Tải bản đầy đủ (.pdf) (19 trang)

ôn luyện đại học chuyên đề lượng giác Phương trình đối xứng sinx và cosx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.64 KB, 19 trang )

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

()
(
)
asinx cosx bsinxcosx c 1++ =

Cách giải
Đặt =+ ≤t sin x cos x với điều kiện t 2
Thì
t 2 sin x 2 cos x
44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
=+=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Ta có :
(
)
2
t 1 2sin xcos x nên 1 thành=+
()
2
b
at t 1 c
2
+−=



2
bt 2a t b 2 c 0⇔+−−=

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤
giải phương trình
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
2sin x t
4
ta tìm được x
Bài 106 : Giải phương trình
(
)
23
sin x sin x cos x 0 *++=
(*)
()
(
)
2
sin x 1 sin x cos x 1 si n x 0⇔++−=
()
(
)
⇔+ = + − =1sinx 0haysinxcosx1sinx 0


(
)
()
sin x 1 1
sin x cos x sin x cos x 0 2
=−⎡


+− =



() ()
()
2
1x k2kZ
2
Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x
π
•⇔=−+π∈
π
⎛⎞
•=+=−
⎜⎟
⎝⎠
≤=+


Vậy (2) thành
2
t1
t0
2

−=

()
2
t2t10
t1 2
t1 2loại
⇔−−=

=−


=+



Do đó ( 2 )

2cos x 1 2
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟

⎝⎠


π
⎛⎞
⇔−=−=ϕ<ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔−=±ϕ+ π∈ ϕ= −
π
⇔=±ϕ+ π∈ ϕ= −


2
cos x 1 cos với 0 2
42
2
xh2,h,vớicos
42
2
xh2,h,vớicos
42
π
1
1


Bài 107 : Giải phương trình
()

33
3
1 sin x cos x sin 2 x *
2
−+ + =

() ( )( )
3
* 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2 x
2
⇔− + + − =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện t2≤
Thì
2
t12sinxcos=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
2
t1 3

1t1 t 1
22
⎛⎞

−+ − = −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()()
()
()
()
22
32
2
2t3t 3t 1
t3t3t10
t1t 4t1 0
t1t 2 3t 2 3loại
⇔− + − = −
⇔+ −−=
⇔− ++=
⇔=∨=−+ ∨=−−

với t = 1 thì
1
sin x sin
44
2

ππ
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔+= = π∨+ = + π∈
π
⇔= π∨=+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2 x k2,k
2

với
π−
⎛⎞
=− += =
⎜⎟
⎝⎠
32
t32thìsinx sin
4
2
ϕ


ππ −
⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈ =
ππ −
⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈ = ϕ


32
xm2x m2,m,vớis
44
2
33
xm2x m2,m,vớisin
44
2
ϕin
2

Bài 108
:Giải phương trình
()
(
)
2sinx cosx tgx cotgx*+=+
Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0


⇔≠




Lúc đó (*)
()
sin x cos x
2sinx cosx
cos x sin x
⇔+=+

()
22
sin x cos x 1
2sinx cosx
sinxcosx sinxcosx
+
⇔+= =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì =+ ≤ ≠
22
t12sinxcosxvớit 2vàt1

(*) thành
2
2
2t
t1
=


3
2t 2t 2 0⇔−−=

(Hiển nhiên
t
không là nghiệm)
1=±
()()
()
2
2
t22t2t20
t2
t 2t 1 0 vô nghiệm
⇔− ++ =

=


++=




Vậy
()
⇔*
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔+=+ π∈
π
⇔=+ π∈


sin x 1
4
xk2,k
42
xk2,k
4



Bài 109 : Giải phương trình
()
(
)
(
)
3cotgx cosx 5tgx sinx 2*−−−=

Với điều kiện
sin
, nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx thì :
2x 0≠ 0≠
() ( )
(
)
⇔−−−=
22
* 3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 2 sin x cos x
(
)
(
)
() ()
()(
()
()
⇔−−−= −
⇔−+−−+⎡⎤⎡
⎣⎦⎣

