Chuyên đề tích phân (Hoàng Huy Sơn)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (468.74 KB, 22 trang )
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
1
I. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
(
( )
u u x
)
1
2
2
( 1)
1
1
ln ( 0)
(0 1)
ln
cos sin
sin cos
1
tan
cos
1
cot
sin
x x
x
x
dx x c
x
x dx c
dx x c x
x
e dx e c
a
a dx c a
a
xdx x c
xdx x c
dx x c
x
dx x c
x
1
2
2
( 1)
1
1
ln ( 0)
(0 1)
ln
cos sin
sin cos
1
tan
cos
1
cot
sin
u u
u
u
du u c
u
u du c
du u c u
u
e du e c
a
a du c a
a
udu u c
udu u c
du u c
u
du u c
u
Nhắc lại vi phân của hàm số: Vi phân của hàm số
( )
f x
ký hiệu là
( ( ))
d f x
được xác định:
( ( )) ( )
d f x f x dx
Áp dụng vi phân của hàm số ta có ta có
( )
ln ( )
( )
u x dx
u x c
u x
Một số kết quả quen thuộc:
1)
tan ln cos
xdx x c
2)
cot ln sin
xdx x c
3)
ln tan
sin 2
dx x
c
x
4)
ln tan
cos 2 4
dx x
c
x
II. Công thức Niutơn – Laipnit:
( ) ( ) ( ) ( ),
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
trong đó
( )
F x
là một nguyên
hàm của
( ).
f x
III. Các tính chất của tích phân
1) ( ) 0 2) ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx
3) ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
4) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5) ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
6) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0
b
a
f x x a b f x dx
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
2
7) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx
8) ( ) ; [ ; ] ( ) ( ) ( )
b
a
m f x M x a b m b a f x dx M b a
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi trực tiếp
* Tính tích phân
( )
b
a
f x dx
dạng cơ bản
Phương pháp: Phân tích
( )
f x
thành tổng các hàm số có dạng cơ bản
+ Biến đổi về dạng
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
b b
a a
f u x u x dx f u x du x
(Cơ sở của phép đổi biến).
+ Sử dụng công thức
1 1 1 1 1
ln
( )( ) ( ) ( )
x b
dx dx c
x a x b a b x b x a a b x a
Chú ý:
( )
ln ( ) ln ( ) ln ( ) .
( )
b
b
a
a
u x
dx u x u b u a
u x
Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
1)cos( ) cos cos sin sin .
a b a b a b
2)cos( ) cos cos sin sin .
a b a b a b
3)sin( ) sin cos cos sin . 4)sin( ) sin cos cos sin .
tan tan tan tan
5)tan( ) . 6)tan( ) .
1 tan tan 1 tan tan
a b a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
2. Công thức nhân
2.1. Công thức nhân đôi
2 2
2
2 tan
1)cos2 cos sin . 2)sin 2 2 sin cos . 3) tan2 .
1 tan
a
a a a a a a a
a
2.1.1. Công thức hạ bậc
2 2
1 cos2 1 cos 2
1)cos . 2)sin .
2 2
a a
a a
2.1.2. Công thức tính theo
cos 2
a
2 2 2
1 1 1 cos 2
1)cos (1 cos2 ). 2)sin (1 cos2 ). 3)tan .
2 2 1 cos2
a
a a a a a
a
2.1.3. Công thức tính theo tan
2
a
t
2
2
1
1)cos .
1
t
a
t
2 2
2 2
2)sin . 3)tan .
1 1
t t
a a
t t
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
3
2.2. Công thức nhân ba
3 3
1)cos 3 4 cos 3cos . 2)sin 3 3 sin 4sin .
a a a a a a
3
2
3 tan tan
3) tan 3 .
1 3 tan
a a
a
a
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
1 1
1)cos cos [cos( ) cos( )]. 2)sin sin [cos( ) cos( )
]
2 2
1
3) sin cos [sin( ) sin( )].
2
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
1)cos cos 2 cos cos 2)cos cos 2 sin sin
2 2 2 2
3) sin sin 2 sin cos 4)sin sin 2cos sin .
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
Một số công thức quen thuộc
1)cos sin 2 cos( )
4
a a a
2)cos sin 2 sin( )
4
a a a
3)cos sin 2 cos( ) 4)cos sin 2 sin( )
4 4
a a a a a a
4 4 2 2
5)cos sin 1 2 sin cos
a a a a
6 6 2 2
6)cos sin 1 3sin cos .
a a a a
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính tích phân
4 4 4
2 2
4
2 2 2 2 2
6
6 6 6
tan 2 tan 2 1 2 7 3
tan 2 cot 3 .
3
sin sin sin cos sin
x x
dx dx dx x x
x x x x x
Ví dụ 2. Tính tích phân
4 4
4
3
6
6 6
1 1 1 1 5 2 11
cos (cos 3 3 cos ) sin 3 3 sin ( ).
4 4 3 4 3 6
x dx x x dx x x
Cách khác:
4 4 4
4
3 2 2 3
6
6 6 6
1 1 5 2 11
cos cos cos (1 sin ) (sin ) sin sin ( ).
3 4 3 6
x dx x xdx x d x x x
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
1 1 1
2
0 0 0
0
1 1 1 1 1 1 2 1 1
ln ln .
( 2)( 2) 4 2 2 4 2 4 3
4
x
dx dx dx
x x x x x
x
Ví dụ 4. Tính tích phân
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
4
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 1 2 5 4 2 5 4 ( 5 6)
5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
x x x d x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x x x
1
1
1
2
0
0
0
1 1 3
4 ln 5 6 4 ln 8 ln2 5ln 3.
3 2 2
x
dx x x
x x x
Chú ý: Có thể biến đổi như sau:
1 1 1 1
2
0 0 0 0
2 1 2( 2) 3 2 3 3 5 3
( 2)( 3) 3 3 2 3 2
5 6
x x
dx dx dx dx
x x x x x x x
x x
1
0
5 ln 3 3ln 2 8 ln 2 5 ln 3.
x x
Ví dụ 5. Tính tích phân
1
1 1 1
3 3 2 3 2
0 0 0
0
1 1 1 1 1 1 1
.
