chuyên đề Số phức lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.46 KB, 27 trang )
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 1
Lời nói đầu
KểtừkhichươngtrìnhtoánTHPTbổsungnộidungsốphức,trongkithi
đạihọccácnămgầnđây,luôncó01điểmdànhchonộidungnày.Sovớicácphần
khác,thì01điểmnàydễlấyhơnnhiều,nhưnộidungkhảosátsựbiếnthiênvàvẽ
đồthịhàmsố.Dễchocảngườidạyvàngườihọc.
Trongchuyênđềnhỏnày,tôichỉxintrìnhbàynộidungsốphứcliênquan
đếnnộidungthicủachươngtrìnhcơbản.Sovớichươngtrìnhhọcnângcao,HS
học theo phân bancơ bản sẽ khôngphải học nội dungdạng lượng giác củasố
phức,phươngtrìnhbậchaivớihệsốphức.TheoPPCTmới,ởbancơbảnbàitập
tìmquỹtíchcácđiểmbiểudiễncácsốphứccũngkhôngcó.Tôixintríchdẫnđề
thiđạihọc,đềthicaođẳng,đềthitốtnghiệpcácnăm2009,2010,2011,2012các
khốiA,B,Dởcảhaichươngtrìnhcơbảnvàvànângcaođểchúngtacùngtrao
đổitừđócóđịnhhướngđúngnhấttronggiảngdạybámsátnộidungthi.
Rấtmongsựđónggópýkiếncủacácthầycôđểchuyênđềđượchoànthiện.
Bình Xuyêntháng3năm2013
Đào thị Tươi.
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 2
Số phức trong đề thi đại học các năm
Khối Năm CTcơbản CTnângcao
2009 Gọiz1,z2lànghiệmcủaPTz
2
+2z +10 =0. Tính GT của BT:
2 2
1 2
A z z
Khôngcó
2010 Tìmphầnảocủasốphứcz,biết
2
( 2 ) (1 2 )z i i
Cho số phức z thỏa
mãn
3
(1 3)
1
i
z
i
.
Tìm modun của
sốphức
z iz
.
2011 Tìmtấtcảcácsốphứczbiết
2
2
z z z
Tính modun của số phức z, biết
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i
A
2012 Khôngcó Cho số phức z thỏa mãn
5( 1)
2
1
z
i
z
Tínhmoduncủasốphức1+z+z
2
2009 Tìm số phức z thỏa mãn
và
. 25
z z
.
Khôngcó
2010 Trong mp(Oxy) tìm tập hợp
điểmbiểudiễncácsốphứcthỏa
mãn
(1 )z i i z
Khôngcó
2011 Tìm số phức z, biết
5 3
0
i
z i
z
Tìm phần thực và phần ảo của số
phức
3
1 3
1
i
z
i
B
2012 Khôngcó Gọi z
1
, z
2
làhai nghiệmphứccủa
phươngtrình
2
2 3 4 0
z z
.
Viếtdạnglượnggiáccủaz
1
,z
2.
2009 Trong (Oxy) tìm tập hợp điểm
biểu diễn các số phức z thỏa
mãnđiềukiện
(3 4 ) 2
z i
Khôngcó
2010 Tìm số phức z, biết
(2 3 ) 1 9 .z i z i
Khôngcó
2011
Tìmsốphứczthỏamãn
2
z
và z
2
là sốthuầnảo.
Khôngcó
D
2012 Cho số phức z thỏa mãn Giải phương trình z
2
+3(1+i)z +5i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 3
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
.
Tính modun của số phức w =
z+1+i.
=0trêntậpsốphức.
Số phức trong đề thi cao đẳng các năm
Năm CTcơbản CTnângcao
2009 Chosốphứczthỏamãn
(1+i)
2
(2-i)z =i+I +(1+2i)z. Tìm
phầnthực,phầnảocủaz
Giảiphươngtrìnhsau trêntập số
phức:
4 3 7
7 2
z i
i
z i
2010 Cho số phức z thỏa mãn điều
kiện
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i
Tìmphầnthựcvàphầnảocủaz
Giảiphươngtrìnhz
2
-(1+i)z+6+3i
=0trêntậpsốphức.
2011 Tìm modun của số phứczbiết
( 3 4 ) 4 20
i z z i
Tìm phần thực, phần ảo của số
phức 1/z biết z là nghiệm của
phươngtrìnhz
2
-2(1+i)z+2i=0
2012 Cho số phức z thỏa mãn
2
(1 2 ) (3 )
1
i
i z i z
i
.