⇔−+−−+
+− =



−=


22
3cos x1 sinx 5sin x1 cosx 5sinxcosx 3sinxcosx
3cos x cos x 1 sin x sin x 5 sin x sin x 1 cos x cos x 0
3cos x cos x sin x cos x sin x 5sin x sin x sin x cos x cos x 0
sin x cos x sin x cos x 0 1
3cosx 5sinx 0 2
)
=⎤

=

( Ghi chú: A.B + A.C = A.D

A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠


Thì với điều kiện :
2
t12sinxcos=+ x
t 2 và t 1

≠±
(1) thành :
2
2
t1
t0t2t
2

10

=⇔ − −=

()
()
t1 2loạidot 2
t 1 2 nhận so với điều kiện

=+ ≤



=−



Vậy
()
12
sin x sin 0 2
42
π−
⎛⎞
+= =α<α<π
⎜⎟
⎝⎠

ππ
⎡⎡
+=α+ π =α−+ π
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−α+ π ∈ = −α+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣


xk2 xk2
44
3
xk2,kxk2,
44
k


() ()
⇔ ==β⇔=β+π∈ <β<π
3
2 tgx tg x h , h với 0
5


Bài 110
: Giải phương trình
(
)
()
32
2
31 sinx
x
3tg x tgx 8cos *
42
cos x
+
π
⎛⎞
−+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Lúc đó : (*)

()
()
()
22
tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x 4 1 cos x
2


π
⎛⎞
⇔−+++=+−
⎜⎟


⎝⎠



()
41 sinx=+

()
()
(
)
()
()
()
()
()

()
22
2
2
2
tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0
3tg x 1 sinx cos x sin x cos x 0
3tg x 1 1
sinx cosx sinxcosx 0 2
⎡⎤
⇔−+++−
⎣⎦
⇔−++=
⇔− ++ =

=


++ =


=

()
2
13
(1) t
g
xt

g
xx
336
Giải 2 đặt t sin x cosx 2 sin x
4
π
•⇔ =⇔ =± ⇔=±+πk
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
+

Với điều kiện
t 2 và t 1≤≠±
Thì
2
t12sinxcosx=+
(2) thành :
2
2
t1
t0t2t1
2

0
+
=⇔ + −=
()

()
t 1 2 loại diều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện

=− − ≤



=− +


Vậy
21
sin x sin
4
2
π−
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
xk2,k xk2,k
44
3
xk2,kxk2,
44
ππ
⎡⎡
+=ϕ+ π∈ =ϕ−+ π∈

⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−ϕ+ π ∈ = −ϕ+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
¢¢
¢¢k


Bài 111 : Giải phương trình
(
)
−= −+
33
2sin x sin x 2 cos x cosx cos2x *
()
()
()
33 22
* 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0⇔−−−+−=

()
(
)
()
()
sinx cosx 0 hay 2 1 sinxcosx 1 sinx cosx 0

sin x cosx 0 1
sin x cosx sin 2x 1 0 2
⇔−= + −+ + =
−=⎡


++ +=



()
()
1tgx1
xk,k
4
xét 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x
4
•⇔ =
π
⇔=+π∈
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
¢


Với điều kiện :
t2≤

2
t1sin2x=+
()
()
2
Vậ
y
2thànht t 1 1 0+−+=

()
tt 1 0 t 0 t 1⇔+=⇔=∨=−

Khi t = 0 thì
cos x 0
4
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

()
x2k1,k
42
3
xk,k
4
ππ
⇔− = + ∈
π

⇔= +π∈
¢
¢

Khi
13
t1thìcosx cos
44
2
ππ
⎛⎞
=− − =− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
xk2hayx k2,k
2
ππ
⇔− =± + π∈
π
⇔=π+ π =−+ π∈
¢
¢


Bài 112
: Giải phương trình

(
)
234 2 3 4
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+++=+ + +

Ta có : (*)
()
()
(
)
(
)
() ()( )()
22 33 44
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cos x 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0
⇔−+ − + − + − =
⇔− = ++++ ++=
()
() ()
sin x cos x 0 1
2 sinx cos x sin x cosx 2 0 2
−=⎡