1 8
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2( 1)
x x
dx dx dx
x
x x x x x
Ví dụ 6. Tính tích phân
2 2
2
0
0 0
cos sin (cos sin )
ln cos sin 0.
cos sin cos sin
x x d x x
dx x x
x x x x
Ví dụ 7. Tính tích phân
3
3
0
0
tan tan
1
6 4
ln tan ln tan ln ln 2 3 .
cos 2 4 6 4
1 tan tan
6 4
x
dx
x
Cách khác:
3 3 3 3
2 2
0 0 0 0
1 cos (sin ) (sin )
cos
cos 1 sin
sin 1 sin 1
x d x d x
dx dx
x
x x
x x
0
3
0
3
1 1 1 1 sin 1
(sin ) ln ln(2 3) ln(2 3).
2 sin 1 sin 1 2 sin 1
x
d x
x x x
Ví dụ 8. Tính tích phân
2 2 2
2 2
3 3 3
1 sin (cos )
sin
sin 1 cos
x d x
dx dx
x
x x
2
2
3
3
1 1 1 1 cos 1 1
(cos ) ln ln 3.
2 cos 1 cos 1 2 cos 1 2
x
d x
x x x
Ví dụ 9. Tính tích phân
2 2 2
1 1 1
1 1
1
1 1
2
1 1
1 1 1 1
x x dx
dx
x x dx
x x
x x x x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
5
2
3 3
2 2
1
1 2 2
1 1
2 3 3
x x
3 3 1 2 2
.
3
Ví dụ 10. Tính tích phân
2 2 2 2
4 4 2 2 2
0 0 0 0
1 1
cos sin 1 2cos sin 1 sin 2 1 (1 cos 4 )
2 4
x x dx x x dx x dx x dx
2
0
3 1 3
sin 4 .
4 16 8
x x
Ví dụ 11.
4 4 4
3
4
2
4 2 2
0 0 0
0
1 1 tan 4
. tan 1 (tan ) tan .
3 3
cos cos cos
dx x
dx x d x x
x x x
Ví dụ 12.
2
2 2 2
2
6
6 6 6
cos 1
sin
1 1 cos 1 1 1
2 2
ln( sin ) ln .
sin 2 sin 2 sin 2 2 1
6 2
x
d x x
x
dx dx x x
x x x x x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các tích phân
1)
1
3
2 2
0
(2 .3 ) .
x x
x dx
ĐS:
17 3
.
ln18 5
2)
3
3
2
6
2 cos
.
cos
x
dx
x
ĐS:
5 3 1
.
6 2
3)
2
2
3
1
2
.
x x
dx
x
ĐS:
ln 2 1.
4)
1
3
0
.
1
x dx
x
ĐS:
5
ln 2.
6
5)
2
6 6
0
cos sin .
x x dx
6)
2
3
2
sin 2 .
xdx
ĐS: 0.
7)
4
0
cos .
xdx
ĐS:
3
( ).
8
8)
2
3
0
4 sin
.
1 cos
x
dx
x
ĐS: 2.
9)
3
6
1 cos 2
.
1 cos2
x
dx
x
ĐS:
2 3
( ).
3 6
10)
3
8
2 2
8
.
cos .sin
dx
x x
ĐS: 4.
11)
2
5
0
cos .
xdx
ĐS:
8
.
15
12)
2
1
2 2
xdx
x x
. ĐS:
(7 3 3)
.
3
13)
3
2
4
4 .
x dx
ĐS:
71
.
3
14)
1
3
1
.
x x dx
ĐS:
3
.
2
15)
1
2
0
.
2
dx
x x
ĐS:
2
ln 2.
3
16)
1
2
0
.
2 5 2
dx
x x
ĐS:
1
ln 2.
3
17)
1
2
2
0
.
4
x dx
x
ĐS:
1 ln 3.
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
6
II. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Công thức tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
2
1
ln(1 )
.
x
I dx
x
Đặt
2
2
1 1
2
1
ln(1 )
1 1 1
1
ln(1 ) ln 3 ln 2
1
1
( 1) 2
u x
du dx
x
I x dx
x x x
dv dx
v
x
x
2
1
1 1
1
dx
x x
2
1
1 3
ln 3 ln 2 ln ln( 1) ln 3 3 ln 2.
2 2
x x
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
4
.
sin
x
I dx
x
Đặt
2
2
2
4
4
2
4
1
cot cot ln sin ln2.
1
cot
4 4 2
sin
u x
du dx
I x x xdx x
v x
dv dx
x
Ví dụ 3.
2
1
ln .
e
I x xdx
Đặt
2
2
2 2
2
1
1
1
2
ln
ln
1
ln ln
2 2
2
e
e
du xdx
u x
x
x
I x x xdx e I
dv xdx x
v
Đặt
2 2
2 2
2
1
11
1
1
ln
1 1 1 1
ln .
2 2 2 4 4
2
e
e
e
du dx
u x
x e
x
I x xdx e x
dv x
x
v
Vậy,
2
1
.
4
e
I
Ví dụ 4.
3
3
4
cos
.
sin
x x
I dx
x
Đặt
3
3
2 2
3 3 2
4
4
1 1
cos (sin ) 1
2
2 sin sin
sin sin 2 sin
u x du dx
x
I dx
x d x
dv dx v x x
x x x
6 3 18
.
36
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
7
Ví dụ 5. (Khối B.2011)
3 3 3
1
2 2 2
0 0 0
1 sin 1 sin
3 .
cos cos cos
x x x x
dx dx dx I
x x x
Tính
1
I
đặt
3
3
3
1
2
0 0
2
0
(sin ) 2 1 sin 1
ln
sin
1
cos 3 2 sin 1
sin 1
cos
cos
u x
du dx
x d x x
I
x
x x
dv x
v
x
x
2
ln(2 3).
