ôn luyện đại học chuyên đề lượng giác Phương trình đối xứng sinx và cosx

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

()
(
)
asinx cosx bsinxcosx c 1++ =

Cách giải
Đặt =+ ≤t sin x cos x với điều kiện t 2
Thì
t 2 sin x 2 cos x
44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
=+=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Ta có :
(
)
2
t 1 2sin xcos x nên 1 thành=+
()
2
b
at t 1 c
2
+−=

2
bt 2a t b 2 c 0⇔+−−=

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤
giải phương trình
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
2sin x t
4
ta tìm được x
Bài 106 : Giải phương trình
(
)
23
sin x sin x cos x 0 *++=
(*)
()
(
)
2
sin x 1 sin x cos x 1 si n x 0⇔++−=
()
(
)
⇔+ = + − =1sinx 0haysinxcosx1sinx 0

(
)
()
sin x 1 1
sin x cos x sin x cos x 0 2
=−⎡
⇔
⎢
+− =
⎢
⎣

() ()
()
2
1x k2kZ
2
Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x
π
•⇔=−+π∈
π
⎛⎞
•=+=−
⎜⎟
⎝⎠
≤=+

Vậy (2) thành
2
t1
t0
2
−
−=

()
2
t2t10
t1 2
t1 2loại
⇔−−=
⎡
=−
⇔
⎢
=+
⎢
⎣

Do đó ( 2 )
⇔
2cos x 1 2
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟

⎝⎠


π
⎛⎞
⇔−=−=ϕ<ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔−=±ϕ+ π∈ ϕ= −
π
⇔=±ϕ+ π∈ ϕ= −


2
cos x 1 cos với 0 2
42
2
xh2,h,vớicos
42
2
xh2,h,vớicos
42
π
1
1


Bài 107 : Giải phương trình
()

33
3
1 sin x cos x sin 2 x *
2
−+ + =

() ( )( )
3
* 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2 x
2
⇔− + + − =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện t2≤
Thì
2
t12sinxcos=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
2
t1 3

1t1 t 1
22
⎛⎞
−
−+ − = −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()()
()
()
()
22
32
2
2t3t 3t 1
t3t3t10
t1t 4t1 0
t1t 2 3t 2 3loại
⇔− + − = −
⇔+ −−=
⇔− ++=
⇔=∨=−+ ∨=−−

với t = 1 thì
1
sin x sin
44
2

ππ
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔+= = π∨+ = + π∈
π
⇔= π∨=+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2 x k2,k
2

với
π−
⎛⎞
=− += =
⎜⎟
⎝⎠
32
t32thìsinx sin
4
2
ϕ

ππ −
⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈ =
ππ −
⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈ = ϕ


32
xm2x m2,m,vớis
44
2
33
xm2x m2,m,vớisin
44
2
ϕin
2

Bài 108
:Giải phương trình
()
(
)
2sinx cosx tgx cotgx*+=+
Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⇔≠

⎨
≠
⎩
Lúc đó (*)
()
sin x cos x
2sinx cosx
cos x sin x
⇔+=+

()
22
sin x cos x 1
2sinx cosx
sinxcosx sinxcosx
+
⇔+= =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì =+ ≤ ≠
22
t12sinxcosxvớit 2vàt1

(*) thành
2
2
2t
t1
=
−

3
2t 2t 2 0⇔−−=

(Hiển nhiên
t
không là nghiệm)
1=±
()()
()
2
2
t22t2t20
t2
t 2t 1 0 vô nghiệm
⇔− ++ =
⎡
=
⇔
⎢
++=
⎢
⎣

Vậy
()
⇔*
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔+=+ π∈
π
⇔=+ π∈


sin x 1
4
xk2,k
42
xk2,k
4

Bài 109 : Giải phương trình
()
(
)
(
)
3cotgx cosx 5tgx sinx 2*−−−=

Với điều kiện
sin
, nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx thì :
2x 0≠ 0≠
() ( )
(
)
⇔−−−=
22
* 3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 2 sin x cos x
(
)
(
)
() ()
()(
()
()
⇔−−−= −
⇔−+−−+⎡⎤⎡
⎣⎦⎣