Tìmtọađộđiểmbiểudiễncủaz
trongmặtphẳngOxy.
Gọi z
1
, z
2
làhai nghiệmphứccủa
phươngtrình
2
2 1 2 0z z i
.
Tính
1 2
z z
Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm
Năm CTcơbản CTnângcao
2009 Giảiphươngtrình8z
2
-4z+1=
0trêntậpsốphức.
Giải phươngtrình 2z
2
-iz + 1= 0
trêntậpsốphức.
2010 Chohaisốphứcz
1
=1+2ivàz
2
= 2-3i. Xác định phần thực,
phầnảocủasốphứcz
1
-2z
2
.
Chohaisốphứcz
1
=2+5ivàz
2
=3-
4i. Xác định phần thực, phần ảo
củasốphứcz
1
.z
2
.
2011 Giảiphươngtrình
(1-i)z+(2-i)=4-5itrêntậpsốC.
Giảiphươngtrình
(z-i)
2
+4=0trêntậpsố
2012
Tìmcácsốphức
25
2 ,
i
z z
z
biết
z=3-4i
Tìm các căn bậc hai của số phức
1 9
5
1
i
z i
i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 4
PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa số phức:
+Dạngđạisố:z=a+bi,(a,b
R,i
2
=-1)
2. Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:
+).Phầnthựclàa,phầnảolàb,đơnvịảolài.
+).Môđuncủasốphức:
22
|| baz
+).Sốphứcliênhợp:
biaz
+).ĐiểmbiểudiễnsốphứctrongmặtphẳngtọađộOxylà:M(a;b).
3. Các phép toán đối với số phức
+).Phépcộng,trừvànhâncácsốphứcđượcthựchiệntươngtựnhưcộng,trừvà
nhâncácsốthựcvớichúýi
2
=-1.
*Phép cộng và phép trừ các số phức.
Chohaisốphứcz=a + bivàz’=a’ + b’i.Tađịnhnghĩa:
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
*Phép nhân số phức.
Chohaisốphứcz=a + bivàz’=a’ + b’i.Tađịnhnghĩa:
' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i
* Phép chia hai số phức
.Phépchiasốphứcz
1
chosốphứcz
2
đượcthựchiệntheoquytắcsau:
2
2
21
22
21
2
1
||
.
.
.
z
zz
zz
zz
z
z
+).Haisốphứcbằngnhaukhivàchỉkhiphầnthựcvàphầnảocủachúng
tươngứngbằngnhau
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 5
Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng
đúng trên các số phức.
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
*Chophươngtrìnhbậchai:ax
2
+bx+c=0,có
=b
2
–4ac.
+).Nếu
>0,PTcó2nghiệmthựcphânbiệt
a
b
x
2
2,1
+).Nếu
=0,PTcónghiệmképx
1
=x
2
=
a
b
2
+).Nếu
<0,PTcó2nghiệmphức
a
ib
x
2
||
2,1
*Chophươngtrìnhbậchai:ax
2
+bx+c=0.Khibchẵncób’=b/2;
'
=b’
2
–ac.
+).Nếu
'
>0,PTcó2nghiệmthựcphânbiệt
a
b
x
''
2,1
+).Nếu
'
=0,PTcónghiệmképx
1
=x
2
=
a
b'
+).Nếu
'
<0,PTcó2nghiệmphức
a
ib
x
|'|'
2,1
5.Một số kết quả cần nhớ :
1).i
0
=1
i
4n
=12).i
1
=i
i
4n+1
=i
3).i
2
=-1
i
4n+2
=-1 4).i
3
=-i
i
4n+3
=-i
5).(1–i)
2
=-2i6).(1+i)
2
=2i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 6
PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ PHỨC
VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN.
Với dạng bài tập này bên cạnh việc kiểm tra được kĩ năng làm phép toán số phức
còn giúp HS ghi nhớ các khái niệm cơ bản liên quan tới số phức.