++ +=



Ta có : (1)

tgx 1⇔=
xk,k
4
π
⇔=+π∈
¢

Xét (2) : đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcosx=+
(2) thành
2
t1
2t 2 0
2

++=
()
2

t4t30
t1t3loại
⇔++=
⇔=−∨=−

khi t = -1 thì
13
cos x cos
44
2
ππ
⎛⎞
−=− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
3
xk2,
44
xk2,k
xk2,k
2
ππ

−= + π∈




ππ

−=− + π∈


=π+ π ∈



π

=− + π ∈

¢
¢
¢
¢
k


Bài 113 : Giải phương trình
(
)
(
)
−+−=
233
t
g

x1 sinx cosx 1 0*
Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Lúc đó (*)
()
2
33
2
sin x
1sinx cosx1 0
cos x
⇔−+−=
()
(
)( )
(
)
()()
()
()( )
()
23 32
22
1cosx1sinx 1cosx1sinx 0
1cosx1sinx 0
hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0
⇔− − −− − =
⇔− − =
+++−++ +
()

()
22 2 2
cosx 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện
sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0

=

⇔=


+−−=


=

()
22
cos x 1
sin x cos x sinx cosx sin x cos x 0
=



−+ −=


cosx 1
sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cos x 0
=




−= ++ =


cos x 1 tgx 1
sinx cosx sinxcosx 0
=∨ =



++ =


xk2,k
xk,k
4
sin x cos x sin x cosx 0
=π∈


π

⇔=+π∈


++ =

¢

¢

xét pt
s

inx cosx sinxcosx 0++ =
đặt
()
t sin x cosx 2 cosx x điều kiện t 2 và t 1
4
π
⎛⎞
=+ = − ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠
2
t 1 2sinxcosx⇒=+

Ta được phương trình
2
2
t1
t0t2t1
2

+=⇔+−=0
()
()
t12loại
t12nhậnsovớiđk


=− −



=− +


Vậy
21
co s x cos
4
2
π−
⎛⎞
−= =ϕ
⎜⎟
⎝⎠
xk2,kxk2,
44
ππ
⇔− =±ϕ+ π∈⇔=±ϕ+ π∈
¢¢k


Bài 114 : Cho phương trình
()
(
)
m sin x cosx 1 1 sin 2x *++=+


Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0,
2
π







Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π

=+ = −

⎝⎠


, điều kiện t2≤
Thì
2
t1sin2=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
mt 1 t+=

Nếu
3
0x thì x
24 44
ππ π
≤≤ ≤+≤
π

Do đó
2
sin x 1
24
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠

1t 2⇔≤≤

ta có
()
2
mt 1 t+=
2
t
m
t1
⇔=
+

(do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
Xét
2
t
ytrên1,
t1
⎡⎤
=
⎣⎦
+
2
Thì
()
2
2
t2t
y' 0 t 1, 2
t1
+
⎡⎤
=>∀∈
⎣⎦
+

Vậy y tăng trên
1, 2
⎡⎤
⎣⎦

Vậy (*) có nghiệm trên

()
()
1,
y
1m
y
2
2
π
⎡⎤
⇔≤≤
⎢⎥
⎣⎦

()
⇔≤ ≤ −
1
m2 21
2




Bài 115 : Cho phương trình
(
)
33
cos x sin x msin xcosx *+=
a/ Giải phương trình khi
m2=


b/ Tìm m để (*) có nghiệm
Ta có : (*)
(
)
(
)
cosx sinx 1 sinxcosx msinxcosx⇔+ − =

Đặt
tsinxcosx 2cosxx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
()
t2≤
Thì
2
t12sinxcosx=+
Vậy (*) thành
22
t1 t1
t1 m
22
⎛⎞⎛