⇔−+−−+
+− =
⎡
⇔
⎢
−=
⎢
⎣
22
3cos x1 sinx 5sin x1 cosx 5sinxcosx 3sinxcosx
3cos x cos x 1 sin x sin x 5 sin x sin x 1 cos x cos x 0
3cos x cos x sin x cos x sin x 5sin x sin x sin x cos x cos x 0
sin x cos x sin x cos x 0 1
3cosx 5sinx 0 2
)
=⎤
⎦
=

( Ghi chú: A.B + A.C = A.D
⇔
A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì với điều kiện :
2
t12sinxcos=+ x
t 2 và t 1
≤
≠±
(1) thành :
2
2
t1
t0t2t
2
−
10
−
=⇔ − −=

()
()
t1 2loạidot 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎡
=+ ≤
⎢
⇔
⎢
=−
⎣

Vậy
()
12
sin x sin 0 2
42
π−
⎛⎞
+= =α<α<π
⎜⎟
⎝⎠

ππ
⎡⎡
+=α+ π =α−+ π
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−α+ π ∈ = −α+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣


xk2 xk2
44
3
xk2,kxk2,
44
k

() ()
⇔ ==β⇔=β+π∈ <β<π
3
2 tgx tg x h , h với 0
5


Bài 110
: Giải phương trình
(
)
()
32
2
31 sinx
x
3tg x tgx 8cos *
42
cos x
+
π
⎛⎞
−+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Lúc đó : (*)

()
()
()
22
tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x 4 1 cos x
2
⎡
⎤
π
⎛⎞
⇔−+++=+−
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦

()
41 sinx=+

()
()
(
)
()
()
()
()
()

()
22
2
2
2
tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0
3tg x 1 sinx cos x sin x cos x 0
3tg x 1 1
sinx cosx sinxcosx 0 2
⎡⎤
⇔−+++−
⎣⎦
⇔−++=
⇔− ++ =
⎡
=
⇔
⎢
++ =
⎢
⎣
=

()
2
13
(1) t
g
xt

g
xx
336
Giải 2 đặt t sin x cosx 2 sin x
4
π
•⇔ =⇔ =± ⇔=±+πk
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
+

Với điều kiện
t 2 và t 1≤≠±
Thì
2
t12sinxcosx=+
(2) thành :
2
2
t1
t0t2t1
2
−
0
+
=⇔ + −=
()

()
t 1 2 loại diều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎡
=− − ≤
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣

Vậy
21
sin x sin
4
2
π−
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
xk2,k xk2,k
44
3
xk2,kxk2,
44
ππ
⎡⎡
+=ϕ+ π∈ =ϕ−+ π∈

⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−ϕ+ π ∈ = −ϕ+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
¢¢
¢¢k


Bài 111 : Giải phương trình
(
)
−= −+
33
2sin x sin x 2 cos x cosx cos2x *
()
()
()
33 22
* 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0⇔−−−+−=

()
(
)
()
()
sinx cosx 0 hay 2 1 sinxcosx 1 sinx cosx 0

sin x cosx 0 1
sin x cosx sin 2x 1 0 2
⇔−= + −+ + =
−=⎡
⇔
⎢
++ +=
⎢
⎣

()
()
1tgx1
xk,k
4
xét 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x
4
•⇔ =
π
⇔=+π∈
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
¢
−

Với điều kiện :
t2≤

2
t1sin2x=+
()
()
2
Vậ
y
2thànht t 1 1 0+−+=

()
tt 1 0 t 0 t 1⇔+=⇔=∨=−

Khi t = 0 thì
cos x 0
4
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

()
x2k1,k
42
3
xk,k
4
ππ
⇔− = + ∈
π

⇔= +π∈
¢
¢

Khi
13
t1thìcosx cos
44
2
ππ
⎛⎞
=− − =− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
xk2hayx k2,k
2
ππ
⇔− =± + π∈
π
⇔=π+ π =−+ π∈
¢
¢


Bài 112
: Giải phương trình

(
)
234 2 3 4
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+++=+ + +

Ta có : (*)
()
()
(
)
(
)
() ()( )()
22 33 44
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cos x 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0
⇔−+ − + − + − =
⇔− = ++++ ++=
()
() ()
sin x cos x 0 1
2 sinx cos x sin x cosx 2 0 2
−=⎡
⇔
⎢
++ +=
⎢
⎣

