Phương pháp giải thế tích

A
B
C
D
E
S

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
1. Thể tích của khối chóp
Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích khối chóp bằng
một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V =
1
3
B.h trong
đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao
Bài 1
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở
B, cạnh
SA (ABC)⊥
. Từ A kẻ
AD SB⊥
và
AE SC⊥
. Biết AB
= a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?
•
Phân tích - tìm lời giải
Ta có: AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB, SAC
Để tính thể tích của chóp S.ADE
ta phải đi tìm được diện tích đáy

và độ dài đường cao
- Xác định đường cao:

BC AD⊥
do
BC (ASB)⊥

ta chỉ ra
AD (SBC)⊥
và do đó:
AD SC⊥

Kết hợp giả thiết với
AE SC⊥

SC (ADE)⇒ ⊥
do đó:
SE (ADE)⊥
Suy ra: SE là đường cao của chóp S.ADE
- Diện tích tam giác
∆
ADE:
AD, AE là các đường cao xuất phát từ góc vuông nên:
AS.AB = AD.SB, AE.SC = AS.AC

2 2 2 2
AS.AB AS.AB a.c
AD
SB
AS AB a c

⇒ = = =
+ +
1


2 2
2 2 2 2 2
AS.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c
+
= = =
+ + +
Áp dụng định lý Pytago trong
∆
ADE ta có:
DE =
2 2
AE AD+
Từ đó ta tính được diện tích
Độ dài đường cao: SE =
2
2 2
2 2 2
c
SA AE
a b c
− =
+ +

Thể tích cần tính :
V =
1 1
.SE. .AD.DE
3 2
•
Trình bày lời giải
Tính đường cao:
ABC∆
vuông tại B nên
AB BC⊥
Giả thiết cho:
SA (ABC)⊥
⇒

SA BC⊥
⇒
BC (ABC)⊥
⇒
AD BC⊥
AD là đường cao trong tam giác SAB

⇒
AD SB⊥

⇒
AD (SBC)⊥

⇒

AD SC⊥
Mặt khác :
AE SC⊥
⇒
SC (ADE)⊥
Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:

2 2 2 2
AS.AB AS.AB a.c
AD
SB
AS AB a c
⇒ = = =
+ +

2 2
2 2 2 2 2
AS.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c
+
= = =
+ + +
2

Áp dụng ĐL Pytago trong tam giác SAE có:

2 2 2

2 2 2
2 2 2
c (a b )
SE AS AE c
a b c
+
= − = −
+ +
=
2
2 2 2
c
a b c+ +
Diện tích tam giác ADE:
DE =
2 2
AE AD+
=
2 2
2 2 2 2 2
c .b
(a b c ).(a c )+ + +
S =
1
.AD.AE
2
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 c .b ac

. .
2
(a b c ).(a c ) a c+ + + +
=
3 3
2 2 2 2 2
1 a.c .b
.
2
(a b c ).(a c )+ + +
Thể tích:
V =
1 1
.SE. .AD.DE
3 2

=
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 c 1 a.c .b
. .
3 2
a b c (a b c ).(a c )+ + + + +

2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6
(a c )(a b c )

=
+ + +
•
Nghiên cứu lời giải
Xét một cách giải khác như sau: DE
⊥
(SAB) và BC
⊥
(SAB)
=> DE // BC
Áp dụng ĐL Pytago trong các tam giác vuông ASD, ASE,
ASC ta có:
SD
2
= AS
2
- AD
2
; SE
2
= AS
2
- AE
2
, SB
2
= SA
2
+AB
2

3

SC
2
= SA
2
+AC
2
= SA
2
+ AB
2
+ AC
2
Lập các tỷ số:

2 2 2
2 2 2
SA SD SE
. .
SA SB SC
=
2 2
2 2
SD SE
.
SB SC
2 2 2 2
2 2 2 2 2
SA AD SA AE

.
SA AB SA SB SC
− −
=
+ + +

2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
c .a c (a b )
c c
a c c a b
.
a c c a b
+
− −
+ + +
=
+ + +
=
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
c b c
(a c ) (a b c )
−
+ + +
=>
3
2 2 2 2 2

SA SD SE b.c
. .
SA SB SC
(c a b )(a c )
=
+ + +

SADE
SABC
V
SA SD SE
. .
V SA SB SC
=
=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )+ + +
=>
SADE
V
=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )+ + +
.
SABC
V

=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )+ + +
.
1 1
.SA. .AB.BC
3 2