3
Vậy,
2
3 ln(2 3).
3
I
Ví dụ 6.
1
2
0
( 1)
.
( 1)
x
x e
I dx
x
Đặt
2
( 1)
( ( 1) 1)
1
( 1)
1
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
x
x
1
1
0
0
( 1) 1
( )
1 1
x
x
x e
I e dx
x x
1
0
1 3
( ln 1) ln 2 .
2 2 2
x
e e
e x
Vậy,
3
ln 2 .
2 2
e
I
Ví dụ 7.
2
2 2
1
ln
.
(1 )
x x
dx
x
Đặt
2
2 2
2 2 2
1
ln
1 (1 ) 1
(1 )
2
(1 ) 2(1 )
u x
du dx
x
xdx
d x
dv
v
x
x x
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1
1
1
ln 1 ln 2 1 (1 ) ln 2 1 ln 2 1 8
ln ln .
2 10 4 10 4 10 4 5
2(1 ) (1 ) (1 ) 1
x dx d x x
I
x x x x x x
Ví dụ 8.
3
0
ln 1 .
x dx
Đặt
1
ln 1
2( 1)
du dx
u x
x
dv dx
v x
3 3
3
3
0
0
0 0
1 1 1 1
ln 1 3 ln 2 1 3 ln 2 ln 1
2 1 2 1 2
1 3
3 ln 2 (3 ln 4) 4 ln 2 .
2 2
x
I x x dx dx x x
x x
BÀI TẬP
I. Tính các tích phân
1)
2
0
cos .
x xdx
ĐS:
2 .
2)
1
2
0
( 2 ) .
x
x x e dx
ĐS:
.
e
3)
1
2
0
.
x
x e dx
ĐS:
5
2 .
e
4)
1
3
0
.
x
xe dx
ĐS:
3
2 1
.
9
e
5)
0
sin .
x
e xdx
ĐS:
1
.
2
e
6)
2
1
(2 1)ln .
x xdx
ĐS:
5
6ln2 .
2
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
8
7)
1
2
ln .
e
e
xdx
ĐS:
5
.
e
e
8)
2
1
ln
.
( 1)
e
e
x
dx
x
ĐS: 0.
9)
2
3
1
ln
.
x
dx
x
ĐS:
1 3
ln 2 .
8 16
10)
2
2
0
ln( 1 ) .
x x dx
ĐS:
2 ln( 5 2) 5 1.
12)
11)
3
0
ln 1 .
x x dx
ĐS:
3
4 ln2 .
8
12)
2
2
4
ln(sin )
.
sin
x
dx
x
ĐS:
1
1 ln 2 .
2 4
13)
1
2
0
.
( 1)
x
xe
dx
x
ĐS:
1.
2
e
14)
1
2
1
3
1
ln .
1
x
x dx
x
ĐS:
1 3 4
ln 3 ln 2.
6 8 9
15) KA.2012
3
2
1
1 ln 1
.
x
dx
x
ĐS:
2 2
ln 2 ln 3.
3 3
III. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Biến đổi tích phân
( )
b
a
f x dx
về dạng
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
b b
a a
f u x u x dx f u x du x
, dùng phép đặt
( ) .
u x t
Chú ý một số phép đổi biến:
+ Nếu
( )
f x
chứa
2 2
a x
có thể đặt
sin .
x a t
+ Nếu
( )
f x
chứa
2 2
a x
hoặc
2 2
1
x a
có thể đặt
tan .
x a t
+ Một số trường hợp biểu thức dưới dấu tích phân có chứa
( )
n
g x
thì có thể đặt
( ) .
n
g x t
+ Một số trường hợp có thể đặt
sin ;cos ; tan ;cot ;sin cos ;
x t x t x t x t x x t
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. (Khối B.2012) Tính tích phân
1
3
4 2
0
.
3 2
x
I dx
x x
Đặt
2
t x
;
2
dt
xdx
0 0;
x t
1 1.
x t
1
2
0
1
2
3 2
tdt
I
t t
1
0
1 1 2
2 1 2
dt
t t
1
2 ln 3 3 ln2 .
2
Ví dụ 2. (Khối D.2011)
4
0
4 1
.
2 1 2
x
dx
x
Đặt
2 1 . 0 1, 4 3.
t x dx tdt x t x t
3
4 3 3
3 3
2 2
0 1 1
1
4 1 2 3 10 2
2 4 5 2 5 10 ln 2
2 2 3
2 1 2
x t t t
dx dt t t dt t t t
t t
x
34 3
10 ln .
3 5
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
9
Ví dụ 3. (Khối A.2005) Tính tích phân
2
0
sin 2 sin
.
1 3 cos
x x
I dx
x
Ta có
2
0
sin (2 cos 1)
.
1 3 cos
x x
I dx
x
Đặt
2
2
1 3 cos 1 3 cos 2 3 sin sin .
3
t x t x tdt xdx xdx tdt
0 2; 1.
2
x t x t
Ta có
2
2
1 2
3
2
2 1
1
1
2. 1
3
2 2 2 2 2 16 2 34
2 1 2 1 .
3 9 9 3 9 3 3 27
t
tdt
t
I t dt t
t
Ví dụ 4.
1 1
ln 2 ln 2
.
ln (ln 1)
e e
x x
dx dx
x x x x x
Đặt
1
ln 1 ; 1 1; 2.
t x dt dx x t x e t
x
2
2
1
1
3
3 ln 1 3 ln 2.
t
I dt t t
t
Ví dụ 5.
1
ln 2 1 ln
.
ln 2
e
x x x
dx
x x
Đặt
2 2
ln 2 ln 2 1 ln .
t x x t x x t x dx
1 2; 2.
x t x e t e
2 2 2 2
2 2
2 2
1
2 2 2 2
ln 2 1 ln
2 4 4 1 1
2 2 2
ln 2 2 2
4 4
e e e ee
x x x
t dt t
I dx dt dt dt
x x t t
t t
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 ln 2 2 2 2 ln ln .