−−
−=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝




(
)
(
)
22
t3 t mt 1⇔−= −

a/ Khi
m= 2
ta có phương trình
()
(
)
(
)
22
t3 t 2 t 1−= −
()()
32
2
t2t3t20
t2t22t10

t 2 hay t 2 1 hay t 2 1( loại)
⇔+ −− =
⇔− + +=
⇔= =− + =− −

Vậy
cosx x 1 x k2 ,k x k2 ,k
44 4
ππ π
⎛⎞
•−=⇔−=π∈⇔=+π
⎜⎟
⎝⎠
¢¢



12
cos x cos
4
2
xk2,kxk2,
44
π−
⎛⎞
•−= =α
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔− =±α+ π∈⇔= ±α+ π∈¢¢k


b/ Xét phương trình
()
(
)
(
)
22
t3 t kt 1 **−= −

Do không là nghiệm của (**) nên
t=±1
()
3
2
3t t
** m
t1

⇔=


Xét
() {}
3
2
3t t
yCtrên2,2\
t1


⎡⎤
=−
⎣⎦


Ta có
()
4
2
2
t3
y' 0 t 1
t1
−−
=<∀=

±
)

suy ra y giảm và
(
trên 1,1−

lim , lim
xx
yy
+−
→− →
=+∞ =−∞
11

Do đó
() {}
trên 1,1 2, 2 \ 1
⎡⎤
−⊂− ±
⎣⎦
ta có
(d) y = m cắt (C)
3
2
3t t
yvớim
t1

=∀

R∈
Vậy (*) có nghiệm
mR∀∈


Bài 116 : Cho phương trình
() ()
111
msinx cosx 1 t
g
xcot
g
x0
2sinxcosx

⎛⎞
+++ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
*

a/ Giải phương trình khi
1
m
2
=

b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên
0,
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
si
ta có
n 2x 0≠
(*)
()
1sinx cosx 1 1
msinx cosx 1 0
2cosxsinxsinxcosx
⎛⎞

⇔+++ +++
⎜⎟
⎝⎠
=

()
(
)
()
()()
()
()
2
m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cosx sin x cosx sin x cosx 0
sin x cosx 0 1
msin2x sinx cosx 1 0 2
⇔+++++
⇔+++++=
⇔+++++

+=


++ +=


=
=


Xét (2) đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Thì
2
t1sin2=+ x
Do
sin 2x 0 nên t 2 và t 1≠≤=±
Vậy (*) thành :
()
2
t0
mt 1 t 1 0
=


−++=


()
()
t 0 nhận so điều kiện
mt 1 1 0 (dot 1)


=


−+= ≠−



a/ Khi
1
m
thì ta được :
2
=
()
t0
t 1 loại do điều kiện
=


=−



Vậy sinx + cosx = 0
tgx 1
xk,k
4
⇔=−
π

⇔=−+π∈¢

b/ Ta có :
0x x
24 4
ππ π
<< ⇔−<−<
4
π

Lúc đó

2
cos x 1 1 t 2
24
π
⎛⎞
< − ≤⇒<≤
⎜⎟
⎝⎠

(
t0 1,2

=∉

Do
Nên g ta xét phươn trình :
(
)

(
)
mt 1 1 0**−+=

()
** mt m 1⇔=−

1
t1
m
⇔=−
(do m 0 thì (**) vô nghiệm)
Do đó : yêu
=
cầu bài toán
1
11 2
⇔<− ≤

m
1
m0
0

<

−>
m
1
m21

1
12
12
m
m21

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≤=−−
⎪⎪
−≤




⇔≤− −


Bài 117 : Cho
(
)
(
)
=
++−+
3
2
f x cos 2x 2 sinx cosx 3sin2x m


a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tính theo m giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của f(x)
Tìm m cho
()
fx 36 x R≤∀∈⎡⎤
⎣⎦

2
()
t x
⎛⎞
=
sin x cos x 2 cos điều kiện t 2
4
π
+ = − ≤
⎜⎟
⎝⎠

x
Đặt
Thì
2
t1sin2=+

(
)
2
2224
cos 2x 1 si

2
2x 1 t 1 t 2t=− =− − =− +

n
Vậy
() ()
(
)
423 2
fx thành
g
t t 2t 2t 3 t 1 m=− + + − − +

a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
t0t1⇔=∨=
vậy khi m = -3 thì f( ) = 0
()
tt 2t1 0⇔− − + =