=
2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6
(c a b )(a c )+ + +
(đvtt)
Bt Tương tự
Bài 2
4

Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a. Cạnh
SA (ABC)⊥
, góc
·
0
BAC 120=
. Tìm thể

tích của khối chóp S.ABC?
Bài 3
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD
có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Điểm
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2
). Gọi M là trung điểm của SC
và mặt phẳng (ABMD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của
khối chóp S.ABMN?
Bài 4
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax
và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so
với mặt phẳng đáy. Lấy điểm
M A≠
trên Ax, lấy
N C≠
trên
Cy.
Đặt AM = m, BN = n.
Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?
Bài 5
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a. Cạnh
SA (ABC)⊥
, SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu
vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối
chóp ABCNM
Bài 6
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa
đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng

0
60
. Tam giác
ABC vuông tại C, góc
·
0
BAC 60=
, hình chiếu vuông góc của E
lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích của tứ diện D.ABC?
Bài 7
5

Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và CD,
α
là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể
tích của tứ diện ABCD?
Bài 8
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b),
M là trung điểm của CG. Tính thể tích của khối tứ diện BDEM
theo a và b?
Bài 9
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng
nhau
AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c?
Bài 10 ( Khối A – 2007 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt
bên SAD là tam giác đều,

(SAD) (ABCD)⊥
, gọi M, N, P là
trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích của khối chóp
CMNP theo a?
Bài 11 ( Khối A – 2009 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A
và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
(ABCD) bằng
0
60
, gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 12 ( Khối B – 2006 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a,
AD = a
2
, SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và
BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB?
6
A
B
C
E
F
G
H
K
D

Bài 13 ( Khối A – 2008 )
Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng
2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a
3
.
Hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC?
2. Thể tích của khối lăng trụ
Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích của hình lăng
trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
V = B.h trong đó : B là diện tích đáy
h là chiều cao
Bài 1
Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng
cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường
chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ?
•
Phân tích - tìm lời giải
Thể tích cần tìm là V = AE
ABCD
S
do đó để tính được thể tích ta phải đi
xác định độ dài đường cao AE và
diện tích đáy
ABCD
S
đường cao AE tính được nhờ vào
hệ thức AK
2

= KE.KD
Để tính diện tích đáy
ABCD
S

ta đi tìm chiều dài và chiều rộng
của đáy
AD, ED là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa
chúng bằng độ dài đoạn vuông góc chung giữa chúng.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED
⇒
AE =
d(AB,ED) = 2
7

Nếu đặt KE = x và AK là đường cao trong tam giác ADE thì
từ hệ thức
AK
2
= KE.KD ta tính được x, với mỗi x ta tính được AE,
từ đó ta tính được thể tích
•
Trình bày lời giải
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED
⇒

AK ED⊥

Ta có: AB //
EF (EFD)∈

do đó AB // (EFD)
⇒
d(A,EFD)
= d(AB,ED)
Mà
EF ⊥
(EFDA)
nên
EF ⊥
AK
⇒

AB AK⊥


⇒
AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2
Đặt EK = x ( 0
≤
x
≤
5 ). Trong tam giác vuông AED ta có:
AK
2
= KE.KD

⇒
4 = x(5-x)
⇔
x

2
- 5x + 4 = 0
⇒

x 1
x 4
=


=

Với x = 4 ta có AE =
2 2
AK KE 5+ =

⇒
V = AE.
ABCD
S
=
5
(đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2
5
⇒
V = 10
5
(đvtt)
Bài 2
Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều.

Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc
0
30
. Tam
giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó?
Bài 3
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình
hành và góc
·
BAD
=
0
45
, các đường chéo EC và DF tạo với
đáy các góc
0
45
và
0
60
. Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính
thể tích của lăng trụ đó?
8

Bài 4
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam
giác vuông cân, cạnh huyền bằng
2
. Biết mặt phẳng (AED)
vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE =

3
. Góc
·
AEB
là góc
nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng
0
60
. Tính
thể tích của lăng trụ?
Bài 5
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có
độ dài cạnh bằng a. Góc
·
BAD
=
0
60
,
AF BH⊥
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đó?
Bài 6
Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại
A, BC = 2a. M là trung điểm của AD, góc
·
BMC
=
α
. Tính thể

tích của lăng trụ đó?
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Trong phần này ta sử dụng định lý sau:
Thể tích của một khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước của
khối hộp đó
V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích
thước
B là diện tích
đáy
h là chiều cao
Bài 1
9

Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng
a,
·
BAD
=
·
EAD
=
α
( 0
≤

α

≤
0
90

). Tính thể tích khối
hộp đó?
•
Phân tích - tìm lời giải
Ta xác định đường cao
AM AC⊥

⇒
AM (ABCD)⊥
Thể tích: V = AB.AD.EM.sin
α
, đặt
·
EAO
=
ϕ
ta có: cos
α
=
cos
2
α
cos
ϕ
Hay cos
ϕ
=
cos
cos
2

α
α
, EM = a.sin
ϕ
=
2 2
a
cos cos
2
cos
2
α
− α
α
•
Trình bày lời giải
Hạ
EM AC(M AC)⊥ ∈
(1)
Tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED )
BD EO⊥
Mà
BD AC⊥
⇒
BD (BAO)⊥
⇒
BD EM⊥
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
EM (ABCD)⊥

hay EM là đường cao
Đặt
·
EAO
=
ϕ
, hạ
EK AB⊥

⇒
MK AK⊥
(định lý ba đường
vuông góc)

cos
2
α
cos
ϕ
=
AM AK
AE AM
×
=
AK
AE
= cos
α
cos
ϕ

=
cos
cos
2
α
α

⇒
EM = a.sin
ϕ
=
2
2
cos
a 1
cos
2
α
−
α
=
2 2
a
cos cos
2
cos
2
α
− α
α

Thể tích cần tính:
V = AB.AD.EM.sin
α
10

=
2
a .sin α
2 2
a
cos cos
2
cos
2
α
− α
α
=
3
a .sin
2
α
2 2
cos cos
2
α
− α
(đvtt)
Bài 2
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ

nhật có AB =
3
, AD =
7
, hai mặt bên (ABDE) và (ADEH)
lần lượt tạo với đáy các góc
0
45
và
0
60
, độ dài tất cả các cạnh
bên đều bằng 1. Tính thể tích của khối hộp đó?
Bài 3
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d,
đường chéo tạo với đáy góc
α
, tạo với mặt bên lớn góc
β
, tính
thể tích của khối hộp đó?
Bài 4
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b,
góc
·
BAD = α
, đường chéo AD tạo với đáy góc
β
. Tính thể tích
khối hộp chữ nhật đó?

Bài 5
Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC,
qua mỗi cạnh của tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối
diện, các mặt phẳng nhận được xác định một hình hộp:
1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?
2) CMR
hhcn ABCD
V 3V=
3) Gọi IJ, EF, MN là các đường trung bình của tứ diện.
11
A
B
C
E
F
G
H
K
D
M
A
B
C
S
N
M

CMR:
ABCD
1

V
3
=
IJ.MN.EF
Bài 6
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm
của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số
thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt
hộp?
4. Bài toán cực trị thể tích
Bài 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn
lại bằng 1, với giá trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là
lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó?
•
Phân tích - tìm lời giải
Gọi M, N là trung điểm của
SA, BC thì (MBC) chia khối chóp
làm hai phần bằng nhau S.MBC
và A.MBC, ta có
SM (MBC)⊥
SM là đường cao,
SM =
x
2
, tam giác MBC
là tam giác cân nên:

MBC
S

∆
=
1
2
MN.BC =
2 2
y x y
1
2 4
+
−
S.MBC
V
=
2 2
xy x y
1
12 4
+
−
,
S.ABC
V
=
2 2
xy x y
1
6 4
+
−

, sau đó ta
đánh giá dựa vào BĐT Cauchy thu được kết quả V
2 3
27
≤
12

Dấu “=” xảy ra khi x = y =
2
3
•
Trình bày lời giải
Gọi M, N là trung điểm của SA, BC ta có:
S.ABC
V
= 2.
S.MBC
V
,
các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS
⇒

∆
ABS =
∆
ACS và là các tam giác cân
Ta có:
BM SA,CM SA
⊥ ⊥
⇒

SA (MBC)⊥
⇒
SM (MBC)⊥
,
SM là đường cao, SM =
x
2
Tính diện tích đáy:
MB = MC =
2
x
1
4
−
, MN =
2
2
BC
BM
4
−
=
2 2
x y
1
4
+
−

MBC
S
∆
=
1
2
MN.BC =
2 2
y x y
1
2 4
+
−
Thể tích:
S.MBC
V
=
1 x y
3 2 2
× ×
2 2
x y
1
4
+
−
=
xy
12

S.ABC
V
=
2 2
xy x y
1
6 4
+
−
Ta có: ( x-y)
2

≥
0
⇔
x
2
+ y
2

≥
2xy
⇔

2 2
x y xy
4 2
+
≥
S.ABC

V
=
2 2
xy x y
1
6 4
+
−

≤
xy
6

xy
1
2
−

≤

1
6
2
2 xy
(xy)
2
−

≤
1

6
xy xy
2 (2 xy)
2 2
−
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số
xy
2
,
xy
2
, (2-xy)
13

ta có:
xy
2
xy
2
(2-xy)
≤

3
3
xy xy
(2 xy)
2 2
3
 
+ + −

 ÷
 
=
16
27
V
≤

1
6
16
27
=
2 3
27
, dấu bằng xảy ra khi
2 2
x y 2xy
xy
2 xy
2

+ =


= −



⇒

x = y =
2
3
Bài 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ
đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a, gọi
α
là góc giữa mặt
bên với mặt đáy, với giá trị nào của
α
thì thể tích của khối
chóp là lớn nhất?
Bài 3
Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi
qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M, đặt
OM = x. Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A
lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác định x để thể
tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất?
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC =
x. Tính thể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích
là lớn nhất?
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai
mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc
14

·
0
xAy 45=

chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh
Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y
để thể tích của
AMCN
V
đạt GTLN?
Bài 6
Cho hình chóp S.ABC trong đó
SA (ABC)⊥
, ABC là tam
giác vuông cân tại C. Giả sử SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm
giá giá trị lớn nhất đó?
Bài 7 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo)
Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một.
Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm trong góc tam diện.
Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi
khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)
lần lượt là a, b, c. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích
khối tứ diện là nhỏ nhất?
2.2.5. Chứng minh hệ thức hình học bằng phương pháp thể
tích
Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể
sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau:

•
Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể
tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó
có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa
diện cơ bản ( như khối chóp, khối lăng trụ …)

•
Với các hệ thức về thể tích ấy sau các phép biến đổi tương
đương đơn giản ta nhận được điều phải chứng minh.
Bài 1
Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện và cách đều
các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi
A B C D
h ,h , h , h
lần lượt
là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện.
15
A
B
C
D
H

CMR:
A B C D
1 1 1 1 1
r h h h h
= + + +
Hướng dẫn giải
Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện OBCD,
OCAD, OABD, OABC. Ta có:
OBCD
ABCD A
V
r

V h
=
,
OCAD
ABCD B
V
r
V h
=
OABD
ABCD C
V
r
V h
=
,
OABC
ABCD D
V
r
V h
=
Cộng vế với vế của các
đẳng thức trên ta có:
OBCD OCAD OABD OABC
ABCD A B C D
V V V V
1 1 1 1
r
V h h h h

 
+ + +
= + + +
 
 

⇔

ABCD
ABCD A B C D
V
1 1 1 1
r
V h h h h
 
= + + +
 
 

⇔
A B C D
1 1 1 1 1
r h h h h
= + + +
( đpcm )
Khóa luận hướng dẫn giải 3 bài và đưa ra 3 bài tập đề nghị về phần
này
Bài 2
Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm
trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào

vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó?
16

Bài 3
Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Ox lần
lượt lấy các điểm A, B, C sao cho: OA + OB + OC + AB + AC
+ BC = L, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. CMR:
3
L ( 2 1)
V
162
−
≤
Bài 4
Cho OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, với OA = a, OB =
b, OC = c, gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.
CMR:
1 1 1 1 3 3
r a b c a b c
= + + +
+ +
Bài 5
Chứng minh khoảng cách từ một điểm nằm trong hình
lăng trụ đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của
điểm nằm trong lăng trụ đó?
Bài 6
Cho hình chóp tam giác có
a b c
sin sin sin
= =

α β γ
, trong đó a,
b, c là ba cạnh của tam giác đáy. Các góc
α
,
β
,
γ
tương ứng
là các góc nhị diện cạnh a, b, c. Chứng minh tổng khoảng cách
từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình
chóp là một hằng số?
Bài 7 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = a, gọi
1
S
,
2
S
là diện tích
hai mặt (CAB) và (DAB),
α
là góc nhị diện của hai mặt này,
gọi V là thể tích của tứ diện ABCD.
17

CMR: V =
1 2
2S .S sin
3a
α

Dẫu có bạc vàng trăm vạn lượng
Chẳng bằng kinh sử một vài pho
“ Lê Quý Đôn”
18