Bài tập đại số tuyến tính phần 2

Chương 5

MA

TRẬN

Trong cuốn sách này ta kí hiệu tập hợp các ma trận kiểu (m, n) với
các thành phần trong trường K bởi Mat „,(K). Xin nhắc lại rằng trong
không gian vectơ R", cơ sở gồm các vectơ
(m

Ẻ, =(1, 0,..., 0 0),
Ẽ, =(0, Ì,

0, ...,0),

g = (0,0,0,1)
n

8, = (0, 0, Ì, 0), số Ì đứng ở vị trí thứ ị, các số còn lại trong dấu
ngoặc đều bằng 0, được gọi là cơ sỏ chính tắc.

§1. MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH
1.1. Định nghĩa
Giả sử V và Vỉ là hai K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là
(4 = {ẽ,,ẽ ,..., ẽj,(ộ={ị
\. ..., ịj,f:V->
w là một ánh xạ tuyến tính mà
1>

2

b

Aẻ,) = 0;;ậ +0 j| + •••
1

f(ẽ ) = a ị

u t

2

2

+a ị

22 2

2

+a ị

mI m

+ ... + a ị

nứ m

(1)

/tẽ.) = a,„ĩ, inị + - + mnị Ma trận
+a

a

i

m

125


a
a

a ..
a2-

n

12

21

2

V "mi "m2được gọi /à ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở (e) nà (ộ.
Có thể viết gọn các đẳng thức (1) như sau:
f(ĩ ) = fx^i>
t

—-

với e {í> 2

n}

1=1
Kí dụ: Giả sử trong R và R đã chọn các cơ sở chính tắc:
2

3

(E):Ẽ, =(1,0), ẽ =(0, 1),
2

(ị): ị = (Ì, 0, 0), ị = (0, Ì, 0), ị, = (0, 0, 1).
2

f: R -> R xác định bởi f(a„ a ) = (a„ 3a , a -5a,). Khi đó
2

3

2

2

2

f(Ễ,) = f(l,0) = (l,0,0-5)= Ì

+oị -5ị
2

3

f(Ễ ) = f(0, 1) = (0, 3, 1-Ợ> = 0 | , + 3 | , + | ,
l

Do đó ma trận của f đối vói hai cơ sở này là
í Ì 0 ì
0 3
5 Ì
1.2. Liên hệ giữa Hom (V, W) vói Mat, (K)
K

m n)

Mệnh đê. Giả sử V, w là hai K - không gian uectơ và (è) = ị É ,, EỊ,...,
E „}, (ộ = ị ị,, %2>—< Ị, m) lẩn lượt íà cơ sở cố định của V và w. Khi đó:
1) Mơi ma trận kiêu ịm, n) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f:V->W;
2) Ánh 0: Hom (V, W)-> Mat , (K) xác định bởi 0Ợ) = A, (Ạ là ma
trận của ánh xạ tuyến tính f đối vời hai cơ sở (Ề) và (ộ), là một song ánh.
K

126

lm

nì


BÀI TẬP
359. Tìm ma trận của các ánh xạ tuyến tính sau đối vối các cơ sở chính tắc
trong các không gian vectơ R , R :
3

4

a) f: R -> R xác định bởi: f(ẽ,) = (- 3, 4, 0, 5), f(Ẽ ) = (0, Ì, - 2, 1),
3

4

2

f(ẽ ) = (0, 0, Ì, 2);
3

b) g: K -> K xác định bồi: g(ẽ,) = (0, 4, 0, 5), g(ẽ ) = (0, 0, 0, 1),
3

4

2

g(ẽ ) = (0, Ì, 1,0).
3

360. Cho f, g thuộc Hom (R , R ), có ma trận đối vối các cơ sở chính tắc của
4

3

R

R" và R lần lượt là:
3

(2

5 ì

0-1

5ì

0

-Ì

0

-Ì

5

0 , B:

0

2

0

-1

-2

-Ì

6

-5

0

0

2

0

A=

a) Tìm ảnh của các vectơ trong cơ sở chính tắc của R qua ánh xạ f;
4

qua ánh xạ g.
b) Tìm ảnh của vectơ ã = (0, Ì, 3, - 2) qua ánh xạ f; qua ánh xạ g.
361. Cho ánh xạ f: R ->
3

xác định bởi:

f(a„ a , a ) = (0, a„ - a , a, + a ).
a) Tìm ma trận của ánh xạ f đối vói các cơ sở chính tắc trong hai
khơng gian.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở gồm các vectơ
2