22
x
()
1
cosx 0haycosx
44
π
⎛⎞ ⎛
⇔−=
⎜⎟ ⎜
⎝⎠

2
x2k1hayx k2,k
4244
π

−=

⎝⎠
ππππ
⇔− = + − =±+ π∈¢


3
xk
4
π
⇔= +π

hay x k2 x k2 , k
2
π
=
+π∨=π∈¢

b/ Ta
()
(
)

g

32 2
' t 4t 6t 2t 2t 2t 3t 1
=
−+ −=− −+
Vậy
()
g'


t 0
1
t0t1t
2
t2,2
=
⇔=∨=∨=

⎡⎤
∈−

⎣⎦

Ta có :

() ()
147
g
03m
g
1,

g
m
216
⎛⎞
=
+= = +
⎜⎟
⎝⎠

() ()
g2=423m,g2 m342−+ =−−
Vậy :
(
)
(
)
t2,2
x
Maxf x Max
g
tm
⎡⎤
∈−

⎣⎦
==
¡
3+

(

)
(
)
t2,2
xR
Minf x Min g t m 3 4 2
⎡⎤
∈−

⎣⎦
==−−

Do đó :
() ()
2
fx 36, x R 6 fx 6, x R≤∀∈⇔−≤ ≤∀∈⎡⎤
⎣⎦
()
()
R
R
Maxf x 6
Minf x 6
m36
m342 6
≤⎧



≥−



+≤





−≥





42 3 m 3⇔−≤≤

Cách khác : Ta có
()
(
)
()
2
22
gt t t 2t 1 3 m tt 1 3 m
⎡⎤
=− − + + + =− − + +
⎣⎦

Đặt
2

ut t=−
Khi
1
t2,2thìu ,22
4
⎡⎤
⎡⎤
∈− ∈− + =
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
D

Vậy
()
(
)
2
g
thu u3m==−++

() ()
(
)
()
() ( )
RuD
t2,2
R
t2,2

uD
Maxf x Max g t Max h u m 3
Minf x Min g t Min h u m 3 4 2

⎡⎤
∈−
⎣⎦
⎡⎤
∈−

⎣⎦
===+
===−−


Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng
()()
asinx cosx bsinxcosx 0−+ =

đặt t = sinx – cosx
thì
t2sinx 2cosx
44
ππ
⎛⎞ ⎛
=−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝

+




với điều kiện
2
t2thìt12sinxcos≤=−x

Bài 118 : Giải phương trình
(
)
2sinx cot gx 2sin2x 1 *+= +

Điều kiện :
sin x 0 cos x 1≠⇔ =±
Lúc đó (*)
cos x
2sinx 4sinxcosx 1
sin x
⇔+= +
=

()
()()()
()
()
()
⇔+= +
⇔−− −=
⇔−−−+
⇔−= − +=

−=⎡


−− =


22
22
2 sin x cos x 4 sin x cos x sin x
2 sin x sin x cos x 4 sin x 1 0
sinx 2sinx 1 cosx 2sinx 1 2sinx 1 0
2sinx 1 0 hay sinx cosx 2sinx 1 0
2sinx 1 0 1
sin x cos x sin 2x 0 2

() ()
•⇔=
1
Ta có 1 sin x nhận do sin x 0
2


ππ
⇔=+π∨= +π∈

5
xk2x k2,k
66

()

π
⎛⎞
•=−=
⎜⎟
⎝⎠
Xét 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x
4


Với điều kiện
≤≠t2vàt±1
x
0

Thì
2
t1sin2=−
Vậy (2) thành :
()
2
t1t 0−− =
2
tt1⇔+−=

()
15 15
tt
22
−+ −−
⇔= ∨=

loại

Do đó :
()
15
2 sin x nhận do t 2 và t 1
42
π−+
⎛⎞
−= ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠

π−
⎛⎞
⇔−= =
⎜⎟
⎝⎠
51
sin x sin
4
22
ϕ

π

−=ϕ+ π ∈




π

− =π−ϕ+ π ∈




xk2,k
4
xk2,
4
k

π

=ϕ+ + π ∈



π

=−ϕ+π∈




xk2,k
4
5
xk2,

4
k


Bài 119 : Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x *+= − −

Ta có :
()