2
2 2 2 2
e
t e
e e
t
e
Ví dụ 6. (Khối A.2010)
1
2 2
0
2
.
1 2
x x
x
x e x e
I dx
e
1 1 1
2 2
2
0 0 0
2 1
.
3
1 2 1 2 1 2
x x x x
x x x
x e x e e e
I dx x dx dx
e e e
Đặt
1 2 2 ; 0 3, 1 1 2 .
x x
t e dt e dx x t x t e
1 1 2
1 2
3
0 3
1 1 1 1 2
ln ln .
2 2 2 3
1 2
e
x
e
x
e dt e
dx x
t
e
Vậy,
1 1 1 2
ln .
3 2 3
e
I
Ví dụ 7.
2 2
2
1
ln ln 1
ln
e
x x x x x
I dx
x x x
1 1 1
1
1
ln
ln ln 1
1
ln ln
ln 1 ln ln ln 1 .
1
e e e
d x x
e
x
I xdx dx x x
x x x x
e
x x x x e e
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
10
Ví dụ 8. (Khối A.2003)
2 3
2
5
.
4
dx
I
x x
Đặt
2
4 ; 5 3; 2 3 4.
t x xdx tdt x t x t
4
2 3 4 4
2
2 2
3 3
3
5
1 1 1 1 2
ln
4 2 2 4 2
( 4)
4
xdx tdt t
I dt
t t t
t t
x x
1 5
ln .
4 3
Ví dụ 9.
ln 5
ln 2
.
(10 1) 1
x x
dx
I
e e
Ta có
ln 5 ln 5
ln 2 ln 2
.
10
(10 ) 1
( 1) 1
x
x x
x
x
dx e dx
I
e e
e
e
Đặt
2
1 1 2 ; ln2 1; ln 5 2.
x x x
t e t e tdt e dx x t x t
1
ln 5 2 1
2
ln 2 1 2
2
2 1 1 1 1 3
ln
3 3 3 3 3
(9 )
(10 ) 1
x
x x
e dx tdt t
I dt
t t t
t t
e e
1 5
ln .
3 2
Ví dụ 10.
2
4
4
cot
1 sin
x
I dx
x
=
2
4
4
cos
sin (1 sin )
x
dx
x x
=
2
3
4 4
4
sin cos
.
sin 1 sin
x x
dx
x x
Đặt
4
sin ,
t x
ta có
1
,
4 4
x t
1
2
x t
và
3
4 sin cos .
dt x xdx
Khi đó
1
4
I
1
1
4
1
dt
t t
=
1
4
1
1
4
1 1
1
dt
t t
=
1
4
1
ln
1
1
4
t
t
1 5
ln
4 2
.
Ví dụ 11.
1
2 2
3
.
4
dx
I
x x
Đặt
2 sin 2cos ; 3 ; 1 .
3 6
x t dx tdt x t x t
6 6
6
2
2 2
3
3 3
2 cos 1 1
cot
4 4
sin
4 sin 4 4 sin
tdt dt
I t
t
t t
3
.
6
Ví dụ 12.
1
2 2
0
4 3
x x dx
. Đặt
2
3 2 sin 3 2 cos cos
3
x t dx tdt dx tdt
0 0, 1 .
3
x t x t
Ta có
1
3 3 3
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
4 2 16 2
4 3 sin 4 4 sin . cos sin cos 1 cos 4
3
3 3 3 3 3
x x dx t t tdt t tdt t dt
2 3 3
( ).
9 3 8
Ví dụ 13. (Dự bị khối B.2010)
2
2
4
1
2 4
.
3
x
dx
x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
11
Đặt
2 sin 2cos ; 1 ; 2 .
6 2
x t dx tdt x t x t
2 2 2 2
2
2
4 4 4 4
6 6 6 6
2 2cos
1 cos cos 1 (sin )
.2 cos cot (cot )
12 12
3.16 sin sin sin sin
t
t t d t
I tdt dt td t
t t t t
2 2
3
3
6 6
1 1 1 1 7
cot 3 .
12 3 12 3
3 sin
t
t
Ví dụ 14.
3
2 3
3
.
( 9)
dx
I
x
Đặt
2
3
3 tan ; 3 ; 3 .
6 4
cos
x t dx dt x t x t
t
3
4 4
4
2 3 2 2 3
6
3
6 6
1 1
3 cos sin
9 9
( 9) cos (9 tan 9)
dx dt
I tdt t
x t t
2 1
.
18
Ví dụ 15. (Dự bị khối D.2010)
2
2
0
sin
.
1 cos
xdx
I
x
Đặt
cos sin ; 0 1, 0.
2
t x dt xdx x t x t
0 1
2
2 2 2
0 1 0
sin
.
1 cos 1 1
xdx dt dt
x t t
Đặt
2
tan (tan 1) ; 0 0; 1 .
4
t x dt x dx t x t x
4 4
2
0 0
(tan 1) 1
1 cos
cos
x
I dx dx
x
x
4 4 4
2 2
0 0 0
cos (sin ) (sin )
cos 1 sin
sin 1 sin 1
x d x d x
dx
x x
x x
0
4
0
4
1 1 1 1 sin 1
(sin ) ln ln(1 2).
2 sin 1 sin 1 2 sin 1
x
d x
x x x
Ví dụ 16.
3
3
6
sin
.
sin
3
xdx
x
Đặt
2
. ; .
3 6 2 3 3
t x dt dx x t x t
2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3
3
6 2 2 2 2
sin
sin cos cos sin
3
sin 1 sin 3 cos
3 3
2 2
sin sin sin sin
sin
3
t
t t
xdx t t
dt dt dt dt
t t t t
x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
12
2 2 2
3 3 3
2
3
2 2
2
2 2 2
2
2
2
3
3
2 2
1 1 3 cos 1 1 3
. cot cot (cot )
2 2 sin 2 2
sin sin
1 3 3
cot cot .