3

2

2

| , = (1, Ì, 1), | = (0, Ì, 1), | , = (0, 0, 1)
2

của khơng gian R và cơ sở chính tắc của R\
3

127


362. Cho ánh xạ g: R -» R , xác định bởi:
4

3

g(ai, a , a , a ) = (0, a, - a , a, + a ).
a) Tìm ma trận của ánh xạ g đối vói các cơ sở chính tắc trong hai
khơng gian.
2

3

4

2

2

b) Tìm ma trận của g đối với cơ sở chính tắc của R và cơ sở gồm các vecto
4

ị = (Ì, Ì, 1), ị = (Ũ. Ì, 1), ị, = (0, 0. 1) của khơng gian R :
J

2

c) Tìm Img và Kerg.
363. Cho ánh xạ tuyến tính f e Hom (V, W) có ma trận đối với cơ sở (E) của
V và cơ sỏ (ị) của w là
R

< 2 1

A=

-2

(T

0

1

2

2

,-1

0

2

1;

a) Tìm toa độ của f(ă) đối với cơ sở (ệ), biết rằng toa độ của à đối vái
cơ sở (e) là (0, 4, - 2, 1).
b) Tìm vectơ p biết rằng toa độ của f( jj) đối với cơ sở (Ị) là (5. 0. - 2).
c) Tìm Kerf.
364. Giả sử f là một tự đồng cấu của R - khơng gian vectơ V có ma trận đối
với cơ sở (e) là
-1
A=

1

Ũ
-1

V 3 -1

-2

s

-4
0,

a) Tìm toa độ của f(d ). biết rằng toa độ của á là (- 4, 2, 0).
b) Tìm một cơ sở của Kerf.
c) Tìm một cơ sỏ của Imf.

128


365. Trong R - không gian vectơ P gồm đa thức 0 và các đa thức bậc không
2

lốn hơn 2, gọi (E) là cơ sở {Ì, X, X }, f là tự đồng cấu có ma trận là
2

í 2

Ì

0

2

A=

1 0

0
Ì
2

a) Chứng minh rằng f là một tự đẳng cấu.
b) Xác định ảnh của vectơ ã = 3x - X - 4.
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở © - {Ì, Ì - X, Ì - X + X }.
(Chú ý: Khi nói ma trận của tự đồng cấu f đối với một cơ sỏ (Ị), ta
hiểu rằng đó là ma trận của f đối với cờ sở (Ị) và chính cơ sở (Ị).)
2

2

366. Giả sử f là một tự đồng cấu của khơng gian vectơ R có ma trận đối
3

với cơ sở chính tắc là
Ì

2

0

2

Ì

0

5 "Ị

a) Tìm vectơ ă sao cho f(ă) = 4ã .
b) Chứng minh rằng tập hợp u - {á 6 R I f(ã) = 4â Ị là một không
3

gian con của R .
3

c) Tìm một cơ sỏ của u.
367. Giả sử f là một tự đồng cấu của khơng gian vectơ E có ma trận đối
3

với cơ sở chính tắc là
' l i
A=

0 ì
0
-2
129

a) Tìm vectơ ã sao cho f(ă) - ã.
b) Chứng minh rằng tập hợp u = {ã e K I f( à) = ã } là một không
3

gian con của R .
3

c) Tìm một cở sỏ của u.
368. Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectd R có ma trận đối
3

với cơ sà chính tắc là
2ì

a) Tìm số thực k sao cho tồn tại một vectơ ã * õ sao cho f(ã) = kõ.
b) Với mỗi giá trị của k vừa tìm được hãy tìm một vectơ ã thoa mãn
đẳng thức
f(S) = k à .
369. Giả sử f e Hom (V, W) có ma trận đối vói hai cơ sở đã cho của V và w
là A. Người ta gọi hạng của A là hạng của tự đồng cấu f. Chứng minh
rằng dimlmf = hạng(A) và dim Kerf = dimV - hạng(A).
K

