Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

ôn luyện đại học chuyên đề lượng giác Phương trình đẳng cấp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (205.99 KB, 7 trang )

CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

22
asin u bsinucosu ccos u d++=

Cách giải :
()
Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 1
2
π
•=+π==±

2
Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :•≠

()
22
atg u btgu c d 1 tg u++=+
Đặt ta có phương trình :
ttgu=
()
2
adt btcd0−++−=

Giải phương trình tìm được t = tgu

Bài 127 : Giải phương trình
(
)
22
cos x 3 sin 2x 1 sin x *−=+



Vì cosx = 0 không là nghiệm nên
Chia hai vế của (*) cho
2
cos 0

ta được
()
()
22
* 1 2 3tgx 1 tg x tg x⇔− = + +

Đặt t = tgx ta có phương trình :
2
2t 2 3t 0+=
t0t 3⇔=∨=−

Vậy
()
*
π
⇔= =−⇔=π =−+π∈tgx 0 hay tgx 3 x k hay x k , k
3


Bài 128 : Giải phương trình
(
)
33 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 *−− +=


Khi
xkthìcosx0vàsinx
2
π
=+π = =±1

thì (*) vô nghiệm

Do không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos
3
x
=cos x 0
ta có (*)
(
)
32 2
1 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0⇔− − + + =
()
()
⇔+−−=
⇔+ −=
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
2
3tg x 3tg x tgx 1 0
tgx 1 3tg x 1 0

3
tgx 1 tgx
3
xkxk,k
46


Bài 129 : Giải phương trình
(
)
4224
3cos x 4sin xcos x sin x 0 *−+=

Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho
4
cos x 0≠
Ta có : (*)
24
34tgxtgx 0⇔− + =
⇔=∨=
ππ
⎛⎞ ⎛
⇔=±=±∨=±
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
ππ
⇔=±+π∨=±+π∈





22
tg x 1 tg x 3
tgx 1 tg tgx tg
43
xkxk,k
43


Bài 130 : Giải phương trình
(
)
sin 2x 2 tgx 3 *+=

Chia hai vế của (*) cho
2
cos x 0

ta được
(*)
22
2sin xcosx 2tgx 3
cosx cosx cosx
⇔+=
2

()
(
)
22

2tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x⇔+ + =+

32
ttgx
2t 3t 4t 3 0
=



−+−=


()
()
=




−−+


2
ttgx
t12t t3 0=

⇔=
π
⇔=+π∈
tgx 1

xk,k
4


Bài 131
: Giải phương trình
(
)
3
sin x sin 2x sin 3x 6co s x *+=

()
23
* 2sin x cos x 3sin x 4 sin x 6cos x⇔+−=
3

(
)
•==±Khi cos x 0 ( sin x 1) thì * vô nghiệm

• Chia hai vế phương trình (*) cho
3
cos x 0

ta được
()
*

23
22

2sin x 3sin x 1 sin x
.4
cos x cos x cos x cos x
+−
3
6=

()
()
()
⇔+ +−=
⇔− −+=
⇔− −=
⇔==α∨=±
π
⇔=α+π∨=±+π∈ α=
223
32
2
2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6
tg x 2tg x 3tgx 6 0
tgx 2 tg x 3 0
tgx 2 tg tgx 3
xkx k,k(vớitg
3
2)






Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình
()
2
cos2x 1
cot gx 1 sin x sin 2x *
1tgx 2
−= + −
+

Điều kiện
sin

2x 0 v à tgx 1≠≠−
Ta có :
(
)
22
22
cos x cos x sin x
cos2x cos x sin x
sin x
1tgx cosxsinx
1
cos x


==
++

+

()(
=− =− +cosx cosx sinx do tgx 1 nên, sinx cosx 0
)


Do đó :
()
()
22
cos x 1
* 1 cos x sin x cos x sin x sin 2x
sin x 2
⇔−= − + −

()()
()

⇔=−
⇔−= −
⇔−= = −
2
cos x sin x
1sin2x
sin x
cosx sinx sinx cosx sinx
cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)

()

()
=≠⎡



=− ≠


2
2
tgx 1 nhận so với tgx 1
1sinx
tg x do cos x 0
cos x
cos x


()
()
π

=+π∈



−+=


π
⇔=+π ∈ ≠



2
xk,k
4
2tg x tgx 1 0 vô nghiệm
x k , k nhận do sin 2x 0
4

Lưu y
ù : có thể làm cách khác
() ()
11
** 1 sin2x 1 cos2x
22
⇔− + −
=0
⇔= +
π
⎛⎞
⇔= +
⎜⎟
⎝⎠
3sin2xcos2x
3 2 sin 2x : vô nghiệm
4

Bài 133 : Giải phương trình
(
)

sin 3x cos 3x 2 cos x 0 *++ =

()
()
(
)
33
*3sinx4sinx4cosx3cosx2cosx⇔− + −+ 0=
=

33
3sinx4sinx4cosxcosx0⇔− + −

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta
được
3
cos x 0≠
()
()
(
)
23 2
* 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0⇔+−+−+=

()
()
⇔− − + + =
=




+−−=

=




+−=


⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
32
2
tg x tg x 3tgx 3 0
ttgx
tt3t30
ttgx
t1t 3 0
tgx 1 tgx 3
xkxk,k
43