()
()(
22
* cos x sin x 5 2 2 cos x sin x cos x⇔−+=− −
)
()()
(
)
sin x cos x 2 2 cos x sin x cos x 5 0⇔− −++ −
⎡⎤
⎣⎦
=
()
[

]
sin x cos x sin x cos x 4 5 0⇔− −+−=

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
(*) thành :
(
)
tt 4 5 0+−=

()
2
t4t50
t1t 5loại
⇔+−=
⇔=∨=−

Vậy
()
* ⇔
1

sin x sin
44
2
ππ
⎛⎞
−= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔−=+ π∨−= + π ∈
π
⇔=+ π∨=π+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2xk2,k
2


Bài 120 : Giải phương trình
(
)
33
cos x sin x cos 2x *+=
Ta có (*)
(
)

(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x⇔+ − =−
()
()
⇔+= − =−
+=



−− +=


cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x cosx sin x
sin x cos x 0 1
sin x cos x sin x cos x 1 0 2

Ta có :
()
1tgx⇔=−1
π
⇔=−+π ∈
xk,k
4

Xét (2) đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π

⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcos=− x
(2) thành
2
2
1t
t10t2t1
2

−+=⇔++
0=

t1⇔=−

vậy (2)


1
sin x sin
44
2
ππ

⎛⎞ ⎛
−=−= −
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝




ππ

=π∈
−=−+ π ∈



⇔⇔

π

ππ
=
+π∈

−= + π ∈








xk2,k
xk2,k
44
3
5
xk2,k
xk2,k
2
44


Bài 121 : Cho phương trình
(
)
33
cos x sin x m 1−=
a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ
tc

osxsinx=−
b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm
x,
44
π
π


∈−






Ta có (1)
(
)
(
)
cos x sin x 1 sin x cos x m⇔− + =

Đặt
tcosxsinx 2cosx
4
π
⎛⎞
=−= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2
t12sinxcos=− x
Vậy (1) thành :
2
1t
t1 m
2

⎛⎞

+=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
()
2
t3 t 2m 2⇔−=
a/ Khi m = 1 thì (2) thành
3
t3t20

+=

()
()
()
2
t1t t2 0
t1t 2loại
⇔− +−=
⇔=∨=−

Vậy
πππ
⎛⎞
+= ⇔+=±+π∈

⎜⎟
⎝⎠

2
cos x x k2 , k
42 44

π
⇔= π∨=−+ π∈

xk2 x k2,k
2

b/ Nếu
x,
44
ππ
⎡⎤
∈−
⎢⎥
⎣⎦
thì
0x
42
π
π

+≤

nên

0cosx 1
4
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠


0t 2cosx 2
4
π
⎛⎞
⇔≤= + ≤
⎜⎟
⎝⎠

nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên
0, 2





ta tìm duy nhất một
x,
44
π
π
⎡⎤

∈−
⎢⎥
⎣⎦

xét
()
3
f t t 3t trên 0, 2
⎡⎤
=− +
⎣⎦

()
2
f' t 3t 3⇒=−+

vậy (1) có đúng hai nghiệm
x,
44
π
π


∈−





() ()

3
d y 2m cắt C y t 3t trên 0, 2


⇔= =−+


tại 2 điểm phân biệt
⇔≤ <22m2

2
m1
2
⇔≤<


Bài 122 : Cho phương trình
(
)( )
22
2cos 2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *++=+

a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên
0,
2
π








Ta có :
()
()
(
)(
22
* 2 cos x sin x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x⇔−+ +=+
)

(
)
⇔+= − + =cos x sin x 0 (1 ) hay 2 cos x s in x sin x cos x m ( 2)

Đặt
tcosxsinx 2cosx
4
π

=−= +

⎝⎠


(điều kiện t2≤ )
Thì
2

t12sinxcos=− x
x
Ta có :
()

