Bài giảng Tín hiệu số Chương 2: Xác suất và quá trình ngẫu nhiên

CHƯƠNG 2: XÁC SUẤT VÀ
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1. Xác suất
2. Quá trình ngẫu nhiên

6:41 PM

Chương 2

1

Xác suất
A, B là hai biến cố
 Hợp của hai biến cố: ít nhất
một trong hai phải xảy ra

 Giao của hai biến cố: hai biến
cố phải xảy ra đồng thời

 Bao hàm : nếu A xảy ra thì
B phải xảy ra

 Hiệu: A xảy ra cịn B khơng
xảy ra

6:41 PM

Chương 2

2

1


Xác suất
A, B là hai biến cố

P(A): xác suất xuất hiện biến cố A

 A và B xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra

 A và B đối lập: nếu A xảy ra thì B khơng xảy ra và ngược lại
̅

S: biến cố chắc chắn xảy ra P(S) = 1

∪ ̅
A và B đối lập

A và B xung khắc

A và B xung khắc

A và B có thể khơng đối lập

6:41 PM

Chương 2

3

Xác suất
S: thơng tin có các giá trị 00, 01, 10, 11
A: thơng tin có các giá trị 00, 10

A và B đối lập

B: thông tin có các giá trị 01, 11

A và B xung khắc

A: thơng tin có các giá trị 00, 10

A và B khơng đối lập

B: thơng tin có các giá trị 01

6:41 PM

A và B xung khắc

Chương 2

4

2


Xác suất
Xác suất có điều kiện:
P(A/B): xác suất xuất hiện biến cố A khi biến cố B đã xảy ra

Công thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B)

6:41 PM

Chương 2

5

Xác suất
Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative
distribution function)
X: biến ngẫu nhiên, x: số thực
F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn x
Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function)

6:41 PM

Chương 2

6

3


Xác suất
Hàm của biến ngẫu nhiên:
Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf của biến ngẫu nhiên Y = g(X)
VD:

Đặt t = ax + b:
x=

Y = aX + b, a > 0

x = -  t = - 
t=y
x=
dx = dt/a

1

1
Tính lại VD trên với a < 0, Y = aX3 + b
6:41 PM

Chương 2

7

Xác suất
Hàm của biến ngẫu nhiên:
Y = aX2 + b, a > 0

| |

1
2
6:41 PM

1
2
Chương 2

8

4


Xác suất
Hàm đặc trưng:

Phương sai:

≡
Trung bình (kỳ vọng tốn):

moment thứ n

Y = g(X):

6:41 PM

Chương 2

9

Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố nhị thức:
!

1

!

!

1

[y]: phần nguyên của y

1
E[X] = np,
6:41 PM

= np(1-p)
Chương 2

10

5


Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố đều:

0

á
0
1

1
2

1
12

6:41 PM

Chương 2

11

Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố chuẩn (Gaussian):
E[X] = mX

1
2
1
2

1
erf
2

1

1
erfc
2

2

2

erf

erfc

2

2
1
erfc
2

1
6:41 PM

: error function

: complementary error function
1
2

Chương 2

2

/

: Q function
12

6


Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố chuẩn (Gaussian):
mX = 0
1

: dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1)
zero-mean, unit variance gaussian random variable

Xác định pdf của Y = aX3 + b với X là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc.

6:41 PM

Chương 2

13

Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố Chi-square (Gamma):
X là biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian
Y = X2 là biến ngẫu nhiên phân bố Gamma
X có trung bình = 0 và phương sai 2

6:41 PM

1
Γ
2
Γ



2
1

(phân bố Gamma
bậc tự do n)
Xi độc lập thống kê,
phân bố Gaussian có
trung bình = 0 và
phương sai 2

1

2
Γ

3
1
;Γ
2
2
1 ! ớChương 2
∈

/

1
Γ
2

/



: hàm Gamma

14

7


Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố Chi-square (Gamma):
(phân bố Gamma
bậc tự do n)

E[Y] = n2
2

1

X phân bố Gaussian có trung bình mX
và phương sai 2
6:41 PM

2
cosh

Chương 2



cosh

2

15

Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố Chi-square (Gamma):
Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi
và phương sai 2
1
2

/2
!Γ
6:41 PM

x0

1

/

x0

: hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc 

Chương 2

16

8


Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố Rayleigh:

Y là biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh
X1 và X2 độc lập thống kê, phân bố Gaussian
có trung bình = 0 và phương sai 2

1

E

x0
x0

6:41 PM

2
1
2
2

2

Chương 2

17

Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
 Phân bố Rayleigh:
Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có
trung bình = 0 và phương sai 2

2

/

1
Γ
2

x0

n chẵn (n = 2m):
1
6:41 PM



1
! 2

x0
Chương 2

18

9


Xác suất

Xác định trung bình, phương sai của biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf:
/

- < x < 

Cho hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy:

Xác định hàm đặc trưng và pdf của:

1

Trong đó Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và có phân bố Cauchy như trên
Áp dụng: E(XY) = EX.EY nếu X, Y độc lập
6:41 PM

Chương 2

19

Chương 2

20

Xác suất

6:41 PM

10

Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo
thông số t (thường là thời gian)
Ký hiệu: X(t)
Xét tập {t1, …, tn} 

là các biến ngẫu nhiên tạo ra từ X(t)

≡

tập {t1+t, …, tn+t} 
ế

,

≡

,…,
,

,…,

ớ , ấ ỳ

6:41 PM

Quá trình ngẫu nhiên dừng

Chương 2

21

Quá trình ngẫu nhiên
Trung bình thống kê

Hàm tự tương quan
,

,

,

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:
,
6:41 PM

Φ
Chương 2

22

11


Quá trình ngẫu nhiên
Hàm tự tương quan
Nếu quá trình ngẫu nhiên khơng dừng có:

,

Q trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary
Hàm tương quan chéo
,

,

,

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:
,
6:41 PM

Chương 2

23

Quá trình ngẫu nhiên
Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density)
Φ
(f): hàm thực, chẵn
Φ

Φ
6:41 PM

Φ∗

Φ
Chương 2

24

12


Quá trình ngẫu nhiên
Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là:
1
2

(nhiễu trắng: white noise)
B

Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số:

B

Xác định tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:
fc

-fc
1
2

Φ

Psd ở ngõ ra mạch lọc:
Φ

Φ

Tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:
0

1
2

Φ

6:41 PM

1
2

Chương 2

2
25

Quá trình ngẫu nhiên
R

Cho quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) là ngõ vào
của mạch như hình vẽ.
X(t)

Y(t)
C

Xác định yy(f), yy() và E[Y2(t)]

Tính H(f)

Φ

Φ

Áp dụng:
Φ
6:41 PM

Chương 2

26

13