Phương pháp tính thể tích cực hay - OTDH

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498
Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao
của khối chóp
I. Kiến thức cơ bản:
1. Cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
- Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
-
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
- AB. AC = BC. AH
-
222
111
ACABAH
+=

-
sin , os , tan
AC CB AC
B c B B
AB AB CB
= = =
2. Công thức tính diện tích tam giác :
- Đặc biệt :
ABC∆

vuông ở A :
1
.
2
S AB AC=
,
ABC∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
3. Định lý đường trung bình, Talet.
4. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
;
, ;
d a d b
d
a b a b
α
α
⊥ ⊥

⇒ ⊥

⊂ ∩ ≠ ∅

5. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:
d

d a
a
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

6. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
α
- Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng
α

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
- Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
Cho hình chóp SABC,
' , ' , 'A SA B SB C SC∈ ∈ ∈
, ta có:
' ' '
' ' '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
II. Nội dung chính:

- Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó
trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Đối với thể tích khối chóp ta có thể phân
chia ra nhiều loại khác nhau. Sau đây tối xin trình bày dạng tính thể tích của khối chóp bằng cách xác
định “chiều cao và diện tích đáy” của khối chóp.
- Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau:
Loại 1. Khối chóp đều
a. Phương pháp.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
- Đường cao của hình chóp là SO (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) do đó ta cần xác
định được tâm đường tròn ngoại tiếp đa gác đáy của hình chóp đó.
- Diện tích đấy là diện tích của đa giác đều
b. Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết:
1. Cạnh bên bằng
2a
, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45
0
.
2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 60
0
.
3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
ϕ
.
Giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiết tam giác ABC ta có
( )
SO ABC⊥
SO h⇒ =
(đường cao của hình chóp).B =
ABC

S B=
--- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------
1
S
C
/
B
/
A
/
C
B
A
A
C
B
H
S
H
C
B
A
K
O
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498
1
.
3
V B h=
1. Xét tam giác SOA vuông tại O và SA =

2a
góc
·
0
45SAO =
0
0
2
2.
. os45
2
.sin45
2
2.
2
AO a
AO a
AO SA c
SO a
SO SA
SO a

=

=

=


⇒ ⇔ ⇔

  
=
=



=


.
Mặt khác H trung điểm BC ta có
( )
3 3
1
2 2
AH AO AH a= ⇔ =
.
Giọ x > 0 là cạnh của tam giác đều ABC
( )
3 3 3
3 2
2 2 2
HA x a x x a⇒ = ⇔ = ⇔ =

Bài tập. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính thể tích khối chóp khi biết:
1. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 45
0
2. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 60
0
.

3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
ϕ
.
Loại 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
a. Phương pháp
- Cho hình chóp S.A
1
A
2
...An có
( )
1 1 2
...
n
SA A A A⊥
khi đó ta có SA
1
= h là đường cao của hình chóp.
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
1 2
...
n
A A A
.
b. Ví dụ.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy
bằng
60
ο
.

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông
Lời giải:
1. Ta có
1
.
3
ABCD
V S SA=
.
2 2
(2 ) 4
ABCD
S a a= =
Xét
ó : tan 2 6SAC c SA AC C a∆ = =
3
2
1 8 6
4 .2 6
3 3
a
V a a⇒ = =
2. Kẻ

/ / ( )MH SA MH DBC⇒ ⊥
Ta có:
1
2
MH SA=
,
1
2
BCD ABCD
S S=
3
D
1 2 6
4 3
MBC
a
V V⇒ = =
Nhận xét:
+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
+ Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
c. Bài tập.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
( )
ABCD⊥
.Hãy tính thể tích của khói
chóp S.ABCD khi biết:
1. Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, SA =
3a

.
--- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------
2
S
A
D
C
M
B
H
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498
2. Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30
0
.
3. Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
.
4. SA = a
3
, khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng a, đường chéo BD = 2a.
Loại 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
a. Phương pháp
- Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao của tam giác
mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp )
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
1 2

