a c
y x
b b

∈



=− +


nếu b
≠
0 hoặc
b c
x y
a a
y R

=− +



∈

nếu a
≠
0.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng : ax + by = c , trong đó :
• a, b, c là hằng số và a, b không đồng thời bằng 0.
• x, y là hai ẩn số.
Chú ý : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn
bởi một điểm. Nghiệm (x

0
; y
0
) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x
0
; y
0
).
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
ĐỀ SỐ 15
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1 : Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương
ứng hay không :
a) (– 4 ; 5),
7x 5y 53
2x 9y 53
− =−


− + =

b) (3 ; – 11),
0,2x 1,7y 18,1
3,2x y 20,6
+ =−



− =

№Bài 2 : Cho phương trình 3x – 2y = 5.
a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất.
b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm.
c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm .
№Bài 3 : Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
a)
3x 6
x 3y 2

=

− =


b)
3x 5y 15
2y 7

+ =

=−


c)
3x 6
2y 7


=

=−

№Bài 4 : Những hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm,những hệ nào có vô số nghiệm ?
a)
2x 0y 5
4x 0y 7

+ =

+ =

b)
2x 0y 5
4x 0y 10

+ =

+ =

c)
0x 3y 8
0x 21y 56

+ =−

− =


d)
0x 3y 8
0x 21y 50

+ =−

− =

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1- KHÁI NIỆM VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Định nghĩa
• Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x
0
; y
0
) thì (x
0
; y
0
) được gọi là một nghiệm của hệ (I).
• Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.
• Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
2- MINH HỌA HÌNH HỌC TẬP NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN :

Một cách tổng quát ta có :
• Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
• Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.
• Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.
Chú ý: Như vậy,có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bằng cách xét vị trí
tương đối của các đường thẳng (d) và (d’)

3- HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Định nghĩa :
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng :
ax by c
(I)
a 'x b'y c'
+ =


+ =


• Hệ có nghiệm duy nhất
a
b
−
≠

a'
b'
−
⇔

a
a'

≠
b
b'
.
• Hệ vô nghiệm
a
b
−
=
a'
b'
−
và
c
b
≠
c'
b'

⇔
a
a'
=
b
b'
≠
c

c'
.
• Hệ có vô số nghiệm
a
b
−
=
a'
b'
−
và
c
b
=
c'
b'

⇔

a
a'
=
b
b'
=
c
c'
.
• Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là
nghiệm của hệ kia và ngược lại.

• Phép biến đổi từ một hệ phương trình đến một hệ phương trình khác tương đương với
nó được gọi là phép biến đổi tương đương.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
ĐỀ SỐ 16
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :
a)
4x 5y 3
x 3y 5

+ =

− =

b)
7x 2y 1
3x y 6

− =

+ =

c)
1,3x 4,2y 12
0,5x 2,5y 5,5


+ =

+ =

d)
5x y 5( 3 1)
2 3x 3 5y 21

− = −


+ =


№Bài 2 : Giải các hệ phương trình :
a)
1,7x 2y 3,8
2,1x 5y 0,4

− =

+ =

b)
( 5 +2)x y 3 5
x 2y 6 2 5

+ = −



− + = −


№Bài 3 : Tìm giá trị của a và b :
a) Để hệ phương trình
3ax (b +1)y 93
bx 4ay 3

− =

+ =−

có nghiệm là (x ; y) = (1 ; – 5).
b) Để hệ phương trình
(a 2)x 5by 25
2ax (b 2)y 5

− + =

− − =

có nghiệm là (x ; y) = (3 ; – 1).
№Bài 4 : Giải các hệ phương trình sau :
a)
(x 3)(2y 5) (2x 7)(y 1)
(4x 1)(3y 6) (6x 1)(2y 3)

− + = + −


+ − = − +

b)
(x y)(x 1) (x y)(x 1) 2xy
(y x)(y 1) (y x)(y 2) 2xy

+ − = − + +

− + = + − −

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 3 * GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
1* QUY TẮC THẾ