Ta có : (1)

tgx 1⇔=
xk,k
4
π
⇔=+π∈
¢

Xét (2) : đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcosx=+
(2) thành
2
t1
2t 2 0
2
−
++=
()
2

t4t30
t1t3loại
⇔++=
⇔=−∨=−

khi t = -1 thì
13
cos x cos
44
2
ππ
⎛⎞
−=− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
3
xk2,
44
xk2,k
xk2,k
2
ππ
⎡
−= + π∈
⎢
⇔

⎢
ππ
⎢
−=− + π∈
⎢
⎣
=π+ π ∈
⎡
⎢
⇔
π
⎢
=− + π ∈
⎣
¢
¢
¢
¢
k


Bài 113 : Giải phương trình
(
)
(
)
−+−=
233
t
g

x1 sinx cosx 1 0*
Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Lúc đó (*)
()
2
33
2
sin x
1sinx cosx1 0
cos x
⇔−+−=
()
(
)( )
(
)
()()
()
()( )
()
23 32
22
1cosx1sinx 1cosx1sinx 0
1cosx1sinx 0
hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0
⇔− − −− − =
⇔− − =
+++−++ +
()

()
22 2 2
cosx 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện
sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0
⎡
=
⎢
⇔=
⎢
⎢
+−−=
⎢
⎣
=

()
22
cos x 1
sin x cos x sinx cosx sin x cos x 0
=
⎡
⇔
⎢
−+ −=
⎣

cosx 1
sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cos x 0
=

⎡
⇔
⎢
−= ++ =
⎣

cos x 1 tgx 1
sinx cosx sinxcosx 0
=∨ =
⎡
⇔
⎢
++ =
⎣

xk2,k
xk,k
4
sin x cos x sin x cosx 0
=π∈
⎡
⎢
π
⎢
⇔=+π∈
⎢
⎢
++ =
⎣
¢

¢

xét pt
s

inx cosx sinxcosx 0++ =
đặt
()
t sin x cosx 2 cosx x điều kiện t 2 và t 1
4
π
⎛⎞
=+ = − ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠
2
t 1 2sinxcosx⇒=+

Ta được phương trình
2
2
t1
t0t2t1
2
−
+=⇔+−=0
()
()
t12loại
t12nhậnsovớiđk

⎡
=− −
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣

Vậy
21
co s x cos
4
2
π−
⎛⎞
−= =ϕ
⎜⎟
⎝⎠
xk2,kxk2,
44
ππ
⇔− =±ϕ+ π∈⇔=±ϕ+ π∈
¢¢k


Bài 114 : Cho phương trình
()
(
)
m sin x cosx 1 1 sin 2x *++=+

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0,
2
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛
=+ = −
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, điều kiện t2≤
Thì
2
t1sin2=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
mt 1 t+=

Nếu
3
0x thì x
24 44
ππ π
≤≤ ≤+≤
π

Do đó
2
sin x 1
24
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
≤
1t 2⇔≤≤

ta có
()
2
mt 1 t+=
2
t
m
t1
⇔=
+

(do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
Xét
2
t
ytrên1,
t1
⎡⎤
=
⎣⎦
+
2
Thì
()
2
2
t2t
y' 0 t 1, 2
t1
+
⎡⎤
=>∀∈
⎣⎦
+

Vậy y tăng trên
1, 2
⎡⎤
⎣⎦

Vậy (*) có nghiệm trên

()
()
1,
y
1m
y
2
2
π
⎡⎤
⇔≤≤
⎢⎥
⎣⎦

()
⇔≤ ≤ −
1
m2 21
2




Bài 115 : Cho phương trình
(
)
33
cos x sin x msin xcosx *+=
a/ Giải phương trình khi
m2=

b/ Tìm m để (*) có nghiệm
Ta có : (*)
(
)
(
)
cosx sinx 1 sinxcosx msinxcosx⇔+ − =

Đặt
tsinxcosx 2cosxx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
()
t2≤
Thì
2
t12sinxcosx=+
Vậy (*) thành
22
t1 t1
t1 m
22
⎛⎞⎛

