VĐ Cực trị và các bài toán trong đề ĐH&CĐ

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

VẤN ĐỀ VI

CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)
---------------------------- Biên soạn: Trần Hải Nam ----------------------------

I.
Cơ sở lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x 0 (kể cả x0), kí hiệu v(x0) thế
thì:
a. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0  ⇔ f ( x 0 ) > f ( x ) , ∀x, x ∈ v ( x0 ) và x ≠ x0
Với: x0 gọi là điểm cực đại của hàm số
Y=f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số
N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực đại của đồ thị
b. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0  ⇔ f ( x 0 ) Với: x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số
Y=f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực tiểu của đồ thị
Chú ý: Gọi chung
x0 gọi là điểm cực điểm của hàm số
Y=f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số
N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực trị của đồ thị
2. Điều kiện cần
Hàm số y=f(x) Có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0
 f’(x)= 0
3. Điều kiện đủ
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b) và x0 ∈ ( a, b )
• Hàm số f đạt cực đại tại x=x0  y’=f’(x) đổi dấu từ (+) qua (-)

−∞
+∞
x
x
y’
+ 0 Z f ( x0 ) ]
y
CĐ
• Hàm số f đạt cực đại tại x=x0  y’=f’(x) đổi dấu từ (-) qua (+)
−∞
+∞
x
x
y’
- 0 +
] f ( x0 ) Z
y
CT
II.
Phương pháp giải
1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y=f(x)
Bước 1: tìm miền xác định
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

1


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Bước 2: Tìm y’
Bước 3: Tìm nghiệm x0 (nếu có) của f’(x) và tính y0=f(x0)
Bước 4: Lập bảng biến thiên và dựa vào đây kết luận
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau y = f ( x ) = − x + 6 x + 1
Lời giải
- Miền xác định: R
'
- y ' = f ( x ) = −2 x + 6
'
- f ( x ) = 0 ⇔ −2 x + 6 = 0 ⇔ x = 3
- Bảng biến thiên:
−∞
+∞
x
3
y’
+ 0 y
Z 10 ]
- Vậy hàm số đạt cực trị tại x = 3 và ymax=10
2. Dạng 2: Tính giá trị của một tham số đề hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x0
Bước 1: Tìm miền xác định và tính đạo hàm bậc nhất
Bước 2: Phần thuận
Hàm số đạt cực trị tại x0  f’(x)=0. Từ đây ta tính được giá trị của tham số
Bước 3: Phần đảo
Thay giá trị của tham số mới tìm được vào f’(x). Từ đây tìm nghiệm của f’(x)=0 và lập bảng
biến thiên xem hàm số f(x) có đạt cực trị tại x0 khơng?
2

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) = − x − ( 2m − 1) x + ( m − 5) x + 1
Tính m để hàm số đạt cực trị tại x=1

Lời giải
- Miền xác định: R
2
- y ' = f ' ( x ) = −3x − 2 ( 2m − 1) x + ( m − 5 )
- Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1 => f’(1) = 0
3

2

⇔ −3 − 2 ( 2m − 1) + ( m − 5 ) = 0
⇔ m = −2

- Đảo: Với m = -2

m = −2 ⇒ f ' ( x ) = −3x 2 + 10 x − 7
f ' ( x ) = 0 ⇔ −3 x 2 + 10 x − 7 = 0
x = 1
⇔
x = 7
3


- Bảng biến thiên
x

−∞

1

7

3

+∞

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

2


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

y’
y
III.