2 4 4
t
dt dt t td t
t
t t
t t
Ví dụ 17.
4 4 4
2 2 2 2 2
0 0 0
tan sin cos sin cos
.
1 sin cos 1 sin (1 sin ) 1 sin
x x x x x
I dx dx dx
x x x x x
Đặt
2
6
1 sin sin cos ; 0 1; .
4 2
t x tdt x xdx x t x t
6
6 6
2
2 2
2
1 1
1
1 1 1 2 2
ln
4
2
2 2 2 2 2
dt t
I dt
t
t t t
2 2 1
ln .
2
2 3
Ví dụ 18. (Khối A.2008)
6
4
0
tan
.
cos2
x
I dx
x
3
6 6 3
4 4 4
2 2 2 2 2
0 0 0
tan tan
,( tan )
cos sin cos (1 tan ) 1
x x t
I dx dx dt t x
x x x x t
0
0
3
2
2
3
3
3
3
1 1 1
1 ln
3 2 1
1
t t
t dt t
t
t
1 10 3
ln(2 3) .
2 27
Ví dụ 19.
4
2
0
sin
.
cos 1 3 cos2
xdx
I
x x
4 4
2 2 2 2
0 0
4 4
3 2
0 0
3
2
sin sin
cos 1 3(2cos 1) cos 6 cos 2
sin sin
.
2
cos 4 2 tan
cos 6
cos
xdx xdx
I
x x x x
xdx xdx
x x
x
x
Đặt
2 2 2
2 2
4 tan tan 1
4 2 tan 2 tan 2 .
2
cos cos
x x
t x t x tdt dx dx tdt
x x
0 2; 2.
4
x t x t
2
2
2
2
1 1 1 2
( 2 2) 1 .
2 2 2 2
I dt t
Ví dụ 20.
7 7
12 12
2
2
4 4
cos sin cos sin
. .
(cos sin )
2 cos ( )
4
x x x x
I dx I dx
x x
x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
13
Đặt
7 2
cos sin ( sin cos ) ; 2; .
4 12 2
t x x dt x x dx x t x t
2
2
2
2
2
2
2
1 2
.
2
dt
I
t
t
Ví dụ 21.
2
2
3
cot
.
(sin cos )sin
xdx
I
x x x
2
2
2
3
cot
.
(1 cot )sin
xdx
I
x x
Đặt
2
1
1 cot
sin
t x dt dx
x
3
1 ; 1.
3 3 2
x t x t
1
1 1
2
2
3
1
3 3
1 1
3
3 3
(1 ) 1 1
2 ln 2
2
t dt
I t dt t t t
t t
1 3 3 3
ln .
6 3 3
Ví dụ 22.
4
3
0
sin
.
cos
4
x
I dx
x
Đặt
; 0 ; 0.
4 4 4
t x dt dx x t x t
0 0 0 0
3 3 3 2
4 4 4 4
2 2
sin
sin cos
4
2 (cos ) 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
t
t t
d t dt
I dt dt
t t t t
0
2
4
2 1 2
tan .
2 4
2 cos
t
t
Ví dụ 23.
2
0
sin 2
.
3 4 sin cos2
xdx
x x
Ta có
I
2 2
2 2
0 0
2 sin cos sin cos
.
3 4 sin 1 2 sin
1 sin
x xdx x xdx
x x
x
Đặt
1 sin cos .
t x dt xdx
0 1, 2.
2
x t x t
2
2
2
2 2
0 1
1
1
sin cos 1
ln
1 sin
t dt
x xdx
t
t
t
x
1
ln 2.
2
Ví dụ 24. (Khối A.2011)
4 4
0 0
sin ( 1)cos sin cos cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x
dx dx
x x x x x x x x x
4
4
0
0
sin cos
2
1 ln sin cos ln 1 .
sin cos 4 2 4
x x x
dx x x x x
x x x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
14
Ví dụ 25. Tính tích phân
4
6
cot
.
sin sin( )
4
x
I dx
x x
4 4 4
2
6 6 6
cot cot cot
2 2
sin sin cos sin 1 cot
sin sin( )
4
x x x
I dx dx dx
x x x x x
x x
Đặt
1 cot
t x
2
1
.
sin
dx dt
x
1 3; 2.
6 4
x t x t
2
3 1
2
3 1
1
2 2 ln 2 3 1 ln( 3 1) 2 ln 2
2 3 1 ln( 3 1) .
t
I dt t t
t
Ví dụ 26.
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
2
2 2
sin sin sin tan
.
1 cos 2 tan
1 1
cos 1 cos 1
cos cos
xdx xdx xdx xdx
I
x x
x x
x x
Đặt
2 2 2
2
1
tan 2 tan 2 2 2 tan . .
cos
t x t x tdt x dx
x
0 2, 3.
4
x t x t
3
3
4 4
2
2
2 2 2
0 0
2
2
tan tan cos 1 1
ln
2 1
1
2 tan cos 2 tan
xdx x xdx tdt t
I
t
t t
x x x
1 3 1 2 1
ln ln .
2
3 1 2 1
Ví dụ 27.
3 3
2 2 2
0 0
3 sin sin 2 sin (3 2 cos )
(2cos 3 cos )(3 2 sin ) cos (2 cos 3)(1 2 cos )
x x x x
I dx dx
x x x x x x
3 3
2 2 2
0 0
sin cos sin
.
cos (1 2 cos ) cos (1 2 cos )
xdx x xdx
x x x x
Đặt
2
1
2 cos 4 cos sin . 0 2, .
3 2
t x dt x xdx x t x t
1 1
1
2 2
2
2 2
2
1 1 1 1 1 1
ln ln 2.
2 (1 ) 2 1 2 1 2
dt t
I dt
t t t t t
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
15
Ví dụ 28.
3 2
2
2
1
.