−−
−=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

(
)
(
)
22
t3 t mt 1⇔−= −

a/ Khi
m= 2
ta có phương trình
()
(
)
(
)
22
t3 t 2 t 1−= −
()()
32
2
t2t3t20
t2t22t10

t 2 hay t 2 1 hay t 2 1( loại)
⇔+ −− =
⇔− + +=
⇔= =− + =− −

Vậy
cosx x 1 x k2 ,k x k2 ,k
44 4
ππ π
⎛⎞
•−=⇔−=π∈⇔=+π
⎜⎟
⎝⎠
¢¢
∈


12
cos x cos
4
2
xk2,kxk2,
44
π−
⎛⎞
•−= =α
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔− =±α+ π∈⇔= ±α+ π∈¢¢k

b/ Xét phương trình
()
(
)
(
)
22
t3 t kt 1 **−= −

Do không là nghiệm của (**) nên
t=±1
()
3
2
3t t
** m
t1
−
⇔=
−

Xét
() {}
3
2
3t t
yCtrên2,2\
t1
−

⎡⎤
=−
⎣⎦
−
1±
Ta có
()
4
2
2
t3
y' 0 t 1
t1
−−
=<∀=
−
±
)

suy ra y giảm và
(
trên 1,1−

lim , lim
xx
yy
+−
→− →
=+∞ =−∞
11

Do đó
() {}
trên 1,1 2, 2 \ 1
⎡⎤
−⊂− ±
⎣⎦
ta có
(d) y = m cắt (C)
3
2
3t t
yvớim
t1
−
=∀
−
R∈
Vậy (*) có nghiệm
mR∀∈


Bài 116 : Cho phương trình
() ()
111
msinx cosx 1 t
g
xcot
g
x0
2sinxcosx

⎛⎞
+++ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
*

a/ Giải phương trình khi
1
m
2
=

b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên
0,
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
si
ta có
n 2x 0≠
(*)
()
1sinx cosx 1 1
msinx cosx 1 0
2cosxsinxsinxcosx
⎛⎞

⇔+++ +++
⎜⎟
⎝⎠
=

()
(
)
()
()()
()
()
2
m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cosx sin x cosx sin x cosx 0
sin x cosx 0 1
msin2x sinx cosx 1 0 2
⇔+++++
⇔+++++=
⇔+++++
⎡
+=
⇔
⎢
++ +=
⎢
⎣
=
=

Xét (2) đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Thì
2
t1sin2=+ x
Do
sin 2x 0 nên t 2 và t 1≠≤=±
Vậy (*) thành :
()
2
t0
mt 1 t 1 0
=
⎡
⎢
−++=
⎢
⎣
()
()
t 0 nhận so điều kiện
mt 1 1 0 (dot 1)

⎡
=
⇔
⎢
−+= ≠−
⎢
⎣

a/ Khi
1
m
thì ta được :
2
=
()
t0
t 1 loại do điều kiện
=
⎡
⎢
=−
⎢
⎣

Vậy sinx + cosx = 0
tgx 1
xk,k
4
⇔=−
π

⇔=−+π∈¢

b/ Ta có :
0x x
24 4
ππ π
<< ⇔−<−<
4
π

Lúc đó

2
cos x 1 1 t 2
24
π
⎛⎞
< − ≤⇒<≤
⎜⎟
⎝⎠

(
t0 1,2
⎤
=∉
⎦
Do
Nên g ta xét phươn trình :
(
)

(
)
mt 1 1 0**−+=

()
** mt m 1⇔=−

1
t1
m
⇔=−
(do m 0 thì (**) vô nghiệm)
Do đó : yêu
=
cầu bài toán
1
11 2
⇔<− ≤

m
1
m0
0
⎧
<
⎧
−>
m
1
m21

1
12
12
m
m21
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≤=−−
⎪⎪
−≤
−
⎩
⎪
⎩
⇔≤− −


Bài 117 : Cho
(
)
(
)
=
++−+
3
2
f x cos 2x 2 sinx cosx 3sin2x m

a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tính theo m giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của f(x)
Tìm m cho
()
fx 36 x R≤∀∈⎡⎤
⎣⎦

2
()
t x
⎛⎞
=
sin x cos x 2 cos điều kiện t 2
4
π
+ = − ≤
⎜⎟
⎝⎠

x
Đặt
Thì
2
t1sin2=+
Và
(
)
2
2224
cos 2x 1 si

2
2x 1 t 1 t 2t=− =− − =− +

n
Vậy
() ()
(
)
423 2
fx thành
g
t t 2t 2t 3 t 1 m=− + + − − +

a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
t0t1⇔=∨=
vậy khi m = -3 thì f( ) = 0
()
tt 2t1 0⇔− − + =