2 * ÁP DỤNG
VÍ DỤ 1: Giải hệ phương trình :
5x 3y 1
2x y 1
+ =


+ = −


Bài giải:
Ta có :
5x 3y 1
2x y 1
+ =


+ = −


⇔
5x 3( 2x 1) 1
y 2x 1
+ − − =


=− −


⇔
5x 6x 1 3
y 2x 1
− = +


=− −


⇔

x 4
y ( 2).( 4) 1
=−


= − − −

⇔
x 4
y 7
=−


=

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất là (– 4 ; 7).
Chú ý
Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện
phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm
hoặc vô nghiệm.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy
tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ ( phương
trình thứ nhất cũng được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước I).
Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong
đó có một phương trình một ẩn.

• Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
ĐỀ SỐ 17
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
2x 11y 7
10x 11y 31

− =−

+ =

b)
4x 7y 16
4x 3y 24

+ =

− =−

c)
0,35x 4y 2,6
0,75x 6y 9


+ =−

− =

d)
2x 2 3y 5
9
3 2x 3y
2

+ =


− =


e)
10x 9y 8
15x 21y 0,5

− =

+ =

f)
3,3x 4,2y 1
9x 14y 4

+ =


+ =

№Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau:
a)
8x 7y 5
12x 13y 8

− =

+ =−


b)
3 5x 4y 15 2 7
2 5x 8 7y 18

− = −


− + =


№Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau :
a)
5(x 2y) 3x 1
2x 4 3(x 5y) 12

+ = −

+ = − −


b)
2 2
4x 5(y+1) (2x 3)
3(7x 2) 5(2y 1) 3x

− = −


+ = − −


c)
2x 1 y 2 1

4 3 12
x 5 y 7
4
2 3

+ −
− =



+ +

= −



d)
3s 2t 5s 3t
s 1
5 3
2s 3t 4s 3t
t 1
3 2

− −
+ = +



− −

+ = +


№Bài 4 : Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = – 5 và đường thẳng ax + by = – 1 đi qua điểm
A(– 7 ; 4).
№Bài 5 : Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A(4 ; 3),
B( – 6 ; – 7).
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 4 * GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1*QUY TẮC CỘNG ĐẠI SỐ
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
VÍ DỤ 1: (?1/tr17 –SGK). Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ
2x y 1
x y 2

− =

+ =

(I)
nhưng ở bước I, hãy trừ từng vế hai phương trình của hệ(I) và viết ra các hệ phương trình mới thu
được.
Bài giải :
Bước 1: Trừ từng vế hai phương trình (I), ta được phương trình
(2x – y) – (x + y) = – 1 hay x – 2y = – 1.
Bước 2: Dùng phương trình mới đó thay thế cho phương trình thứ nhất ta được hệ

x 2y 1
x y 2

− = −

+ =

hoặc thay thế cho phương trình thứ hai, ta được hệ
2x y 1
x 2y 1

− =


− =−

2*ÁP DỤNG
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một
phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và
giữ nguyên phương trình kia).
Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ
số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một
phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ SỐ 18
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Đoạn đường từ A đến B gồm 3km lên dốc, 6km xuống dốc và 12km bằng phẳng. Một
người đi xe máy từ A đến B mất 1 giờ 7 phút và đi từ B về A mất 1 giờ 16 phút. Hỏi vận tốc của xe
máy trên đoạn đường lên dốc và xuống dốc, biết rằng vận tốc của xe máy trên đoạn đường phẳng là
18km/h ?
№Bài 2 : Một người đi một đoạn đường dài 640km với 4 giờ đi ô tô và 7 giờ đi tàu hỏa. Hỏi
vận tốc của ô tô và tàu hỏa, biết rằng vận tốc của tàu hỏa hơn vận tốc của ô tô là 5km/h?

№Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu
vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ và vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được
2
5
bể nước.
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?
№Bài 4 : Hai thùng nước có dung tích tổng cộng là 175 lít. Một lượng nước đổ đầy thùng thứ
nhất và
1
3
thùng thứ hai thì cũng đổ đầy thùng thứ hai và
1
2
thùng thứ nhất. Tính dung tích của mỗi
thùng ?
№Bài 5 : Hai bình A và B chứa lần lượt 56 lít và 44 lít nước. Nếu rót nước từ bình A sang đầy
bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình. Nếu rót nước từ bình B sang đầy bình A thì
lượng nước còn lại trong bình B là
1
3
bình. Tính dung tích mỗi bình.
№Bài 6 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (không có nước) sau 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi
một chảy một mình thì sau 10 giờ mới đầy bể . Hỏi nếu vòi hai chảy riêng một mình thì sau bao lâu
mới đầy bể ?
№Bài 7 : Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể thì sau
1
5
giờ thì đầy bể. Nếu máy bơm I
bơm trong 10 phút, máy bơm II bơm trong 6 phút thì hai máy bơm được
7

10
bể. Hỏi mỗi máy bơm
làm việc một mình thì mất bao nhiêu giờ ?
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 5 * GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÍ DỤ 1: (?1/tr20 –SGK).Hãy nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài giải :
* Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Lập phương trình .
• Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ chưa biết giữa các đại lượng.
Bước 2 : Giải phương trình.
Bước 3 : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm
nào không rồi kết luận.
* Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Lập hệ phương trình .
• Chọn các ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.
• Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình.
Bước 2 : Giải hệ phương trình.
Bước 3 : Thử lại nhận định kết quả và trả lời.
VÍ DỤ 2: (?2/tr21 –SGK). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số
hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ

27 đơn vị.
Nhận xét :Trong bài toán trên, ta thấy có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số. Điều đó
chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Bài giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y.
Điều kiện của ẩn là : x, y
∈
Z , 0 < x
≤
9 và 0 < y
≤
9.
Khi đó số cần tìm là 10x + y
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được 10y + x
Theo điều kiện đầu bài, ta có: 2y – x = 1 (1)
Theo điều kiện sau, ta có :
(10x + y) – (10y + x) = 27
⇔
9x – 9y = 27
⇔
x – y = 3 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình
x+2y 1
x y 3

− =

− =


Giải hệ phương trình :
x+2y 1
x y 3

− =

− =


⇔
x y 3
y 4

− =

=


⇔
x 7
y 4

=

=

Vậy, số tự nhiên cần tìm là 74.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG

Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ SỐ 19
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1 : Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng
chục bằng 10. Ngoài ra, nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới
nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.
№Bài 2: Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7.
Tìm hai số đó.
№Bài 3 : Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số
đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.
№Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết rằng bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng
18040 và ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002.
№Bài 5 : Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được
một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là
18.
№Bài 6 : Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 6 dư 51 . Tổng của số
bị chia , số chia , thương , và số dư là 969 . Hãy tìm số bị chia và số chia trong phép chia này.
№Bài 7 : Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng
gấp ba lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?
№Bài 8 : Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết 10000
đồng. Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9600 đồng mà giá trứng thì vẫn
như cũ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
№Bài 9 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều
rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng sân trường.
№Bài 10 : Trong buổi dạ hội có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 15em. Trong khi
khiêu vũ có 24 bạn nam và 24 bạn nữ đang trên sàn nhảy. Số bạn nam không nhảy gấp đôi số bạn nữ
không nhảy. Hỏi có bao nhiêu bạn nam và nữ dự dạ hội ?

№Bài 11 : Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp 15 triệu đồng.
Anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp.
Em hãy dùng cách giải hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 6 * GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÍ DỤ 4: (? 6 /tr23 –SGK). Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì
xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội
làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích : Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là xong 1 công
việc), ta suy ra trong một ngày hai đội làm chung được
1
24
(công việc). Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm
được trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ( trong bài toán
này, ta hiểu “số ngày” là một đại lượng không nhất thiết phải nguyên)
Bài giải :
Gọi x là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, điều kiện x > 0.
Gọi y là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, điều kiện y > 0.
Mỗi ngày, đội A làm được
1
x
(công việc). Mỗi ngày, đội B làm được
1
y

(công việc)
Với giả thiết :
Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình :

1
x
= 1,5.
1
y
hay
1
x
=
3
2
.
1
y
(1)
Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được
1
24
(công việc). Ta có phương trình:
1
x
+
1
y
=
1

24
(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình :
1 3 1
.
x 2 y
1 1 1
x y 24

=




+ =


Đặt u =
1
x
; v =
1
y
ta đưa hệ phương trình về dạng:

3
u .v
2
1
u v

24

=




+ =



⇔
2u 3v 0
24u 24v 1

− =

+ =

⇔
16u 24v 0
24u 24v 1

− =

+ =


⇔
40u 1

24u 24v 1

=

+ =

⇔
1
u
40
1
u v
24

=




+ =



⇔

⇔
1
u
40
1

v
60

=




=


Từ u =
1
40

⇒
1
x
=
1
40

⇒
x = 40 ; v =
1
60

⇒
1
y

=
1
60

⇒
y = 60
Vậy, đội A làm một mình hoàn thành công việc trong 40 ngày
Đội B làm một mình hoàn thành công việc trong 60 ngày.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

HÀM SỐ y = ax
2
(a
≠
0)
ĐỀ SỐ 7
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho hàm số y = 3x
2
.
a) Lập bảng tính các giá trị của y ứng với các giá trị của x lần lượt bằng :
– 2 ; – 1 ; –
1
3
; 0 ;
1

3
; 1 ; 2.
b) Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm mà hoành độ là giá trị của x còn tung độ là giá trị
tương ứng của y đã tìm được ở câu a), (chẳng hạn, điểm A(–
1
3
;
1
3
).
№Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = – 1,5x
2
.
a) Hãy tính f(1), f(2), f(3) rồi sắp xếp ba giá trị này theo thứ tự từ lớn đến bé.
b) Tính f(– 3), f(– 2), f(– 1) rồi sắp xếp ba số này theo thứ tự từ bé đến lớn.
c) Phát biểu nhận xét của em về sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số này khi x > 0 ; x < 0.
№Bài 3: Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bởi công thức
Q = 0,24RI
2
t
Trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng calo, R là điện trở tính bằng ôm (
Ω
), I là cường độ dòng
điện tính bằng ampe (A), t là thời gian tính bằng giây (s)
Dòng điện chạy qua một dây dẫn có điện trở R = 10
Ω
trong thời gian 1 giây.
a) Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau:
I(A) 1 2 3 4
Q(calo)

b) Hỏi cường độ dòng điện là bao nhiêu thì nhiệt lượng tỏa ra bằng 60 ca lo ?
№Bài 4: Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x mét. Chiều cao của bể bằng
2 m. Kí hiệu V(x) là thể tích của bể.
a) Tính thể tích V(x) theo x.
b) Giả sử chiều cao của bể không đổi, hãy tính V(1), V(2), V(3). Nhận xét khi x tăng lên 2 lần,
3 lần thì thể tích tương ứng của bể tăng lên mấy lần.

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 1 * HÀM SỐ y = ax
2
(a
≠
0)
1- VÍ DỤ MỞ ĐẦU :
Bài toán : Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.
Bài giải :
• Gọi y là diện tích hình chữ nhật
• Gọi x là chiều rộng suy ra chiều dài bằng 3x.
Khi đó, ta được y = x.3x = 3x
2
Như vậy ta được một tương quan hàm số y = 3x
2
. Trong đó x là biến số, y là hàm số. Và biểu thức mô tả hàm số
này là bậc hai đối với biến x. Trong chủ đề này chúng ta sẽ đi nghiên cứu các dạng hàm số như vậy.

2- TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = ax
2
,với a
≠
0.
VÍ DỤ 1: (?1,2/tr 29 – SGK). Cho hai hàm số y = 2x
2
và y = – 2x
2
.
a) Điền vào những ô trống các giá trị tương ứng của y trong bảng sau:
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
y = 2x
2
y = – 2x
2
b) Hãy đưa ra nhận xét giá trị của y khi x thay đổi.
a) Ta có: Bài giải :
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
y = 2x
2
18 8 2 0 2 8 18
y = – 2x
2
– 18 – 8 – 2 0 – 2 – 8 – 18
b) Ta lần lượt:
• Với hàm số y = 2x
2
thì:
* Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y giảm.

* Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng.
• Với hàm số y = – 2x
2
thì:
* Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng.
* Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y giảm.
Tổng quát:

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R. Hàm số có một số
tính chất sau:
• Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và
,
nghịch biến khi x > 0.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
(a
≠
0)
ĐỀ SỐ 8

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho hàm số y = ax
2
. Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3 ; 12);
b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(– 2 ; 3).
№Bài 2: Cho hàm số y = 0,2x
2
.
a) Biết rằng điểm A(– 2 ; b) thuộc đồ thị, hãy tính b. Điểm A’(2 ; b) có thuộc đồ thị của hàm số
không ? Vì sao ?
b) Biết rằng điểm C(c ; 6) thuộc đồ thị, hãy tính c. Điểm D(c ; – 6) có thuộc đồ thị của hàm số
không ? Vì sao ?
№Bài 3: Cho hai hàm số y = 0,2x
2
và y = x.
a) Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ của các giao điểm của hai đồ thị.
№Bài 4: Cho hàm số y = ax
2
.
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y = – 2x + 3 tại điểm A có hoành
độ bằng 1.
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = – 2x + 3 và của hàm số y = ax
2
với giá trị của a vừa tìm được ở câu
a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Nhờ đồ thị xác định tọa độ của giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b).
№Bài 5: a) Xác định hàm số y = ax
2

và vẽ đồ thị của nó, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
A(– 1 ; 2).
b) Xác định đường thẳng y = a’x + b’ biết rằng đường thẳng này cắt đồ thị của hàm số vừa tìm
được trong câu a) tại điểm A và điểm B có tung độ là 8.

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
(a
≠
0).
Tổng quát, ta có:
2- CÁCH VẼ ĐỒ THỊ
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận Oy làm trục đối
xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm “thấp nhất” của đồ thị
• Nếu a < 0, thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm “cao nhất” của đồ thị.
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax
2

,với a
≠
0 ta đi lấy 5 điểm :
• Điểm O(0,0).
• Cặp điểm A
1
, A
2
có hoành độ đối xứng qua O.
• Cặp điểm B
1
, B
2
có hoành độ đối xứng qua O
Nối các điểm B
1
, A
1
,0, A
2
, B
2
theo đường cong ta nhận được đồ thị hàm số.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
ĐỀ SỐ 9

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Giải các phương trình
a) x
2
+ 2x = 0 ;
b) 2x
2
– 9x = 0;
c) 3,4x
2
+ 8,2x = 0;
d)
2
5
−
x
2
–
7
3
x = 0.
№Bài 2: Giải các phương trình
a) 5x
2
– 20 = 0 ;
b) – 3x
2
+ 15 = 0;
c) 1,2x
2

– 0,192 = 0;
d) 1172,5x
2
+ 42,18 = 0.
№Bài 3: Giải các phương trình :
a) x
2
– 6x + 5 = 0 ;
b) x
2
– 3x – 7 = 0.
c) 3x
2
– 12x + 1 = 0;
d) 3x
2
– 6x + 5 = 0.

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 3 * PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1- BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: (Thi vào lớp 10 – Năm học 2008 – 2009 tỉnh Quãng Ngãi)
Một phòng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng
nhau. Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một
hàng như thế nửa mới đủ chổ. Tính xem lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có

bao nhiêu ghế ngồi.
Bài giải :
Gọi x là số hàng ghế. Khi đó số ghế ngồi trong mỗi hàng là
360
x
, điều kiện 360 < x
∈
N*
Với giả thiết:
Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một
hàng như thế nửa mới đủ chổ nên ta có phương trình:
(x + 1)(
360
x
+ 1) = 400
⇔
(x + 1) .
360 x
x
+
= 400
⇔
(x + 1)(360 + x) = 400x
⇔
360x + x
2
+ 360 + x – 400x = 0
⇔
x
2

