Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh )

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

bài giảng đại số tuyến tính
Nhóm ngành KT và CN
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác
Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh

TS. Nguyễn Quèc Th¬

Ch­¬ng 4.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Nội dung

1

Giới thiệu môn học

2

Tài liệu tham khảo

3

Chương 4. Anh xạ tuyến tính

TS. Nguyễn Quèc Th¬

Ch­¬ng 4.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

Giới thiệu môn học

ã Kiến thức:

Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ
tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian
vetơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai.

ã Kỹ năng: 1. Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,
tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của một ma
trận.
2. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.
3. Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:
+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến

tính, hệ sinh.
+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều của
không gian vectơ con.
TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

Giới thiệu môn học

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở.
4. Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và
đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính. Xác đinh ma trận và biểu
thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
5. Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạng
toàn phương xác định dương, âm hay không xác định.

ã

Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,

cung cÊp cho ng­êi häc cung cơ cđa to¸n häc cao cấp để có
thể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xà hội đặt ra. Người
học thấy được môn häc cung cÊp cho hä c¸c kiÕn thøc to¸n häc
cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn
chuyên ngành khác.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

Tài liệu tham khảo

[1]. Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính,
NXB Hà nội 2013.
[2]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán
cao cấp - Tập 1 - Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, NXB
Giáo dục, Hà Nội 2004.
[3]. Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học
trên MAPLE, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2002.
[4]. Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006.
[5]. Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học
Quốc gia Hà Néi 2001.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

Chương 4. Anh xạ tuyến tính
Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:
1. Khái niệm ánh xạ: Định nghĩa, cách nhận biết một tương ứng
là một ánh xạ. Định nghĩa, tính chất của ảnh và tạo ảnh. Đơn
ánh, toàn ánh, song ánh, tích ánh xạ và ánh xạ ngược.
2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính: Định nghĩa, tính chất đơn giản
của ánh xạ tuyến tính. Định lý về sự xác định ánh xạ tuyến tính.
Khái niệm đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu.
3. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính: Khái niệm ảnh và
hạt nhân. Mối liên hệ giữa ảnh, hạt nhân và tính đơn cấu, toàn
cấu, đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính.
4. Ma trận - Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính: Xác định
ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.
5. Giá trị riêng - Vectơ riêng: Định nghĩa, cách xác giá trị riêng
và vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ
4.1.1. Định nghĩa.ã Cho hai tập hợp X, Y

6= .

Một ánh xạ f từ

tập X vào Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x

X với

Y.
ã Phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, ký hiệu
là y = f(x) (hoặc x 7 y). Tập hợp X được gọi là tập nguồn (hay
tập tạo ảnh), tập Y gọi là tập đích (hay tập ảnh) của ánh xạ f.
ã Ký hiệu
một và chỉ một phần tử xác định y

f :X
x

Y
7 y = f(x)

hoặc
f

TS. Nguyễn Quốc Thơ

: X Y : x 7→ y = f(x).


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ

= { các sinh viên trong một lớp học }, Y = { tuổi }
và Z = { tên }.
Ví dụ 1. Đặt X

1). Quy tắc đặt tương ứng sinh viên A với tuổi của A có phải là
ánh xạ từ X vào Y không? Vì sao?
2). Quy tắc đặt tương ứng sinh viên A với tên của người thân của
A có phải là ánh xạ từ X vào Z không? Vì sao?
Ví dụ 2. Đặt X

= { các tam giác}, Y = { các đường tròn }.

1). Quy tắc đặt tương ứng một tam giác với đường tròn ngoại tiếp
tam giác đó có phải là ánh xạ từ X vào Y không? Vì sao?
2). Quy tắc đặt tương ứng một đường tròn với tam giác nội tiếp
đường tròn đó có phải là ánh xạ từ Y vào X không? Vì sao?
Ví dụ 3. Quy tắc đặt tương ứng một số thực x với bình phương
của nó đó có phải là ánh xạ từ
TS. Nguyễn Quốc Thơ

R vào R+

không? V× sao?