22
x
()
1
cosx 0haycosx
44
π
⎛⎞ ⎛
⇔−=
⎜⎟ ⎜
⎝⎠

2
x2k1hayx k2,k
4244
π
⎞
−=
⎟
⎝⎠
ππππ
⇔− = + − =±+ π∈¢


3
xk
4
π
⇔= +π

hay x k2 x k2 , k
2
π
=
+π∨=π∈¢

b/ Ta
()
(
)
có
g

32 2
' t 4t 6t 2t 2t 2t 3t 1
=
−+ −=− −+
Vậy
()
g'
⎧
⎪
t 0
1
t0t1t
2
t2,2
=
⇔=∨=∨=
⎨
⎡⎤
∈−
⎪
⎣⎦

Ta có :
⎩
() ()
147
g
03m
g
1,

g
m
216
⎛⎞
=
+= = +
⎜⎟
⎝⎠

() ()
g2=423m,g2 m342−+ =−−
Vậy :
(
)
(
)
t2,2
x
Maxf x Max
g
tm
⎡⎤
∈−
∈
⎣⎦
==
¡
3+

(

)
(
)
t2,2
xR
Minf x Min g t m 3 4 2
⎡⎤
∈−
∈
⎣⎦
==−−

Do đó :
() ()
2
fx 36, x R 6 fx 6, x R≤∀∈⇔−≤ ≤∀∈⎡⎤
⎣⎦
()
()
R
R
Maxf x 6
Minf x 6
m36
m342 6
≤⎧
⎪
⇔
⎨
≥−

⎪
⎩
+≤
⎧
⎪
⇔
⎨
−
−≥
⎪
⎩
−


42 3 m 3⇔−≤≤

Cách khác : Ta có
()
(
)
()
2
22
gt t t 2t 1 3 m tt 1 3 m
⎡⎤
=− − + + + =− − + +
⎣⎦

Đặt
2

ut t=−
Khi
1
t2,2thìu ,22
4
⎡⎤
⎡⎤
∈− ∈− + =
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
D

Vậy
()
(
)
2
g
thu u3m==−++

() ()
(
)
()
() ( )
RuD
t2,2
R
t2,2

uD
Maxf x Max g t Max h u m 3
Minf x Min g t Min h u m 3 4 2
∈
⎡⎤
∈−
⎣⎦
⎡⎤
∈−
∈
⎣⎦
===+
===−−


Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng
()()
asinx cosx bsinxcosx 0−+ =

đặt t = sinx – cosx
thì
t2sinx 2cosx
44
ππ
⎛⎞ ⎛
=−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
+

⎟
⎠

với điều kiện
2
t2thìt12sinxcos≤=−x

Bài 118 : Giải phương trình
(
)
2sinx cot gx 2sin2x 1 *+= +

Điều kiện :
sin x 0 cos x 1≠⇔ =±
Lúc đó (*)
cos x
2sinx 4sinxcosx 1
sin x
⇔+= +
=

()
()()()
()
()
()
⇔+= +
⇔−− −=
⇔−−−+
⇔−= − +=

−=⎡
⇔
⎢
−− =
⎢
⎣
22
22
2 sin x cos x 4 sin x cos x sin x
2 sin x sin x cos x 4 sin x 1 0
sinx 2sinx 1 cosx 2sinx 1 2sinx 1 0
2sinx 1 0 hay sinx cosx 2sinx 1 0
2sinx 1 0 1
sin x cos x sin 2x 0 2

() ()
•⇔=
1
Ta có 1 sin x nhận do sin x 0
2
≠

ππ
⇔=+π∨= +π∈

5
xk2x k2,k
66

()

π
⎛⎞
•=−=
⎜⎟
⎝⎠
Xét 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
−

Với điều kiện
≤≠t2vàt±1
x
0

Thì
2
t1sin2=−
Vậy (2) thành :
()
2
t1t 0−− =
2
tt1⇔+−=

()
15 15
tt
22
−+ −−
⇔= ∨=

loại

Do đó :
()
15
2 sin x nhận do t 2 và t 1
42
π−+
⎛⎞
−= ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠

π−
⎛⎞
⇔−= =
⎜⎟
⎝⎠
51
sin x sin
4
22
ϕ

π
⎡
−=ϕ+ π ∈
⎢
⇔
⎢

π
⎢
− =π−ϕ+ π ∈
⎢
⎣


xk2,k
4
xk2,
4
k

π
⎡
=ϕ+ + π ∈
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=−ϕ+π∈
⎢
⎣


xk2,k
4
5
xk2,

4
k


Bài 119 : Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x *+= − −

Ta có :
()