1sinxcos⇔=−
π
⇔=−⇔=−+π∈

tgx 1 x k , k
4

Ta có : (2) thành
2
1t
2t m
2

+=

()
2
t4t12m**⇔− + + =

a/ Khi m = 2 thì (**) thành
2
t4t30

+=


()
⇔=∨=t1t3 loại

vậy
πππ
⎛⎞
+= ⇔+=±+π∈
⎜⎟
⎝⎠

2
cos x x k2 , k
42 44

π
⇔= π∨=−+π ∈

xk2 x k,k
2

Do đó :
()
π
π
⇔=−+π∨= π∨=−+ π ∈

*x kxk2x k2,k
42

b/ Ta có

ππππ

⎤⎡
∈⇔+∈


⎥⎢⎥

⎦⎣
3
x0, x ,
244

4

vậy
22
cos x
24
π
⎛⎞
−≤ +≤
⎜⎟
⎝⎠
2

1t1⇒− ≤ ≤

Do nghiệm
ππ

⎡⎤
=
−+π∉ ∀∈
⎢⎥
⎣⎦

xk0,,k
42

Nên yêu cầu bài toán
(
)
**⇔
có nghiệm trên
[
]
1,1−

Xét
[
]
2
yt4t1thìy'2t40t 1,1=− + + =− + > ∀ ∈ −

[
]
ytăngtrên 1,1⇒−

Do đó : yêu cầu bài toán
() ()

4y1 2my1 4
2m2
⇔− = − ≤ ≤ =
⇔− ≤ ≤

*
Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng
()
()
22
atgx cotgx btgx cotgx 0±++ =

ta đặt
22 2
ttgxcotgxthìt tgxcotgx2=± = + ±
khi
()
2
ttgxcotgx thìt 2dosin2x1
sin 2x
=+ = ≥ ≤


Bài 123 : Giải phương trình
(
)
22
3 tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0 *++ + +=

Đặt

2
ttgxcotgx
sin 2x
=+ =

Với điều kiện
t2≥

Thì
22 2
ttgxcotgx=+ +2
(*) thành :
(
)
2
3t 2 4t 2 0−++=

2
3t 4t 4 0⇔+−=

()
2
t loại do điều kiện
3
t2

=




=−


Ta có :
2
t2 2sin2x
2sin x
=− ⇔ =− ⇔ =−1

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

Bài 124 : Giải phương trình
(
)
23 2 3
tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x 6 *+++ + + =

Ta có (*)
(
)
(

)
(
)
⇔+ + + + + =
2233
tgx cot gx tg x cot g x tg x cot g x 6

(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
2
22
22
tgx cot gx tgx cot gx 2 tgx cot gx tg x cot g x 1 6
tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx 3 8
⇔+ ++ −++ + −=
⎡⎤
⇔+ ++ ++ + −=
⎣⎦

Đặt
()
2
ttgxcotgx điềukiệnt 2

sin 2x
=+ = ≥

Vậy (*) thành :
()
22
tt tt 3 8++ −=
()
()
()
32
2
2
tt2t80
t2
t2t 3t4 0
t 3t 4 0 vô nghiệm
t2
⇔+−−=
=

⇔− ++=⇔

++=

⇔=

Vậy
2
2sin2x

sin 2x
=⇔ =1

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π ∈


2x k2 , k
2
xk,k
4


Bài 125 : Giải phương trình
()
+++ +=
2
2
2
2tg x 5tgx 5 co t gx 4 0 *
sin x

Cách 1 : (*)
()
(
)
22
2 1 cot g x 2tg x 5 tgx cot gx 4 0


+++++=

()
()
()()
⇔+ +++=
⎡⎤
⇔+ −+++
⎣⎦
22
2
2tgx cotgx 5tgx cotgx 6 0
2 tgx cotgx 2 5 tgx cotgx 6 0=

Đặt
=+ = ≥
2
ttgxcotgx ,vớit2
sin 2x

Ta được phương trình :
2
2t 5t 2 0
+
+=

()
⇔=−∨=−
1

t2t loại
2

Vậy
()
* ⇔
2
2sin2x
sin 2x
=− ⇔ =−1

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện
u0

)
Vậy (*) thành :
2
2
25

22u5u4
uu
++ +++=0

()
()
()
()
()
()
⇔+ + + + =
⇔+ + ++=
⇔+ ++=
⎡=−


++=


43 2
32
2
2
2
22u 5u 5u6u 0
u 1 2u 3u 3u 2 0
u1 2u u2 0
u1nhận
2u u 2 0 vô nghiệm