Ví dụ 1:Tìmsốphứcliênhợpcủa:
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
Giải:
Tacó:
3 3
5 5
(3 )(3 ) 10
i i
z i i
i i
Suyrasốphứcliênhợpcủazlà:
53 9
10 10
z i
Ví dụ 2:Tìmmôđuncủasốphức
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
Giải: Tacó:
5 1
1
5 5
i
z i
Vậy,môđuncủazbằng:
2
1 26
1
5 5
z
*Trong tính toán số phức, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ
thừa của đơn vị ảo như sau:
Tacó:i
2
=-1;i
3
=-i;i
4
=i
3
.i
=1;i
5
=i;i
6
=-1…
Bằngquynạpdễdàngchứngminhđược:i
4n
=1;i
4n+1
=i;i
4n+2
=-1;i
4n+3
=-i;
nN
*
Vậyi
n
{-1;1;-i;i},nN.
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 7
Nếunnguyênâm,i
n
=(i
-1
)
-n
=
1
n
n
i
i
.
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được các phép toán lũy thừa của
số phức với số mũ lớn, như các ví dụ dưới đây:
Ví dụ 3:Tìmphầnthực,phầnảocủasốphứcz,biết:
z=i
105
+i
23
+i
20
–i
34
Giải:
Z
=i
105
+i
23
+i
20
–i
34
=i
4.26+1
+i
4.5+3
+i
4.5
–i
4.8+2
=i–i+1+1=2
Vậyphầnthựccủazbằng2;phầnảobằng0.
Ví dụ 4:Tínhsốphứcsau:
z=(1+i)
15
Giải:
Tacó:(1+i)
2
=1+2i–1=2i
(1+i)
14
=(2i)
7
=128.i
7
=-128.i
z=(1+i)
15
=(1+i)
14
(1+i)=-128i(1+i)=-128(-1+i)=128–128i.
Ví dụ 5:Tínhsốphứcsau:z=
16 8
1 1
1 1
i i
i i
Giải:
Tacó:
1 (1 )(1 ) 2
1 2 2
i i i i
i
i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 8
1
1
i
i
i
.Vậy
16 8
1 1
1 1
i i
i i
=i
16
+(-i)
8
= 2
Hay chính trong đề thi khối A -2010 thực chất cũng là bài toán khai thác kiểm tra
làm tính với số phức và khái niệm số phức liên hợp, phần ảo của số phức
Ví dụ 6( A-2010):Tìmphầnảocủasốphứcz,biết
2
( 2 ) (1 2 )z i i
Giải:
2
2
2
z 2 i 1 2i
2 2 2i i 1 2i
1 2 2i 1 2i
1 2i 2 2i 4i 5 2i
z 5 2i
Vậyphầnảocủazlà
b 2
.
Ví dụ 7:Choz
1
=1+i;z
2
=-1-i.Tìmz
3
Csaochocácđiểmbiểudiễncủaz
1
,
z
2
,z
3
tạothànhtamgiácđều.
Giải:
Giảsửz
3
=x+yi(x,ylàcácsốthực)
Đểcácđiểmbiểudiễncủaz
1
,z
2
,z
3
tạothànhmộttamgiácđềuthì
1 2 1 3
1 2 2 3
z z z z
z z z z
2 2
2 2
2 2
4 4 1 1
1 1 8
0
4 4 1 1
x y
x y
x y
x y
2y
2
=6y=
3
x=
3m
Vậycóhaisốphứcthoảmãnlàyêucầubàitoán:
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 9
z
3
=
3
(1+i)vàz
3
=-
3
(1-i)
Bài tập luyện tập :
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
1)(3–5i)+(2+4i)
2)(3+2i)(1–i)+(3–2i)(1+i)
3)
2 2
2 3 2 3i i
4)
1+2i
1–2i
+
1–2i
1+2i
5)
3 (1 2 )
12
i i
i
+4–3i.
6)
(2+i)(1–2i)
2–i
+
(2–i)(1+2i)
2+i
7)
2
(1 )i
8)
2009
(1 )i
9)(1–i)
2006
(1+i)
3
(1–i)
4
Bài 2. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.
1).z=(4–i)(3+2i)+(1–i)
2
2).z=(2+3i)
2
–(3+4i)
3
3).Z=(1–i)(2–i)(3+i) 4).Z=(1+i)
2008
–(1+i)
2009
+(1+i)
2010
5).Z=
i
i
i
i
1
21
21
1
6).
2
2
)23(
24
)21)(1(
i
i
ii
z
7).
3
2
)1(
)4(
32
i
i
iz
8).
1
iz
iz
9).z
2
–2z+4i 10).Z=(1–i)
10
–(4+i)(1–2i)
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 10
Bài 3: Choz=
3
1 2 (1 )
1
i i
i
Tính|z|vàtìm
z
.
DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC
Trong dạng này tôi chia nhỏ thành 2 dạng :
+ Giải các phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai, phương trình trùng phương ….với ẩn là số phức z,
+ Giải tìm số phức z thông qua đặt z = a+bi (thường gặp trong các đề thi).
Ví dụ 1:Tìmsốphứcsau:
a.(1+z)(2+3i)=1+ib.
i
i
z
i
i
2
31
1
2
Giải :
a.(1+z)(2+3i)=1+i
1
1
2 3
5
1
13
8 1
13 13
i
z
i
i
z
z i
b.
i
i
z
i
i
2
31
1
2
Ta có :
2
2 1 3 ( 1 3 )(1 )
1 2 (2 )
2 4 (2 4 )(3 4 )
3 4 25
22 4
25 25
i i i i
z z
i i i
i i i
z z
i
z i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 11
Ví dụ 2:Giảicácphươngtrìnhsautrêntrườngsốphức:
a.z
2
+2z+5=0b.
.z
3
–27=0
Giải
a.
Xétphươngtrình:z
2
+2z+5=0
Tacó:=-4=4i
2
phươngtrìnhcóhainghiệm:z
1
=-1+2ivàz
2
=-1–2i.
b.z
3
–27=0(z–1)(z
2
+3z+9)=0
2
2,3
1
1
3 3 3
3 9 0
2
z
z
i
z z
z
Vậyphươngtrìnhđãchocó3nghiệm:
2,3
1
3 3 3
2
z
i
z
Ví dụ 3:Giảicácphươngtrìnhsautrêntrườngsốphức:
a.z
4
+2z
2
-3=0b.
z
4
–4z
3
+7z
2
–16z+12=0(*)
Giải
a.z
4
+2z
2
-3=
2
2
1
1
3
3
z
z
z i
z
Vậyphươngtrìnhcó4nghiệm
1
3
z
z i
b.
Dotổngtấtcảcáchệsốcủaphươngtrình(1)bằng0nên(1)cónghiệmz=1.
(1)(z–1)(z
3
–3z
2
+4z–12)=0
(z–1)(z–3)(z
2
+4)=0
2
1
1
3
3
2
4 0
2
z
z
z
z
z i
z
z i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 12
Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệm.
Ví dụ 4:Giảiphươngtrình:
(z
2
+z)
2
+4(z
2
+z)-12=0
Giải:
Đặtt=z
2
+z,khiđóphươngtrìnhđãchocódạng:
t
2
+4t–12=0
2
2
1 23
2
6 6 0
1 23
2
2 0 2
1
2
i
z
t z z
i
z
t
z z
z
z
Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệm.
Ví dụ 5:Giảiphươngtrình:
(z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)–3z
2
=0
Giải:
Đặtt=z
2
+3z+6phươngtrìnhđãchocódang:
t
2
+2zt–3z
2
=0(t–z)(t+3z)=0
3
t z
t z
+Vớit=zz
2
+3z+6–z=0z
2
+2z+6=0
1 5
1 5
z i
z i
+Vớit=-3zz
2
+3z+6+3z=0z
2
+6z+6=0
3 3
3 3
z
z
Trong đề thi đại học, ta thường gặp hơn bài toán tìm số phức z, đưa về tìm a, b với
z = a+bi
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 13
Nhưng trước hết ta nên bắt đầu từ bài toán so sánh hai số phức
Ví dụ 6:Tìmcácsốthựcx,ythoảmãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải:
Theogiảthiết:3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
(3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
3 2 1
5
x y y
x x y
Giảihệnàytađược:
1
7
4
7
x
y
Ví dụ 7:(A-2011) Tìmtấtcảcácsốphứczbiết
2
2
z z z
Giải
Đặtz=a+bi(a,blàcácsốthực),tacó:
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 14
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
( )
2
2
2 0
(2 1) 0
1 1
0
2 2
0 1 1
2 2
z z z
a bi a b a bi
a b abi a b a bi
a b a b a
ab b
a b
b a
a a
a
b
b b
Vậycó3sốphứczthỏamãnycbt:
1 1 1 1
0
2 2 2 2
z z i z i
Ví dụ 8:(D-2010)
Tìmsốphứcz,biết
(2 3 ) 1 9 .z i z i
Giải:Đặtz=a+bi(a,blàcácsốthực)
(2 3 ) 1 9
( ) (2 3 )( ) 1 9
( ) [2 3 (3 2 ) ]=1-9i
( 3 ) (3 ) =1-9i
3 1
3 9
4
5
3
5
z i z i
a bi i a bi i
a bi a b a b i
a b a b i
a b
a b
a
b
Vậysốphứczcầntìmlà:z
4 3
5 5
i
Ví dụ 9 (B -2009)
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 15
Tìmsốphứczthỏamãn và
. 25
z z
.