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ
4.1.2. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f
Khi đó f

:

X

−→

Y vµ g

:

X

−→

Y.

= g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ X.

: X Y.
ã Khái niệm ảnh. +) Với a X thì phần tử p = f(a) Y gọi là ảnh
của phần tử a qua ánh xạ f.
+) Với A X thì tập hợp f(A) = {f(u) | u A} gọi là ảnh của
tập con A qua ánh xạ f.
+) Nếu A = X thì tập hợp f(X) = {f(k) | k X} gọi là ảnh của
ánh xạ f và viết Im(f) = f(X).
ãTạo ảnh +) Với b Y thì tập hợp f1 (b) = {x X | f(x) = b}
gọi là tạo ảnh của phần tử b qua ánh xạ f.
1 (B) = {t ∈ X | f(t) ∈ B} gäi lµ tạo
+) Với B Y thì tập hợp f
ảnh của tập con B qua ánh xạ f.
4.1.3. Khái niệm ảnh và tạo ảnh. Cho ánh xạ f

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

4.1. Khái niệm ánh xạ

: R\{1} R được xác định bởi
+1
x R\{1}.
f(x) =
x1
Tìm tạo ảnh của b = 2 và B = [0, 2].
Lời giải ã Tạo ảnh của phần tử b = 2 lµ

−1 (2) = {k ∈ R\{1} | f(k) = 2}
f
k+1
= {k R\{1} |
= 2} = {3}
k1
ã Tạo ¶nh cđa tËp con B = [0, 2] lµ
−1 ([0, 2]) = {t ∈ R\{1} | f(t) ∈ [0, 2]}
f
t+1
= {t ∈ R\{1} | 0 ≤
≤ 2} = {t ∈ (, 1] [3, +)}.
t1
Ví dụ 4. Cho ánh xạ f
x

TS. Ngun Qc Th¬

Ch­¬ng 4.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ

: X

: X Y, xác định bởi
x X : h(x) = g(f(x))

4.1.4. Tích ánh xạ. Cho các ánh xạ f
Khi đó ánh xạ h

T và g

:

T

Y.

được gọi là tích (hay hợp thành) của ánh xạ f và g và được ký

= g f : X −→ Y.
Chó ý 1. TÝch g ◦ f tån tại Tập đích của f (ký hiệu là Đf ) trïng
hiƯu lµ h

víi TËp ngn cđa g (ký hiƯu là Ng ).

4.1.5. Tính chất của phép nhân ánh xạ.
1). Tích ánh xạ không giao hoán, nghĩa là g

f 6= f g.

2). Tích ánh xạ nếu tồn tại thì có tính chất kết hợp, nghĩa là:

: X T, g : T −→ K vµ p : K −→ Y.

◦ (g ◦ f) = (p ◦ g) ◦ f

Cho các ánh xạ f
Khi đó p

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ

: R R và g : R [1, 1], xác
định bởi f(x) =
1 và g(a) = sin(a), x, a R. Xác định các
ánh tích = g ◦ f vµ φ = f ◦ g.
Lêi giải. ã Vì Đf = R = Ng , nên tån t¹i ϕ = g ◦ f : R −→ [1, 1],
2
2
xác định bởi (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(x − 1) = sin(x − 1).
VËy ¸nh x¹ tÝch ϕ = g ◦ f : R −→ [1, 1], xác định bởi
(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 1) = sin(x2 1).
ã Không tồn tại ánh xạ tích = f g, vì Đg = [1, 1] 6= R = Nf .
4.1.6. Đơn ánh. Một ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh,
Ví dụ 5. Cho các ánh xạ f

2
x

nếu f thỏa mÃn một trong ba điều kiên tương đương sau:

a, b X nếu a 6= b th× f(a) 6= f(b).
2). Víi mäi ∀a, b ∈ X nếu f(a) = f(b) thì a = b.
3). Phương trình y = f(x) với ẩn là x có tối đa mét nghiƯm.
1). Víi mäi

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ¸nh x¹
VÝ dơ 6. Cho c¸c ¸nh x¹:
f

: R −→ R : f(x) = x3 , ∀x ∈ R vµ g : R −→ R : g(x) = x2 , x R.