§2. CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC MA TRẬN
2.1. Phép cộng
Quy tắc cộng ma trận. Muốn cộng hai ma trận ta chỉ việc cộng các
thành phần tương ứng (cùng dịng, cùng cột) của chúng:
(ữlýím, nì + (bịỷ(m, ni = K + Vi* ìí

3

-2
130

0

5

ì

7 4Ì

B=

(-1

5

[ 6 13

Hì
-8)


A+ B •

' 3-1

0 + 5 5 + 14' ' 2 5

,-2+6

7+13 4-8 ,

,4

20

Với A = ( ) , „, và B = (bịj) , „, ta có: - B = (aii

(m

A- B

:

li

5

-3 ì

.4-9

15

B=

-9-5

-4,
s

-12 ì
10

1-7

'11-8 5 + 3 -3 + 12
4+7

N

„,, A - B = (a - bịiV „,.

(m

Ví dụ 2: Cho A =

19

89Ì
15-107

li

-14 5

2.2. Phép nhân ma trận với một số
Quy tắc nhân ma trận với một số. Muốn nhân một ma trận A với
một sốk ta chỉ việc nhăn sốk với mọi thành phần của A.
7 ì
(-ỉ
0
' 2 0 7^
3
3
Ví dụ 3: c
thì -5 9 12
3 -4
2.3. Khơng gian vectơ Mat (K)
Mệnh đề. Phép cộng ma trận và phép nhân một ma trận với một số
thuộc trường K có các tính chất sau:
1) (A + B) + C = A + (B + C);
2)
A + B = B + A;
3) A + ũ = A;
(m n)

4)
5)
6)
7)
8)

A+(-A) = 0;
k(A + B) = kA + kB;
(k + l)A = kA + IA;

(kl)A = k(lA);
LA = A, (Ì là đơn vị của trường K),

với mọi A, B, c e Mat , JK), mọi k,le K.
(m

131


Nói gọn với phép cộng hai ma trận uà phép nhân một ma trận vài
một số, Mat,„, JK> là một K - không gian vectơ.
Quy tắc nhăn hai ma trận. Muốn tim thành phần c, cùa ma trận
tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a,j của dịng thứ í trong ma trận A
nhăn với thành phần b của cột thứ k của ma trận B rồi cộng lại.
k

jk

Điều này có thể được mơ tà bởi sơ đồ sau:
cột k

cót k
b'.

I dịng i

dịng i

fb„ b,, b„
Ví du 4: Cho A :

a,| a

12

:

a

'a b + a b +a b
M

u

12

K 22 K
b

\ -Jl 22 2.w
a

AB

a,

21

n

Ị1

a

v :u K K
b

a b +a b +a b
n

12

12

22

13

32

a„b + a b + a,.,b„
i:1

12

M

, 21 u + 22 2l + 23 31 l 12 + 2 22 + 3 :)2 l l:l + 2 23 + 23 33 ì
a

b

a

b

a

b

a

b

a

2

b

2

a

b

2

a b
2

a

b

3

b

2

Chú ý: 1) Theo định nghĩa, tích AB chỉ được xác định khi số cột cùa
ma trận A bằng sơ dịng của ma trận B.
2) Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn.
Vi dụ 5: Giả sử (e) = {Ễ,. Ễ
ẽ Ị và {ị) ~ {|,, ị.,,...,ị Ị là hai cơ
sở của K - không gian vectơ V, T = (t,j) là ma trận chuyến từ cơ sỏ (E) sang
cơ sở (ị).
2

132

n


lần lượt là toa độ của một vectd ã đôi với hai cơ sở. Thê thì
X = TI.
Ví dụ 6: Giả sử hai K - không gian vectơ V và w có cơ sở lần lượt là
(e) = { ẽ , Ẽ }, (í) = { ặ j \ \ và f: V -> w là một ánh xạ tuyến tính có
ma trận đối với hai cơ sở này là

m

A=

3]1
'li =12a
a .
21

^1,

22

fy ^
x=

lần lượt là toa độ ã e V đối với cơ sở (E) và của f(ã ) đối với cơ sở (Ị). Thế thì
a,j
a

a.
l2

a

21 22-

hay Y = AX.