- 0
]

+

0

-

CT Z CD ]

- Kết luận: Với m = -2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x =1
Các bài tập áp dụng

1. Cho hàm số y = f ( x ) =

x3
+ m 2 − m + 2 x 2 + 3m 2 + 1 x + m Tính m để hàm số qua một cực
3

(

)

(

)

tiểu (hay cực đại) khi x = -2
x 2 + mx + 1
2. Cho hàm số y = f ( x ) =
Đạt cực đại tại x = 2
x+m

Cùc trị của hàm số

1)- Giá trị lớn nhất giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè

BT1
Tìm Max,Min của y =

1 + sin 6 x + cos 6 x
1 + sin 4 x + cos 4 x

BT2 (§HSP1 2001)
Tìm Max,Min của

3 cos 4 x + 4 sin 2 x
y=
3 sin 4 x + 2 cos 2 x

BT3
a) Tìm Max,Min của
b) Tìm Max,Min của
BT4

y = sin x (1 + cos x )
y = sin x + 3 sin 2 x

1

1

Tìm Max,Min của y = 4 + sin x + 4 − cos x
BT5
Tìm Max,Min của
y=

với

1 + sin 2 x
1 + tgx
− ( a +1)
+a

1 − sin 2 x
1 − tgx

 π
x ∈0; 
 4

BT6
a)Tìm Max,Min của y = sin 3 x + cos 3 x
1

1

1

1

b)Tìm Max,Min của y = 1 + cos x + 2 cos 2 x + 3 cos 3x
1

c)Tìm Max,Min của y = 1 + cos x + 2 cos 2 x + 3 cos 3 x + 4 cos 4 x
d)Tìm Max,Min của y =sin x + cos 2 x +sin x

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

3


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

BT7
y=

Tìm Max,Min của

sin 6 x. cos x + cos 6 x sin x
cos x + sin x

BT8 (ĐHBK 1996)
Cho

0≤x≤

π
2

vµ 2 ≤ m , n ∈ Z

Tìm Max,Min của y = sin m x. cos n x
BT9
Cho 1 ≤ a Tìm Max,Min của y = a + cos x + a + sin x
Tìm Max,Min của y = 1 + 2. cos x + 1 + 2. sin x
BT10
Giả sử

12 x 2 − 6mx + m 2 − 4 +

12
3

= 0 có nghiệm x1, x2 Tìm Max,Min của S = x13 + x 2
2
m

BT11
TTìm Max,Min

của S =

x 2 − ( x − 4 y) 2
x2 − 4y2

Víi x2 + y2 > 0
BT12 (HVQHQT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của S =

x
y
+
y +1 x +1

BT13 (ĐHNT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của S = 3 x + 9 y
BT14 (ĐHNT 2001)
Cho x,y > 0 , x+y=1
Tỡm Max,Min ca

S =

x
1 x

+

y
1 y

BT15 (H Thơng mại 2000)
Tìm Max,Min của y = sin 6 x + cos 6 x + a. sin x. cos x
BT16 (HVQY 2000)
Tìm Max,Min của y = sin 4 x + cos 4 x + sin x. cos x +1
BT17 (ĐH cảnh sát 2000)
Tìm Max,Min của y = 5 cos x − cos 5 x
Víi

−π π 
x ∈
;
 4 4


GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

4


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

BT18 (§HQG TPHCM 1999)
Cho f ( x) = cos 2 2 x + 2.(sin x + cos x) 3 − 3 sin 2 x + m
T×m Max,Min của f(x) . Từ đó tìm m để
BTBS

f ( x)

2

≤36.∀
x

3
2
T×m GTNN y = x + 3x − 72 x + 90 x ∈ [ −5;5]

1
x

1
y

1
3
tho¶ m·n x + y + x ≤ , voi x, y, z > 0
z
2
3
1

Dat t = 3 xyz ∈ (0; ]
HD: C«si P ≥ 3 3 xyz + 3
2
xyz

T×m GTNN y = x + y + z + + +

Tìm GTLN, GTNN của hàm sè
y = sin

2x
4x
+ cos
=1
2
1+ x
1 + x2

T×m GTLN, GTNN cđa hàm số
y = x + cos 2 x

0 x


4

Tìm GTLN cđa hµm sè
y=

x

 π π
+ sin 2 x, x ∈ ;
2
2 2

Tìm GTLN, GTNN của hàm sè
4
y = 2sin x − sin 3 x
3

tren [ 0;π ]