7
2
4
dx
I
x x
Ta có
3 2 3 2
2 2
2 2
1 1
.
3 3
2 1 ( 1)
4 4
dx dx
I
x x x
Đặt
2
3 3 3 2
1 tan ; 1 0; .
2 2 4
2 cos
x t dx dt x t x t
t
4 4
4
0
2 2
0 0
3 2 3 2 3 3
.
2 3 3 6
3 3
cos tan
4 4
dt
I dt t
t t
Ví dụ 29.
1
1 1
ln
1
ln ln ln 1 1.
( ln ) ln
x
e e
x
e
x e
x x
d e x
xe
dx e x e
x e x e x
Ví dụ 30.
4 4 4
3
4
3 3 3 3
3
4 4 4 4 4
1 1 1 1
1
4 4 3
ln ln .
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1
d x
x dt t
dx dx
t
x x x x x x
t t
Ví dụ 31.
1
2
1
2
1
.
1
x
dx
x
Đặt
1 1
cos sin ; , .
2 3 4
2
x t dx tdt x t x t
1
2
2
4 3
3
2
4
1
2 3 4
2 cos
1 3 2
2
sin cot 2 sin cos sin .
1 2 2 2 12 2
2 sin
2
t
x t t t
dx tdt dt t t
x t
Ví dụ 32.
16 16 16
4 4 2 2 2 2
0 0 0
tan 4 sin 4 sin 4
sin cos cos 4 (1 2sin cos ) cos 4 (1 2sin cos )
x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
4
16 16
0 0
2
3
2
4
4
2
3
2
3
2
2
sin 4 sin 4
4 ( 3 4 cos 4 )
( 3)
3 1 cos 4 3 cos 4
cos 4 cos 4
4 4
1 1 1 1 3 1 3 2 1
ln ln .
3 3 3 3 4
xdx xdx dt
t x
t t
x x
x x
t
dt
t t t
BÀI TẬP
Tính các tích phân
1)
2
0
sin 2
.
cos 1
xdx
x
ĐS:
2(1 ln2).
2)
2
2
0
sin 2
.
4 cos
x
dx
x
ĐS:
4
ln .
3
3)
2
0
sin .ln(1 cos ) .
x x dx
ĐS:
2 ln 2 1.
4)
2
1
0
.
x
xe dx
ĐS:
1
( 1).
2
e
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
16
5)
9
x
1
.
2
e
dx
x
ĐS:
3
.
e e
6)
0
2
1
3 .
x x dx
ĐS:
1
(3 3 8).
3
7)
2
.
1 ln
e
e
dx
x x
ĐS:
2( 3 2).
8)
1
2 ln
.
e
x
dx
x
ĐS:
5
.
2
9)
2
1
1
ln .
e
x
xdx
x
ĐS:
2
3
.
4 4
e
10)
1
2
3
0
.
7
x
dx
x
ĐS:
3
3
3 49.
4
11)
4
3
2
4
.
4
xdx
x
ĐS:
4 3
.
3
12)
1
3
0
1 .
x xdx
ĐS:
9
.
28
13)
1
3 2
0
1 .
x x dx
ĐS:
2 2 2
.
15
14)
2
1
.
1 1
xdx
x
ĐS:
11
4 ln 2.
3
15)
0
1
2
.
2 4 2 1 5
dx
x x
ĐS:
3 1
ln .
2 3
16)
4
0
2 1
.
1 2 1
x
dx
x
ĐS:
2 ln 2.
17)
4
1
2
.
5 4
dx
x
ĐS:
6
4 16ln .
7
18)
1
2
1
2 1
.
1
x
dx
x x
ĐS:
2( 3 1).
19)
3
1
6 2 ln
.
e
x
dx
x
ĐS:
3
3
(8 3 6).
4
20)
2
3
0
cos sin .
x xdx
ĐS:
3
.
4
21)
2
4
0
sin .
xdx
ĐS: 2. 22)
4
tan
2
0
.
cos
x
e
dx
x
ĐS:
1.
e
23)
2
cot
2
4
.
sin
x
e
dx
x
ĐS:
1.
e
24)
12
2
0
1
.
cos 3 (1 tan 3 )
dx
x x
ĐS:
1
ln 2.
3
25)
4
3 2
0
(tan 1) 1
. .
(2 tan 1) cos
x
dx
x x
ĐS:
5
.
18
26)
4
0
sin( )
4
.
sin 2 2(1 sin cos )
x dx
x x x
ĐS:
3 2
1 .
4
27)
7
12
4
2 cos( )
4
.
2 sin 2 2(cos sin )
x
dx
x x x
ĐS:
3 2 2
28).
2
3
2
cos cos .
x xdx
ĐS:
4
.
3
29)
1
2
2 3
0
.
(1 )
x dx
x
HD: Đặt
tan .
x t
ĐS:
.
32
30)
1
2 3
1
.
(2 )
dx
x
HD: Đặt
2 sin .
x t
ĐS: 1.
31)
ln5
0
1
3
x x
x
e e
dx
e
. ĐS:
4
32)
5
2
2
2 2 1
ln( 1) .
1
x x
x dx
x
ĐS:
2
27
48 ln 2 2 ln 2.
2
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
17
33)
4
2
6
tan
cos 1 cos
xdx
x x
. HD: Đặt
2
2 tan .
t x
ĐS:
21
3 .
3
34)
2
3
3
sin
(sin 3 cos )
xdx
x x
. HD: Đặt
1 3 cot .
t x
ĐS:
3
.
8
35)
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
x x dx
x x
. ĐS:
3
5 2 2 2
.
3
e
36)
3 ln 2
2
0
1 3 1
x
x
e dx
e
. HD: Đặt
3 1.
x
t e
ĐS:
19
.
3
37)
4
0
cos( )
4
4 3 sin2
x dx
x
. ĐS:
6
.
18
38)
3
3
1
2
.
2 2
xdx
x
ĐS:
12
.