Q

V "mi m2-

133


Ví dụ 7: Xét hệ phương trình tun tính
'a„x, + a x + ... + a
12

2

ljX)

+... + a x = b,
ln

n

a x, + a x +... + a x, +... + a x„ = b
21

22

2

2j

mj )
V

b

2

2

Nếu đật X =

,b =

thì hệ (1) có dạng:

a„ a .
a a .

b

12

22

AX = b.
A/a trận đơn vị. Ma írận cấp n
' Ì 0 ... o i
0
lo

mn n

V

x

2I

2n

Ì ... 0
0 ... Ì J

2


Ì

nếu i = j ,

0 nếu

) được gọi là ma trận đơn vị cấp n.

i *í

Ta có IA=A với mọi ma trận A kiểu (m, rì), BI = B với mọi ma trận B
kiểu (p, m).
Mệnh đề 2. Với các ma trận A, B, c và mọi số ke K, ta có các đắng
thức sau nêu các phép tốn có nghĩa:
1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC);
2) Tính chất phân phối của phép nhăn đối với phép cộng:

A(B + C) = AB + ÁC, (A + B)C = ÁC + BC;
3) k(AB) = (kA)B = A(kB).
BÀI TẬP
370. Cho các ma trận:
f-3

5

4 0

N

0 -2

A=

V 2

6 5 ,B=
1 h

5

2

7

9

5

0

3

v-4

2

5 -3;

í

13'
1 ,c=

f4
10
V 0

-2

7

Ì
4 5 3
3

6

1 9,

Tính:
a) A + B - C;
b) 3A - 2B + c.
371. Tìm các ma trận chuyên vị của ba ma trận đã cho trong bài tập 370,
rồi tính:
a) 'A + 'B - 'C;
b) 3 A-2'B + C.
,

,

So sánh kết quả tìm được với các kết quả tương ứng trong bài tập 370.

135


372. Cho các ma trận:
' 3

-2

f

2

5

-6

Ũ

3
12

1

A=

,-4

0

4

5

0

-1

3

1

0

w 0 8

-3,

í
,B=

0,

2^

a) Tìm ma trận X sao cho 2A - X = 3B;
b) Tìm ma trận X sao cho 3X - 2B = A, trong đó.
373. Cho các ma trận:

A=

í

1

3

0

-1
7

V 8 -1

5^

f-7

19

-15

-6 , B = 20 -13

14

,-12

6,

19

N

-14,

a) Tìm A - B - 201, trong đó ì là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X - B = ì
374. Cho
13

5

0

-6

Ì

6

3

Oi

' 0
B: 0

Ì

ỉ)

-4

2

0

lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc Hom (V Vỉ)
đơi vối hai cơ sở đã cho nào đó của V và w.
a) Tìm ma trận của ánh xạ f - 2g.
b) Tính hạng của ma trận vừa tìm được ở câu a).
K

' l Í .Í l , '
> hai Cd sở nào đô

cua V và w. Chứng minh rằng:
a) f là một đon cấu khi và chỉ khi hạng(A) = dimVb) f là một toàn cấu khi và chỉ khi hạng(A) = dimW.

375

136

ả

HOm K(V W) và A là ma trận của f đối vớ


376. Cho
1

4

3

0

0

-2

-6

3

4

-1

B:

0 0

9

4

0)

-2

-13

7

-2

-3

-Ì

lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc Hom (V, W)
đối với hai cơ sở đã cho nào đó của V và w.
a) Tìm ma trận của ánh xạ 2f - g.
b) 2f - g có phải là một tồn cấu khơng?
c) Tìm toa độ của vectơ ã 6 V (đối với cơ sở đã cho) sao cho (2f - g)( ã)

có toa độ đối vối cơ sở đã cho là (5, 0, 1).
d) Tìm một cơ sở của Ker(2f- g).
K

377. Cho
A=

' 1

-1

0^

1

2

1 , B=

V0

3

ly

< -7

0

3

-2

Ì
0

V -1

-4

4,

4

lần lượt là ma trận của hai tự đồng cấu f và g của R - không gian
vectơ V đối vối một cơ sỏ nào đó của V.
a) f và g có phải là những đẳng cấu khơng?
b) Tìm ma trận của f + g.
c) f + g có phải là một tự đắng cấu khơng?
378. Thực hiện phép nhân ma trận:
3

f

a)