Khi đó f đơn ánh, nhưng g không đơn ánh.
Lời giải. +) Từ giả thiết, ta thấy ánh xạ f là đơn ánh vì:
nếu a

6= b thì a3 6= b3 ⇒ f(a) 6= f(b).

∀a, b ∈ R

∃a0 = 1, b0 = −1 ∈ R
= 1 = g(b0 ).
Mét ánh xạ f : X Y được gọi là toàn ánh,

+) Nhưng ánh xạ g không đơn ánh, vì

a0 6= b0

mà g(a0 )

4.1.7. Toàn ánh.

nếu f thỏa mÃn một trong ba điều kiên tương đương sau:

y Y luôn tồn tại x X sao cho f(x) = y.
= Y.
3). Phương trình y = f(x) với ẩn là x cã tèi thiĨu mét nghiƯm.
1). Víi mäi

2). Im(f)

TS. Ngun Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ¸nh x¹
VÝ dơ 7. Cho c¸c ¸nh x¹:
f

: R −→ R : f(x) = x3 , ∀x ∈ R vµ g : R −→ R : g(x) = x2 , x R.

Khi đó f toàn ánh, nhưng g không toàn ánh.


y R luôn tồn tại x0 = y ®Ó sao
√ 3
cho f(x0 ) = f( y) = ( y) = y.
+) g không toàn ánh, vì: Với y0 = 1 R thì không tồn tại x0 R
2
sao cho g(x0 ) = x0 = −1.
4.1.8. Song ¸nh. Một ánh xạ f : X Y được gọi là song ánh,
Lời giải. +) f toàn ánh, vì:


3

3

3

nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh.
Ví dụ 8. Cho X

6= ,

ánh xạ idX

:

X



X

:

gọi là đồng nhất. Khi đó idX song ¸nh.
VÝ dơ 9. Theo VÝ dơ 6 vµ VÝ dơ 7 thí ánh xạ f
bởi f(x)

= x3 , x R cũng là một song ánh.

TS. Nguyễn Quốc Thơ

idX (a)

= a, a

X

: R R xác định

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ánh xạ

4.1.9. Định lý.

: X T, g : T Y. Khi đó, nếu f và g đơn
ánh (toàn ánh, song ánh) thì ánh xạ tích = g f cũng là đơn
Cho các ánh xạ f

ánh (toàn ánh, song ánh).

: X Y. Một ánh xạ

X được gọi là ánh xạ ngược của f nếu thỏa mÃn ®iỊu
(
f ◦ g = idY
kiƯn:
(trong ®ã idX , idY lµ ánh xạ đồng nhất trên X
g f = idX
1 .
vµ Y). Ký hiƯu g = f
VÝ dơ 10. Cho idX : X X là ánh xạ đồng nhất trên X. Khi đó
ánh xạ ngược của idX là idX .

4.1.10. Anh xạ ngược. Cho ánh xạ f

g

:

Y

TS. Nguyễn Quốc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.1. Khái niệm ¸nh x¹

: R −→ R : f(x) = x3 . Khi đó ánh xạ

ngược của f là g : R −→ R : g(y) =
y,
∀y ∈ R.
Lêi gi¶i. ThËt vËy, ∀a, b ∈ R, ta cã:
√
√
(f ◦ g)(a) = f(g(a)) = f( a) = ( a)3 = a = idR (a) ⇒ f ◦ g = idR .
√ 3
(g ◦ f)(b) = g(f(b)) = g(b3 ) = b = b = idR (b) ⇒ g ◦ f = idR .

VËy f ◦ g = idR = g ◦ f. Do đó theo định nghĩa ánh xạ ngược thì

g : R R : g(y) =
y,
y R là ánh xạ ngược của f.
Ví dụ 11. Cho ánh xạ f

3

3

3

3

3

4.1.11. Định lý.
Cho ánh xạ f

: X Y. Khi đó ánh xạ ngược của f tồn tại và

duy nhất khi và chỉ khi f là một song ánh.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính
4.2.1. Định nghĩa. Cho V và W là hai

K kgvt. Một ánh xạ
W, a 7 f(a) được gọi là ánh xạ tuyến tính (axtt) (hay
ánh xạ K− tuyÕn tÝnh; ®ång cÊu tuyÕn tÝnh) nÕu,
1). f(a + b) = f(a) + f(b),
∀a, b ∈ V.
2). f(λa) = λf(a),
∀λ ∈ K; ∀a, b ∈ V.
Hai ®iỊu kiƯn 1). và 2). tương đương với điều kiện sau:
3). f(a + β b) = αf(a) + β f(b),
∀a, b ∈ V; , K.
Điều kiện 3) tổng quát cho một hệ n vectơ như sau: Một ánh
xạ f : V W, a 7 f(a) được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay ánh
xạ K tuyến tính; đồng cấu tuyến tÝnh) khi vµ chØ khi
n
n

P
P
4).
f
αi ai = αi f(ai ), ai V; i K.
f

:

V

i=1

Một ánh xạ tuyến tính f
tuyến tính trên V.
TS. Nguyễn Quốc Thơ

i=1

: V V được gọi là một phép biến đổi


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 1. Tuyến tính không là ánh xạ

: V W, (x) = W

(vectơ không),x

V.

Ví dụ 2. Tuyến tính đồng nhất là ánh xạ
idV

: V −→ V, idV (x) = x, ∀x ∈ V.
2 R2 , xác định bởi:
Ví dụ 3. Chứng minh ¸nh x¹ f : R
2
f(x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 2x1 − x2 ), ∀x = (x1 , x2 ) R là axtt.
2
Lời giải ã a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ∈ R , ta cã:
f(a + b) = f(a1 + b1 , a2 + b2 )
= (a1 + b1 + a2 + b2 , 2a1 + 2b1 − a2 − b2 )
= (a1 + a2 , 2a1 − a2 ) + (b1 + b2 , 2b1 − b2 )
= f(a1 , a2 ) + f(b1 , b2 ) = f(a) + f(b).
ã Tương tự, ta cũng chứng minh được f(ka) = kf(a), ∀k ∈ K,
∀a ∈ R2 . VËy f là axtt.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính

4.2.2. Định nghĩa.

ã Cho ánh xạ tuyến tÝnh f : V −→ W. Khi ®ã:

+) NÕu f là đơn ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gọi là đơn cấu

tuyến tính (hay đơn cấu).
+) Nếu f là toàn ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gäi lµ toµn cÊu
tuyÕn tÝnh (hay toµn cÊu).
+) NÕu f là song ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gọi là đẳng cấu
tuyến tính (hay đẳng cấu).

ã Hai kgvt V và W được gọi là đẳng cấu (ký hiệu là V
= W), nếu
tồn tại ánh xạ đẳng cấu f : V W.
ã Một đẳng cấu tuyến tính f : V V còn được gọi là tự đẳng
cấu của V.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ¸nh x¹ tun tÝnh
4.2.3. TÝnh chÊt cđa axtt.
TÝnh chÊt 1.

: V W là axtt. Ký hiệu V và W
không của V và W. Khi đó:
+)
f(V ) = W .
+)

f(a) = −f(a) ∀a ∈ V.
+)
f(a − b) = f(a) − f(b) a, b V.
Cho f

tương ứng là vectơ

Tính chất 2.
Cho các axtt f : V T và g : T W. Khi đó, ánh xạ tích
= g ◦ f : V −→ W cịng lµ axtt.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính

Tính chất 3.