()
()(
22
* cos x sin x 5 2 2 cos x sin x cos x⇔−+=− −
)
()()
(
)
sin x cos x 2 2 cos x sin x cos x 5 0⇔− −++ −
⎡⎤
⎣⎦
=
()
[

]
sin x cos x sin x cos x 4 5 0⇔− −+−=

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
(*) thành :
(
)
tt 4 5 0+−=

()
2
t4t50
t1t 5loại
⇔+−=
⇔=∨=−

Vậy
()
* ⇔
1

sin x sin
44
2
ππ
⎛⎞
−= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔−=+ π∨−= + π ∈
π
⇔=+ π∨=π+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2xk2,k
2


Bài 120 : Giải phương trình
(
)
33
cos x sin x cos 2x *+=
Ta có (*)
(
)

(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x⇔+ − =−
()
()
⇔+= − =−
+=
⎡
⇔
⎢
−− +=
⎢
⎣
cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x cosx sin x
sin x cos x 0 1
sin x cos x sin x cos x 1 0 2

Ta có :
()
1tgx⇔=−1
π
⇔=−+π ∈
xk,k
4

Xét (2) đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π

⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcos=− x
(2) thành
2
2
1t
t10t2t1
2
−
−+=⇔++
0=

t1⇔=−

vậy (2)
⇔

1
sin x sin
44
2
ππ

⎛⎞ ⎛
−=−= −
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠

ππ
⎡
=π∈
−=−+ π ∈
⎡
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
π
⎢
ππ
=
+π∈
⎢
−= + π ∈
⎣
⎢
⎣





xk2,k
xk2,k
44
3
5
xk2,k
xk2,k
2
44


Bài 121 : Cho phương trình
(
)
33
cos x sin x m 1−=
a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ
tc

osxsinx=−
b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm
x,
44
π
π
⎡
⎤
∈−
⎢

⎥
⎣
⎦

Ta có (1)
(
)
(
)
cos x sin x 1 sin x cos x m⇔− + =

Đặt
tcosxsinx 2cosx
4
π
⎛⎞
=−= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcos=− x
Vậy (1) thành :
2
1t
t1 m
2

⎛⎞
−
+=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
()
2
t3 t 2m 2⇔−=
a/ Khi m = 1 thì (2) thành
3
t3t20
−
+=

()
()
()
2
t1t t2 0
t1t 2loại
⇔− +−=
⇔=∨=−

Vậy
πππ
⎛⎞
+= ⇔+=±+π∈

⎜⎟
⎝⎠

2
cos x x k2 , k
42 44

π
⇔= π∨=−+ π∈

xk2 x k2,k
2

b/ Nếu
x,
44
ππ
⎡⎤
∈−
⎢⎥
⎣⎦
thì
0x
42
π
π
≤
+≤

nên

0cosx 1
4
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
≤

0t 2cosx 2
4
π
⎛⎞
⇔≤= + ≤
⎜⎟
⎝⎠

nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên
0, 2
⎡
⎤
⎣
⎦

ta tìm duy nhất một
x,
44
π
π
⎡⎤

∈−
⎢⎥
⎣⎦

xét
()
3
f t t 3t trên 0, 2
⎡⎤
=− +
⎣⎦

()
2
f' t 3t 3⇒=−+

vậy (1) có đúng hai nghiệm
x,
44
π
π
⎡
⎤
∈−
⎢
⎥
⎣
⎦

() ()

3
d y 2m cắt C y t 3t trên 0, 2
⎡
⎤
⇔= =−+
⎣
⎦
tại 2 điểm phân biệt
⇔≤ <22m2

2
m1
2
⇔≤<


Bài 122 : Cho phương trình
(
)( )
22
2cos 2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *++=+

a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên
0,
2
π
⎡
⎤
⎢

⎥
⎣
⎦

Ta có :
()
()
(
)(
22
* 2 cos x sin x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x⇔−+ +=+
)

(
)
⇔+= − + =cos x sin x 0 (1 ) hay 2 cos x s in x sin x cos x m ( 2)

Đặt
tcosxsinx 2cosx
4
π
⎛
=−= +
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
(điều kiện t2≤ )
Thì
2

t12sinxcos=− x
x
Ta có :
()