...
n
A A A
.
b. Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt
phẳng
( ) ( )
SAB ABCD⊥
.Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết. Tam giác SAB đều.
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao SH.
+ Tính độ dài đường cao SH
+ Xác định được đường cao hình thang đáy.
+ Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối.
Lời giải:
- Gọi H là trung điểm AB
( )
3SH ABD SH a⇒ ⊥ ⇒ =
là
đường cao của khối chóp.
- Gọi K là hình chiếu của D lên AB
0
3
.sin 60
2
a
KD AB KD a KD⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ =

là đường cao của hình thang ABCD.
-
( )
2
1 3 3.
.
2 4
a
B AB CD DK B= + ⇔ =
-
2 3
1 3. 3
3
3 4 4
a a
V Bh V a= ⇔ = =
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được góc A = 60
0
.
- Không nhận ra được đường cao là SH.
c. Bài tập
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng
( ) ( )
SAB ABCD⊥
.Hãy tính thể
tích của khối chóp S.ABCD khi biết:
1. Cạnh đáy AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều.
2. Cạnh đáy AB = 2a, AD = a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 45
0

.
3. Cạnh đáy AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60
0
,khoảng
cách giữa đường thẳng AB tới mặt phẳng (SCD) bẳng a
3
.
Loai 4. Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau vuông góc với đáy
a. Phương pháp
- Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là giao
tuyến của hai mặt bên đó.
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
1 2
...
n
A A A
.
b. Ví dụ
Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình
thoi cạnh a có góc A = 120
0
. Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD.
Giải
--- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------
3
S
CD
H
K
A

B
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SA.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Tính được diện tích hình thói ABCD
Lời giải:
Ta có
1
.
3
ABCD
V S SA=
.
Giã thiết SA = a.
2
ABCD ACD
S S=
. Mà giã thiết góc A= 120
0

⇒
góc D bằng 60
0
nên tam giác ACD đếu ta có
2 2
1 3 3 3
. .

2 2 4 2
ACD
a a a
S a B= = ⇒ =
.
2 3
1 1 3
. .
3 3 2
2 3
a a
V Bh V a⇒ = ⇔ = =
đvtt
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được góc D = 60
0
.
- Không nhận ra được đường cao là SA.
c. Bài tập
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI)
và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Loại 5 . Hình chóp bất kỳ
a. Phương pháp
- Xác định đường cao ta tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng chứa đa giác đáy và tính
độ dài đường cao
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
1 2

...
n
A A A
.
b. Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
·
0
5
60 ,
2
a
BAD SA SC= = =
, SB = SD. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SO.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Tính được diện tích hình thói ABCD
Lời giải:
Gọi O
AC BD
≡ ∩
giã thiết ta có

( )
SA SC SO AC

SO ABCD SO
SB SD SO BD
 = ⊥

⇒ ⇒ ⊥ ⇒
 
= ⊥


là đường cao của khối chóp.
Ta lại có tam giác ABD đều
3 5
à
2 2
2
a a a
AO v SA SO⇒ = = ⇒ =
= h
--- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------
4
S
A
D
C
B
D
S
B
A
C

O
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498
2
ABCD ACD
S S=
. Mà
2 2
1 3 3 3
. .
2 2 4 2
ACD
a a a
S a B= = ⇒ =

2 3
1 1 3 3
. .
3 3 2
2 6 2
a a a
V Bh V⇒ = ⇔ = =
đvtt
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được tam giác
ABD là tam giác đều.
- Không chứng minh được
( )
SO ABCD SO⊥ ⇒
đường cao của khối chóp.
c. Bài tập.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC =
3
2
a
và mặt bên
SAB hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
2. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
3. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Phần A: Thể tích khối đa diện.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân
tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
.
Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
. .
3
ABC
V SA S
∆
=

Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết
( ) ( )
( )
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
α
⊥ ⇒ ∠ = =

( )
BD mp SAD BSD
β
⊥ ⇒ ∠ =
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
α
= + ⇒ = +

2 2
2 2
2
2 2
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x

c
β α
α α β
β
α β
= =
⇒ = +
⇒ =
+
Do đó:
3
2 2
2 2
1 sin .sin
. .tan . .
3 os sin
a
V a x a x
c
α β
α
α β
= + =
+
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA vuông góc với
đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o

. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM =
. Mặt
phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN
HDG: Theo giả thiết
( ) ( )
( )
, 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
⊥ ⇒ ∠ = =
⇒ = =
o
o
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
( )
SD mp BCM N⇒ ∩ =
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
--- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------
5