Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

bài giảng đại số tuyến tính
Nhóm ngành KT và CN
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác
Khoa Toán - Trường Sư Phạm - Trường ĐH Vinh

TS. Ngun Qc Th¬

Ch­¬ng 2.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Nội dung

1

Giới thiệu môn học

2

Tài liệu tham khảo

3

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

TS. Ngun Qc Th¬

Ch­¬ng 2.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

Giới thiệu môn học

ã Kiến thức:

Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ
tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian
vectơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai.

ã Kỹ năng: 1. Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,
tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của ma trận.
2. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.
3. Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:
+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến
tính, hệ sinh.

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều của
không gian vectơ con.
+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

Giới thiệu môn học

4. Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và
đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính. Xác đinh ma trận và biểu
thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
5. Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạng
toàn phương xác định dương, âm hay không xác định.

ã

Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, t­ duy l«gÝc,

cung cÊp cho ng­êi häc cung cơ cđa toán học cao cấp để có
thể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xà hội đặt ra. Người
học thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán học
cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn
chuyên ngành khác.

TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

Tài liệu tham khảo

[1]. Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính,
NXB Hà nội 2013.
[2]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán
cao cấp - Tập 1 - Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, NXB
Giáo dục, Hà Nội 2004.
[3]. Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học
trên MAPLE, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2002.
[4]. Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006.
[5]. Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học
Quốc gia Hà Néi 2001.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:
1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính (pttt): Định nghĩa
hệ pttt, nghiệm và tập nghiệm của hệ pttt. Hệ pttt tương tương
và các phép biến đổi tương đương trên hệ pttt. Định lý về điều
kiện có nghiệm của hệ pttt.
2. Hệ pttt Cramer: Định nghĩa hệ pttt Cramer. Định lý Cramer
và công thức Cramer.
3. Phương pháp giải hệ pttt: Giải hệ pttt bằng phương pháp
Cramer và phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss).
4. Hệ pttt thuần nhất: Định nghĩa hệ pttt thuần nhất, tính chất
nghiệm của hệ pttt thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản. Mối liên hệ
giữa nghiệm của hệ pttt tổng quát và hệ pttt thuần nhất tương
ứng.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.1.

Định nghĩa.

Cho

K = R

hoặc

phương trình tuyến tính(pttt), hệ số trên

C

và m, n

N .

K là một hệ phương trình

gồm có m phương trình, n ẩn cã d¹ng:



a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



a x + a x + · · · + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




a x + a x + · · · + a x = b
mn n
m
m1 1
m2 2
trong ®ã +) xj , ∀j

= 1, n lµ Èn;
∈ K, ∀i = 1, m, j = 1, n là các hệ số;
+) bi K, i = 1, m là các hệ số tự do.
Dạng (1) gọi là dạng tổng quát của hệ pttt.
+) aij

TS. Ngun Qc Th¬

HƯ

(1)


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

2.1.2. Dạng ma trận của hệ pttt. Cho hệ phương trình tuyến
tính

ã

A

(1).Ký hiệu:

...
...

a1n

.
.
.

.
.
.

.
.
.

am2

...

a11

a12

a21

= .
 ..

a22

am1

a2n 


amn

pttt (1).



...
...

a1n

.
.
.

.
.
.

.
.
.

am2

...

a11

a12

 a21

•A= .
 ..

a22

am1

a2n

amn

(më réng) cđa hƯ pttt (1).
TS. Nguyễn Quốc Thơ


gọi là ma trận hệ số của hệ




mì n
b1



b2

.
.
.

bm




mì(n+1)

gọi là ma trận bổ sung

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính







b2

ã [b] =  . 
 .. 

x2 
 
[x] = .
..

b1

bm

x1

;

xn

mì 1

.

nì1

Ta gọi [b] là ma trận cột các hệ số tự do và [x] là ma trận cột các
ẩn. Khi đó (1) được viết lại nh­ sau:



...
...

a1n

.
.
.

.
.
.

.
.

.

am2

...

a11

a12

 a21

 ..
 .

a22

am1

hay d­íi d¹ng ký hiƯu

 
x1

 
a2n 
 x2 
amn

A[x]



b1

 b2 
 
  ..  =  .. 
 .   . 

= [b]

xn

bm

(2)

Ta gọi dạng (2) là dạng ma trận của hệ pttt (1)

TS. Ngun Qc Th¬




Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
Chú ý 1.



a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


a x + a x + · · · + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
Gi÷a hƯ pttt

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(1)



a x + a x + · · · + a x = b
mn n
m 
m1 1
m2 2
a11
a12
. . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 



vµ ma trËn bæ sung A =  .
.
.
.
. 
.
.
.
.
 ..
.
.
.
. 
am1 am2 . . . amn bm
mì(n+1)
là tương ứng 1 1, có nghĩa là: Cho một hệ pttt tổng quát (1) thì
tồn tại duy nhất một ma trận bổ sung A và ngược lại cho ma trận
A thì tồn tại duy nhất hệ pttt
TS. Nguyễn Quốc Thơ

(1) nhận A làm ma tr©n bỉ sung.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 1. Hệ phương trình nào sau đây là hệ pttt. Nếu là hệ pttt
h·y viÕt d¹ng ma trËn cđa nã.

(

− 5x2 + 4x3 = 1
−2x1 + 7x2 = 2
x1

(∗)

(
−3x1 + 2x2 x3 + 4x3 = 0
x1 + 7x2 + 11x3 = 1

()

Lời giải.