Giải
Đặtz=a+bi(a,blàcácsốthực)
2 2
2 2
(2 ) 10
2 ( 1) 10
( 2) ( 1) 10
4 2 5 0(*)
z i
a b i
a b
a b a b
Lạicó
2 2
. 25 25(**)
z z a b
Từ(*)(**)tacó
2 2
2 2
2
10 2
25
(10 2 ) 25
8 15 0
3 5
4 0
b a
a b
a a
a a
a a
b b
Vậycó2sốphứcthỏamãnyêucầubàitoán:z=3+4i;z=5.
Ví dụ 10:Tìmsốphứczthoảmãnhệ:
1
1
3
1
z
z i
z i
z i
Giải:Giảsửz=x+yi
( , )
x y
Khiđó
1
1
z
z i
|z-1|=|z-i||x+yi-1|=|x+yi-i|
(x-1)
2
+y
2
=x
2
+(y-1)
2
x=y.
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 16
Talạicó:
3
1
z i
z i
|z-3i|=|z+i||x+yi-3i|=|x+yi+i|x
2
+(y–3)
2
=x
2
+(y+1)
2
y=1x=1.
Vậysốphứcphảitìmlàz=1+i
Ví dụ 11 (CĐ -2011):Tìmmoduncủasốphứczbiết
( 3 4 ) 4 20
i z z i
Giải:Giảsửz=a+bi
( , )
a b
( 3 4 ) 4 20
( 3 4 )( ) ( ) 4 20
2 10
1
4
3
i z z i
i a bi a bi i
a b
a b
a
b
Vậymoduncủasốphứczcầntínhlà:
2 3
4 3 5
z
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 17
Bài tập luyện tập:
Bài 1.Giảicácphươngtrìnhsautrêntậphợpsốphức:
a)
2 3 7 8z i i
b)
1 3 4 3 7 5i z i i
c)
1 3 2 4i z i z
d)
1 2 5 6
2 3
z
i i
i
Bài 2.Giảicácphươngtrìnhsautrêntậphợpsốphức:
a)
2
2 5 0
z z
b)
2
4 20 0
z z
c)
2
3 5 0
z z
d)
2
4 9 0
z
Bài 3.Giảicácphươngtrìnhsautrêntậphợpsốphức:
a)
3
8 0
z
b)
3 2
4 6 3 0
z z z
c)
4 3 2
6 8 16 0
z z z z
d)
4 2
12 0
z z
Bài 4.Giảiptrìnhsautrêntậpsốphức:z
4
–z
2
–6=0
Bài 5. Giảiptrình:
4 2
3 4 7 0
z z
trêntậpsốphức.
Bài 6 : Tìmcácsốthựcx,ytrongmỗitrườnghợpsau(zlàsốphức).
1).2(x+i)+1–5yi=3–8i 2).x(1+3i)+y(i–2)=5+i
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 18
3).x(1+4i)+(y
2
–5)I=3y+3 4).x(3+5i)
+y(1–2i)
2
=9+14i
5).x(1+i)+4y–6–(3y+5)I=0
Bài 7 : Tìmcácsốphứcthỏađiềukiệnsau.
1).
1
4
iz
iz
2).
i
i
zz
21
31
.
3).
1
1
iz
z
và
1
3
iz
iz
4).
1
3
1
z
z
và
1
2
iz
iz
Bài 8:Tìmsốphứczbiếtz
2
+|z|=0
Bài 9:Tìmsốphứcz=x+yibiếtx,ythỏamãnđẳngthức:x(3+5i)+y(1-2i)
3
=9+
14i
DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN
ĐK CHO TRƯỚC
Phương pháp:
Giảsửz=x+yi(x,yR).Khiđósốphứczbiểudiễntrênmặtphẳngphứcbởi
điểmM(x;y).
Sửdụngdữkiệncủađềbàiđểtìmmốiliênhệgiữaxvàytừđósuyratậphợp
điểmM.