Tìm GTLN, GTNN của hàm số
ln 2 x
tren 1; e3


x
2)- Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong phơng tr×nh, bpt ,hpt, hbpt
y=

BT1
GPT:

x 5 + (1 − x) 5 =

1
16

BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)

Tìm m để phơng trình sau có nghiÖm
2 − x + 2 + x − ( 2 x)(2 + x) = m

BT3(ĐH Y TPHCM 1997)
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
a) x + 9 x = − x 2 + 9 x + m
b) 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

5


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT4
Tìm m để bất phơng trình sau cã nghiƯm
m.x − x −3 ≤ m +1

BT5(§HQG TPHCM 1997)
Tìm m để ( x 2 +1) 2 + m ≤ x x 2 + 2 + 4
®óng víi mäi x thuộc [0;1]
BT7(ĐHGT 1997)
Tìm m để (1 + 2 x).(3 − x) ≥ m + (2 x
®óng

2

− 5 x − 3)

1

x
;3
2


BT8
Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân
BT9
Tìm a dể BPT sau đúng với mọi x thuéc R

biÖt

3 cos 4 x − 5 cos 3x − 36 sin 2 x − 15. cos x + 36 + 24a − 12a 2 > 0

( x 2 − 2 x + 2) 3 − 4 x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + m

BT10

a)Tìm m để (4 + x)(6 x) ≤ x − 2 x + m
®óng víi mäi x thuộc [-4;6]
b) Tìm m để 4 (4 x)(2 + x) ≤ x − 2 x + m 18
đúng với mọi x thuộc [-2;4]
BT11(ĐHQG TPHCM 1998)
2

2

Tìm a để phơng trình có nghiệm duy nhất

3x 2 1
2 x −1

= 2 x − 1 + ax

BT12 (§H QGTPHCM 1997-1998)
a) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm
4(sin 4 x + cos 4 x) − 4(sin 6 x + cos 6 x) − sin 2 4 x = m

b) T×m m dể phơng trình sau có nghiệm
cos 4 x + 6. sin x. cos x = m

c)Tìm m dể phơng tr×nh sau cã nghiƯm sin 4 x + cos 4 x = m 2 . cos 2 4 x
BT13 (§H Cần Thơ 1997)
Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm
6
4
3 cos 2 x + sin x + cos 4 x − m = 2 cos 2 x. 1 + 3 cos 2 2 x BT14(ĐHGT 1999)
a)Tìm m để m. cos 2 x − 4 sin x. cos x + m − 2 = 0
Cã nghiÖm

 π
x ∈  0; 
 4

b)Tìm m để sin x. cos 2 x. sin 3x = m
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

6


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Cã ®óng 2 nghiƯm

π π 
x ;
4 2

BT15
Tìm m để phơng trình sau có nghiÖm
x + 6. x − 9 + x − 6. x 9 =

x+m
6

BT16
Tìm a để bất phơng trình sau đúng với mọi x thuộc R
BT17
Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm
BT18

log 2

Tìm a để hệ bất phơng tr×nh sau cã nghiƯm

(

a.9 x + 4(a −1)3 x + a > 1

)

x 2 + 1 < log 2 (a.x + a )

 3x 2 + 2 x − 1 < 0
 2
 x + 3.mx + 1 < 0

3)- Sử dụng GTLN, GTNN chứng minh bất đẳng thức

BT1
CMR 2 ≤ x + 12 − 3x 2 ≤ 1
Víi mọi x thuộc TXĐ
BT2
a)Tìm m để m x 2 + 8 = x + 2 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
b)Cho a + b + c = 12 CMR
a 2 + 8 + b 2 + 8 + c 2 + 8 ≥ 6. 6