ã Hệ () là hệ pttt và dạngmatrận của nó là
 

 x
1
1
5 4 1
x2 =

.
2
2 7 0
x3

ã

Hệ

()

không phải là hệ pttt, vì phương trình thứ nhất của hệ

không thỏa mÃn định nghĩa hệ pttt.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.3. Nghiệm của hệ pttt. NghiƯm cđa hƯ pttt n− Èn A[x]
lµ mét bé sè n sè cã thø tù
xi

= αi , i = 1, n

α = (α1 , α2 , . . . , n )

= [b]

mà khi thay

vào tất cả các phương trình của hệ thì ta được

đẳng thức đúng.

ã Nghiệm của hệ pttt n− Èn A[x] = [b] cã thĨ viÕt d­íi mét trong
ba d¹ng sau


α = (α1 , α2 , . . . , αn );
•



α1
 α2 
 ;
· · ·
n

Tập hợp tất cả các nghiệm của của

x1 = 1



x = α
2
2
· · · · · · · · ·



x =
n
n
hệ pttt n ẩn

A[x]

= [b]

được gọi là tập nghiệm của hệ. Giải một hệ phương trình có nghĩa
là tìm tập nghiệm của hệ phương trình đó.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.4. Hệ phương trình tương đương. Hai hệ pttt được gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm
của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại (hoặc cả hai hệ
đều là vô nghiệm).
2.1.5. Định nghĩa.

ã

Phép biến đổi tương đương trên hệ pttt. Một phép biến đổi

biến một hệ pttt đà cho thành một hệ pttt mới tương đương với
nó được gọi là phép biến đổi tương đương trên hệ pttt.

ã

Các phép biến đổi sơ cấp trên hệ pttt. Các phép biến đối sau

được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên hệ pttt:

: Đổi chỗ hai phương trình của hệ
P2 : Nhân hai vế của một phương tr×nh cđa hƯ víi mét sè α 6= 0
P3 : Cộng vào một phương trình một bội k của phương trình khác.
P1

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.6. Định lý.
Các phép biến đổi sơ cấp P1 , P2 , P3 trên hệ pttt là các phép
biến đổi tương đương.

1 giữa hệ pttt

a
x
+
a
x
+
Ã
Ã
Ã
+
a
x

11 1
12 2
1n n = b1


a x + a x + · · · + a x = b
21 1

22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.



a x + a x + · · · + a x = b
mn n
m
m1 1
m2 2


a11
a12
. . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


vµ ma trËn bæ sung A =  .
.
.
.
. 
.
.
.
. 
 ..

.
.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
m×(n+1)

Theo
Chó ý 1 ta cã t­¬ng øng 1

TS. Ngun Qc Th¬

Ch­¬ng 2.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Do đó ta có chú ý sau:
Chú ý 2. Thực hiện các phép biến đổi tương đương P1 , P2 , P3
trên hệ pttt chính là thực hiện các phép biên đổi sơ cấp S1 , S2 , S3
trên hàng của ma trận bổ sung A.
P1
S1
P2

S2
P3
S3

: Đổi chỗ hai phương trình của hệ
: Đổi chỗ hai hàng của A
: Nhân hai vế của một phương trình với 6= 0
: Nhân một hàng của A với 6= 0
: Cộng vào một phương trình bội k của phương trình khác.
: Cộng vào một hàng của A bội k của hàng khác.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.7. Định lý Cronecker - Capelli.
HƯ pttt A[x]

= [b] cã nghiƯm khi vµ chØ khi rank(A) = rank(A).

Chú ý 3. Vì A

A, nên ta chỉ cần biến đổi trên các hàng của A

đồng nghĩa với việc ta đà biến đổi trên các hàng của A. Nghĩa
là:

A

Ba phép biến đổi sơ cấp S ,s ,S
1

2

3

0

= [A|b] −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ [T|b ] = T
hµng



x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 3
VÝ dơ 2. Chøng minh hƯ pttt
x2 + 3x3 + 4x4 = 5


x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = 8
có nghiệm bằng định lý Cronecker - Capelli
TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
Lời giải. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma
trận bổ sung cđa hƯ lµ A. Ta cã:


A

1

2

−3

1

= 0

1

3

4

−2

3

1

1



|
|
|

3



5



1

H −H
−−−−→ 0
3

1

8

0

1

2

−3

1

−−−−−→ 0

1

3

4

0

0

18

16

H

3

+4H2

|
|
|

= rank(T) = 3. Mặt
khác
1 2 3
3
rank(A) = rank(T) = rank 0 1

2

−3

1

1

3

4

−4


6

0

|
|
|

3
5

=T

25

Suy ra rank(A)

0
VËy rank(A)
TS. Ngun Qc Th¬

0

18

1

!

4

 = 3.

16

= rank(A) = 3. Suy ra hƯ ®· cho cã nghiÖm.



3

5
5


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer

(1) được gọi là hệ pttt
Cramer đối víi c¸c Èn x1 , x2 , · · · , xn nếu m = n (số phương trình
2.2.1.

Định nghĩa.

Hệ pttt tổng quát

bằng số ẩn) và ma trận hệ số A không suy biến.
Tức là hệ pttt Cramer là hệ cã d¹ng



a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



a x + a x + · · · + a x = b
21 1
22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



a x + a x + · · · + a x = b
nn n
n
n1 1
n2 2
víi det(A)

TS. Ngun Qc Th¬

6= 0.

(3)

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 2.

2.2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer
Ví dụ 1. Hệ phương trình nào sau đây là hệ pttt Cramer? Vi sao?

(

+ x2 = 5
5x2 − x3 = 0

2x1



x1 + x2 + x3 = 1
(A) 2x2 − x3 = 3


x1 + 3x2 = 4



2x1 + x2 = 5
(B) 5x2 − x3 = 10



x1 + x3 = 16

ã Hệ (A) không phải là hệ pttt Cramer vì hệ có 2 pt và 3





1 1 1





ã Vì D =