5
39)
3
2
0
.
2 1 2 1
x
dx
x x x
ĐS:
2
.
3
40)
2
1
1 ln
.
e
x x
dx
x
ĐS:
3
4 5
.
9
e
41) KA.2009
2
3 2
0
cos 1 cos
x xdx
. ĐS:
8
.
15 4
42)
3
1
.
1
x
dx
e
ĐS:
2
2 ln 1 .
e e
43)
3
2
1
3 ln
.
1
x
dx
x
ĐS:
3
1 ln 3 ln2.
4
44)
2
3
4
cos sin cos 2
1 cos sin
x x x
dx
x x
. HD: Đặt
1 cos sin .
t x x
ĐS:
5
ln 2.
8
45)
2
4
0
( sin 2 )cos 2
x x xdx
ĐS:
1
.
8 12
46)
1
2
0
ln( 1) .
x x x dx
ĐS:
3 3
ln 3 .
4 12
47)
4
0
tan .ln(cos )
.
cos
x x
dx
x
ĐS:
2 ln 2 2 1.
48)
3
3
0
cos
.
cos
3
xdx
x
49)
1
2
0
.
1 1
dx
x x
Đặt
cos 2 .
x t
50)
6
6
8
6
3
1
.
x
dx
x
Đặt
6
1 .
t x
51)
3
3
4
.
tan
dx
x
52)
3
4
4
.
tan
dx
x
53) KA.2006
2
2 2
0
sin 2
.
cos 4 sin
x
dx
x x
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
18
CÁC BÀI TẬP ÔN TẬP
Tính các tích phân
2)
1
3
2 ln .
e
x xdx
x
ĐS:
2
2
.
2
e
3)
2
1
ln
.
2 ln
e
x
dx
x x
ĐS:
1 3
ln .
3 2
4)
1
2
0
.
x x
e x e dx
5)
4
1
3
0
.
x
x e dx
ĐS:
1
( 1).
4
e
6)
ln 3
3
0
.
( 1)
x
x
e dx
e
ĐS:
2 1.
7)
0
2
3
1
( 1) .
x
x e x dx
ĐS:
2
3 4
.
7
4
e
8)
9
3
1
1 .
x xdx
ĐS:
468
.
7
9)
2
6
3 5
0
1 cos sin cos .
x x xdx
ĐS:
12
.
91
10)
3
5 3
2
0
2
.
1
x x
dx
x
ĐS:
26
.
5
11)
4
0
.
1 cos2
xdx
x
ĐS:
1 2
( ln ).
2 4 2
12)
2
2
1
1
( ) .
2
x
dx
x
ĐS:
39
6 ln 4.
4
13)
4
2
0
(1 2sin )
.
1 sin 2
x dx
x
ĐS:
1
ln 2.
2
14)
2
2
0
cos (1 sin ) .
x x dx
ĐS:
7
.
3
15)
1
0
.
1
x
dx
e
ĐS:
2
ln .
1
e
e
16)
4
2
0
tan .
x xdx
ĐS:
2
2
ln .
4 32 2
17)
ln5
2
ln2
.
1
x
x
e dx
e
ĐS:
20
.
3
19)
2
0
sin sin 2 sin 3 .
x x xdx
ĐS:
1
.
6
20)
2
4
5
0
.
1
x
dx
x
ĐS:
2
( 33 1).
5
21)
5
4
sin cos
.
1 sin 2
x x
dx
x
ĐS:
ln 2.
22)
2
2
0
cos sin .
x x xdx
ĐS:
2
.
6 9
23)
ln 2
0
1 .
x
e dx
ĐS:
2 .
2
24)
2
2
4
1
1
.
x
dx
x
Đặt t =
2
1
1 .
x
ĐS:
1 5 5
( 2 2).
3 8
25)
3
3
4
0
sin
.
cos
x
dx
x
ĐS:
4
.
3
26)
3
0
cos cos 3 .
x xdx
ĐS:
.
8
27)
2
0
.
1 sin 2
xdx
x
ĐS:
.
4
28)
1
2
0
ln( 1)
.
( 2)
x
dx
x
ĐS:
5
ln 2 ln 3.
3
29)
ln 8
ln 3
.
1
x
x
xe
dx
e
ĐS:
20 ln 2 6 ln 3 4.
30)
2 2
2
3
.
1
dx
x x
ĐS:
1 3
ln .
2 2
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
19
31)
ln12
ln 4
3 .
x
e dx
ĐS:
3
4 .
3
32)
1
2
0
( 1)
.
4
x x dx
x
ĐS:
3
1 ln 2 ln 3.
2
33)
4
3
2
0
sin
.
1 4 tan
xdx
x
ĐS:
1 10
2 .
27 4
34)
6
3
0
sin( )
6
.
(sin 3 cos )
x dx
x x
ĐS:
1
.
48
35)
2
0
sin 2 cos
.
1 cos
x x
dx
x
ĐS:
2 ln 2 1.
36)
7
12
4
(cos sin ) 1 2 cos( )
4
.
1 cos(2 )
2
x x x
dx
x
ĐS:
2
ln 2.
2
37)
1
3 2
0
ln( 3) .
x x dx
ĐS:
9 5
4 ln 2 ln 3 .
4 8
38)
1
3 1
0
.
x
e dx
ĐS:
2
2
.
3
e
39)
2
sin
0
( cos )cos .
x
e x xdx
ĐS:
1 .