-2Y-5
Ì

4

b) í
,6
2

7 ì
5

7ì
6
' 10
5

7ì
4

12
137


lũ ì
-7

c)

-9
I

í 5

3

li

4

li V 5

0

2

7ì

Ì

10

5

0

-Ì

9

0

-7

' 4

li

•5

9

d) 2 4 0
0
í 3
e)

6
0

Ì ì

-4

5 0

2

7 10

0 -2

9j

-7)

V 7

4J

0J

379. Cho hai ma tràn
' 2
A=

-

v4

1

0

ì

, B =

' 0

5

>

9,

Tính AB - BA.
380. Chứng minh rằng VỚI A và B là hai ma trận vuông cấp n AB - BA
không thê là ma trận đơn vị.
381. Cho ma trận
A

2
-Ì
và đa thức f(x) = X - 5x + 4.
2

Tính Ị(A). (Chú ý rằng khi tính f(A). ở hạng tử vắng X ta phả, điển ma
trận đdn vị ì. chẳng hạn. f(A) = A - 5A + 41, trong đó ì là ma trận
đơn vị cấp hai.).
2

138


382. Cho ma trận
A=

(2

-lì

lo
3)

Tìm tất cả các ma trận B sao cho AB = BA.
383. Giả sử A và B là hai ma trận thoa mãn điều kiện AB = BA. Chứng
minh rằng:
a) (A + B) = A + 2AB + B ;
b) (A - B) = A - 2AB + B ;
2

2

2

2

2

2

c)(A + B) = £cÌ,A'B .
i=0
384. Chứng minh rằng vái mọi a 6 . và mọi số tự nhiên n > 2, ta đều có:
n

n i

n(n-l)„„_ ì
2
n-1
2

'a

1

0 ^n

0

a

1

,0

0

a

=

0

ì
lo

0

385. Tìm các ma trận cấp hai A sao cho A = 0, ở đây 0 là ma trận khơng.
386. Tìm tất cả các ma trận cấp hai A sao cho A = A. Ma trận A thoa mãn
điều kiện À" = A, n là một số nguyên dương, được gọi là một ma trận
lũy đẳng.

367. Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n thoa mãn điều kiện A + B = ì.
Chứng minh rằng AB = 0 khi và chỉ khi A = A, B = B.
388. Tìm tất cả các ma trận cấp hai A sao cho A = ì, ì là ma trận đơn vị.
2

2

2

2

2

389. Chứng minh rằng mỗi ma trận
A=

a

bì

c

d

đều là nghiệm của phương trình X - (a + d)X + (ad - be) = 0.
2

139

390. Chứng minh rằng nêu ma trận A thoa mãn điểu kiện A = A(*A) thì
A = Ă.
2

391. Cho (a„) là dãy Phibônaxi (Fibonaci); tức là dãy số được xác định tói
cơng thức truy hồi:
ía, =a =1,
2

l „ =a„-. +a„_ , với n>2
a

2

Chứng minh rằng
ị 0

r

a„

li

lì

Vu

N

§3. ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VNG CẤP n

3.1. Định thức của tích hai ma trận
Định lí. Định thức của tích hai ma trận vng bằng tích các định
thức của hai ma trậnấy.
3.2. Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa. Ma trận A e MaựK) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại
một ma trận B e Mat (K) sao cho
n

AB = ì = BA.
B được gọi là ma trận nghịch đảo củaẢ, kí hiệu B=A~'.
Định li. Ma trận vng A có nghịch đảo khi và chỉ khi \A\* 0.
Ma trận mà định thức của nó khác 0 được gọi là ma trận không suy
biến. Với khái niệm này có thể phát biểu định lí trên như sau:
Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi nó khơng suy biến.

140


3.3. Tim ma trận nghịch đảo
1) Tim ma trận nghịch đảo bằng định thức
Giả sử
ân â

ái.

19

và |A| *• 0.
V "mi "m2A là phần bù đại số của thành phần a j của ma trận A (xem định
nghĩa 3.1, Ch. 1). Thế thì

kj

k

A ì

A,, A .
A A
2l

Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
'13

0ì

0

2-1

3

1 5
GIAI

Tính định thức A :
1 3

0

A| = 0 2 - 1

3

1

5

1 3

0

= 0 0 -1
3 li

(_ l)

2+3

( - l ) ( l l - 9 ) = 2.