Vậy (*)

tgx = -1
π
⇔=−+π ∈
xk,k
4


Bài 126 : Cho phương trình
()
2
2
1
cot g x m tgx cot gx 2 0 1
cos x
++++=
()

a/ Giải phương trình khi
5
m
2
=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
Ta có : (1)
(
)
22

tg x cot g x m tgx cot gx 3 0⇔+ + + +=

Đặt
()
2
ttgxcotgx điềukiệnt 2
sin 2x
=+ = ≥

22 2
ttgxcotgx⇒= + +2
Vậy (1) thành :
(
)
2
tmt10 2++=

a/ Khi
5
m
2
=
ta được phương trình
2
2t 5t 2 0
+
+=

()
1

t2t loại
2
⇔=−∨=−

Do đó
2
2sin2x
sin 2x
1
=
−⇔ =−

π
⇔=−+π∈
π
⇔=−+π ∈


2x k 2 , k
2
xk,k
4

b/
Cách 1 :
Ta có : (2)
2
mt 1 t⇔=−−
1
m

t
⇔=−−t
(do t = 0 không là nghiệm của (2))
Xét
1
ytvớit
t
=− − ≥2

Thì
2
22
11
y' 1
tt

=−=
t

Ta có :
y' 0 t 1=⇔=±

Do đó (1) có nghiệm
(
)
(
]
[
)
(d) cắt C trên , 2 U 2,⇔−∞−+∞


55
mm
22
5
m
2
⇔≤−∨≥
⇔≥

Cách 2 : Yêu cầu bài toán
()
2
ft t mt 1⇔=++
= 0 có nghiệm t thỏa
t2≥

Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm
(
)
12 1 2
t,t vớit t≤
và có
nghiệm thì ta có
⎧≤ ⎧≥
⎪⎪

⎨⎨
≥≤
⎪⎪

⎩⎩
11
22
t1t1
t1t1

Do đó :
Yêu cầu bài toán
⇔ ≤−< < ∨−< < ≤
11 1
t2t22t2
2
t
()
()
()
()
−≤ ≤
⎧⎧

+≤ − +>
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨⇔ ∨
⎨⎨ ⎨ ⎨
+> +≤
>−>
⎩⎩
⎪⎪
⎩⎩

⇔≥∨≤−
1f 2 0 1f 2 0
2m 5 0 2m 5 0
2m 5 0 2m 5 0
1f 2 0 1f 2 0
55
mm
22

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình :
a/
33
1cosxsinx sinx+−=
b/
32
cos x cos x 2sin x 2 0++ −=
c/
()
(
)
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+= − −

d/
co

t gx tgx sin x cos x−= +
e/
33
sin x cos x sin x cos x−=−

f/
1t

gx sinxcosx+= +
g/
sin 2x 2 sin x 1
4
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=

k/
(
)
sin 2x 12 sin x cos x 12 0−−+=

l/
sin x cos x
1
sin 2x 1
+
=
+

m/
3
3

1 cos 2x 1 cos x
1cos2x 1sinx
−−
=
+−

n/
()
(
)
5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x++− = +
o/
1

sin x cos x sin 2x 2cos 2x 0+++ + =
p/
22
sin x cos x cos2x sin x cos xsin x cos x−+= +
r/
()(
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+= − −
)
=
s/
23
cos x sin x cos x 0++
t/
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x−= −
2. Cho phương trình

()
(
)
sin 2x sin x cos x m 1+=

a/ Chứng minh nếu
m> 2 thì (1) vô nghiệm
b/ Giải phương trình khi
m2=
3. Cho phương trình
(
)
sin 2x 4 cos x sin x m+−=

a/ Giải phương trình khi m = 4
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
4. Cho phương trình :
(
)
sin x cos x m sin x cos x 1 0

++=

a/ Giải phương trình khi
m2=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
ĐS : m 1≥


5. Cho phương trình
()
2
2
3
3tg x m tgx cot gx 1
sin x
+= + =

Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
ĐS : m 4≥


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn

×