: V T và g : T −→ W. NÕu f vµ g lµ đơn cấu
(toàn cấu, đẳng cấu ) thì ánh xạ tích ϕ = g ◦ f : V −→ W còng là
Cho các axtt f

đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu ).

Tính chÊt 4.

: V −→ W vµ g : V −→ W. Khi đó, ánh xạ tổng
= f + g : V W, xác định bởi
(x) = (f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀x ∈ V

Cho c¸c axtt f

là axtt.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

TÝnh chÊt 5.
Cho axtt ϕ : V W. Khi đó, với K, ánh xạ
= . : V W, xác định bởi
(x) = (λϕ)(x) := λ(ϕ(x)), ∀x ∈ V
lµ axtt.
TÝnh chÊt 6.
Cho axtt

ϕ : V −→ W vµ A lµ mét hƯ gåm có n vectơ pttt trong

(A) pttt trong W.

V. Khi đó hƯ vect¬

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ánh xạ tuyến tính

Chứng minh. Vì hệ vectơ A
các ti

= {a1 , a2 , . . . , an }

pttt, nên tồn tại

K không đồng thời bằng không để sao cho:
= θV ⇒ ϕ(t1 a1 + t2 a2 + . . . + tn an ) = ϕ(θV )
⇒ t1 ϕ(a1 ) + t1 ϕ(a2 ) + . . . + tn ϕ(an ) = θW .
VËy tån t¹i các ti K không đồng thời bằng không để sao cho
t1 ϕ(a1 ) + t1 ϕ(a2 ) + . . . + tn ϕ(an ) = θW .
Do ®ã hƯ vec t¬ ϕ(A) = {ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), . . . , ϕ(an )} pttt.

t1 a1 + t2 a2 + . . . + tn an

Tính chất 7.
Cho đơn cÊu tuyÕn tÝnh

ϕ : V −→ W vµ A lµ một hệ gồm có
(A) đltt trong W.

n vectơ đltt trong V. Khi đó hệ vec tơ

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

= {a1 , a2 , . . . , an } là hệ n vectơ đltt trong
K sao cho:
⇒ t1 ϕ(a1 ) + t1 ϕ(a2 ) + . . . + tn ϕ(an ) = θW .
⇒ ϕ(t1 a1 + t2 a2 + . . . + tn an ) = (V ) và vì là đơn cấu
t1 a1 + t2 a2 + . . . + tn an = V . Mặt khác A ®ltt, do ®ã ∀ti = 0.
VËy tõ sù bttt ⇒ t1 ϕ(a1 )+ t1 ϕ(a2 )+. . .+ tn ϕ(an ) = θW ⇒ ∀ti = 0.
Do ®ã hƯ vec t¬ ϕ(A) = {ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), . . . , (an )} đltt.
Chứng minh. Cho A

V. Giả sử tồn tại các ti

4.2.4. Định lý. (Sự xác định ánh xạ tuyÕn tÝnh).

= {e1 , e2 , . . . , en } là một cơ sở của Kkgvt V và
A = {a1 , a2 , . . . , an } là một hệ gồm có n vectơ trong Kkgvt
W. Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, sao
cho f(ei ) = ai , ∀i = 1, n.

Cho E

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 4.

4.2. Khái niệm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

Cho E = {e1 , e2 , . . . , en } là một cơ sở cđa V vµ
= {a1 , a2 , . . . , an } là một hệ gồm có n vectơ trong K kgvt
W. Giả sử tồn tại ánh xạ tuyến tÝnh f : V −→ W, sao cho f(ei ) = ai .
n
P
xi ei
Khi đó với x V thì tồn tại duy nhất xi K để sao cho x =

Chó ý 1.

A

⇒ f(x) = f

n
P
i=1

xi ei




=

n
P
i=1

xi f(ei )

=

n
P
i=1

f(x)

TS. Nguyễn Quốc Thơ

=f

i=1

xi ai .

: V W, xác định bëi
n

P
xi ei =
xi ai , ∀x ∈ V.

VËy, ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f

n
P

i=1

i=1