5

Tìm các phần bù đại số
l i , Au = -3, A = -6, A = -15, A = 5, A = 8, A , = -3,
A32 - 1» A33 — 2.
13

21

22

23

3

141


Thiết lập ma trận nghịch đảo
í li
en

1 -3

1
2,

to

À-'

1-6

3 )

-3 '

-15

ao

' li

15

2) Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sau đây trên một ma trận là những phép biến đổi
sơ cấp:
1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau;
2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vối cùng một số khác 0;
3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vái cùng một số rồi
cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dịng (cột) khác.
Ví dụ 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đào
của ma trận
'1 3
A=

0

N

0 2 -1
v3

1

5,
GIẢI

Ta viết hai ma trận A và ì liền nhau. Mỗi khi thực hiện một phép
biến đổi sơ cấp nào trên A thì cũng thực hiện phép biến đổi ấy trên ì.

A
' 1 3

ì
0 >' 1 0 0

co

0 2 -1

142

1

N

Ũ 1 0

5J VO 0 1 ,


Nhân dòng thứ nhất với - 3 rồi cộng vào dịng thứ ba:
í Ì
0

3

c ư

Ì

2-1

0 -8

5

0

cp

0

10

-3

0 Ì

Nhân dịng thứ hai vối —:
í Ì

0ìí Ị

1 - 2
0-8
5

0

0\

ì

0

-3

0

Ì

Nhân dịng thứ hai với - 3 rồi cộng vào dòng thứ nhất và nhân dịng
thứ hai với 8 rồi cộng vào dịng thứ ba:
Ì

0

2

0 Ì

0

0 0

3

2
1

2
4-

Nhân dòng thứ ba với -— rồi cộng vào dịng thứ nhất, nhân dịng thứ
ba vơi — rồi cộng vào dịng thứ hai:
ị 11
( 1 0
0} 2
3
0
10
2
0 0 Ì
3

15
2

3 Ì
2

5
2
4

1
2

143

BÀI TẬP
392. Cho hai ma trận
í 3 ỏ
A=

Ì ì

í 0

4

Ì ì

0

2

3

5

Ì

3

Ì

3

Ì

•Ì

2

0

Tính định thức của các ma trận AB và BA.
393. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:
ÌÌ

' 3

B=í

, 0 -4
D:

5

-2>

' li

2'

3

,-5

4^

ỉ 2

0

Ì ì

Ì

2

0

E= 2

3

Ì

0

Ì

2

3

Ì

2

< \ 2 %\

Ì

Ì

Ì

Ì

-Ì

-Ì

Ì

-Ì

-Ì

-Ì

Ì

0

0

0ì

2

0

0

Ì

3

0

Ì

Ì

4

lì
H

n

< a

144

Ì

F= 2

0

1

0 *

Ì

1

0

0

2

1

1

0

Ì

0 -1

lì

Ì

a

Ì , vối a * Ì, a * - 2.

Ì

Ì

a

3

0 Ì

í Ì

394. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

2

1,


395. Chứng minh rằng nếu a và b là những số hữu tỉ khơng đồng thời
bằng 0 thì
' a

b "

2b

a

t

là ma trận khả nghịch.
Tìm ma trận X trong các bài tập từ 396 đến 402:
396.
X.

,-6

,

n

f 0

-3

-3,

,-74

-29,

' A

397.
N

N

'-8

75

-26

39,

' 5

2

, li

-4,

' 4

ứ

,-6

-3,

í 0

Ì

2}

0

3

3

5

0

6

18-20

0-1

2

Ì

,x =
v

398.
x=

' 4

1

v6

3,

N

399.

Ì

6 Ì
-5

400.
2

1

0
(^0

oi
3-4

0

5)

f036ì
6

18-20

2

Ì

-5

145


401.
2

4
0

!-Z

-Ì >

ị5

46 ì

16 16 20

x=

Ì

Ì

Ì

-5
9

7

402.
'1

1 • 0 .. 0

0

1

1 .. 0

0

0

0

1.. 0

0

0

0

0 ... 1

1

3 .. 0

0

0

1 2 .. 0

0

0

0

1 .. 0

0

0

ũ

0 ... 1

2

' 1

0\

,x =

2

,0 ũ 0 . . 0 1
,0 0 0 . . 0 1 >
(Các ma trận ỏ đây là những ma trận vuông cấp n).
403. Giả sử A và B là những ma trận không suy biến. Chứng minh rằng
các khẳng định sau tương đương:
a) AB = BA;
b) AB~' = B-'A:
c) A"'B = BA" ;
d) A-'B-'= B-'A-'.