Bài 134 : Giải phương trình
()
3

5sin4x.cosx
6sin x 2cos x *
2cos2x
−=


Điều kiện :
22
cos2x 0 cos x sin x 0 tgx 1≠⇔ − ≠⇔ ≠±
Ta có : (*)
3
10sin 2x cos2x cos x
6sinx 2cos x
2cos2x
cos2x 0

−=







3
6sinx 2cos x 5sin2xcosx
tgx 1

−=



≠±


(
)
32
6sin x 2cos x 10sinxcos x * *
tgx 1

−=



≠±



Do cosx = 0 không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho
ta được
3
cos x
()
2
6tgx
210tgx
**
cos x
tgx 1


−=




≠±



()
2
ttgxvớit 1
6t 1 t 2 10t
=≠




+−=


±

=≠±=≠±
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨

−= − + + =
⎩⎩

32
t tgx với t 1 t tgx với t 1
3t 2t 1 0 (t 1) (3t 3t 1 ) 0


=≠±



=

t tgx với t 1
: vô nghiệm
t1
Bài 135 : Giải phương trình
(
)
3
sin x 4 sin x cos x 0 *−+=



Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos
3
x thì
()
()
23 2
*tgx1tgx4tgx1tgx⇔+−++ 0=


()
()
=



−+++=

=




−++


⇔=
π
⇔=+π∈
32
2
ttgx
3t t t 1 0
ttgx
t13t 2t1 0
tgx 1
xk,k
4
=



Bài 136 : Giải phương trình
(
)( )
22
tgx sin x 2sin x 3 cos 2x sin x cos x *−= +


Chia hai vế của phương trình (*) cho cos
2
x
()
()
22
32
2
3 cos x sin x sin x co s x
*tgx2tgx
cos x
−+
⇔− =

()
⇔− =−+
32 2
tg x 2tg x 3 1 tg x tgx

()
()
⇔+−−=

=



+−−=

=




+−=


⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
32
2
tg x tg x 3tgx 3 0
ttgx
tt3t30
ttgx
t1t 3 0
tgx 1 tgx 3
xkxk,k
43



Bài 137
: Cho phương trình
() ()
(
)
(
)
(
)
32
46msinx32m1sinx2m2sinxcosx 4m3cosx0*−+−+− −−=

a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0,
4
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

Khi
x
2
π
=+πk
thì cosx = 0 và
sin x 1
=
±

nên
(*) thành :
(
)( )
46m 32m1 0±− ± −=


10vônghiệm

=

chia hai về (*) cho
3
cos x 0

thì
() ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
()
322
* 4 6m tg x 3 2m 1 tgx 1 tg x 2 m 2 tg x 4m 3 1 tg x 0⇔− + − + + − − − + =
2
)



()() (
32
ttgx
t2m1t32m1t4m30**
=




−++ −−+=



()
()
2
ttgx
t1t 2mt4m3 0
=




−−+−=



a/ Khi m = 2 thì (*) thành
()
()

2
ttgx
t1t 4t5 0
=




−+=



π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4


b/ Ta có : x0,
4
π



⎣⎦


thì
[

]
tgx t 0,1=∈

Xét phương trình :
(
)
2
t2mt4m302−+−=

()
2
t32mt2⇔−= −

2
t3
2m
t2

⇔=

(do t = 2 không là nghiệm)
Đặt
() ()
2
t3
yft C
t2

==


và (d) y = 2m
Ta có :
()
()
2
2
t4t
y' f t
t2
−+
==

3



Do (**) luôn có nghiệm t = 1
[
]
0,1∈
trên yêu cầu bài toán
()
(
)
() ()
⎡=


=



d y 2m không có điểm chung với C
d cắt C tại1 điểm duy nhất t 1

3
2m 2m 2
2
⇔<∨≥

3
mm
4
⇔<∨≥1

Cách khác :
Y C B T f(t) =

(
)
2
t2mt4m302−+−=
vô nghiệm trên
[
.
)
,01
Ta có (2) có nghiệm
[]
()
,().()

()
af
f f hay
af
S
Δ≥





∈⇔ ≤








0
00
01 0 1 0
10
01
2

()()
mm
m

m m hay
m
m


+≥

−>

⇔− −≤

−>


≤≤

2
430
430
43220
220
01
m

≤≤
3
1
4

Do đó (2) vô nghiệm trên

[
)
,(m hay m hay f )

<>
3
01 1 1 0
4
=


3
mm
4
1

<∨ ≥


BÀI TẬP

1. Giải các phương trình sau :
a/
32
cos x sin x 3s in x cos x 0+− =
b/
()
(
)
2

sin x tgx 1 3sin x cos x sin x 3
+
=−+
=

c/
2
2cos x cos2x sinx 0++
d/
3
2
3
1cosx
tg x
1sinx

=


e/
32 23
sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 0−−+=
f/
32
cos x sin x 3sin x cos x 0+− =
g/ 1tgx22sinx+=
h/
33
sin x cos x sin x cos x+=−
k/

22
3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0++ + +=
m/
(sin)
cos ( )
cos
x
x
tg x tgx
x
π
+
−+ − −=
22
2
31
38
42
0

n/
sin x cos x
1
sin 2x
+
=


2. Cho phương trình :
()

(
)
22
sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m+− −+ =

a/ Tìm m để phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = -2
[
]
(
)
ĐS : m 2,1∈−


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn





×