– 39x + 360 = 0
Phương trình x
2
– 39x + 360 = 0 được gọi là một phương trình bậc hai một ẩn
2- ĐỊNH NGHĨA :

VÍ DỤ 1: Với phương trình :
• 2x
2
– 3x + 2 = 0, là phương trình bậc hai ẩn x với a = 2, b = – 3, c = 2
• 4x
2
+ 1 = 0, là phương trình bậc hai ẩn x với a = 4, b = 0, c = 1, còn gọi là phương trình khuyết b.
• 2x
2
+ 4x = 0, là phương trình bậc hai ẩn x với a = 2, b = 4, c = 0, còn gọi là phương trình
khuyết c.

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng :
ax
2
+ bx + c = 0, với a
≠
0
Trong đó x là ẩn số và a, b, c là các hệ số đã cho.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỀ SỐ 10
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: xác định a, b, c ; tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình
a) 2x
2
– 5x + 1 = 0 ;
b) 4x
2
+ 4x + 1 = 0;
c) 5x
2
– x + 2 = 0;
d) – 3x
2
+ 2x + 8 = 0.
№Bài 2: Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
a) 2x
2
– 2
2
x + 1 = 0 ;
b) 2x
2
– (1 – 2
2
)x –
2
= 0;

c)
1
3
x
2
– 2x –
2
3
= 0;
d) 3x
2
+ 7,9x + 3,36 = 0.
№Bài 3: Giải các phương trình :
a) x
2
= 14 – 5x ;
b) 3x
2
+ 5x = x
2
+ 7x – 2 ;
c) (x + 2)
2
= 3131 – 2x ;
d)
2
(x 3)
5
+
+ 1 =

2
(3x 1)
5
−
+
x(2x 3)
2
−
.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 4 * CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chúng ta đi thực hiện việc biến đổi phương trình dạng tổng quát :
ax
2
+ bx + c = 0, với a
≠
0 (1)
• Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: a
2
+ bx = – c
• Chia cả hai vế của phương trình cho a
≠
0, ta được : x
2

+
b
a
x = –
c
a

• Tách hạng tử
b
a
x thành 2.x.
b
2a
và thêm vào hai vế cùng một biểu thức để vế
trái thành bình phương của một biểu thức, ta được:
x
2
+ 2.
b
2a
x + (
b
2a
)
2
= (
b
2a
)
2

–
c
a

hay (x +
b
2a
)
2
=
2
2
b 4ac
4a
−
(2)
Người ta kí hiệu
và gọi nó là biệt thức của phương trình (đọc là : đenta)
Từ đây, ta có bảng kết luận sau :
Chú ý : Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0, (a
≠
0) có a và c trái dấu ,
tức là ac < 0 thì Δ = b
2
– 4ac > 0. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Δ = b
2

– 4ac
Đối với phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) và biệt thức Δ = b
2
– 4ac
• Nếu Δ > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x
1
=
b
2a
− + ∆
và x
2
=
b
2a
− − ∆
• Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= –
b
2a
• Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN

CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
ĐỀ SỐ 11
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức
nghiệm thu gọn:
a) 3x
2
– 4x – 2 = 0;
b) – 3x
2
+ 14x – 8 = 0;
c) – 7x
2
+ 4x = 3;
d) 9x
2
+ 6x + 1 = 0.
№Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:
a) x
2
+ 2 + 2
2
và 2(1 +
2
)x;
b)

3
x
2
+ 2x – 1 và 2
3
x + 3;
c) – 2
2
x – 1 và
2
x
2
+ 2x + 3;
d) x
2
– 2
3
x –
3
và 2x
2
+ 2x +
3
?
№Bài 3: Với những giá trị nào của m thì:
a) Phương trình 2x
2
– m
2
x + 18m = 0 có một nghiệm x = – 3;

b) Phương trình mx
2
– x – 5m
2
= 0 có một nghiệm x = – 2.

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 5 * CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
Ta có bảng tóm tắc
3- ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Với phương trình ax
2
+ bx + c (a
≠
0) để tìm điều kiện của tham số sao cho:
Dạng 1: Phương trình vô nghiệm, điều kiện là: Δ < 0 (hoặc Δ’ < 0)
Dạng 2: Phương trình có nghiệm, điều kiện là:
Δ
≥
0 (hoặc Δ’
≥
0)
Dạng 3: Phương trình có nghiệm kép, điều kiện là:
Δ = 0 (hoặc Δ’ = 0)

Dạng 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là:
Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0)
Chú ý: Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số, chúng ta cần xét hai trường hợp
(với a = 0 và với a
≠
0) và khi đó:
a
≠
0
• Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:
Δ > 0
a
≠
0
• Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là:
Δ = 0
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Phương trình : ax
2
+ bx + c = 0, với a
≠
0
và b = 2b’, Δ’ = b’
2
– ac. Ta thấy ngay Δ và Δ’ cùng dấu và Δ = 4Δ’
• Nếu Δ’ > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x
1
=
b' '

a
− + ∆
và x
2
=
b' '
a
− − ∆
• Nếu Δ’ = 0, thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= –
b'
a
• Nếu Δ’ < 0, thì phương trình vô nghiệm.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG
ĐỀ SỐ 12
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau :
a) x
2
– 7x + 10 = 0;
b) x
2

– 6x – 27 = 0;
c) x
2
+ 14x + 48 = 0;
d) x
2
+ 4x – 12 = 0.
№Bài 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x
2
của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi
trường hợp sau:
a) Phương trình x
2
+ mx – 35 = 0, biết nghiệm x
1
= 7;
b) Phương trình x
2
– 13x + m = 0, biết nghiệm x
1
= 12,5;
c) Phương trình 4x
2
+ 3x – m
2
+ 3m = 0, biết nghiệm x
1
= – 2;
d) Phương trình 3x
2

– 2(m – 3)x + 5 = 0, biết nghiệm x
1
=
1
3
.
№Bài 3: Cho phương trình x
2
+ px – 5 = 0 có nghiệm là x
1
và x
2
. Hãy lập phương trình có hai
nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) – x
1
và – x
2
;
b)
1
1
x
và
2
1
x
.
№Bài 4: Cho phương trình x
2

– 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
– x
2
= 4.
№Bài 5: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
+ px + q. Hãy lập một phương trình
bậc hai có hai nghiệm là x
1
+ x
2
, x
1
.x
2.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 6 * HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1* HỆ THỨC VIÉT
ĐỊNH LÍ VI -ÉT
Tổng quát:

Tổng quát:

2- TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S – x
Theo giả thiết ta có phương trình
x(S – x) = P hay x
2
– Sx + P = 0 (1)
Nếu Δ = S
2
– 4P
≥
0 thì phương trình (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
Vậy:
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠

0) thì

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =−




=


Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm
là x
1
= 1, còn nghiệm kia là x
2
=
c

a
.
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm
là x
1
= – 1, còn nghiệm kia là x
2
= –
c
a
.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x
2
– Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P
≥
0.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ĐỀ SỐ 13
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9

№Bài 1: Giải các phương trình :
a) (x + 2)
2
– 3x – 5 = (1 – x)(1 + x);
b) (x + 5)
2
+ (x – 2)
2
+ (x + 7)(x – 7) = 12x – 23.
№Bài 2: Giải các phương trình :
a)
2x
x 2−
–
x
x 4+
=
8x 8
(x 2)(x 4)
+
− +
;
b)
3 2
3
x 7x 6x 30
x 1

+ + −
−
=
2
2
x x 16
x x 1
− +
+ +
;
№Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích :
a) 3x
3
+ 6x
2
– 4x = 0 ;
b) (x + 1)
3
– x + 1 = (x – 1)(x – 2);
c) (x
2
+ 3x + 2)
2
= 6(x
2
+ 3x + 2).
№Bài 4: Giải các phương trình trùng phương:
a)
1
3

x
4
–
1
2
x
2
+
1
6
= 0;
b)
3
x
4
– (2 –
3
)x
2
– 2 = 0.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH