Phưong pháp tính thể tích-cực hay

Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

PHN 1.
TH TCH KHI A DIN
A. Lí THUYT
1. Khỏi nim th tớch ca 1 khi a din (Sgk hh 12)
2. Cỏc cụng thc tớnh th tớch ca khi a din
a) Th tớch khi hp ch nht
V = abc vi a, b, c l 3 kớch thc ca khi hp ch nht
b) Th tớch ca khi chúp
V=
3
1
S
ỏy
. h ; h: Chiu cao ca khi chúp
c) Th tớch ca khi lng tr
V= S
ỏy
. h ; h: Chiu cao ca khi lng tr
B. CC DNG BI TP
Dng 1. Tớnh th tớch ca khi a din
*Phng phỏp: tớnh th tớch ca khi a din ta cú th:
+p dng trc tip cỏc cụng thc tớnh th tớch
+Chia khi a din thnh cỏc khi nh hn m th tớch ca cỏc khi ú tớnh c
+B sung thờm bờn ngoi cỏc khi a din c 1 khi a din cú th tớnh th tớch bng
cụng thc v phn bự vo cng tớnh c th tớch.
*Cỏc bi tp
1)V th tớch ca khi chúp
+Nu khi chúp ó cú chiu cao v ỏy thỡ ta tớnh toỏn chiu cao, din tớch ỏy v ỏp dng

cụng thc : V =
3
1
S
ỏy
. h
Bi 1: Tớnh th tớch hỡnh chúp tam giỏc u SABC trong cỏc trng hp sau:
a) Cnh ỏy bng a, gúc ABC = 60
o

b) AB = a, SA = l
c) SA = l, gúc gia mt bờn v mt ỏy bng
giải:
a) Gọi O là tâm ABC đều
SO (ABC)
S
ABC
=
2
1
a
2
3a
=
4
3
2
a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O
a
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
1
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2

=
2
2
2
3
2
3
a
a
a
=
SO = a
3
2
Vậy VSABC = SABC . SO =
3
1
.
4
3
2
a
.
a
3
2
.

3
2

2
a
l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2

- OA
2
= l
2
-
9
4
AA
2
Tam giác vuông SOA có:

sin'.sin
3
1
'
3
1
AASO
AA
SO
==
(2)
Từ (1) (2) ta có:

2
9
4
2
9
1

sin'.sin' lAAAA
=+

O
B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33

4sin3
3
4sin
3
2
1
2
1
2
2
22
..'.
+
++
==


l
ll
BCAA
4sin
sin.
4sin
3
3
1
22
sin..
++
==

ll
SO
VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a
3
.
Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a?
Giải.
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
2
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)
-Ta có SABC =
3.
2
2
1
2
1
aACAB
=
-Vì AH (ABC) AH AH
Tam giác vuông AHA có:
AH
2
= AA
2
- AH
2
= (2a)
2
-
4
1
.(a
2
+ 3a
2
)

hay AH
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.

a
aa
=
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có
AB = BC = a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC
Giải
a)
SABC =
2
2
1
2
1
. aBCBA
=
; SA =a
VSABC =
3
1
SABC .SA =
6
1
a
3
a
C
A
a

a
B'
C'
B
b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB
BS = BB
BC AB BC (SAB) BC AB
BC SA
AB (SAC) AB SA SC (ABC)
AC SC
Cách 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB
===
Vì AB (SBC) AB BC. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a

SC
SA
SC
==
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
3
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

BC
2
= SB
2
- SC
2
=
66
''
2
aa
CB
=

SABC =
3462
2
1
2
1
2

..'''.
aaa
CBAB
==
VABC =
363243
1
32
..
aaa
=
Cách 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36

3
SAB C
SABC
a
V
SA SB SC a
SA B C
V SA SB SC
a
V a
= = = = =
Bài 4 Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC))
= ; (SB, (SAD)) = . Tính VSABC.
Giải
Dễ thấy
(SB, (ABC)) = = SBA
(SB, (SAD)) = = BSD
ABC cân AD BC
DB = DC
SAB có cos =
SB
AB
(1)
BC AD
BC SA (vì SA (ABC)
BC (SAD) BC SD
a
B
A
C

D
S
Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2

cos
2
) = -a
2
cos
2
AB =


cos
2
sincos
1
22
a

SSAB =BD.AD =
2
2
2 2 2 2
sin sin
cos
cos cos
cos sin cos sin
. .
Sin a
a
AD AB

= =
SA = AB. tan =


22
sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos

sin

a
=


22
3
sincos3
cossin

a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía
với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt
AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498

Gi¶i
Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD
Ta cã BD ⊥ AC
(v× ABCD lµ h×nh vu«ng)
(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)
⇒ BD ⊥ (AMNC)
⇒ BI ⊥ (AMNC)
BI =
2
2

2
a
BD
=
x
n
A
D
C
m
B
M
N
DiÖn tÝch h×nh thang AMNC lµ S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2
2
2)(
3

1
3
1
2
nmBIS
a
a
anm
AMNC
+==
+
*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân
đường cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân
đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên
xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là
đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp
sẽ song song hoặc nằm trờn với đường thẳng đó.
-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt
phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc
với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = ỏ, các cạnh bên nghiêng trên đáy một
góc ỏ. Tính VSABC
GIẢI
--------“ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình “----------

5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498

A
S
C
B
H
a
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.⇒
- Ta có: ∆ABC =
α
sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos ỏ = 2AB
2
(1-cos ỏ) = a
2
AB = ⇒

2
cos1
α
−
a
S∆ABC =⇒
24cos1
sin
22
1
2
2
1
cossin
22
α
α
α
α
aa
AB
==
−
HA = R =
αα
sin2sin2
aBC
=
Tan giác vuông có tan ỏ =
AH

SH
SH =⇒
αα
α
cos2sin2
tan
aa
=
VSABC = ⇒
αα
α
α
cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==
∆
Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3

và góc giữa 2 đường chéo = 60
o
.
các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45
o
. Tính VSABCD
GIẢI
A
B
C
O
D
-Hạ SO (ABCD)⊥
- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ ⇒
tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD
- Đặt AC = BD =x.
--------“ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình “----------
6
Giáo viên: Nguyễn Thành Long CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498

Ta có S
hcnABCD
=
2
1
AC.BD.sin60
o
=
3.

2
4
3
2
3
2
2
1
==
xx
x=3⇒
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ∆ASC vuông cân tại S SO⇒ ⇒
=
1
2
1
=AC
VSABCD = ⇒
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o

, CSA = 120
o
.
a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông
b) Tính VSABC
GIẢI
a)
H
B
A
S
C
a




=
=
o
ASB
SBSA
60
AB = a⇒
-Tam giác vuông SBC có BC
2
= SB
2
+ SC
2

= 2a
2
-∆SAC có AC
2
= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-∆ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
suy ra ∆ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)⊥
Vì SA = SB = SL

⇒
HA = HB = HC suy ra H là trung điểm AC
∆ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a suy ra SH
2
= SB
2
- BH
2
=
24
2
aa
SH
=⇒
BH =
2
3
2
a
AC
=
(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều suy ra SH =
22
aSA
=
)
suy ra VSABC =
12
2

6
1
2
1
3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===
∆
Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. ∆SAC và ∆SBD là các
tam giác đều có cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
§¸p sè: VSABCD =
4
6

Bµi 10: SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D, ∆SAD ®Òu c¹nh = 2a,
BC = 3a. C¸c mÆt bªn lËp víi ®¸y c¸c gãc b»ng nhau. TÝnh VSABCD
--------“ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình “----------
7

Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

Giải
2a
3a
C
D
H
K
- Hạ SH (ABCD), H (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn
nội tiếp đáy
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có HK =
a
AD
=
2
- Tam giác vuông SHK có HK = a
SK =
32
2
3
aa
=
(vì SAD đều)
SH =
23
22

aaa
=
Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
SABCD =
2
2
2.5
2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a

3
, (SAB)

(ABCD). M, N ln lt l trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
S
A
D
C
H
B
M
N
SAB hạ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
SH b (ABCD) SH b (BMDN)
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
8
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

SCDN = SMDA =
4
1
SABCD SBMDN =
2
1
SABCD =
2
1

2a.2a = 2a
2
SAB có AB
2
= SA
2
+ SB
2
= 4a
2
SAB vuông tại S

222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
SH =
2
3a
VSBMDN =
3
1
SBMDN.SH =
2
3
2
3

2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bài 12: SABCD có ABCD là hình thang với AB = BC = CD =
2
1
AD. SBD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a.
Tính VSABCD
Giải
S
H
15a
8a
A
D
C
B
-Trong SBD kẻ SH b BD
Vì (SBD) b (ABCD)
SH b (ABCD)
-Tam giác vuông SBD có
222
111
SDSHSH

+=
hay
222
225
1
64
11
aaSH
+=
hay
aaSH
17
120
289
14400
.
==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD

2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a
CBD có BD
2
=2BC
2
(1+
2
1
) = 3BC
2
= 289a
2
BC =
a
3
17
SBCD =
12
3289
2
3
2
3

289
2
1
2
2
1
2
..120sin
a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2

a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng

(ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc . Tính
thể tích khối chóp SABCD
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
9
Giáo viên: Nguyễn Thành Long CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498

Gi¶i
S
A
D
C
K
B
H
Trong ∆SCD h¹ SH
⊥
CD
V× ∆SCD c©n t¹i S
⇒ H lµ trung ®iÓm CD.
SH
⊥

CD
(SCD)
⊥
(ABCD
⇒ SH
⊥
(ABCD)
Gäi K lµ trung ®iÓm AB
Ta cã HK
⊥
AB
AB
⊥
SH (v× SH
⊥
(ABD))
⇒AB
⊥
(SKH) ⇒ AB
⊥
SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S
DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos
2
α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin
2
αcosα ⇒VSABCD =

23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=
α
Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC). ACB =60
o
,
BC = a, SA = a
3
, M lµ trung ®iÓm SB. TÝnh thÓ tÝch MABC
Gi¶i
H
C
A
B
a
M
C¸ch 1.
SA b (ABC)
--------“ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình “----------
10
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA
=
SABC =
3.60tan..
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1

3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.
2
1
==
SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V
2
1
mà VSABC =
3
1
SA.SABC =
63.3

3
2
1
2
2
1
3
1
aaa
=
Vmabc =
3
4
1
a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
A
C
O
H
K
a

a
N
F
E
B
D
a


2
S
y
x
AH

SB (gt) (1)
BC

AB (vì ABCD là hình vuông)
BC

SA (vì SA

(ABCD))
BC

(SAB) BC

AH (2)
Từ (1) (2) AH

(SBC AH

SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có: SC

AK (4)
Từ (3) (4) SC

(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
11
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =

3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==
+
Dễ thấy AH =
3
2
a
AKH cân tại A
Dễ thấy SBD có
BD
KH
SD
SK
=
mà SK =
2 2 2 2
2
2
3
3

2
a
SA AK a a = =
SD = a
3

SO
SF
a
a
BD
KH
===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1
SO
2

1
=
SF
OF
SAC có : OA = OC

2
1
==
SF
OF
SN
OE
OE =
2
1
SN =
2
1
a
SAHK =
2
1
KH.
4
2
2
HK
AK

=
9
22
2
a
V =
=

AHK
.
3
1
SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
SKA
:

SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,
2
3
a
,
2
3
a
)
ABS có
SHSBAS .
2
=
SH=
3
2a
H(
2
3
a
,0,

2
3
a
)
Ta có
)
3
2
,0,
3
2
(
a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=

,0)
2
,

2
(
aa
AO
=
[
AKAH,
] =(
9
4
,
9
22
,
9
22
222
aaa

)
VOAHK=
6
1
|[
AKAH,
].
AO
|=
3
27

2
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
2
,
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
12
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

SA = a, SA

(ABCD). M, N lần lợt là trung điểm AD và SC. {I} = BM AC. Tính thể tích hình
chóp ANIB.
Giải
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD

Trong SAC có ON // SA
ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA
=
Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm
SABI =
3
2
SABO =
4
1
3
2
.
SABCD =
3
2
a.a
2
=
6

22
a
SANIB =
3
1
NO.SAIB =
36
2
6
2
23
1
32
..
aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
A
C
N
a
D
P

B
M
F
E
S
y
x
z
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
13
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE

AD
(SAD)

(ABCD)
SE

(ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) MF // SE. Dễ thấy F EB và F là trung điểm EB
Ta có MF =
2
1
SE =
4
3
2

3
2
1
.
aa
=
SCNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3

1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng chiều cao bằng a.
Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình
chóp OOAB
Giải
B
A
A'
O'
O
H
D
Kẻ đờng sinh AA. Gọi D đối xứng với A qua O, H là hình chiếu của B trên
AD.
Ta có BH

AD
BH

AA
BH

(AOOA)

BH là đờng cao của tứ diện BAOO
SAOO =
2
2
a
, AB =
3'
22
aAAAB
=
ABD vuông ở B BD=a
OBD đều BH=
2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60

o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
14
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

Giải
S
A
D
C
B
N
M
H
Ta có SAB=60
0
SAB vuông tại A có AM =
3
3a
, AB = a ABM = 30
0
Kẻ SH BM thì SH là đơng cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0

= a
BC//(SAD) MN//BC
AD
MN
SA
SM
=
MN =
3
4. a
SA
SMAD
=
SBCMN =
33
10
).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27

310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và SD. Chứng minh
rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
A
D
S
H
M
N
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
15
Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long CHUYấN TH TCH
D: 0973 329 800 or 01694 013 498

Ta có BC//AD ,BC=
AD
2
1
,MN//AD , MN=
AD
2
1
BC = MN , BC// MN (1)
BC AB

BC SA
BC (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH BM thỡ SH (BCNM)
Vsbcnm=
3
1
SBCNM.SH=
3
1
BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC

1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
H
C
B
C
D
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 H là tâm đờng tròn ngoại
tiếp ABC mà ABC cân H CC với C là trung điểm AB
SABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42

1
2
1
2
==
-------- Mun mự tri chng cho mự c, gng mt trụng chi k bc tỡnh ----------
16