BT3
CMR
víi

1
1
1
2
sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x ≥

2
3
4
3

π 3π 
x ∈ ;
5 5 


BT4
CMR
17 ≤ cos 2 a + 4 cos a + 6 + cos 2 a − 2 cos a + 3 ≤ 2 + 11

BT5
CMR

sin 2 x <

2
 π
x ∈  0; 
3 víi
 2
3x − x

BT6

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

7


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
2( x 3 + y 3 + z 3 ) − ( x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3
CMR
x
víi ∀ , y, z ∈[0,1]
BT7

CMR

1
1 
 1
cot gA + cot gB + cot gC + 3 3 ≤ 2
+
+
sin A sin A sin C


ABC

4)- Cực trị hàm bậc 3

Xác định cực trị hàm số
BT1
Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu
1) y =

1 3
.x + mx 2 + (m + 6).x − ( 2m + 1)
3

2) y = (m + 2).x 3 + 3x 2 + m.x 5
BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)
CMR với mọi m hàm số sau luôn dạt cực trị tại x1; x2 với x1 –x2 kh«ng phơ thc m
y = 2.x 3 − 3( 2m +1) x 2 + 6m.( m +1) x +1

BT3
T×m m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mÃn x1 < -1 < x2 không phô thuéc
m
1
y = .x 3 + (m − 2) x 2 + (5m + 4).x + m 2 + 1
3

BT4(C§SP TPHCM 1999)
Tìm m để y = x 3 3mx 2 + 3(m 2 1) x + m đạt cực tiểu tại x = 2
BT5(ĐH Huế 1998)
Tìm m để y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)
Tìm m để y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1) x − 1 không có cực trị
Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại cực tiểu
BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)
Cho hàm sè y = 2.x 3 − 3(3m +1) x 2 +12.(m 2 + m) x +1
Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
BT8(HVKT MËt m· 1999)
Cho hµm sè y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 2(m 2 + 7m + 2) x 2m(m + 2) Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết
phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT9
Tìm m để f ( x) = x 3 3mx 2 + 4m 3 có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x
GV: Trn Hi Nam Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

8


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT10(ĐH Dợc HN 2000)
Tìm m để f ( x) = 2 x 3 − 3(2m +1) x 2 + 6m(m +1) x +1 có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng
y=x+2
BT11(ĐHQG TPHCM 2000)
Cho (Cm) : y = mx 3 − 3mx 2 + (2m + 1) x + 3 m Tìm m để (Cm ) có CĐ và CT . CMR khi đó đờng
thẳng đi qua CĐ, CT luôn di qua một điểm cố định
BT12
Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 tho¶ m·n x12 + x 22 = 1
y=

4 3
.x − 2(1 − sin a ) x 2 − (1 + cos 2a ).x + 1
3

BT13
Cho hµm sè

1
1
3


y = .x 3 − (sin a + cos a) x 2 + sin 2a .x
3
2
4


1) Tìm a để hàm số luôn đồng biến
2) Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mÃn
2
x12 + x 2 = x1 + x 2

BT14
Tìm m để hàm số

y = x3

3m 2
x +m
2

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đờng thẳng y = x
5)- Cực trị hàm bậc 4

BT1
Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
BT2
CMR hàm số f ( x) = x 4 − x 3 − 5 x 2 + 1
Có 3 điểm cực trị nằm trên mét Parabol
BT3

Cho (Cm) : y = f ( x) = 3x 4 + 4mx 3 + 6mx 2 + 24mx + 1
Biện luận theo m số lợng Cực đại, cực tiểu của (Cm)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu t¹i x0 ∈[ − 2;2]
BT3
Cho (Cm) :

y = f ( x) =

y = x 4 + 8m.x 3 + 3(2m + 1) x 2 − 4

1 4
3
.x − 2 x 3 + ( m + 2) x 2 − ( m + 6).x + 1
4
2

Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cùc trÞ cđa (Cm)

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

9


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT4(ĐH Cảnh sát 2000)
Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

y=

1 4
3
x mx 2 +
4
2

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)
Tìm m để f ( x) = mx 4 + (m −1) x 2 + (1 − 2m) cã ®ung một cực trị
6)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 1

