Chuyên đề tích phân

MỘT CÁCH GIẢI BÀI TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
TRONG KÌ THI TUYỂN SINH
Trong phương pháp tích phân từng phần việc vận dụng linh hoạt
phương pháp giúp học sinh giảm đi nhiều thời gian tính toán và dành nhiều
thời gian còn lại để giải quyết các bài toán khác
Phương pháp: Tính
( ). '( )
b
a
I u x v x dx=
∫

(với u(x) ; v(x) là các hàm liên tục trên đoạn [a ; b] )
Đặt
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
= =
 
⇒
 
= =
 
Lúc đó
( . )
b
b
a
a
I u v vdu= −

∫
Công thức trên học sinh nào cũng có thể vận dụng nhưng vấn đề đặt ra
nếu ta thêm một số c trong lúc tìm v (tức là dv = v’(x)dx thì v = v(x)+c ) thì
nhiều bài toán trở nên đơn giản rất nhiều.Sau đây là một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1
0
ln( 1)
e
I x dx
−
= +
∫
Giải
Đặt :
ln( 1)
1
1
dx
u x
du
x
dv dx
v x

= +
=


⇒

+
 
=


= +

Khi đó:

1
1
0
0
1
0
( 1)ln( 1)
1
e
e
e
I x x dx
e x
−
−
−
= + + −
= − =
∫
Ví dụ 2: Tính tích phân:
3

2
1
3 ln
( 1)
x
K dx
x
+
=
+
∫
Giải
Đặt
2
3 ln
1
1
( 1)
1 1
dx
u x
du
x
dx
dv
x
v
x
x x


= +

=

 
⇒
 
=
 
= − + =
+


+ +

(1)
Khi đó:
3
3
1
1
(3 ln )
1 1
x dx
K x
x x
= + −
+ +
∫
(2)

3
1
3 3
(3 ln3) ln 1
4 2
x= + − − +

3
(1 ln3) ln 2
4
= + −
Với ví dụ 1 các bạn cho là bình thường nhưng với ví dụ 2(Đề thi tuyển
sinh đại học khối B câu III) thì không còn bình thường nữa rõ ràng nếu không
cộng thêm số 1 vào
1
1
v
x
= −
+
thì các bạn phải đi tính tích phân
3
1
( 1)
dx
J
x x
=
+

∫
bằng cách tách
1
( 1)x x +
thành
1 1
1x x
−
+
và ra kết quả thêm
khoảng 10 phút nữa
Trên đay là ý kiến của tôi rất mong sự góp ý của các bạn