Một số quỹ tích thường gặp:
Vớiz=x+yi(x,ylàcácsốthực)khiđónếu:
*x=a:Quỹtíchzlàđườngthẳngx=a(songsongvớiOy)
*y=b:Quỹtíchzlàđườngthẳngy=b(songsongvớiOx).
*(x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
QuỹtíchzlàđườngtròntâmI(a.b)bánkínhR
*(x-a)
2
+(y-b)
2
R
2
QuỹtíchzlàhìnhtròntâmI(a.b)bánkínhR(kểcảbiên)
*(x-a)
2
+(y-b)
2
>R
2
QuỹtíchzlàcácđiểmnằmngoàiđườngtròntâmI(a.b)bán
kínhR.
Ví dụ 1:Trongmặtphẳngtọađộ(Oxy),tìmtậphợpđiểmbiểudiễncácsốphức
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 19
zthoảmãn:|z–2+3i|=
3
2
Giải:
Giảsửz=x+yi,khiđó:
|z–2+3i|=
3
2
|(x-2)+(y+3)i|=
3
2
(x-2)
2
+(y+3)
2
=
9
4
TậphợpđiểmMthoảmãnđiềukiệnđãcholàđườngtròntâmI(2;-3)vàbán
kính3/2.
Ví dụ 2 :Trên mặtphẳngphức(Oxy).tìmtập hợpcácđiểmbiểudiễncácsố
phứczthoảmãnmộttrongcácđiềukiệnsauđây:
1.
1z i
=2
2.
2 1z i
3.
2 2
z z
4.1≤
1 2
z i
Giải:
1)Xéthệthức:
1z i
=2(1)
Đặtz=x+yi(x,yR)z–1+i=(x–1)+(y+1)i.
Khiđó(1)
2 2
( 1) ( 1) 2
x y
(x-1)
2
+(y+1)
2
=4
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 20
Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtoạđộbiểudiễnsốphứczthoảmãn(1)là
đườngtròncótâmtạiI(1;-1)vàbánkínhR=2.
2)Xéthệthức
2
z z i
(2)
Giảsửz=x+yi,khiđó:
(2)|(x+2)+yi|=|-x+(1-y)i|(x+2)
2
+y
2
=x
2
+(1-y)
2
4x+2y+3=0.
vậytậphợpcácđiểmcầntìmlàđườngthẳng4x+2y+3=0.
3)Xét:
2 2
z z
(3)
Giảsửz=x+yi,khiđó:
(3)|2+x+yi|>|x+yi-2|
(x+2)
2
+y
2
>(x-2)
2
+y
2
x>0.
Tậphợpcácđiểmcầntìmlànửamặtphẳngởbênphảitrụctung,tứclàcác
điểm(x;y)màx>0.
4)Xéthệthức1≤
1 2
z i
1≤
( 1 ) 2
z i
.
Giảsửz=x+yikhiđó
(5)1≤|(x+1)+(y-1)i|≤21≤(x+1)
2
+(y-1)
2
≤4
QuỹtíchcầntìmlàhìnhvànhkhăncótâmtạiA(-1;1)vàcácbánkínhlớnvà
nhỏlầnlượtlà2và1
Ví dụ 3:Tìmquỹtíchcácđiểmnằmtrongmặtphẳngphứcbiểudiễncácsốphứcz
thoảmãnmộttrongcácđiềukiệnsauđây:
1. |z+
z
+3|=4
2. |z+
z
+1-i|=2
3. 2|z-i|=|z-
z
+2i|
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 21
Giải:
1)Xéthệthức:z+
z
+3|=4(1)
Đặtx=x+yi
z
=x–yi,dođó
(1)|(x+yi)+(x-yi)+3|=4
|2x+3|=4
1
2
7
2
x
x
VậytậphợptấtcảcácđiểmMlàhaiđườngthẳngsongsongvớitrụctungx
=
1
2
vàx=
7
2
2)Xéthệthức:|z+
z
+1-i|=2.
Đặtz=x+yi
z
=x–yi.Khiđó:
(2)|1+(2y-1)i|=21+(2y-1)
2
=42y
2
-2y-1=0
1 3
2
1 3
2
y
y
VậytậphợpcácđiểmMlàhaiđườngthẳngsongsongvớitrụchoànhy=
1 3
2
.
3)Xéthệthức2|z-i|=|z-
z
+2i|.
Đặtz=x+yi
z
=x–yi.Khiđó:(3)|x+(y-1)i|=|(x+y)i|
x
2
+(y-1)
2
=(x+y)
2
x
2
–4y=0y=
2
4
x
.
VậytậphợpcácđiểmMlàparaboly=
2
4
x
.
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 22
Ví dụ 4 (D-2009):
Trongmp(Oxy),tìmtậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiềukiện:
(3 4 ) 2
z i
Giải:
Giảsửz=x+yi,khiđó:
2 2
(3 4 ) 2
( 3) ( 4) 2
( 3) ( 4) 4
z i
x y i
x y
VậyquỹtíchcầntìmlàđườngtròntâmI(3;-4)bánkínhR=2.
VậytậphợpcácđiểmMlàparaboly=
2
4
x
.
Ví dụ 5 (B-2010):
Trongmp(Oxy),tìmtậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều
kiện
(1 )z i i z
Giải:
Giảsửz=x+yi,khiđó:
2 2 2 2
2 2
2
2
(1 )
( 1) (1 )( )
( 1) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
2 1
1 2
z i i z
x y i i x yi
x y i x y x y i
x y x y x y
x y y
x y
VậyquỹtíchcầntìmlàđườngtròntâmI(0;-1)bánkínhR=
2
.
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 23
Bài tập luyện tập :
Bài 1.Trênmặtphẳngtọađộ,tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏa
điềukiện:
a)Phầnthựccủazbằng2.
b)Phầnảocủazthuộckhoảng
1;3
.
c)Phầnthựcvàphầnảocủazđềuthuộcđoạn
2;2
.
Bài 2.Trênmặtphẳngtọađộ,tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏa
điềukiện:
a)
2
z
. b)
3
z
.
c)
1 3
z
. d)
4
z
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 24
Bài 3. Tìmtậphợpđiểmtrongmặtphẳngtọađộbiểudiễnsốphứcz=x+yi,thỏa
mãnđiềukiệnsau:
1).|z–1–i|=1 2).|z+3i+4|<2
3).|z-2
z
+i|=2 4).|z+
z
+3–i|>3
5).|z-
z
+1+i|=2 6).2|z–i|=|z-
z
+2i|
7).|2i-2
z
|=|2z–1|
8).|2iz–1|=2|z+3|
9).|z
2
-
z
2
|=4
10).|z+2|+|z–2|=6
11).|z+3|
2
+|z–3|
2
=20 12).|z–2|=x+3
13).|z–2|-|z+2|=6 14).|z+4|=y–5
15).(2–z)(i+
z
)là1sốthựctùyý 16).(2–z)(i+
z
)là1sốảotùyý
17).
iz
iz
là1sốthực.
18).
k
iz
z
,klà1sốthựcdương?
Bài 4 . Tìmcácsốphứcthỏađiềukiệnsau:
1).
1
4
iz
iz
2).
i
i
zz
21
31
.
3).
1
1
iz
z
và
1
3
iz
iz
4).
1
3
1
z
z
và
1
2
iz
iz
Bài 5: TìmcácđiểmMtrongmặtphẳngphứcbiểudiễnsốphứczthoảmãnmột
trongcácđiềukiệnsau:
a) |z-2|=3
b) |z+i|<1
c) |z-1+2i|>3
d)
1
2
z
z
e) Phầnthựccủa
2
1
z
z
bằng0
f)
1
z
z
R
Bài 6.Xácđịnhtậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphứcztrênmặtphẳngtoạđộthoả
mãncácđiềukiệnsau.
2
) 1 ) 3 3 0
a z z i b z z z
Chuyên đề: Số phức
GV:ĐÀO THỊTƯƠI Page 25
Tài liệu tham khảo.
1. LêHồng Đức(chủ biên), “Bàigiảngtrọngtâmchương trìnhchuẩn toán
12”,NXBđạihọcquốcgiaHàNội,2009.
2. TrầnVănCơ,“CácđềthitheohìnhthứctựluậnmônToán”,NXBđạihọc
sưphạm,2009
3. Nguyễn Đức Huyên (chủ biên) “Giải toán 12 hàm số mũ, logarit và số
phức”,NXBgiáodụcViệtNam,2010.
4. LêHồngĐức,“Tuyểntậpcácđềthiđạihọccaođẳngtừnăm2006đếnnăm
2011”,NXBTuổitrẻ,2011.
5. TrầnPhương,“Sốphức”,NXBđạihọcsưphạm,2009.