1sinxcos⇔=−
π
⇔=−⇔=−+π∈

tgx 1 x k , k
4

Ta có : (2) thành
2
1t
2t m
2
−
+=

()
2
t4t12m**⇔− + + =

a/ Khi m = 2 thì (**) thành
2
t4t30
−
+=

()
⇔=∨=t1t3 loại

vậy
πππ
⎛⎞
+= ⇔+=±+π∈
⎜⎟
⎝⎠

2
cos x x k2 , k
42 44

π
⇔= π∨=−+π ∈

xk2 x k,k
2

Do đó :
()
π
π
⇔=−+π∨= π∨=−+ π ∈

*x kxk2x k2,k
42

b/ Ta có

ππππ
⎡
⎤⎡
∈⇔+∈
⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣
3
x0, x ,
244
⎦
4

vậy
22
cos x
24
π
⎛⎞
−≤ +≤
⎜⎟
⎝⎠
2

1t1⇒− ≤ ≤

Do nghiệm
ππ

⎡⎤
=
−+π∉ ∀∈
⎢⎥
⎣⎦

xk0,,k
42

Nên yêu cầu bài toán
(
)
**⇔
có nghiệm trên
[
]
1,1−

Xét
[
]
2
yt4t1thìy'2t40t 1,1=− + + =− + > ∀ ∈ −

[
]
ytăngtrên 1,1⇒−

Do đó : yêu cầu bài toán
() ()

4y1 2my1 4
2m2
⇔− = − ≤ ≤ =
⇔− ≤ ≤

*
Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng
()
()
22
atgx cotgx btgx cotgx 0±++ =

ta đặt
22 2
ttgxcotgxthìt tgxcotgx2=± = + ±
khi
()
2
ttgxcotgx thìt 2dosin2x1
sin 2x
=+ = ≥ ≤


Bài 123 : Giải phương trình
(
)
22
3 tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0 *++ + +=

Đặt

2
ttgxcotgx
sin 2x
=+ =

Với điều kiện
t2≥

Thì
22 2
ttgxcotgx=+ +2
(*) thành :
(
)
2
3t 2 4t 2 0−++=

2
3t 4t 4 0⇔+−=

()
2
t loại do điều kiện
3
t2
⎡
=
⎢
⇔
⎢

=−
⎣

Ta có :
2
t2 2sin2x
2sin x
=− ⇔ =− ⇔ =−1

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

Bài 124 : Giải phương trình
(
)
23 2 3
tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x 6 *+++ + + =

Ta có (*)
(
)
(

)
(
)
⇔+ + + + + =
2233
tgx cot gx tg x cot g x tg x cot g x 6

(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
2
22
22
tgx cot gx tgx cot gx 2 tgx cot gx tg x cot g x 1 6
tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx 3 8
⇔+ ++ −++ + −=
⎡⎤
⇔+ ++ ++ + −=
⎣⎦

Đặt
()
2
ttgxcotgx điềukiệnt 2

sin 2x
=+ = ≥

Vậy (*) thành :
()
22
tt tt 3 8++ −=
()
()
()
32
2
2
tt2t80
t2
t2t 3t4 0
t 3t 4 0 vô nghiệm
t2
⇔+−−=
=
⎡
⇔− ++=⇔
⎢
++=
⎣
⇔=

Vậy
2
2sin2x

sin 2x
=⇔ =1

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π ∈


2x k2 , k
2
xk,k
4


Bài 125 : Giải phương trình
()
+++ +=
2
2
2
2tg x 5tgx 5 co t gx 4 0 *
sin x

Cách 1 : (*)
()
(
)
22
2 1 cot g x 2tg x 5 tgx cot gx 4 0

⇔
+++++=

()
()
()()
⇔+ +++=
⎡⎤
⇔+ −+++
⎣⎦
22
2
2tgx cotgx 5tgx cotgx 6 0
2 tgx cotgx 2 5 tgx cotgx 6 0=

Đặt
=+ = ≥
2
ttgxcotgx ,vớit2
sin 2x

Ta được phương trình :
2
2t 5t 2 0
+
+=

()
⇔=−∨=−
1

t2t loại
2

Vậy
()
* ⇔
2
2sin2x
sin 2x
=− ⇔ =−1

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện
u0
≠
)
Vậy (*) thành :
2
2
25