1

404. Chứng minh rằng nếu A là ma trận không suy biến thì CA)"' = '(A~').
405. Đối với mỗi ma trận sau hãy tìm các giá trị của X đề nó khả nghịch:
1
-3
4

5/
0

-5

1

2
146

•

B=

' 1 1 -r
V
' 0

5

7ì

X

4

0

, 4

0

-3

x

X>
0 ;

4 -3,

D=


(x-1
E=

0

0\

0

x-2

Ì

X
-5

0

0

Ì

0

Ì

-3 ì

0

x-1

4

-X

406. Giả sử f là một tự đồng cấu của M - khơng gian vectơ V, có ma trận
đối vài cơ sở (E) là

A=

f3

1

8

0

1

5

0

1,

N

Chứng tỏ rằng f là một đẳng cấu. Hãy tìm ma trận của tự đồng cấu
nghịch đảo f~'.
407. Giả sử f là một tự đồng cấu của R - không gian vectơ V với dimV = 3,
f * 0 và p = 0.
Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận của f đối
với cơ sở ấy là
B=

0

0

0

Ì

0

0

0

0

0

408. Giả sử V là một R - không gian vectơ n chiều, f là một tự đồng cấu
của V sao cho ỉ" = 0 và f " * 0. Hãy tìm tất cả các tự đồng cấu g sao
cho gf = fg.
1

147


§4. Sự THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH
KHI THAY ĐỔI c ơ sở - MA TRẬN ĐỒNG DẠNG
4.1. Sựthay dổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi ca sà
Định lí. A và B là hai ma trận của cùng một ánh xạ tuyến tính khi
và chỉ khi tồn tại hai ma trận không suy biên s và T sao cho
B = T-'AS.

4.2. Ma trận đồng dạng
Định nghĩa. Hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng nêu có một
ma trận T sao cho B = T~ 'ÁT. Kí hiệu A ~ B.
Hê quả. Hai ma trận đồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận
của cùng một tự đồng cấu.
Ví dụ: Cho
A=

í 4 3
l-l

1.

là ma trận của tự đồng cấu f: V -> V đối với cơ sở (s) = {Ễ,, ẽ } của V.
2

Khi đó ma trận của f đối với cơ sở (s') gồm các vectơ:
ẼJ = Ẽ, - 2ỄÓ.
ẽ' = - i + ẽ'. ,
2

l

2

là một ma B = T 'ÁT, trong đó T là ma trận chuyển từ cơ sở (E) sang cơ sà
(É'). Cụ thể:
ị Ì
-2

148

-r
ì/


1 ' 1 1 > (-ĩ - r
-1 V 2 1 ) V-2 - 1 ,
B = T'AT =

-1l í 4

(-1

3Ì

BÃI TẬP
409. Giả sử f là một tự đồng cấu của R - khơng gian vectơ R có ma trận
3

đối với cơ sở chính tắc (é) là A. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm ma
trận của f đối vói cơ sở (ị) = {ịu ị ì, ị 3}:
a)
í 5

Ì

7 ì

0

8

3 , ị = (0,1,-1), ặ = ( l , - 2 , 0), ặ = (3, 0,0);

2

0

9

x

2

3

b)
í 4 0 -3 1
2

Ì

0 , É, = (2, 0,-1), É, = (l, Ì, 1), 4a = (0, 0, 2);

Ì

5

8

c)
' 9 Ì 15 "Ì
A=

2

5

7

7

2

5

, ^, = (3, 0, 0), ỈỊ

2

(1.-2.0). ^3 = ( 1 , - 1 , 1).

410. Giả sỏ f e Hom (V, V) có ma trận đối với cơ sở (E) = {Ẽ,, Ễ , Ễ } là
R

A=

2

(4

0

1

-2

.5

1

3

-3 ^
1
2,
149