6.1-Sự tồn tại cực trị- đờng thẳng
đi qua CĐ,CT
BT1
Tìm m để các hàm số sau có cực trị
y=

x 2 + 2m 2 x + m 2
x +1

y=

x 2 + (m + 2) x − m
x +1

y=

x 2 + 2mx − m
x+m

y=

x 2 + (m − 1) x − m
x +1

y=

mx 2 + (m + 1) x + 1
mx + 2

(ĐH SPHN 1999)
(CĐ SPHN 1999)
(ĐH Y

Thái Bình 1999 )
y=

2m 2 x 2 + (2 − m 2 )(mx + 1)
mx + 1

(ĐH

Thái Nguyên 2000)
BT2 (ĐH TCKT 1999)
Cho (Cm) :

y=

x 2 + mx m 2

xm

Tìm m để hàm số có CĐ, CT
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ, CT
BT3 (ĐH Dân lập Bình Dơng 2001)
Cho (Cm) : y =

x 2 + (m + 2) x + 3m + 2
x +1

Tìm m để hàm số trên có CĐ, CT
BT4
Tìm a để

y=

x 2 + 2 x. cos a + 1
x + 2. sin a

cã C§ , CT

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

10


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT5

Tìm a để

y=

x 2 . cos a + x + sin 2 a. cos a + sin a
x + cos a

có CĐ , CT

BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của :

y=

x 2 + mx − 8
x−m

BT7
Cho (Cm) :

( m + 1) x 2 − 2mx − ( m 3 − m 2 2)
y=
xm

(m#-1)

Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại các điểm thuộc ( 0 ; 2 )
BT8
Tìm a,b,c để
vuông góc với đờng

ax 2 + bx + c
x2
1 x
y=
2

y=

có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận xiên của đồ thị

6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng toạ độ
BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)
Cho hµm sè (Cm) :

y=

x 2 + mx − m − 1
x +1

Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm quỹ tích của điểm cực trị (Cm)
BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)
Cho hµm sè (Cm) :

y=

x 2 − mx − 2m 2
x 1

Tìm m để hàm số có cực trị. CMR các điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol

cố định
BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
Cho hàm số (Cm) :

y=

x 2 + mx − 2m − 4
x+2

T×m m để hàm số có CĐ,CT. Tìm quỹ tích của điểm CĐ
BT12
Cho hàm số (Cm) : y =

x 2 + m(m 2 − 1) x − m 4 + 1
x−m

CMR: trªn mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng
với m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị khác của m
6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cùc tiÓu
BT13

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

11


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

Tìm m để

y=

2 x 2 3x + m
x−m

y=

(m − 1) x 2 + x + 2
(m + 1) x + 2

có CĐ,CT và

y CD y CT > 8

BT14
Tìm m để

có CĐ,CT và

( y CD − y CT )(m + 1) + 8 = 0

BT15 (ĐHSP1 HN 2001)
Tìm m để

y=

x 2 + 2mx + 2
x +1

có CĐ,CT và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đờng thẳng

x + y + 2=0 là bằng nhau
BT16
Tìm m ®Ó y =

x 2 + (m + 2) x + +3m + 2
x+2

có CĐ,CT đồng thời thoả mÃn

2
2
y CD + y CT >

1
2

6.4-Vị trí tơng đối của các điểm CĐ - CT
BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)
Cho : y =

x 2 + (2m + 3) x + m 2 + 4m
x+m

T×m m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT18 (ĐH QG 1999)
Cho :

y=

x2 + x + m
x +1

Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy
BT19 (ĐH Công Đoàn 1997)
Cho hàm số :

y=

x 2 mx + m
xm

(m#0)

Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT20 (ĐH Thơng Mại 1995)
Cho hàm số :

y=

x 2 mx + 2m 1
x 1

Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục Ox
BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)
Cho hàm số :

x 2 + (m + 1) x − m + 1
y=

xm

Tìm m để hàm số có CĐ,CT và YCĐ. YCT >0
BT22
Tìm m để : y =

x 2 mx + 5 − m
x−m

cã C§,CT cïng dÊu

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

12


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT23
Tìm m để : y =

x 2 + mx m
x 1

Tìm m để : y =

2mx 2 + (4m 2 + 1) x + 2m + 32m 3
x + 2m

cã C§,CT n»m vỊ 2 phÝa của đờng thẳng x-2y-1=0

BT24
có một cực trị thuộc góc (II) và một cực trị

thuộc góc (IV) trên mặt phẳng toạ ®é
BT25
T×m m ®Ĩ : y =

x 2 − (m + 1) x + 4m 2 − 4m − 2
x − m +1

có một cực trị thuộc góc (I) và một cực trị

thuộc góc (III) trên mặt phẳng toạ độ

7)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 2

BT1
Lập bảng biến thiên và tìm cực trị
y=

2x 2 + x 1
x2 − x +1

y=

x 2 + 3x − 4
x2 − x − 2

y=

− 3 x 2 + 10 x − 8
2 x 2 8x + 6

BT2
Tìm m,n để y =

x 2 mx + 2n
x 2 2x + 1

đạt cực đại bằng

5
4

khi x= - 3

BT3
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của y =

2 x 2 + 3x − 1
x 2 − 4 x + 5m

2) ViÕt phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của y =

x 2 − 2x + 5
3x 2 + 2 x m

3) Tìm a,b để y =

(m>1)

ax + b
có đúng một cực trị và là cực tiểu
x + x +1
2

8)- Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối và hàm vô tỷ

BT1
Tìm cực trị hàm số sau y = 2 x
BT2 (ĐH Ngoại Thơng 1998)
Tìm m để phơng trình

1 
 
5

2

+3 x +5

x 2 −4 x +3

= m 4 − m 2 +1

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

13

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

có 4 nghiệm phân biệt
BT3 (ĐH Kinh TÕ 1997)
Cho f ( x) = x +3x −72 x +90
3

2

Maxf ( x)Ã

Tìm x[ 5;
5]

BT4
Tìm m để phơng tr×nh

1 
 
2

x 3 −6 x 2 +9 x −2

= m2 m

có 6 nghiệm phân biệt
BT5

Tìm m để phơng trình 2. x −5 x +4 = x
cã 4 nghiƯm ph©n biệt
2

2

5 x + m

BT6
Tìm cực trị hàm số sau
1) y = 2 x + 3 + − x − 4 x + 5
2) y = x + x +1 + x x +1
BT7
1) Tìm a để hàm số y = −2 x + a x +1 cã cùc tiÓu
2) Tìm a để hàm số y = 2 x + 2 + a x − 4 x + 5 cã cực đại
BT8
Lập bảng biến thiên và tìm cực trị hàm sè sau
1) y =1 − 3x + 5 x + 2
2) y = 3x + 10 − x
3) y = 3 x 3 − 3x
2

2

2

2

2

2

2

4)

y = x.

1−x
1+ x

9)- Cùc trÞ hàm lợng giác
hàm số Mũ,lôgarit

BT1
Tìm cực trị hàm số
y=

cos x
2 cot g.x
sin 3 x

y = cos 2 x − cos x +1

1
1
y = 1 + cos x + . cos 2 x + . cos 3x
2
3
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

14


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
sin x − 2
sin x + 1
y = cos x (1 + sin x )
y=

y = sin 3 x + cos 3 x

BT2
Tìm a để hàm số

1
y = a. sin x + . sin 3 x
3

đạt CĐ tại

x=


3

BT3
Tìm cực trị hàm số
1) y = ( x +1) 2 .e x

2) y = ( x + 1).e
3) y = e x . ln x

x 2 −x
x +1

lg x
x

4)

y=

5)

 −x1 
1
 e  2 + sin  (Khi x#0)
y=  
x

khi x = 0
0

Mọi chi tiết liên hệ Hoặc

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

15

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

16