22u5u4
uu
++ +++=0

()
()
()
()
()
()
⇔+ + + + =
⇔+ + ++=
⇔+ ++=
⎡=−
⇔
⎢
++=
⎢
⎣
43 2
32
2
2
2
22u 5u 5u6u 0
u 1 2u 3u 3u 2 0
u1 2u u2 0
u1nhận
2u u 2 0 vô nghiệm

Vậy (*)
⇔
tgx = -1
π
⇔=−+π ∈
xk,k
4


Bài 126 : Cho phương trình
()
2
2
1
cot g x m tgx cot gx 2 0 1
cos x
++++=
()

a/ Giải phương trình khi
5
m
2
=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
Ta có : (1)
(
)
22

tg x cot g x m tgx cot gx 3 0⇔+ + + +=

Đặt
()
2
ttgxcotgx điềukiệnt 2
sin 2x
=+ = ≥

22 2
ttgxcotgx⇒= + +2
Vậy (1) thành :
(
)
2
tmt10 2++=

a/ Khi
5
m
2
=
ta được phương trình
2
2t 5t 2 0
+
+=

()
1

t2t loại
2
⇔=−∨=−

Do đó
2
2sin2x
sin 2x
1
=
−⇔ =−

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

b/
Cách 1 :
Ta có : (2)
2
mt 1 t⇔=−−
1
m

t
⇔=−−t
(do t = 0 không là nghiệm của (2))
Xét
1
ytvớit
t
=− − ≥2

Thì
2
22
11
y' 1
tt
−
=−=
t

Ta có :
y' 0 t 1=⇔=±

Do đó (1) có nghiệm
(
)
(
]
[
)
(d) cắt C trên , 2 U 2,⇔−∞−+∞

55
mm
22
5
m
2
⇔≤−∨≥
⇔≥

Cách 2 : Yêu cầu bài toán
()
2
ft t mt 1⇔=++
= 0 có nghiệm t thỏa
t2≥

Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm
(
)
12 1 2
t,t vớit t≤
và có
nghiệm thì ta có
⎧≤ ⎧≥
⎪⎪
∨
⎨⎨
≥≤
⎪⎪

⎩⎩
11
22
t1t1
t1t1

Do đó :
Yêu cầu bài toán
⇔ ≤−< < ∨−< < ≤
11 1
t2t22t2
2
t
()
()
()
()
−≤ ≤
⎧⎧
−
+≤ − +>
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨⇔ ∨
⎨⎨ ⎨ ⎨
+> +≤
>−>
⎩⎩
⎪⎪
⎩⎩

⇔≥∨≤−
1f 2 0 1f 2 0
2m 5 0 2m 5 0
2m 5 0 2m 5 0
1f 2 0 1f 2 0
55
mm
22

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình :
a/
33
1cosxsinx sinx+−=
b/
32
cos x cos x 2sin x 2 0++ −=
c/
()
(
)
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+= − −

d/
co

t gx tgx sin x cos x−= +
e/
33
sin x cos x sin x cos x−=−

f/
1t

gx sinxcosx+= +
g/
sin 2x 2 sin x 1
4
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=

k/
(
)
sin 2x 12 sin x cos x 12 0−−+=

l/
sin x cos x
1
sin 2x 1
+
=
+

m/
3
3

1 cos 2x 1 cos x
1cos2x 1sinx
−−
=
+−

n/
()
(
)
5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x++− = +
o/
1

sin x cos x sin 2x 2cos 2x 0+++ + =
p/
22
sin x cos x cos2x sin x cos xsin x cos x−+= +
r/
()(
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+= − −
)
=
s/
23
cos x sin x cos x 0++
t/
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x−= −
2. Cho phương trình

()
(
)
sin 2x sin x cos x m 1+=

a/ Chứng minh nếu
m> 2 thì (1) vô nghiệm
b/ Giải phương trình khi
m2=
3. Cho phương trình
(
)
sin 2x 4 cos x sin x m+−=

a/ Giải phương trình khi m = 4
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
4. Cho phương trình :
(
)
sin x cos x m sin x cos x 1 0
−
++=

a/ Giải phương trình khi
m2=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
ĐS : m 1≥

5. Cho phương trình
()
2
2
3
3tg x m tgx cot gx 1
sin x
+= + =

Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
ĐS : m 4≥


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn