Bài giảng xử lí tín hiệu số - Chương 2

Ch
Ch
ương 2
ương 2
: BI
: BI
ẾN ĐỔI
ẾN ĐỔI
Z V
Z V
À ỨNG DỤNG VÀO
À ỨNG DỤNG VÀO


H
H
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
Bài 1 BI
Bài 1 BI
ẾN ĐỔI
ẾN ĐỔI
Z
Z
Bài 2 C
Bài 2 C
ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI
ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI
Z

Z
Bài 3 BI
Bài 3 BI
ẾN ĐỔI Z NGƯỢC
ẾN ĐỔI Z NGƯỢC
Bài 4 H
Bài 4 H
ÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
ÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
Bài 5 GI
Bài 5 GI
ẢI
ẢI
PTSP D
PTSP D
ÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
ÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA


Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
Ký hiệu:
Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}


X(z)
X(z)
x(n) hay x(n) = Z

x(n) hay x(n) = Z
-1
-1
{X(z)}
{X(z)}
BÀI 1 BI
BÀI 1 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
Z
Z
1.
1.
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
Z:
Z:
∑
∞
=
−
=
0n
n
znxzX )()(
→←

Z
 →←
−
1
Z
≡


Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
Bi
Bi
ến đổi Z của dãy
ến đổi Z của dãy
x(n):
x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(*)
(**)
(**)
Trong
Trong
đó
đó
Z – bi
Z – bi
ến số phức
ến số phức

∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(


Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z
-
-
ROC (Region Of Convergence)
ROC (Region Of Convergence)
l
l
à tập hợp tất cả
à tập hợp tất cả
c
c
ác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức
ác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức
sao
sao
cho X(z) h
cho X(z) h
ội tụ
ội tụ

.
.
2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)

+++=
∑
∞
=
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
<
∞→
n
n
nx
0
0
Im(Z)
Re(z)
R
x+
R
x-
R
O

C
Để
Để
tìm ROC c
tìm ROC c
ủ
ủ
a X(z) ta
a X(z) ta
áp dụng
áp dụng
ti
ti
êu chuẩn
êu chuẩn
Cauchy
Cauchy
Ti
Ti
êu chuẩn
êu chuẩn
Cauchy:
Cauchy:
M
M
ột chuỗi có dạng
ột chuỗi có dạng
:
:
h

h
ội tụ nếu
ội tụ nếu
:
:


Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Tìm biến đổi Z & ROC của:


Giải:
Giải:
( )
n
n
az
∑
∞
=
−
=
0
1
1
1

1
)(
−
−
=
az
zX
azaz
n
n
n
>⇔<






−
∞→
1lim
1
1
∑
∞
−∞=
−
=
n
n

znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nn
znua )(
∑
∞
=
−
=
0
.
n
nn
za
)()( nuanx
n
=
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo ti

Theo ti
êu
êu
chu
chu
ẩ
ẩ
n Cauchy,
n Cauchy,
X(z) s
X(z) s
ẽ
ẽ
h
h
ộ
ộ
i t
i t
ụ
ụ
:
:
N
N
ếu:
ếu:
V
V
ậy:

ậy:
a
az
zX
>
−
=
−
Z:ROC;
1
1
)(
1


)1()( −−−= nuanx
n
( )
m
m
za
∑
∞
=
−
−=
1
1
az <⇔
1lim

1
1
<






−
∞→
n
n
n
za
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−−−=
n

nn
znua )1(
∑
−
−∞=
−
−=
1
.
n
nn
za
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
m
m
za
( )
1)(
0
1
+−=
∑

∞
=
−
n
m
zazX
1
1
1

−
−
=
az
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Tìm biến đổi Z & ROC của:


Giải:
Giải:

Theo ti
Theo ti
êu
êu
chu
chu
ẩ
ẩ
n Cauchy,
n Cauchy,
X(z) s
X(z) s
ẽ
ẽ
h
h
ộ
ộ
i t
i t
ụ
ụ
:
:
N
N
ếu:
ếu:

BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
1)
1)
Tuyến tính
Tuyến tính
RROC : )()(
222
=→←
zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→←
zXnx
Z
)()()()(
22112211
zXazXanxanxa
Z
+→←+
)1()()(
−−−=
nubnuanx
nn
ba <
Gi
Gi
ải:
ải:

Nếu:
Nếu:
Thì:
Thì:
Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
v
v
ới
ới
ROC
ROC
ch
ch
ứa
ứa
R
R
1
1
∩
∩
R
R
2
2

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
1
1
)(
−
−
→←
az
nua
Z
n
zb
nub
Z
n
1
1
1
)1(
−
−
→←−−−
bzR <:
2
→←−−−
Z

nn
nubnua )1()(
11
1
1
1
1
−−
−
+
− bzaz
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR >:
1
bzaRRR <<∩= :
21
0
ROC
ROC

Im(z)
Re(z)
/b/
/a/
Theo v
Theo v
í dụ 1 và 2, ta có:
í dụ 1 và 2, ta có:


2)
2)
Dịch theo thời gian
Dịch theo thời gian
a
az
nua
Z
n
>
−
→←
−
z:ROC;
1
1
)(
1
)1()(
−=

nuanx
n
)1()(
−=
nuanx
n
)1(.
1
−=
−
nuaa
n
az
az
az
Z
>
−
→←
−
−
:
1
1
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
R'ROC : )()(
0
0

=→←−
−
zXZnnx
n
Z

R
R
R'



=
trừ giá trị z=0, khi n
0
>0
trừ giá trị z=∞, khi n
0
<0
Ví dụ 3
Ví dụ 3
:
:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Tìm biến đổi Z & ROC của:




N

N
ếu:
ếu:
Th
Th
ì:
ì:
V
V
ới:
ới:
Giải:
Giải:
Theo v
Theo v
í dụ 1:
í dụ 1:
V
V
ậy:
ậy:


3)
3)
Nh
Nh
ân với hàm mũ a
ân với hàm mũ a
n

n
)()(
1
nuanx
n
=
aR'
az
zaXnuanxa
Z
nn
>
−
=→←=
−
−
z:;
1
1
)()()(
1
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
R ROC : )()(
1
azaXnxa
Z
n
= →←

−
)()(
2
nunx =
1
)()()()(
−
∞
−∞=
∑
=→←=
znuzXnunx
n
Z
Giải:
Giải:


N
N
ếu:
ếu:
Th
Th
ì:
ì:
Ví dụ 4
Ví dụ 4
:
:

X
X
ét
ét
biến đổi Z & ROC của:
biến đổi Z & ROC của:
v
v
à
à
1:;
1
1
1
>
−
=
−
zR
z


4)
4)
Đạo hàm X(z) theo z
Đạo hàm X(z) theo z
)()( nunang
n
=
a

az
zXnuanx
Z
n
>
−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )(
=−→←
dz
dX(z)
znxn
Z
dz
zdX
zzGnnxng
Z
)(
)()()(
−=→←=
az
az

az
>
−
=
−
−
:
)1(
21
1
Giải:
Giải:


Theo v
Theo v
í dụ 1:
í dụ 1:
N
N
ếu:
ếu:
Th
Th
ì:
ì:
Ví dụ 5
Ví dụ 5
:
:

T
T
ìm
ìm
biến đổi Z & ROC của:
biến đổi Z & ROC của:


5)
5)
Đảo biến số
Đảo biến số
N
N
ếu:
ếu:
Th
Th
ì:
ì:
( )
)(1)( nuany
n
−=
a
az
zXnuanx
Z
n
>

−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
1ROC : )(z)(
-1
=→←−
( )
)()()(1)( nxnuanuany
n
n
−=−=−=⇒
−
( )
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y

1
1
1
<
−
=
−
==
−
−
−
Ví dụ 6
Ví dụ 6
:
:
T
T
ìm
ìm
biến đổi Z & ROC của:
biến đổi Z & ROC của:


Giải:
Giải:


Theo v
Theo v
í dụ 1:

í dụ 1:
Áp dụng tính chất đảo biến số:
Áp dụng tính chất đảo biến số:


6)
6)
Liên hiệp phức
Liên hiệp phức
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
=→← ROC : (z*)*)(*
7)
7)
Tích 2 dãy
Tích 2 dãy
RRROC : d )(
2
1
)()(
21
1
2121
=







→←
∫
−
νν
ν
ν
π
c
Z
z
XXnxnx
8)
8)
Định lý giá trị đầu
Định lý giá trị đầu
N
N
ếu x(n) nhân quả thì:
ếu x(n) nhân quả thì:
X(z) )0(
∞→
=
Z
Limx
RROC : )()(
222

=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
N
N
ếu:
ếu:
Thì:
Thì:
N
N
ếu:
ếu:
Thì:
Thì:


Ví dụ 7
Ví dụ 7
:
:
T
T
ìm
ìm
x(0)
x(0)

, bi
, bi
ết
ết
X(z)=e
X(z)=e
1/z
1/z
và x(n) nhân quả
và x(n) nhân quả




Giải:
Giải:
X(z) lim)0(
∞→
=
Z
x
9)
9)
Tích chập 2 dãy
Tích chập 2 dãy
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(

111
=→← zXnx
Z
)()()(*)(
2121
zXzXnxnx
Z
→←
;ROC có chứa R
1
∩ R
2
1e lim
1/z
==
∞→Z
Thì:
Thì:
Nếu:
Nếu:
Theo
Theo
định lý giá trị đầu:
định lý giá trị đầu:


5.0:;
5.01
1
)()()5.0()(

1
>
−
=→←=
−
zROC
z
zXnunx
Z
n
2:;
21
1
)()1(2)(
1
<
−
=→←−−−=
−
zROC
z
zHnunh
Z
n
25,0:;
)21(
1
.
)5.01(
1

)()()(
11
<<
−−
==
−−
zROC
zz
zHzXzY
25,0:;
)21(
1
.
3
4
)5.01(
1
.
3
1
11
<<
−
+
−
−=
−−
zROC
zz
)1(2

3
4
)()5.0(
3
1
)(*)()( −−−−== nununhnxny
nn
Z
-1
Ví dụ 8
Ví dụ 8
:
:


T
T
ìm
ìm
y(n) = x(n)*h(n),
y(n) = x(n)*h(n),
bi
bi
ết:
ết:
)()5.0()( nunx
n
=
)1(2)( −−−= nunh
n

Gi
Gi
ải
ải
:
:


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)
x(n)
X(z)
X(z)
R
R
a
a
1
1
x
x
1
1
(n)+a
(n)+a
2
2
x
x

2
2
(n)
(n)
a
a
1
1
X
X
1
1
(z)+a
(z)+a
2
2
X
X
2
2
(z)
(z)
Chứa
Chứa
R
R
1
1
∩
∩

R
R
2
2
x(n-n
x(n-n
0
0
)
)
Z
Z
-n0
-n0
X(z)
X(z)
R’
R’
a
a
n
n
x(n)
x(n)
X(a
X(a
-1
-1
z)
z)

R
R
nx(n)
nx(n)
-z dX(z)/dz
-z dX(z)/dz
R
R
x(-n)
x(-n)
X(z
X(z
-1
-1
)
)
1/R
1/R
x*(n)
x*(n)
X*(z*)
X*(z*)
R
R
x
x
1
1
(n)x
(n)x

2
2
(n)
(n)
R
R
1
1
∩
∩
R
R
2
2
x(n)
x(n)
nhân quả
nhân quả
x(0)=lim X(z ->
x(0)=lim X(z ->
∞)
∞)
x
x
1
1
(n)*x
(n)*x
2
2

(n)
(n)
X
X
1
1
(z)X
(z)X
2
2
(z)
(z)
Chứa
Chứa
R
R
1
1
∩
∩
R
R
2
2
dvv
v
z
XvX
j
C

1
21
)(
2
1
−






∫
π


BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)
x(n)
X(z)
X(z)
ROC
ROC
δ
δ
(n)
(n) 1
1
∀

∀
z
z
u(n)
u(n)
/z/ >1
/z/ >1
-u(-n-1)
-u(-n-1)
/z/ <1
/z/ <1
a
a
n
n
u(n)
u(n)
/z/ > /a/
/z/ > /a/
-a
-a
n
n
u(-n-1)
u(-n-1)
/z/ < /a/
/z/ < /a/
na
na
n

n
u(n)
u(n)
/z/ > /a/
/z/ > /a/
-na
-na
n
n
u(-n-1)
u(-n-1)
/z/ < /a/
/z/ < /a/
cos(
cos(
ω
ω
o
o
n)u(n)
n)u(n)


(1-z
(1-z
-1
-1
cos
cos
ω

ω
o
o
)/(1-2z
)/(1-2z
-1
-1
cos
cos
ω
ω
o
o
+
+
z
z
-2
-2
)
)
/z/ >1
/z/ >1
sin(
sin(
ω
ω
o
o
n)u(n)

n)u(n)
(z
(z
-1
-1
sin
sin
ω
ω
o
o
)/(1-2z
)/(1-2z
-1
-1
cos
cos
ω
ω
o
o
+
+
z
z
-2
-2
)
)
/z/ >1

/z/ >1
1
1
1
−
−
z
1
1
1
−
−
az
21
1
)1(
−
−
−
az
az


BÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
BÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
1. C
1. C
ÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
ÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
∫

−
=
C
n
dzz)z(X
j
)n(x
1
2
1
π
Với
Với
C
C
- đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
- đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều
(+) ngược chiều kim đồng hồ
(+) ngược chiều kim đồng hồ

Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
Các phương pháp biến đổi Z ngược:
Các phương pháp biến đổi Z ngược:

Thặng dư

Thặng dư

Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)


2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b)
b)
Phương pháp
Phương pháp
:
:


Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo
Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo
tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tại tất cả các điểm cực của hàm
tại tất cả các điểm cực của hàm
X(z)z
X(z)z
n-1
n-1

:
:


Thặng dư tại điểm cực
Thặng dư tại điểm cực
Z
Z
ci
ci


bội
bội
r
r
của
của
F(z)
F(z)


được định nghĩa:
được định nghĩa:
[ ]
[ ]
ci
ci

ZZ
r
ci
r
r
ZZ
zzzF
dz
d
r
zF
=
−
−
=
−
−
= ))((
)!1(
1
)(Res
)1(
)1(
Thặng dư tại điểm cực đơn
Thặng dư tại điểm cực đơn
Z
Z
ci
ci

của
của
F(z)
F(z)


được định nghĩa:
được định nghĩa:
[ ] [ ]
ci
ci
ZZ
ci
ZZ
zzzFzF
=
=
−= ))(()(Res
a)
a)
Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
- Khái niệm điểm cực, điểm không.