4
e
IV. Tính diện tích và thể tích
Tính diện tích hình phẳng
1. Diện tích
S
của hình phẳng
D
giới hạn bởi:
( ) : ( )
: 0
; ;( )
C y f x
Ox y
x a x b a b
tính theo công thức:
( )
b
a
S f x dx
(1)
2. Diện tích
S
của hình phẳng
D
giới hạn bởi:
1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
; ;( )
C y f x
C y g x
x a x b a b
tính theo công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
(2)
3. Diện tích
S
của hình phẳng
D
giới hạn bởi:
( ) : ( )
: 0
; ( )
C x y
Oy x
y c y d c d
tính theo công thức:
( )
d
c
S y dy
(3)
4. Diện tích
S
của hình phẳng
D
giới hạn bởi:
1 1
2 2
( ) : ( )
( ) : ( )
; ;( )
C x y
C x y
y c y d c d
tính theo công thức:
1 2
( ) ( )
d
c
S y y dy
(4)
Chú ý. Cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
20
Ta cần tính
( )
b
a
I f x dx
Trước hết ta giải phương trình
( ) 0,
f x
chọn nghiệm
0
( ; ),
x a b
khi đó
0
( ) ( ) ( )
o
x
b b
a a x
I f x dx f x dx f x dx
.
Tính thể tích khối tròn xoay
1. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên do hình phẳng
D
giới hạn bởi
1
2
( ) : ( )
: 0
:
: ( )
C y f x
Ox y
x a
x b a b
quay xung quanh trục
Ox
tính theo công thức:
2
( ) (1)
b
Ox
a
V f x dx
2. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên do hình phẳng
D
giới hạn bởi
1
2
1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
:
: ;( )
C y f x
C y g x
x a
x b a b
được tính theo công thức:
2 2
( ) ( ) (2)
b
Ox
a
V f x g x dx
3. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên do hình phẳng
D
giới hạn bởi
1
2
( ) : ( )
: 0
:
: ( )
C x y
Oy x
y c
y d c d
được tính theo công thức:
2
( ) (3)
d
Oy
c
V y dy
4. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên do hình phẳng
D
giới hạn bởi
1 1
2 2
1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
:
: ( )
C x y
C x y
y c
y d c d
được tính theo công thức:
2 2
1 2
( ) ( ) (4)
d
Oy
c
V y y dy
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a)
2
ln
x
y
x
;
1
0; ;
2
y x x e
Đs:
2
(ln 4 )
e
(đvdt).
b)
2
5 0; 3 0
y x x y
Đs:
9
2
(đvdt).
c)
2 2
2 2; 3
y x x y x x
Đs:
9
8
(đvdt).
d)
3 2
2 8 1; 6
y x x x y
Đs:
2401
96
(đvdt).
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
21
e)
3
3
y x x
(C) và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ
x
=
0,5
Đs:
27
64
(đvdt).
f)
2
1
2 2
2
y x x
và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ
5
( ; 1).
2
M
Đs:
9
8
(đvdt).
g)
2
6 8;
y x x
tiếp tuyến tại đỉnh parabol đã cho và trục tung Đs:
9
(đvdt).
h)
2 2
4 sin (1 cos ); ; ; 0
y x x x x y
Đs:
5
(đvdt).
i)
(2 cos )sin ;
y x x
0;
y
2
x
;
3
2
x
Đs: 3 (đvdt).
j)
2
2
x
y (P);
2 2
8
x y
(C) (Phần nằm phía trong (P)) Đs:
8
(2 )
3
(đvdt).
k)
2
4 3 ; 3
y x x y x
. Đs:
109
6
(đvdt).
l)
2 2
4 ;
4
4 2
x x
y y
. Đs:
4
2
3
(đvdt).
m)
ln ; 0; 1; 1.
y x x y y
Đs:
1
e
e
(đvdt).
n)
1
; 1; 2; 0.
y y y x
x
Đs:
ln 2
(đvdt).
o)
, 2, 1.
x
y e y x
Đs:
4 2 ln 2
e
(đvdt).
p)
2
2 1; 1
y x y x
. Đs:
16
3
(đvdt).
q)
( 1) ; ( 1)
x
y e x y e x
. Đs:
1
2
e
(đvdt).
r)
2 2
; 2
y x y x
Đs:
1
2 3
(đvdt).
s)
2
(1 )
; 0
1
x x
y y
x
. Đs:
1
1 ln2
4 2
(đvdt).
t)
2 2
2
ln 1
; 0; 0; 1.
1
x x
y y x x e
x
Đs:
1
6
(đvdt).
u)
1; 0; ln 3; ln 8.
x
y e y x x
Đs:
3
2 ln
2
(đvdt).
v)
2 ; 3 ; 0; 0.
x
y y x y x
Đs:
1
2
ln 2
(đvdt).
w)
2 ; 3 ; 0; 3.
x
y y x x x
Đs:
5 1
ln 2 2
(đvdt).
2) Tính thể tích các vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay
quanh
Ox
a)
3
1; 0; 0; 1
y x y x x
. Đs:
23
.
14
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Tích phân
Ths.Hoàng Huy Sơn
22
b)
2
2; 0
y x x y
. Đs:
81
.
10
c)
4
y
x
;
0; 1; 4
y x x
. Đs:
12 .
d)
3 2
1
; 0.
3
y x x y
Đs:
81
.
35
e)
1
; 1; 2; 0.
y y y x
x
Đs:
2 .
f)
0.
x
. Đs:
2
1 3
( ).
2 2
e e
g)
ln ; 0; .
y x x y x e
Đs:
3
(5 2)
. .
27
e
h)
2
4 ;
y x y x
. Đs:
128
.
15
3) Tính thể tích các vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
Oy
a)
2
2 ; 0
y x x y
. Đs:
8
.
3
c)
1
; 1; 2; 0
y y y x
x
. Đs:
.
2
b)
2 2
( 4) ( 4) 1
x y
. Đs:
2
8
d)
2
2 ; 0
y x x y
. Đs:
8
.
3
4) Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi các đường sau:
1; 0; 0; 1.
x
y e y x x
a) Tính diện tích của hình phẳng
.
D
Đs: e (đvdt).
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng
D
quay quanh
.
Ox
Đs:
2
1 3
( 2 )
2 2
e e
(đvtt).
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng
D
quay quanh
.
Oy
Đs:
3
(đvtt).
Đại học An Giang, ngày 23 tháng 4 năm 2013.
